多目标决策问题的非劣解
多目标模型
多目标模型多目标模型（Multi-Objective Model）是一种决策模型，用于解决具有多个目标的优化问题。
在传统的优化模型中，通常只存在一个目标函数，而多目标模型则考虑了多个目标同时优化的问题。
多目标模型的基本形式可以表示为：Minimize f(X) = [f1(X), f2(X), ..., fn(X)]其中，f(X)是一个向量函数，表示多个目标函数组成的向量，而X是决策变量向量。
多目标模型的目标是找到一个决策变量向量X，使得f(X)的每个分量都达到最小值。
多目标模型的求解方法有很多，其中最常用的方法是多目标优化算法。
多目标优化算法根据目标之间的相互关系，将优化问题转化为在多维搜索空间中搜索最佳解的问题。
多目标优化算法的核心思想是找到一组满足约束条件的非劣解（Pareto Optimal Solution），其中非劣解指的是在搜索空间中不能找到其他解比它更好的解。
而解决多目标优化问题的关键在于找到这一组非劣解的集合，即帕累托前沿（Pareto front）。
常用的多目标优化算法有遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
这些算法通过不同的方式进行搜索，并在搜索过程中进行交叉、变异、选择等操作，以逐步优化目标函数值。
同时，这些算法能够在搜索过程中保持多个解的多样性，以便找到更多的非劣解。
多目标模型的应用非常广泛。
例如，在工程领域，多目标模型可以用于工程设计中的多目标优化问题，如电子产品的设计中需要兼顾产品性能、成本、可靠性等多个目标。
在城市规划领域，多目标模型可以用于优化城市交通、环境、经济等多个指标。
同时，在金融领域，多目标模型也可以用于投资组合优化问题，以找到在风险、收益、流动性等方面兼顾的最佳投资组合。
总之，多目标模型是一种解决具有多个目标的优化问题的有效工具。
它通过引入多个目标函数，考虑不同目标之间的权衡和取舍，为决策提供了更多的选择和灵活性。
同时，多目标优化算法能够搜索出一组非劣解，帮助决策者了解到在不同目标下的最佳解集合，为决策制定提供了重要的参考依据。
《决策理论与方法》岳超源第十章：多目标决策(上)
10.3 目的规划法
10.3 目的规划法
10.3 目的规划法
本题可以用改进的单纯形法求解和图解法求解。
(1) 用改进的单纯型法求解 从纯技术角度讲，目的规划和多目标线性规划的区别仅 仅在于：目的规划中对各个目标函数与目的值之差（偏差）
规定了优先级，而在一般的多目标规划中没有这种规定。
10.3 目的规划法
10.1 引言
2. 获取决策人偏好信息方式的分类
求解多目标决策问题的关键在于获取决策人的偏好信息 即偏好结构。按照Chankong(1983)的意见，从决策人那里诱 导出与偏好有关的信息可以分成对话式和非对话式两类。
非对话式的方法要求 无论是在进行系统分析之前还是之后一次性地从决策人那里
听取必要的偏好信息，利用价值或效用函数的数学规划方法、 目的规划法、代理值权衡法等等都是非对话式方法的例子；
决策理论与方法
6
2、最佳调和解
根 据 决 策 人 的 偏 好 结 构 ，从 可 行 域 或 非 劣 解集中选出的决策人最满意的解叫最佳调和解 ，也 有 文 献 称 之 为 选 好 解 、 偏 爱 解 或 偏 好 解 。
如 何 从 可 行 域 或 非 劣 解 集中 获 得 最 佳 调 和 解？ 这是本节的一个重点
10.2 事先索取偏好的方法
1. 特定的偏好函数规划方法
10.2 事先索取偏好的方法
若价值函数或效用函数是单调的，则非劣性应该是可行 域X中的最佳调和解的必要性质。
这一定理表明，在一定条件下求下式 的最优解时，只需要在非劣解中搜索。
10.2 事先索取偏好的方法
2. 求解两个目标问题的Geoffrion方法（降维）
对话式方法则要求分析人员在问题求解的过程中与决策人灵活
目标管理-多目标决策方法 精品
(x)
j 1
显然，对于不同s.的t. 权x 系X数，最优解x*(w)是不同的
，但是它们都是原多目标问题的非劣解，下面给出几组
权系数及其对应的最优解（表1）.
