复数的乘除法运算
复数的乘法与除法运算
复数的乘法与除法运算复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，本文将就复数的乘法与除法运算进行详细介绍。
一、复数的乘法运算复数的乘法运算是根据乘法公式展开计算得出的。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的乘法运算可以表示为：(z1)*(z2) = (a+bi)*(c+di)使用分配律展开等式右侧的乘法运算，可得：= ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的定义，i^2 = -1，将其代入上式中，得：= ac + adi + bci - bd进一步整理上式，将实部与虚部分开，可得复数乘法运算的结果为：= (ac-bd) + (ad+bc)i根据上述推导，复数的乘法运算结果的实部为(ac-bd)，虚部为(ad+bc)i。
二、复数的除法运算复数的除法运算是将被除数乘以除数的共轭值，然后再除以除数的模的平方。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的除法运算可以表示为：z1/z2 = (a+bi)/(c+di)首先，将分子和分母乘以除数的共轭值(c-di)，得：= [(a+bi)*(c-di)]/[(c+di)*(c-di)]根据乘法运算的规则展开等式，得：= [(ac+bd) + (bc-ad)i]/[(c^2+d^2)]根据上式，复数的除法运算结果的实部为(ac+bd)/(c^2+d^2)，虚部为(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
三、复数乘除法运算的应用复数的乘除法运算在实际应用中有很多重要作用。
例如，在电路分析与设计中，复数常用来表示电阻、电容和电感等元件的阻抗或者阻抗的频率特性。
复数的乘法用于计算各种电路元件的等效阻抗，而复数的除法则用于计算电路的传输函数和频率响应。
此外，复数的乘除法运算也应用在信号处理、图像处理以及控制系统等领域。
高中优质公开课教学课件推选复数的乘除法运算
写成代数形式(分母实数化).即
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
分母实数化
例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
四、【巩固新知】
求
已知 z1 3 2i
z1 z2 , z1 z2
z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).
二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只
是在遇到 i2 时，要把 i2 换
成-1，并把最后的结果写成
a bi(a,b R) 的形式。
=9+16=25
练习：计算 （1）(a bi)(a bi)
a2 abi abi b2i2
a2 b2
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z的共轭复数记作Ｚ 思考：若z1 、 z2 ，是共轭复数，那么
1
2
3
1
2
3
•（ ） • •
1
2
312来自13三、【例题讲解】
例1
已知1 1 2i, 2 3 4i
计算1 • 2。
解:
1 • 2 （1 2i）(3 4i)
3 4i 6i 8i2
11 2i
例2(1 2i)(3 4i)(2 i)
复数代数形式的乘除运算
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
复数代数形式的乘法运算 课件
复数乘法
设 z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数
z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+bci+adi+bdi2
类似多项 式相乘
=(ac-bd)+(ad+bc)i
注:把i2换成-1
两个复数的积仍是一个确定的复数
我们比较容易证明这些性质：
1.交换律：z1·z2=z2·z1 2.结合律: (z1·z2) ·z3=z1·(z2·z3) 3.分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(2)z1•z2是一个怎样的数?
y
b
Z1
(b Z2
(2)是一实数
z1•z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2
复数的除法法则
除法是乘法的逆运算
a bi c di (c+di≠0)
a bi
c di
a c
bic dic
di di
分子分母都乘以 分母的共轭复数
(实数化)
分析: 代入化简后，通过复数相等，把复数问题转 化为实数问题来解
例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解 (1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -20+15i
练习 计算 (1) (7-6i)(-3i);
-21i-18 (2) (3+4i)(-2-3i);
6-17i (3) (1+2i)(3-4i)(-2-i)
-20-15i
例3 计算
(1) (3+4i)(3-4i);
(2) (1+i)2
复数的乘法
有两种方法考虑: 法一:直接代入计算. 2 法二:由 x 1 2i 得 x 2 x 5 0
整体代入妙!
