复数的乘除法运算
复数的乘法与除法运算
复数的乘法与除法运算复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，本文将就复数的乘法与除法运算进行详细介绍。
一、复数的乘法运算复数的乘法运算是根据乘法公式展开计算得出的。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的乘法运算可以表示为：(z1)*(z2) = (a+bi)*(c+di)使用分配律展开等式右侧的乘法运算，可得：= ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的定义，i^2 = -1，将其代入上式中，得：= ac + adi + bci - bd进一步整理上式，将实部与虚部分开，可得复数乘法运算的结果为：= (ac-bd) + (ad+bc)i根据上述推导，复数的乘法运算结果的实部为(ac-bd)，虚部为(ad+bc)i。
二、复数的除法运算复数的除法运算是将被除数乘以除数的共轭值，然后再除以除数的模的平方。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的除法运算可以表示为：z1/z2 = (a+bi)/(c+di)首先，将分子和分母乘以除数的共轭值(c-di)，得：= [(a+bi)*(c-di)]/[(c+di)*(c-di)]根据乘法运算的规则展开等式，得：= [(ac+bd) + (bc-ad)i]/[(c^2+d^2)]根据上式，复数的除法运算结果的实部为(ac+bd)/(c^2+d^2)，虚部为(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
三、复数乘除法运算的应用复数的乘除法运算在实际应用中有很多重要作用。
例如，在电路分析与设计中，复数常用来表示电阻、电容和电感等元件的阻抗或者阻抗的频率特性。
复数的乘法用于计算各种电路元件的等效阻抗，而复数的除法则用于计算电路的传输函数和频率响应。
此外，复数的乘除法运算也应用在信号处理、图像处理以及控制系统等领域。
高中优质公开课教学课件推选复数的乘除法运算
写成代数形式(分母实数化).即
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
分母实数化
例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
四、【巩固新知】
求
已知 z1 3 2i
z1 z2 , z1 z2
z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).
二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只
是在遇到 i2 时，要把 i2 换
成-1，并把最后的结果写成
a bi(a,b R) 的形式。
=9+16=25
练习：计算 （1）(a bi)(a bi)
a2 abi abi b2i2
a2 b2
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z的共轭复数记作Ｚ 思考：若z1 、 z2 ，是共轭复数，那么
1
2
3
1
2
3
•（ ） • •
1
2
312来自13三、【例题讲解】
例1
已知1 1 2i, 2 3 4i
计算1 • 2。
解:
1 • 2 （1 2i）(3 4i)
3 4i 6i 8i2
11 2i
例2(1 2i)(3 4i)(2 i)
复数代数形式的乘除运算
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
复数代数形式的乘法运算 课件
复数乘法
设 z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数
z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+bci+adi+bdi2
类似多项 式相乘
=(ac-bd)+(ad+bc)i
注:把i2换成-1
两个复数的积仍是一个确定的复数
我们比较容易证明这些性质：
1.交换律：z1·z2=z2·z1 2.结合律: (z1·z2) ·z3=z1·(z2·z3) 3.分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(2)z1•z2是一个怎样的数?
y
b
Z1
(b Z2
(2)是一实数
z1•z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2
复数的除法法则
除法是乘法的逆运算
a bi c di (c+di≠0)
a bi
c di
a c
bic dic
di di
分子分母都乘以 分母的共轭复数
(实数化)
分析: 代入化简后，通过复数相等，把复数问题转 化为实数问题来解
例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解 (1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -20+15i
练习 计算 (1) (7-6i)(-3i);
-21i-18 (2) (3+4i)(-2-3i);
6-17i (3) (1+2i)(3-4i)(-2-i)
-20-15i
例3 计算
(1) (3+4i)(3-4i);
(2) (1+i)2
复数的乘法
有两种方法考虑: 法一:直接代入计算. 2 法二:由 x 1 2i 得 x 2 x 5 0
整体代入妙!
