高升专文史数学-第六章：导数
高考导数课外知识点归纳
高考导数课外知识点归纳高考数学是每年高中毕业生面临的一场重要考试，其中导数是一个必不可少的知识点。
导数是微积分的基础，掌握了导数的相关概念和计算方法，不仅可以提高解题效率，还能给我们更深层次的理解数学。
除了课堂上学到的基本知识，本文将介绍一些高考导数课外的知识点，希望能够给学生们在备考过程中提供一些参考。
1. 导函数的意义在高中课堂上，我们学习了导数的定义和计算方法。
但是导数的意义往往没有得到充分的探讨。
实际上，导数可以用来描述物理量的变化率，比如速度、加速度等。
在实际问题中，通过求导可以更好地理解问题，解决问题。
因此，理解导数的意义是非常重要的。
2. 函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内逐渐增大或逐渐减小。
通过导数的求解，我们可以判断函数的单调性。
当函数的导数大于零时，函数递增；当函数的导数小于零时，函数递减。
通过研究函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的走势及其性质。
3. 函数图像的几何意义导数不仅可以用于计算，还可以用于研究函数的图像。
我们可以通过求导来确定函数的极值点、拐点等重要信息，从而更好地绘制函数的图像。
通过观察函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质和特点。
4. 高阶导数高中阶段我们只学习了导数的一阶导数，也称为一阶导数。
但是在实际问题中，有时需要计算函数的更高阶导数。
高阶导数可以提供更多与函数相关的信息，比如函数的弯曲程度等。
通过研究高阶导数，我们可以进一步深入理解函数的特性。
5. 反函数与反常导数在求导过程中，我们经常用到反函数的相关知识。
反函数是指可以通过互换自变量和因变量来得到的函数。
通过反函数的应用，我们可以在求导过程中得到更简便的结果。
此外，导数在某些情况下也可能出现无穷大或无定义的情况，这就涉及到了反常导数的概念。
认识反函数与反常导数的特点，有助于我们求解更复杂的导数问题。
总结起来，高考导数课外知识点的归纳包括了导函数的意义、函数的单调性、函数图像的几何意义、高阶导数以及反函数与反常导数的应用。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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成人高考-专升本课件-导数的应用PPT课件
24
例1 解
讨论 y 2x 8 的单调性. x
定义域: (, 0) (0, )
y
2
8 x2
0
x1 x ln x x 1 0
lim ln x 1 1
x1 ln x 11 2
16
例11
求
lim
x
2
arctan x
1
ln x.
00
解 运用取对数法 .
lim
x
2
arctan x
1 ln x
lim exp{ 1 } ln( arctan x) 0
x
ln x 2
{ } ln( arctan x)
f (x) f (x0) x Uˆ (x0) ,
则称 f (x0) 为 f (x) 的极小值 , x0为函数的极小点.
29
三、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念. 在 U(x0 )内比较 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法
其中 , 0 表示无穷小量; 表示无穷大量; 1表示以1为极限的变量 .
2
0
取 对 数 法 1 00 0
倒数法
0
0
只需讨论 这两种极限
3
罗必达法则
设在某一极限过程中
(1) lim f (x) 0 , lim g(x) 0 ,
0
高中数学 第6章 导数及其应用章末综合提升教案 新人教B版选择性必修第三册-新人教B版高二选择性必修
第6章导数及其应用[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]导数的几何意义及其应用[例1](1)曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．e C．2D．1(2)函数y＝f(x)的图像是以下四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如下图，那么该函数的图像是()(1)C(2)B[(1)y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝2.(2)从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．]利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程〞，那么此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程〞，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，那么切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，① 又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程． [跟进训练] 1．曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[解] (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，那么切线的斜率k ＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0. ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，那么切线的斜率k ＝x 20＝4，∴x 0＝±2. ∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎫－2，－43. ∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.利用导数判断函数的单调性－(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[思路探究] (1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．[解] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，那么g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．f (x )为增函数⇔f ′(x )≥0且f ′(x )＝0的根有有限个，f (x )为减函数⇔f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个.[跟进训练]2．(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，(x －2)e x ＋x ＋2＞0；(2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x ＞0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．[解] (1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0. (2)g ′(x )＝(x －2)e x ＋a (x ＋2)x 3＝x ＋2x 3(f (x )＋a )．由(1)知，f (x )＋a 单调递增．对任意a ∈[0,1)，f (0)＋a ＝a －1＜0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈(0,2]，使得f (x a )＋a ＝0， 即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e x a －a (x a ＋1)x 2a ＝e x a ＋f (x a )(x a ＋1)x 2a ＝e x ax a ＋2. 于是h (a )＝e x a x a ＋2.由⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋2′＝(x ＋1)e x(x ＋2)2＞0，得y ＝e xx ＋2在x ∈(0，＋∞)上单调递增， 所以，由x a ∈(0,2]，得12＝e 00＋2＜h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e 24. 因为y ＝e xx ＋2在x ∈(0，＋∞)上单调递增，对任意λ∈⎝⎛⎦⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0,2]，a ＝－f (x a )∈[0,1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.综上，当a ∈[0,1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.利用导数研究函数的极值、最值平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，某某数c 的取值X 围．