那么复数的除法又应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
i
a,b. 2i 3 3i 3 i ( 3 i )(2 i ) 6 2i 3i 1 解: z 1 i. 2 i 2 i ( 2 i )(2 i ) 5 所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有: (a+b)+(-a-2)i=1+i. ab1 a 3 . a 2 1 b 4
复数的乘法满足交换律, 结合律以及 分配律, 即有 : z1 z 2 z 2 z1 (z1 z 2 ) z 3 z1 (z 2 z 3 ) z1 (z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
例1、 计算:
• (1) (1+2i)(3+4i)(-2+i) • (2) (1+i)2 • (3) (a+bi)(a-bi)
由刚
a bi (a bi )(c di ) (a bi ) (c di ) c di (c di )(c di ) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
复数的加减乘除运算
复数的加减乘除运算复数在数学中是一种重要的概念，它由实数和虚数部分组成。
复数的加减乘除运算是我们在数学学习中经常遇到的问题。
本文将详细介绍复数的加减乘除运算方法和规则。
一、复数的表示形式复数通常可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 为实数部分，bi 为虚数部分，i 为虚数单位，满足 i² = -1。
在这种表示形式下，a 和 b 分别称为复数的实部和虚部。
二、复数的加法运算复数的加法运算遵循实部相加，虚部相加的原则。
具体计算公式如下：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i例如，计算 (2 + 3i) + (4 + 5i)，按照上述原则进行计算，得到结果为6 + 8i。
三、复数的减法运算复数的减法运算同样遵循实部相减，虚部相减的原则。
具体计算公式如下：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i例如，计算 (5 + 6i) - (2 + 3i)，按照上述原则进行计算，得到结果为3 + 3i。
四、复数的乘法运算复数的乘法运算通过展开计算实现。
具体计算公式如下：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i例如，计算 (2 + 3i) * (4 + 5i)，按照上述公式进行计算，得到结果为-7 + 22i。
五、复数的除法运算复数的除法运算需要借助共轭复数。
共轭复数的定义为：如果 z = a + bi，则其共轭复数为z = a - bi。
复数除法的计算公式如下：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)例如，计算 (8 + 6i) / (2 + 3i)，按照上述公式进行计算，得到结果为2 + 1i。
综上所述，复数的加减乘除运算都有相应的计算规则和公式，我们可以根据这些规则和公式进行运算。
复数知识点总结公式大全
复数知识点总结公式大全复数是数学中一个重要的概念，其包括实数和虚数。
在实际应用中，复数广泛被用于电路分析、信号处理、控制系统、波动方程求解等领域。
因此，理解复数的性质和运算规律对于掌握这些领域的知识具有重要意义。
以下是复数知识点的总结和相关公式的大全：1. 复数的定义：复数可以表示为a+bi的形式，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的运算：（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)3. 共轭复数：设z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
显然，复数与共轭复数的乘积是实数，即zz*=|z|^2，其中|z|表示复数z的模。
4. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ5. 复指数函数：e^(z)=e^a(cosb+isinb)，其中z=a+bi6. 幅角和辐角：复数z=a+bi的幅角θ满足tanθ=b/a，辐角则为θ+2kπ(k∈Z)。
7. 极坐标形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ为z的辐角。
8. 三角形式：复数z=r(cosθ+isinθ)可以表示为z=r∠θ9. 复数的乘除法：（1）乘法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1z2=r1r2∠(θ1+θ2)（2）除法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1/z2=r1/r2∠(θ1-θ2)10. 复数的幂：z^n=r^n∠(nθ)11. 根式：复数z=r∠θ的n次根是n个复数，其模为∛r，辐角依次加2kπ/n(k=0,1,...,n-1)。
12. 解析函数与共轭函数：设u(x,y)和v(x,y)是复变函数f(x+iy)的实部和虚部，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
解：原式 2 (1 i)2 2 2i
1 i
1 i
2(1 i) 2i 2(1 i) 2i
(1 i)(1 i)
2
1 i
练习
复数的运算
设z1 a bi, z2 c di(a,b,c, d R)
1.复数的加减法
z1 z2 (a c) (b d )i z1 z2 (a c) (b d )i
2.复数的乘法
(a bi) (c di) ac adi bci bdi2
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac bd) (bc ad)i c2 d 2
分母实数化
3.复数的除法法则
1、把除式写成分式的形式
2、分子与分母都乘以分母的共轭复数
3、化简后写成代数形式
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac bd) (bc ad)i c2 d 2
ac adi bci bd
(ac bd) (ad bc)i
概念法则
复数乘法的法则
1、与多项式的乘法是类似的
2、结果中把 i2换成-1
3、实部虚部合并
小结:2.复数的除法法则
1、把除式写成分式的形式
2、分子与分母都乘以分母的共轭复数
3、化简后写成代数形式
(a bi) (c di) a bi c di
_
若z 1 i则（1 z） z A
A.3 i B.3 i C.1 3i D.3
_ 解： z 1 i, 原式 (11 i) (1 i) (2 i) (1 i)
2 2i i i2 2 i 1 3i
2009浙江（理）
1.已知复数z1 1 i, z1 z2 1 i,
则复数z2 ______
(2007)
解：z2
1i z1
1i 1i
(1 i)2 (1 i)(1 i)
2i i 2
小结：1.复数的乘法法则
(a bi)(c di)
ac adi bci bdi2
分母实数化
例2计算（3 4i) (2 3i)
解：原式 3 4i (3 4i)(2 3i) 2 3i (2 3i)(2 3i)
6 9i 8i 12i2 18 i
13
13
201共轭复数记作z, i为虚数单位，
ac adi bci bd
(ac bd) (ad bc)i
_
特例：z z (a bi)(a bi) a2 b2i2 a2 b2
例1.计算（2 - 3i)(4 2i)
解：原式 8 4i 12i 6i2
8 8i 6 14 8i