那么复数的除法又应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
i
a,b. 2i 3 3i 3 i ( 3 i )(2 i ) 6 2i 3i 1 解: z 1 i. 2 i 2 i ( 2 i )(2 i ) 5 所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有: (a+b)+(-a-2)i=1+i. ab1 a 3 . a 2 1 b 4
复数的乘法满足交换律, 结合律以及 分配律, 即有 : z1 z 2 z 2 z1 (z1 z 2 ) z 3 z1 (z 2 z 3 ) z1 (z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
例1、 计算:
• (1) (1+2i)(3+4i)(-2+i) • (2) (1+i)2 • (3) (a+bi)(a-bi)
由刚
a bi (a bi )(c di ) (a bi ) (c di ) c di (c di )(c di ) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
复数的加减乘除运算
复数的加减乘除运算复数在数学中是一种重要的概念，它由实数和虚数部分组成。
复数的加减乘除运算是我们在数学学习中经常遇到的问题。
本文将详细介绍复数的加减乘除运算方法和规则。
一、复数的表示形式复数通常可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 为实数部分，bi 为虚数部分，i 为虚数单位，满足 i² = -1。
在这种表示形式下，a 和 b 分别称为复数的实部和虚部。
二、复数的加法运算复数的加法运算遵循实部相加，虚部相加的原则。
具体计算公式如下：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i例如，计算 (2 + 3i) + (4 + 5i)，按照上述原则进行计算，得到结果为6 + 8i。
三、复数的减法运算复数的减法运算同样遵循实部相减，虚部相减的原则。
具体计算公式如下：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i例如，计算 (5 + 6i) - (2 + 3i)，按照上述原则进行计算，得到结果为3 + 3i。
四、复数的乘法运算复数的乘法运算通过展开计算实现。
具体计算公式如下：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i例如，计算 (2 + 3i) * (4 + 5i)，按照上述公式进行计算，得到结果为-7 + 22i。
五、复数的除法运算复数的除法运算需要借助共轭复数。
共轭复数的定义为：如果 z = a + bi，则其共轭复数为z = a - bi。
复数除法的计算公式如下：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)例如，计算 (8 + 6i) / (2 + 3i)，按照上述公式进行计算，得到结果为2 + 1i。
综上所述，复数的加减乘除运算都有相应的计算规则和公式，我们可以根据这些规则和公式进行运算。
复数知识点总结公式大全
复数知识点总结公式大全复数是数学中一个重要的概念，其包括实数和虚数。
在实际应用中，复数广泛被用于电路分析、信号处理、控制系统、波动方程求解等领域。
因此，理解复数的性质和运算规律对于掌握这些领域的知识具有重要意义。
以下是复数知识点的总结和相关公式的大全：1. 复数的定义：复数可以表示为a+bi的形式，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的运算：（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)3. 共轭复数：设z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
显然，复数与共轭复数的乘积是实数，即zz*=|z|^2，其中|z|表示复数z的模。
4. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ5. 复指数函数：e^(z)=e^a(cosb+isinb)，其中z=a+bi6. 幅角和辐角：复数z=a+bi的幅角θ满足tanθ=b/a，辐角则为θ+2kπ(k∈Z)。
7. 极坐标形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ为z的辐角。
8. 三角形式：复数z=r(cosθ+isinθ)可以表示为z=r∠θ9. 复数的乘除法：（1）乘法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1z2=r1r2∠(θ1+θ2)（2）除法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1/z2=r1/r2∠(θ1-θ2)10. 复数的幂：z^n=r^n∠(nθ)11. 根式：复数z=r∠θ的n次根是n个复数，其模为∛r，辐角依次加2kπ/n(k=0,1,...,n-1)。
12. 解析函数与共轭函数：设u(x,y)和v(x,y)是复变函数f(x+iy)的实部和虚部，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
复数的乘除法
3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：让学生体会自主学习自主探究提高运算能力的过程。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用一、课前预习（一）知识梳理1．复数乘法的运算法则（1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积为：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i（2)复数的乘法与多项式乘法是类似的，只是在运算过程中把的2i换成－1，然后实部、虚部分别合并即可.（3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任意z1 , z2 ,z3∈C,有2.共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数（2）两个共轭复数的和、积是实数；两个共轭虚数的差是虚数。
3.复数代数形式的除法运算（1）．复数除法的运算法则(a＋bi)÷(c＋di)= （3）求两复数商的步骤在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di) (c＋di≠0)写成的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简求得结果．（二）预习评估1．在复平面内，复数z ＝i(1＋2i)对应的点位于（B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则Z i ＝(A )A ．2－iB ．2＋iC ．－2－iD ．－2＋i3.1-3i 的共轭复数是4．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2等于(D)A. 4＋2iB. 2＋4iC. 2－4iD. 4－2i5．设z ＝3＋i ，则 1Z等于( D )A.3＋iB. 3－iC. 311010i + D. 311010i - 二、新课导学学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++ =()()ac bd ad bc i -++ 即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.变式：计算：（1）)（2）2(1)i -（3）(2)(12)i i i --探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
