极坐标与全参数方程题型及解题方法

一、复习提问

1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？

2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？

答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为),(y x ，在极坐标系下的坐标为),(θρ，则有下列关系成立：ρ

θx

=

cos ，ρ

θy

=

sin ，

3、 参数方程⎩⎨

⎧==θ

θ

sin cos r y r x 表示什么曲线？

4、 圆2

2

2

)()(r b y a x =-+- 的参数方程是什么？

5、 极坐标系的定义是什么？

答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设ρ=OP OP ，又θ=∠xOP . ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置. 6、参数方程的意义是什么？

二、题型与方法归纳

1、 题型与考点（1）

{

极坐标与普通方程的互相转化

极坐标与直角坐标的互相转化

（2）

{

参数方程与普通方程互化

参数方程与直角坐标方程互化

(3)

{

利用参数方程求值域参数方程的几何意义

2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化

化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程

(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向

线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）

例1、方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=--t

t t

t y x 2

22

2（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆

解析：注意到2t t

与2t

-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到

02>t ，222222=⋅≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为

)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.

练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）

解析：所谓与方程2

10x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.

对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，； 对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.

而已知方程为2

10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B .

练习2、设P 是椭圆2

2

2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .

分析：注意到变量),(y x 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然),(y x 既满足2

2

2312x y +=，又满足2x y t +=，故点),(y x 是方程组

222312

2x y x y t

⎧+=⎨

+=⎩的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一⎩⎨⎧==t y t x A 2cos sin ⎩⎨⎧-==t

y t x B 2tan 1tan ⎩⎨⎧=-=t

y t x C 1⎩⎨⎧==t

y t x D 2sin cos

元二次方程的判别式0∆≥问题.

解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点)

,(y x 是方程组2223122x y x y t

⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得()22

1182120y t y t -⋅+-=，由

()22644112120t t ∆=-⨯⨯-≥，

解得：t ≤≤，所以2x y +

，

最小值为

（2）、极坐标与直角坐标的互化

利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直

角坐标为),(y x ，它的极坐标为),(θρ，则⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或⎪⎩

⎪

⎨⎧=

+=x y

y x θρtan 2

22；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.

例2、极坐标方程52

sin 42=⋅θρ表示的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.

解析：由2

1cos 4sin

422cos 5

22

θ

θ

ρρρρθ-⋅=⋅

=-=

，化为直角坐标系方程为25x =，化简得225

54

y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D.

练习1、已知直线的极坐标方程为2

2

)4

sin(=

+

π

θ

ρ，则极点到该直线的距离是

解析：极点的直角坐标为)0,0(O ，对于方程2

2

)cos sin (22)4

sin(=

+=

+

θρθρπ

θρ， 可得1sin cos =+θρθρ，化为直角坐标方程为10x y +-=，

因此点到直线的距离为2

练习2、极坐标方程0cos 2

=-ρθρ转化成直角坐标方程为（ ）

A ．102

2

==+y y x 或 B ．1x = C ．102

2

==+x y x 或 D ．1y =

分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.

解析：0cos 2

=-ρθρ，022=+=

⇒y x ρ，或0cos ==x θρ，因此选C.

练习3、点M

的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）

A ．(2,)3

π B ．(2,)3π- C ．2(2,

)3π D ．(2,2),()3k k Z π

π+∈