[思路探究] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值．(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1,3]上有实根求解．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )的最大值为f (0)＝2，f (x )的最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x )的最小值为f (2)＝－2，f (x )的最大值为f (0)与f (t )中较大的一个． f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )的最大值为f (0)＝2.综上可知，当t ∈(0,2]时，f (x )的最大值为2，最小值为t 3－3t 2＋2；当t ∈(2,3)时，f (x )的最大值为2，最小值为－2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(xg (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，那么⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图像与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数．[跟进训练]3．函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，假设函数y ＝f (x )的图像与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图像有三个不同的交点，某某数m 的取值X 围．[解]由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴y ＝13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .那么由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图像与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表： x ⎝⎛⎭⎫－∞，2323 ⎝⎛⎭⎫23，4 4 (4，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )↗6827－m ↘－16－m↗那么函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m . ∵y ＝f (x )的图像与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图像有三个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即m 的取值X 围为⎝⎛⎭⎫－16，6827.利用导数解决实际问题[例4]A ，B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v ≤v 0)．假设船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12(千米/时)时，每小时的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？[解]设每小时的燃料费为y 1元，比例系数为k (k >0)，那么y 1＝k v 2，当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，解得k ＝5. ∴y 1＝5v 2.设全程燃料费为y 元，由题意，得y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，∴y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2(v －8)2＝1 000v 2－16 000v(v －8)2.令y ′＝0，解得v ＝0(舍去)或v ＝16.∴当v 0≥16时，v ＝16(千米/时)时全程燃料费最省； 当v 0<16，v ∈(8，v 0]时，y ′<0，即y 在(8，v 0]上为减函数． ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20v 0－8.综上可知，假设v 0≥16，那么当v ＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；假设v 0<16，那么当v ＝v 0时，全程燃料费最省，为1 000v 20v 0－8元．1．在某某际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数．2．在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定函数的定义域．3．得出函数的最大值或最小值之后，一定要将数学问题还原成实际问题． [跟进训练]4．某工厂生产某种产品，该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？[解] 每月生产x 吨时的利润为 f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)，令f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x ＝200或x ＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[培优层·素养升华][例] 定义在R 上的函数f (x )的导数为f ′(x )，假设对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 020为奇函数，那么不等式f (x )＋2 020e x <0的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，+∞ B [由题意可知，令g (x )＝f (x )e x ，那么g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ，因为f ′(x )<f (x )，故f ′(x )－f (x )<0， 即g ′(x )<0，∴g (x )在R 上为减函数． 又因为f (x )＋2 020为奇函数， 所以f (0)＋2 020＝0，即f (0)＝－2 020，那么g (0)＝－2 020. 所以不等式f (x )＋2 020e x <0等价于g (x )<g (0)，∴x >0，即不等式f (x )＋2 020e x <0的解集为x ∈(0，＋∞)．应选B.]这类问题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用.其中如何构造新函数是求解此类问题的重中之重，善于从题目中提取信息，挖掘隐含条件及把所学知识移到此类问题中是解题的关键.[素养提升练]定义在区间(0，＋∞)上函数f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，f ′(x )为f (x )的导数，那么f (2)f (1)的取值X 围是________．(4,8)[令g (x )＝f (x )x 3，那么g ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4，因为xf ′(x )<3f (x )，那么xf ′(x )－3f (x )<0. 所以g ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立． 即g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 可得g (2)<g (1)，即f (2)8<f (1)1.由2f (x )<3f (x )可得f (x )>0，那么f (2)f (1)<8，令h (x )＝f (x )x 2，那么h ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3，因为xf ′(x )>2f (x )， 即xf ′(x )－2f (x )>0，所以h ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， 即h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴h (2)>h (1)． 即f (2)4>f (1)，即f (2)f (1)>4， ∴4<f (2)f (1)<8.]。
高考文科导数考点汇总PDF.pdf
①求函数ƒ (x) 在(a，b)内的极值；
②求函数ƒ (x) 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
2
书山有路
③将函数ƒ (x) 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
而过 y = f (x)上P[1, f (1)]的切线方程为y = 3x +1.