复数的乘除运算
复数的乘除运算是数学中基础的一部分，也是实际生活中经常会用到的概念。
复数是由实数部分和虚数部分构成的。
实数部分一般用字母a表示，虚数部分一般用字母b表示，虚数部分带有一个i，即√-1，其中√表示根号。
复数通常用z来表示，即z=a+bi。
复数的乘法是指两个复数相乘的运算，公式为：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，其中a、b、c、d都是实数。
举个例子，假设有两个复数，分别为z1=2+3i和z2=1+4i，求两个复数的乘积。
解法如下，将两个复数代入公式中，得到：z1z2=(2+3i)(1+4i)=(2×1-3×4)+(2×4+3×1)i=-10+11i因此，z1z2=-10+11i。
复数的除法是指两个复数相除的运算，公式为：z1/z2=(a1+ib1)/(a2+ib2)，其中a1、b1、a2、b2都是实数。
举个例子，假设有两个复数，分别为z1=2+3i和z2=1+4i，求两个复数的商。
解法如下，将两个复数代入公式中，并对分母有理化，得到：z1/z2=(2+3i)/(1+4i)=((2+3i)(1-4i))/((1+4i)(1-4i))=((2+3i-8i-12)/17=(-10-6i)/17因此，z1/z2=-10/17-6i/17。
需要注意的是，复数的除法并不满足乘法的交换律和结合律，因此在计算时需要格外小心。
同时，在除数为零的情况下，复数的除法也是不存在的。
总的来说，是数学中基础的一部分，它的应用非常广泛，涵盖了物理、工程、经济等多个领域，在实际生活中也有着广泛的应用。
对于学习数学的人来说，深刻理解是非常重要的。
复数运算的基本法则
复数运算的基本法则复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
复数运算是对复数的加减乘除以及其他常见操作的统称。
一、复数的加法法则两个复数相加的结果，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
即：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i二、复数的减法法则两个复数相减的结果，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
即：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i三、复数的乘法法则两个复数相乘的结果，使用分配律展开后并整理，得到以下公式：(a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i四、复数的除法法则两个复数相除的结果，先将除数乘以其共轭复数，然后使用分数除法展开并整理，得到以下公式：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i这些是复数运算的基本法则，可以用于计算复数的加减乘除等操作。
在实际应用中，复数运算广泛应用于工程学科、物理学科、电路分析等领域，具有重要的实际意义。
例如，在电路分析中，使用复数可以简化电路的计算和分析过程。
通过将电阻、电感、电容等元件的阻抗用复数表示，可以方便地进行相量运算，简化计算步骤，提高计算效率。
此外，复数还可以用于描述波动和振动现象。
在物理学中，复数形式的指数函数可以表示周期性运动，如正弦波和余弦波。
通过复数运算，可以方便地计算波的传播、幅度、相位等参数。
综上所述，复数运算的基本法则是进行复数加减乘除等操作的规则。
掌握了这些基本法则，可以更好地理解和应用复数，提高复数运算的准确性和有效性。
在实际应用中，复数运算扮演着重要的角色，对于解决工程和物理问题具有重要意义。
《复数的乘除运算》课件与练习
实数 的值
【解】设方程的实数根为 = ，
则 32 − 2 − 1 + 22 + − 10 ⅈ = 0
∴
32 − 2
− 1 = 0,
22 + − 10 = 0,
解得 = 11 或 = −
71
5
将方程转化为等号两
边均为复数 + ⅈ(, ∈
) 的形式，确定两边复数
2
复数代数形式的乘方
实数集内的乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一
定成立，如：
当 ∈ 时， 2 = ||2；当 ∈ 时， = 2 ∈ , 2 ∈ , 故 2 与 ||2 不
一定能比较大小
若 , ∈ ，则 2 + 2 = 0 ⇔ = = 0 ；若 1, 2 ∈ ，则 12 +
c＋di
[提醒]
在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的
共轭复数 c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把
分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
小试牛刀
)
1．复数(3＋2i)i 等于(
B．－2＋3i
A．－2－3i
C．2－3i
D．2＋3i
答案 B
2. 已知复数 z＝2－i，则 z·z 的值为(
和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积，比如： 3 表示3个 相乘
2
复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复
数范围内仍然成立，即对任意 , 1, 2 ∈ , , ∈ ∗ ，有：
= +
=
4.复数的乘法与除法
已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值 的最值. 例7:已知 已知 求 的最值 解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1. 设 ∈ 则 故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1| =|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i| =|(2x2+x)+(2x+1)yi| =|2x+1||x+yi|=|2x+1|. 所以,当 所以 当x=1时,|z2+z+1|最大值=3; 时 当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0. 时 由于z 故若设z=x+yi(x,y∈R),则有 解2:由于 z=|z|2=1,故若设 由于 故若设 ∈ 则有 |z2+z+1|=|z2+z+z z|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解 以下同解1). 以下同解
∴ OB = OA + OC , 即 z B = z A + zC .