5
表1 线性加权法的最优解
序
w=(w1,w2,w3)
1
(1, 0, 0)
2
(0, 1, 0)
3
(0, 0, 1)
4
(1/3, 1/3, 1/3)
按统计方法进行比较，例如利用假设检验的方法来确定不同方案
的优劣。
11
1.5 变动权系数法
让线性加权和评价函数
U
x
P
w
j
f
j
x
中的各权系数
j 1
wj(1jp)按一定规则变动，再求解问题（P1），就能
得到多目标决策问题（P0）的全部非劣解。
[例3] 求解双目标决策问题：
min Fx x 2 , 2 x
目标函数，就能得到P2个值。
fk0
f
* k
min
xX
fk (x)
fk (xk )
(k
1,2, ), P)
fkj f j (xk ) ( j k, j 1,2,P) 然后，作线性方程组 jp1 w j f kj k 1, 2, 3, P
jP1 w j 1
其中是待定常数，由此可以解出权系数 wj 1, 2, 3, , P
f1* ,
f
1 2
]
F(x2 ) [ f1 (x2 ), f 2 (x2 )] [ f12 , f1* ]
15
目标空间中的几何图形见图3.3所示。
图3.3 法几何说明
16
记理想点
多目标优化算法
多目标优化算法
多目标优化算法是指在多个优化目标存在的情况下，寻找一组非劣解集合，这些解在所有目标上都不被其他解所支配，也即没有其他解在所有目标上都比它好。
常见的多目标优化算法包括遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。
遗传算法是一种常用的多目标优化算法，它通过模拟生物进化的过程来搜索解空间。
遗传算法的基本流程包括选择、交叉和变异三个操作。
选择操作根据每个解的适应度值来选择部分解作为父代解，交叉操作将父代解进行交叉得到子代解，变异操作对子代解进行变异，最终得到新一代的解。
通过多次迭代，遗传算法能够得到一组非劣解。
粒子群优化算法是另一种常用的多目标优化算法，它模拟鸟类群体中的信息传递和协作行为。
粒子群优化算法的基本原理是每个粒子根据自己的当前位置和速度，以及整个群体中最好的位置来更新自己的运动方向和速度。
通过不断的迭代，粒子群优化算法能够搜索到解空间中的非劣解。
模拟退火算法也可以用于解决多目标优化问题。
它通过模拟金属退火过程中温度的下降来改善解的质量，以找到更好的解。
模拟退火算法的基本思想是从一个初始解开始，根据一定的概率接受比当前解更优或稍差的解，通过逐渐降低概率接受次优解的方式，最终在解空间中搜索到一组非劣解。
多目标优化算法的应用非常广泛，例如在工程设计中，可以用于多目标优化设计问题的求解；在资源调度中，可以用于多目
标优化调度问题的求解；在机器学习中，可以用于多目标优化模型参数的求解等。
通过使用多目标优化算法，可以得到一组非劣解集合，为决策者提供多种选择，帮助其在多个目标之间进行权衡和决策。
多目标规划的原理和
多目标规划的原理和多目标规划是一种优化方法，用于解决同时存在多个目标函数的问题。
与单目标规划不同，多目标规划的目标函数不再是单一的优化目标，而是包含多个决策者所关心的目标。
目标函数之间可能存在冲突和矛盾，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标都能得到满意的结果。
1.目标函数的建立：多目标规划需要明确各个决策者所关心的目标，并将其转化为数学模型的形式。
目标函数可以是线性的、非线性的，也可以包含约束条件。
2.解集的定义：解集是指满足所有约束条件的解的集合。
在多目标规划中，解集通常是一组解的集合，而不再是单个的最优解。
解集可以是有限的或无限的，可以是离散的或连续的。
3.最优解的确定：多目标规划中的最优解不再是唯一的，而是一组解的集合，称为非劣解集。
非劣解集是指在所有目标函数下都没有其他解比其更好的解。
要确定最优解，需要考虑非劣解集中的解之间的关系，即解集中的解是否有可比性。
4.解的评价：首先需要定义一种评价指标来比较不同解之间的优劣。
常用的方法有加权法、广义距离法、灰色关联法等。
评价指标的选择应该能够反映出决策者对不同目标的重视程度。
5. Pareto最优解：对于一个多目标规划问题，如果存在一组解，使得在任意一个目标函数下都没有其他解比其更好，那么这组解就被称为Pareto最优解。
Pareto最优解是解集中最为重要的解，决策者可以从中选择出最佳的解。
6.决策者的偏好：在实际应用中，决策者对不同目标的偏好有时会发生变化。
因此，多目标规划需要考虑决策者的偏好信息，并根据偏好信息对解集进行调整和筛选。
多目标规划在解决实际问题中具有广泛的应用，尤其在决策支持系统领域发挥了重要作用。
它不仅能够提供一组有竞争力的解供决策者参考，还能够帮助决策者更好地理解问题的本质和各个目标之间的权衡关系。
多目标规划既可以应用于工程、经济、管理等领域的决策问题，也可以用于社会、环境等领域的问题求解。
总之，多目标规划通过将多个目标函数集成为一个数学模型，寻找一组最佳的解集，从而在多个目标之间实现平衡和协调。
多目标决策分析0420
为(1，0，…，0)，（0，1，0，…，0），…，(0，0，…，1)，求解加
权和问题，得原问题非劣解集的“极端点”；