3 + 2a + b = 3 故 a − c = −3
即2aa−+c b==−30
① ②
∵ y = f (x)在x = −2时有极值,故f (−2) = 0,−4a + b = −12 ③
由①②③得 a=2，b=－4，c=5
1． f (x) = x3 − 3x2 + 2 在区间−1,1 上的最大值是 2
2．已知函数 y = f (x) = x(x − c)2在x = 2 处有极大值，则常数 c＝ 6 ；
3．函数 y = 1+ 3x − x3 有极小值 －1 ,极大值 3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
1．曲线 y = 4x − x3 在点 (−1, −3) 处的切线方程是 y = x − 2
∴ f (x) = x3 + 2x2 − 4x + 5.
（2） f (x) = 3x2 + 4x − 4 = (3x − 2)(x + 2).
− 3 x −2时, f (x) 0;当 − 2 x 2 时, f (x) 0;
当
3
当2 3
x
1时,
f
新教材高中数学第6章导数及其应用：利用导数解决实际问题ppt课件新人教B版选择性必修第三册
1．解决面积、体积最值问题的思路 要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问 题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数 的定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数 f(x) 在给定区间内只有一个极值点或函数 f(x)在开区间上只有一个点使 f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可， 不必再与端点处的函数值进行比较．
[跟进训练] 1．将一张 2×6 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全 为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊 接成一个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形， 且⑤＋⑥＝⑦)，设水箱的高为 x m，容积为 y m3.
(1)写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)x 取何值时，水箱的容积最大．
7
内
单
调
递
增
，在4－3来自7，1内单调递减， 所以当 x 的值为4－3 7时，水箱的容积最大．
用料最省、成本(费用)最低问题 【例 2】 位于 A，B 两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如 图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何 处时，所需电线总长最短．
[思路点拨] 可设 CD＝x km，则 CE＝(3－x)km，利用勾股定理 得出 AC，BC 的长，从而构造出所需电线总长度的函数．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并 求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[思路点拨] 弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和 “体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用 x 将等量关系中 的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．
高考导数知识点总结
高考导数知识点总结一、导数的概念和定义1. 导数的概念在数学中，导数是描述函数在某一点处的瞬时变化率的概念。
通俗来讲，导数可以理解为函数在某一点的斜率或变化率。
通过导数，我们可以研究函数在不同点的变化情况，找到函数的极值点和拐点等重要信息。
2. 导数的定义设函数y=f(x)，在点x_0处有定义，则函数在该点的导数f'(x_0)定义为：f'(x_0)=lim（h→0）[f(x_0+h)-f(x_0)]/h如果该极限存在，则称函数在该点可导，导数的值即为该点的斜率或变化率。
二、导数的计算方法1. 函数的基本求导常见的导数求法有以下几种：（1）常数函数导数对于常数函数C，其导数为0。
（2）幂函数导数对于幂函数y=x^n，其导数为f'(x)=n·x^(n-1)。
（3）指数函数导数对于指数函数y=a^x（a>0,且a≠1），其导数为f'(x)=a^x·lna。
（4）对数函数导数对于对数函数y=log_a x（a>0,且a≠1），其导数为f'(x)=1/(x·lna)。
（5）三角函数导数对于常见的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数等），其导数需要根据其定义和性质进行求解。
（6）常用函数的复合函数导数对于复合函数，求导时需要使用链式法则或其他导数的求导规则。
2. 导数的运算法则（1）和差法则如果函数f(x)和g(x)都在点x处可导，那么f(x)±g(x)在该点的导数为f'(x)±g'(x)。
（2）数乘法则如果函数f(x)在点x处可导，常数k为实数，那么kf(x)在该点的导数为kf'(x)。
（3）积法则如果函数f(x)和g(x)都在点x处可导，那么f(x)·g(x)在该点的导数为f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。
（4）商法则如果函数f(x)和g(x)都在点x处可导，且g(x)≠0，那么f(x)/g(x)在该点的导数为[f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)]/[g(x)]^2。
高中数学第六章导数及其应用6.1导数6.1.4求导法则及其应用课件新人教B版选择性必修第三册
4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面 积为定值,并求此定值.
