计算机数值方法习题解答

第二章 解线性方程组的直接法

1. 试证明: (1) 两个下三角阵的乖积仍是下三角阵. (2) 下三角阵之逆仍是下三角阵. 证明: (1).设

A =

B =

假定:

A*B=

其中.ij c =1i a j b 1+2i a j b 2+ +ii a ij b +1+ii a j i b 1++ +in a nj b .

因为A,B 是下三角阵,所以当ii 时),即是下三角阵. ( 2 ).设

A=

1-A =

detA!=0 则有: AB=I. 比较I 和AB 的元素,有:

11a

21a 22a

1n a 2n a nn a

11b

21b 22b

1n b 2n b nn b

11c 12c n c 1 21c 22c n c 2

1n c 2n c nn c 11a 21a 22a

1n a 2n a nn a 11b 12b n b 1 21b 22b n b 2

1n b 2n b nn b

1=n b a b a b a b a 1111311121111110,,0,0,=== 因为detA!=0, 可得0!,,0!,0!2211===nn a a a 所以.0,,0,011312===n b b b 依此类推下去,对其它行,当i

2. 用Gauss 消去法求解方程组. 1x + 2x -44x =1 -1x + 2x + 3x +34x =-2 1x +32x +53x -44x =-4 2x -4x =-2 解: 消元过程:

回代过程可得:

4x =0,3x =-1,2x =0,1x =1.

1 1 0 -4 1 -1 1 1 3 -

2 1

3 5 -

4 -4 0 1 2 -1 -2 1 1 0 -4 1 0 2 1 -1 -1 0 2

5 0 -5 0 1 2 -1 -2

1 1 0 -4 1 0

2 1 -1 -1 0 0 4 1 -4 0 0 1.5 0.5 -1.5 1 1 0 -4 1 0 2 1 -1 -1 0 0 4 1 -4 0 0 0 0.125 0

3.试写Gauss 消去法的算法:

解: Gauss 消去法算法分为消元过程和回代过程,其中: 对k=1,2, ,n-1 i=k+1,k+2, ,n n x =n b /nn a

消 ik m =ik a /kk a 回

对i=n-1,n-2, ,1 元 j=k+1,k+2, ,n

代

i x =(i b -

∑ij

a

xj)/ii a

过 ij a =ij

a -ik m kj a 程 i b

=i b -ik m k b

4,用Gauss 列主元素消去法解方程组.

=

解:

1 2 1 -2 -1 2 5 3 -2 3 2 5 3 -2 3 0 3 6 3 18 -2 -2 3 5 15 0 -0.5 -0.5 -1 -2.5 1 3 2 5 9 0 0.5 0.5 6 7.5 2 5 3 -2 3 交换1,2行 2 5 3 -2 3 1 2 1 -2 -1 Gauss 消去 0 3 6 3 18 -2 -2 3 5 15 一步 0 0 0.5 -0.5 0.5 1 3 2 5 9 0 0 -0.5 5.5 4.5 2 5 3 -2 3 2 5 3 -2 3 0 -0.5 -0.5 -1 -2.5 交换2,3行. 0 3 6 3 18 0 3 6 3 18 Gauss 消去一步 0 0 0.5 -0.5 0.5 0 0.5 0.5 6 7.5 0 0 0 5 5 回代求解得:.3,1,2,11234-====x x x x

1 2 1 -2 2 5 3 -2 -2 -2 3 5 1 3 2 5 43

2

1

x x x x

-1

3 15 9

5.某一装置运动轨迹为一圆锥曲线

2x +bxy+c 2

y +dx+ey+f=0

在运动轨上测得5个不同点:

1c :(14.38,3.94),2c :(11.38,2.79),)59.2,81.8(:),11.5,38.6(:),07.3,42.7(:543c c c 试写出b,c,d,e,f 所满足的方程,并用列主元素消去法求出b,c,d,e,f 的近似值. 解:依题义得方程组: 祥见教材第270页.

6.设A=n n ij a *)(是实对称阵,且ii a !=0.经过Gauss 消去法一步后,A 约化为 .其中,是阶方阵.证明是对称阵. 证明:

A=

= ;

而

=

11a

α

0 2A

11a 12a 13a n a 121a 22a 23a n a 231a 32a 33a n a 3

1n a 2n a 3n a a 11a 12a 13a n a 1

0 )

2(22a )2(23a )2(2n a

0 )2(2n a )2(3n a )2(nn a

11a α

0 2A

1

-11

21a a

1 -

11

a a nn

1 11a 12a n a 1

21a 22a n a 2

1n a 2n a nn a