→ → →
y B
a ∴−2a + 3i = a + i + (−b + ai) 2 3 即− 2a + 3i = (a − b) + ai. 2
c
A x O
− 2a = a − b a = 2 3 . ∴ ⇒ b = 6 3= 2a
zC − 6 + 2i ∴ = = −2 + 2i . zA 2+ i
已知复数z满足 是纯虚数,求 例5:已知复数 满足 已知复数 满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数 求 z. 且 是纯虚数 解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i. 设 ∈ 则
复数的乘除运算
= (3 + 4i)(3 - 4i)
(2) 原式=13+i3+3×12×i+3×1×i2
25 - 25i = = 1-i 25
3 +4
2
2
=1-i+3i-3=-2+2i
三.小结
⑴复数乘法的运算法则、运算规律，共轭 复数概念. ⑵复数除法运算法则.
四.作业： P111 2(1)(3)、P112A组5(3)(4)、6 名师金典:P83一层2、二层6
3.探究
复数的乘法是否满足交换律,结合律以及乘法对 加法的分配律？
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1·2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 z =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 z =(ac-bd)+(ad+bc)i
发现 : 两个复数的积是一个确定的复数
把i2换成-1然 后实、虚部分 别合并
2.应用举例
牛刀小试：计算 (3+4i)(-2-3i)
解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i 例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：原式 =(11-2i)(-2+i) = -20+15i
10 5i
2.多项式与多项式乘积计算:
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
复数的乘除法讲PPT课件
()
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
【解析】 方法一 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则 z ＝x－yi.由 z＋ z ＝4，z·z ＝8，得
x＋yi＋x－yi＝4， x＋yix－yi＝8
⇒xx＝ 2＋2y，2＝8
⇒xy＝＝±22，.
∴
z z
＝xx－ ＋yyii＝x2－xy2＋2－y22 xyi＝±i.
(4) z1＋z2 ＝ z 1＋ z 2；(5) z1·z2 ＝ z 1·z 2；
(6)(zz12)＝
z z
1(z2≠0).
2
引例 复数z 满足(3-4i)×z = 1+2i，求z 。
二、复数代数形式的除法
a
bi c di
a bi c di
ac bd c2 d 2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为 z＝1＋i i＝1＋i1i－1i－ i＝11＋＋1i ＝12＋12i，所以 对应点(12，12)在第一象限．故选 A.
题型二 共轭复数 z
例 2 设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋ z ＝4，z·z ＝8，则 z 等于
引申2
实数集R中的整数指数幂的运算律在复数集C中也成立
zm﹒zn=zm+n; （z1﹒z2)m =z1m﹒z2m; (zm)n=zm n
本例1中的两个复数3 4i,3 4i称为共轭复数.
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数 时，这两个数叫做互为共轭复数。（通常记z的共轭复 数为z）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数代数形式的加减运算法则:
类比多项式 加减运算
7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
复数问题计算复数的加减乘除和模长
复数问题计算复数的加减乘除和模长复数问题：计算复数的加减乘除和模长复数是由实部和虚部组成的数学对象。
在计算复数时，我们可以进行加法、减法、乘法、除法以及求模长等操作。
本文将详细介绍如何进行这些操作，并提供相关的示例。
一、复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加或相减的原则。
设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的加法和减法计算公式如下：加法：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i例如，计算复数z1 = 3 + 2i和z2 = 1 - 4i的和与差：z1 + z2 = (3 + 1) + (2 - 4)i = 4 - 2iz1 - z2 = (3 - 1) + (2 + 4)i = 2 - 6i二、复数的乘法复数的乘法涉及到实部与实部相乘、虚部与虚部相乘以及实部与虚部相乘的运算。
设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的乘法计算公式如下：乘法：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i例如，计算复数z1 = 3 + 2i和z2 = 1 - 4i的乘积：z1 * z2 = (3 * 1 - 2 * (-4)) + (3 * (-4) + 2 * 1)i = 11 - 10i三、复数的除法复数的除法首先需要将除数和被除数都乘以其共轭复数的结果。
然后，按照乘法的规则进行计算。