【思维导引】(1)由条件列出关于a,b的二元一次不等式组求解. (2)设任一点P(x0,y0),由(1)得f(x)及f′(x).求点P处的切线方程,再用x0表示 三角形面积,化简即可.
3
3x 1
3x 1
2
答案: 3
2
核心互动探究
探究点一 利用运算法则求函数的导数
【典例1】(1)已知函数f(x)= x +2lnx图像在点P的切线平行于直线5x-2y=
2 019,则点P的坐标为 ( )
A.(2,0)
B. (e，2 e)
(2)求下列函数的导数.
C.(1， 4 033) D.(1,1)
基础预习初探
主题1 导数的运算法则 利用导数的定义分别求y=5+x,y=5x,y= 5 的导数.
x
提示:(1)
y x
5
x
=xx1,5
x
y lim y=1l.i故m 1y=5+x的导数为1.
x x0
x0
(2) y 5x =x5, 5x
y
x lim
y
x
=l5im.故5y=5x的导数为5.
x x0
【补偿训练】求下列函数的导数:
(1)y= sin x .(2)y= x2 .
x
ln x
【解析】(1)y′=
( sin x
x )
sin
x
x sin x2
x
x
cos
x
x sin x2
x
1
xcos
数学专升本导数知识点总结
数学专升本导数知识点总结一、导数的定义及几何意义1.1 导数的定义函数y=f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中f'(a)为函数f(x)在点x=a处的导数。
导数的定义是利用极限的概念来描述函数在某一点处的瞬时变化率。
1.2 导数的几何意义导数可以解释函数在某一点处的切线斜率，也可以表示函数在该点的瞬时变化率。
直观来说，导数就是函数曲线在某一点处的斜率，可以描述函数在该点的变化情况。
1.3 导数的图形表示导数的图形表示是函数的切线斜率的曲线图形，可以通过导数曲线的斜率正负来判断函数的递增和递减区间，以及函数的凹凸性质。
二、导数的计算方法及性质2.1 基本导数公式在微积分中，有一些基本函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
(1) 幂函数的导数对于函数y=x^n，其中n是任意实数，则该函数的导数为：y' = nx^(n-1)(2) 指数函数的导数对于函数y=a^x，其中a为常数，该函数的导数为：y' = a^x * ln(a)(3) 对数函数的导数对于函数y=log_a(x)，其中a为常数，该函数的导数为：y' = 1/(xlna)(4) 三角函数的导数三角函数的导数公式包括sinx、cosx、tanx、cotx、secx、cscx的导数公式。
2.2 导数的基本运算法则导数的基本运算法则包括了导数的加法法则、乘法法则、商法则和复合函数的导数公式。
(1) 导数的加法法则若函数y=f(x)和y=g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则这两个函数的和(差)的导数为：(f+g)' = f' + g'(2) 导数的乘法法则若函数y=f(x)和y=g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则这两个函数的乘积的导数为：(fg)' = f'g + fg'(3) 导数的商法则若函数y=f(x)和y=g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则这两个函数的商的导数为：(f/g)' = (f'g - fg') / g^2(4) 复合函数的导数若函数y=f(g(x))，其中f和g都可导，则该复合函数的导数为：y' = f'(g) * g'2.3 隐函数的导数对于隐函数的导数计算，通常使用求导公式结合隐函数求导法则进行计算。
高考导数超纲知识点
高考导数超纲知识点在高考中，数学是一个非常重要的科目，对于很多学生来说，数学一直都是他们的难点之一。
而在数学中，导数是一个非常重要的概念，也是高考中常常会涉及的知识点之一。
但是，有些学生在备考过程中发现，高考的数学题目中有一些导数的问题超出了教材范围，这让他们感到非常困惑和苦恼。
首先，导数是高中数学中非常重要的一个概念，它是微分学的基石。
在教材中，我们通常会学习导数的定义、常见函数的导数、导数的性质等内容。
然而，在一些高难度的高考题中，可能会出现一些超纲的导数知识点，例如高阶导数、隐函数求导、参数方程求导、极限关系等。
高阶导数是指对一个函数求导数的导数。
在教材中，通常只会介绍到二阶导数，也就是求一个函数的导数的导数。
然而，在一些高难度的题目中，可能会涉及到更高阶的导数，例如三阶导数、四阶导数等。
这就要求学生掌握更深入的导数知识，能够熟练地进行高阶导数的计算和应用。
隐函数求导是指对一个隐含了未知函数的方程进行求导。
在教材中，我们通常会学习显函数的导数计算，也就是已知函数表达式，可以直接对其求导。
但是在高考中，有时会出现一些隐函数求导的题目，例如对于一个含有未知函数的方程，要求求出其中某个变量的导数。
这对学生来说可能是一个挑战，需要他们掌握隐函数求导的方法和技巧。
