多目标决策问题的非劣解

一、多目标决策问题及模型
2. 多目标决策问题的解决过程
(1)问题的构成: 分析问题，明确主要因素、界 限和所处的环境等，确定问题的目标集． (2)建立模型: 由上一步的结果，建立问题的适 宜模型． (3) 模型的分析与评价：对各可行方案进行分 析比较，为每一个目标标定属性（目标函数），其 属性的值用作采用某方案时各个目标的一种度量． (4) 确定实施方案: 依据各目标的属性值和决 策规则比较各可行方案，按优劣次序将方案排序， 确定出最佳的实施方案．
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一、多目标决策问题及模型
3、多目标决策问题的基本要素 多目标决策问题的五个基本要素：决策单元、 目标集、属性集、决策情况和决策规则． •决策单元:制订决策的人（一个或一群人）； •目标:决策人对研究问题的“要求”或“愿望” ，通常有若干个不同的目标构成一个目标集； •属性:实现目标程度的一个度量,即每一个目标都 可设定一个或若干个属性,构成一个属性集； •决策情况:指决策问题的结构和决策环境； •决策规则:用于排列方案优劣次序的规则。
某 一 个 确 定 的 x ( x1 , x2 ,, xN ) X ， 对 应 的 属 性
y ( y1 , y2 ,, yn ) Y ，其中 yi Yi 表示对应于方案 x 的第 i 个属性 f i ( x)(i 1,2,, n) 的取值．
为了简便，也称 y ( y1 , y2 ,, yn ) 为方案，并用 v i 表示第
第十七章 多目标决策分析方法
多目标决策问题及模型；
多属性效用函数的理论； 多目标决策问题的非劣解；
多目标群决策问题的解；
案例分析：股份制公司的综合投资。
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一、多目标决策问题及模型
1.问题的引入---综合投资问题
公司要确定下一年度的投资组合方案问题 ,在可供选 择的多个候选方案中，往往都是收益与风险并存．如何选 择合适的投资组合方案，使收益最高，风险最小呢?
每个项目的收益和风险都与一些不确定的因素 有关(即可视为随机变量)，其期望值分别为
pi , ri (i 1,2,, N ) ．董事会规定，如果确定投资某
一个项目，则该项目至少投资 m 万元．
问题： 董事会如何充分考虑公司的利益和综合各 股东的意见做出最后的投资决策方案．
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设某股份公司有 n 个股东， 每个股东所持股份的 比例分别为 sk (k 1,2,, n) ．公司计划投入 M 万元 资金用于下一年度 N 个预选项目的投资，对任何一 个投资项目都是风险与收益并存， 而且风险随着收益 的增加而增大.
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一、多目标决策问题及模型
1.问题的引入---综合投资问题
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一、多目标决策问题及模型
4、多目标决策问题的数学模型
设 X 为方案集，决策变量 x ( x1 , x2 ,
, xN ) X 为方案，
属 性 f1 ( x), f 2 ( x),, f n ( x) 表 示 目 标 函 数 ． 对 于 给 定 的
x X ，由目标函数可以确定每一个属性 f1 , f 2 ,, f n 的值．
(2)
模型的意义是运用决策规则 DR 依据属性 f1 , f 2 ,, f n 的值 在 X 中选择一个最好的方案．
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4、多目标决策问题的数学模型
例如，设有一个确定的无限个方案的多目标决策问题： 属性集： { f1 , f 2 ,, f n }， 目标集： { f1 ( x), f 2 ( x),, f n ( x)}，
4、多目标决策问题的数学模型
一般多目标决策问题的数学模型为
[ f1 ( x), f 2 ( x),, f n ( x)] DR xX N X { x R | g i ( x) 0, i 1,2,, m}
其中 DR （decision rule）表示决策规则。
i (i 1,2,, n) 个属性的价值函数．
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1、 确定型的多属性效用函数
如果一个偏好结构的价值函数 v( y ) 能用加性表示时，则
v( y) k1v1 ( y1 ) k2 v2 ( y2 ) kn vn ( yn )
其中 ki (i 1,2,, n) 为标度常数，且
xX
的解．
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4、多目标决策问题的数学模 元素集． 如果是多元素集，则非劣解不唯一，决策人根据偏 好选择最佳的方案．
选择方案的方法：依据决策人的“偏好结构” ，一般偏好 结构可用效用函数 u( f1 ( x), f 2 ( x),, f n ( x)) 来表示非劣方 案的效用，即可转化为求解
方案集： X {x R N | g i ( x) 0, i 1,2,, m} ， 决策规则：若有某方案能使 f1 , f 2 ,, f n 都能达到最优，则 可选择这个方案， 即决策问题的解； 否则可选择一个非劣的方案， 使能最好地满足决策人的要求．
求解多目标决策问题的非劣解，即求向量最优化问题 opt{ f1 ( x ), f 2 ( x ),, f n ( x )} (3)
实际中，方案集 X 可以是有限的，或无限的．不妨设 x 的所 有约束都能用不等式表示出来，即
g i ( x) 0, i 1,2,, m
方案集 X （又称决策空间中的可行域）可以表示为
（1）
X {x R N | gi ( x) 0, i 1,2,, m}
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*
max u ( f 1 ( x ), f 2 ( x ), , f n ( x )) *
x X
(4)
的问题．
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二、多属性的效用函数
1、确定型的多属性效用函数
设 Y1 , Y2 ,, Yn 分 别 表 示 n 个 属 性 所 有 可 能 值 的 集 合 ，
Y Y1 Y2 Yn 为属性集。