设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i（其中z2≠0），则它们的除法计算公式如下：除法：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)]i例如，计算复数z1 = 3 + 2i除以z2 = 1 - 4i的结果：首先计算共轭复数：z2的共轭复数为1 + 4i，然后进行乘法运算：z = z1 * (1 + 4i) = (3 + 2i) * (1 + 4i) = (3 + 14) + (12 - 2)i = 17 + 10i接下来计算模长的平方：|z2|^2 = (1^2 + 4^2) = 17最后进行除法运算：z1 / z2 = z / |z2|^2 = (17 + 10i) / 17 = 1 + (10/17)i四、复数的模长复数的模长表示复数到原点的距离，也就是复数的绝对值。
数学公式知识：复数的加减乘除及其运算性质
数学公式知识：复数的加减乘除及其运算性质复数是数学中的一种扩展，它是有一个实数部分和一个虚数部分组成的数，形式上表示为a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
复数的加减乘除及其运算性质是数学中的一些基本概念，在代数学和几何学等许多领域中都有广泛的应用。
下面我们就来详细介绍一下复数的加减乘除及其运算性质。
一、复数的加减运算复数的加减运算是最基本的运算，其规则和普通数的加减法类似。
具体来说，对于两个复数z1和z2，其加法表示为：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i其中，a1和b1分别是z1的实部和虚部，a2和b2分别是z2的实部和虚部。
复数的减法也可以用类似的方法表示：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i二、复数的乘法运算和加减运算相比，复数的乘法运算更加复杂，但也更加有趣。
对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的积可表示为：z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i其中，a1a2和b1b2分别是两个复数的实部的乘积，而a1b2和a2b1则是两个复数的虚部的乘积。
可以看出，两个复数相乘，其实就是多项式的乘积。
三、复数的除法运算复数的除法运算也有其特殊的规则，其计算方法为：(z1/z2)=((a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2))+((a2b1-a1b2)/(a2^2+b2^2))i其中，分母的a2^2+b2^2表示了两个复数模的平方之和，而分子中的a1a2+b1b2则是两个复数的实部的乘积加上虚部的乘积。
四、复数的运算性质在实际应用中，复数的运算性质也是相当重要的，下面就简要介绍一下。
1.复数的加法和乘法都是可交换的，即z1+z2=z2+z1和z1z2=z2z1；2.复数的乘法满足结合律，即(z1z2)z3=z1(z2z3)；3.复数的乘法对加法有分配律，即z1(z2+z3)=z1z2+z1z3；4.对于所有复数z，存在一个唯一的复数0，使得z+0=0+z=z；5.对于所有复数z，存在一个唯一的复数1，使得z1×1=1×z1=z1；6.对于所有复数z，存在一个唯一的逆元-z，使得z+(-z)=(-z)+z=0；7.对于所有非零复数z，其逆元也有唯一一个，即1/z，使得z×(1/z)=1。
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z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
解：原式 2 (1 i)2 2 2i
1 i
1 i
2(1 i) 2i 2(1 i) 2i
(1 i)(1 i)
2
1 i
练习
复数的运算
设z1 a bi, z2 c di(a,b,c, d R)
1.复数的加减法
z1 z2 (a c) (b d )i z1 z2 (a c) (b d )i
2.复数的乘法
(a bi) (c di) ac adi bci bdi2
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac bd) (bc ad)i c2 d 2
分母实数化
3.复数的除法法则
1、把除式写成分式的形式
2、分子与分母都乘以分母的共轭复数
3、化简后写成代数形式
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac bd) (bc ad)i c2 d 2
ac adi bci bd
(ac bd) (ad bc)i
概念法则
复数乘法的法则
1、与多项式的乘法是类似的
2、结果中把 i2换成-1
3、实部虚部合并
小结:2.复数的除法法则
1、把除式写成分式的形式
2、分子与分母都乘以分母的共轭复数
3、化简后写成代数形式
(a bi) (c di) a bi c di
_
若z 1 i则（1 z） z A
A.3 i B.3 i C.1 3i D.3
_ 解： z 1 i, 原式 (11 i) (1 i) (2 i) (1 i)
2 2i i i2 2 i 1 3i
2009浙江（理）
1.已知复数z1 1 i, z1 z2 1 i,
则复数z2 ______
(2007)
解：z2
1i z1
1i 1i
(1 i)2 (1 i)(1 i)
2i i 2
小结：1.复数的乘法法则
(a bi)(c di)
ac adi bci bdi2
分母实数化
例2计算（3 4i) (2 3i)
解：原式 3 4i (3 4i)(2 3i) 2 3i (2 3i)(2 3i)
6 9i 8i 12i2 18 i
13
13
201共轭复数记作z, i为虚数单位，
ac adi bci bd
(ac bd) (ad bc)i
_
特例：z z (a bi)(a bi) a2 b2i2 a2 b2
例1.计算（2 - 3i)(4 2i)
解：原式 8 4i 12i 6i2
8 8i 6 14 8i