参数方程求导是指对于由参数方程表示的曲线，求该曲线上某一点的切线斜率。
这在教材中并不常见，但在高考中偶尔会出现。
学生需要通过参数方程求导的方法，将参数方程转化为显函数，然后计算导数。
这对于学生来说可能是一个陌生的知识点，需要他们进行较多的练习和理解。
极限关系是指导数和原函数之间的关系，例如如果一个函数的导数存在，那么该函数一定是可微的。
在教材中，我们通常只会学习导数的基本定义和性质，而不会过多地涉及导数和原函数之间的关系。
但在一些高难度的题目中，可能会涉及到导数和原函数之间的极限关系，例如柯西-Riemann条件、极大值极小值点的导数为零等。
新教材高中数学第6章导数及其应用：导数与函数的单调性pptx课件新人教B版选择性必修第三册
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线 y＝f(x)在区间(a，b) 对应的那一段上每一点处切线的斜率都 小于0 ，曲线呈下降状态，因 此 f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．
(1)
(2)
思考 1：如果在某个区间内恒有 f′(x)＝0，那么函数 f(x)有什么 特性？
[提示] f(x)是常函数． 思考 2：在区间(a，b)内，f′(x)>0 是 f(x)在(a，b)上为单调增函 数的什么条件？ [提示] 充分不必要条件，如 f(x)＝x3 在(－∞，＋∞)上单调递增， 但 f′(x)＝3x2≥0.
(2)因为 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函 数 f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．]
利用导数求函数的单调区间
角度一 不含参数的函数的单调区间 【例 2】 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋1x.
第六章 导数及其应用
6.2 利用导数研究函数的性质 6．2.1 导数与函数的单调性
学习目标
核心素养
1.理解导数与函数的单调性的关 1.通过利用导数判断函数单调性
系．(易混点) 法则的学习，提升数学抽象素养．
2．掌握利用导数判断函数单调性 2．借助判断函数单调性及求函数
的方法．(重点) 的单调区间，提升逻辑推理、数学
1．可导函数 f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且 f′(x)在(a，b)的任何子 区间内都不恒等于 0.
2．已知 f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题 时，区间(a，b)应是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题 时，可转化为 f′(x) ≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号 是否成立．
高等数学 第六章
微分方程
y f (x)
（6-26）
的特点是右端仅含有自变量，其解法是逐次积分两次，具体如
下．
微分方程（6-26）两边积分得 y f (x)dx C1
上式两边再积分，便得到微分方程（6-26）的通解，即
．
y f (x)dx C1 dx C2
例 1 求微分方程 y x cos x 的通解 解 所给微分方程两边积分得
二、齐次型微分方程
形如 dy P(x) y Q(x) dx
的微分方程称为一阶线性微分方程，其中P（x)、Q(x)为已 知函数．
当时Q(x)=0，微分方程变为 dy P(x) y 0 dx
是齐次的，称一阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程． 当Q(x)≠0时，微分方程是非齐次的，称为一阶非齐次线性微 分方程，简称非齐次线性方程．
y dp dp dy p dp ， dx dy dx dy p dp f ( y ，p) ， dy
这是关于 y ，p 的一阶微分方程，设求出其通解为 y p ( y ，C1) ，
上式 分离变 量并积 分，便 得到微 分方程 （6 -2 8）的 通解．
例 3 求微分方程 yy ( y)2 的通解．
第六章
微分方程
导学
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以 对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻求函数关系在实践中具有重要 意义．然而在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系，但有时可 根据问题所提供的情况，列出含有要找的函数及其导数的关系式，这种关 系式就是微分方程．微分方程建立后，对它进行研究，找出未知函数，就 是解微分方程．本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用微分方 程的解法．
y e3dx e2xe3dx dx C e3x e2xe3x dx C