步骤二：逐步改变权，使用一事先规定的步长，每个权从 0 改 变到它的上限，对每组权分别求解加权和问题，产生原问题得非劣
解；
步骤三：从所求得的解中排除劣解。
8
有限个方案多目标决策
多属性决策问题，也称为有限个方案的多目标决 策问题，如：某人拟从n处房屋中选购一所作为 自己的住处，某企业欲从n个地点中选择一处建 立新厂。
一个人选购外衣，要权衡式样、尺寸、颜色、质地、 价格等。总之，无论是大的决策还是小的决策，都可 能涉及多个目标的问题。
2
多目标决策特点
目标之间的不可公度性。目标之间的不可公度性是 指各个目标之间没有一致的衡量标准，难于进行相 互比较。
目标之间的矛盾性。多目标问题之间常常是相互矛 盾的，要提高一个目标的值，常常要以牺牲另外一 些目标的值为代价。
6
多目标决策问题的价值函数
定义（价值函数）一实值函数 V 称为 X 上的价值函数，如果当 x y 当且仅当
V（x） V（y）。
我们研究多属性价值函数的存在性，设优先序是方案集 X 上的一个弱序，即满足 （1）对 x，y，zX，若 x y，y z，有 x z； （2）对 x，yX，有 x y 或者 y x。
fm
f1
a11
a12
…
a1m
f2
a21
a22
…a2m… Nhomakorabeafm
am1
am2
…
amm
16
最小二乘法
A=
a11 a21 am1
a12 a22 am2
a1m a2m
多目标规划求解方法介绍
多目标规划求解方法介绍多目标规划（multi-objective programming，也称为多目标优化）是数学规划的一个分支，用于处理具有多个冲突目标的问题。
在多目标规划中，需要找到一组解决方案，它们同时最小化（或最大化）多个冲突的目标函数。
多目标规划已经在许多领域得到了应用，如工程、管理、金融等。
下面将介绍几种常见的多目标规划求解方法。
1. 加权和法（Weighted Sum Method）：加权和法是最简单和最直接的多目标规划求解方法。
将多个目标函数通过赋予不同的权重进行加权求和，得到一个单目标函数。
然后使用传统的单目标规划方法求解该单目标函数，得到一个最优解。
然而，由于加权和法只能得到权衡过的解，不能找到所有的非劣解（即没有其他解比它更好），因此它在解决多目标规划问题中存在局限性。
2. 约束方法（Constraint Method）：约束方法是将多目标规划问题转化为一系列带有约束条件的单目标规划问题。
通过引入额外的约束条件，限制目标函数之间的关系，使得求解过程产生多个解。
然后使用传统的单目标规划方法求解这些带有约束条件的问题，得到一组最优解。
约束方法可以找到非劣解集合，但问题在于如何选择合适的约束条件。
3. 目标规划算法（Goal Programming Algorithms）：目标规划算法是特别针对多目标规划问题设计的一类算法。
它通过将多个目标函数转化为约束关系，建立目标规划模型。
目标规划算法可以根据问题的不同特点选择相应的求解方法，如分解法、交互法、加权法等。
这些方法与约束方法相似，但比约束方法更加灵活，能够处理更加复杂的问题。
4. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种启发式的优化方法，也可以用于解决多目标规划问题。
它模仿自然界中的进化过程，通过不断地进化和迭代，从初始种群中找到优秀的个体，产生一个适应度高的种群。
在多目标规划中，遗传算法通过构建适应度函数来度量解的好坏，并使用交叉、变异等操作来产生新的解。
多目标决策
多指标决策的特点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4. 指标之间的矛盾性。某一指标的完善往往会损害 其他指标的实现，即改进某一指标值可能会使其他指 标值变坏。 5. 定性指标和定量指标混合。 6. 方案与指标的关系可以明显地表示出来，例如， 表示成一个矩阵。
多指标决策的解
设一个决策问题，有两个效益型指标，分别是x1和 x2，有6个备选方案，可以用二维坐标图表示如下：
地理位置
0
职业前景
职业安全性
A公司 B公司
加权分值在雷达图中强调评判决策方案的标准差别，特 别是权重较大的标准。
多指标工作选择 指标 A公司 B公司 权重 工资 0.085 0.09 职业前景 0.285 0.21 职业安全性 0.24 0.38 地理位置 0.18 0.14 0.1975 0.205
决策指标权重的确定
通常，确定指标权重的方法可以分为以下三类： 3. 组合赋权法 由于主、客观赋权法各有利弊，实际应用中应该有 机结合。已有不少学者提出了综合主、客观赋权的组合
赋权法，主要有方差最大化赋权法、组合目标规划法、
但是，决策者可以预先规定一个满足原定目标的最低 要求，然后寻找满足这些最低要求的方案．这样就把决 策过程大大简化了.
例如，在一块面积很大的玉 米田里，如果要找一个最大最长 的玉米，就必须测定所有的玉米 之后，才能找到．但是如果把要 求改为寻找一个能使人吃饱肚子 的玉米，问题就大大简化了．只 要找一个比较大的玉米就能填饱 肚子
多指标决策（Multiple Attribute Decision making ，MADM），也称为多属性决策或有限方案的多目 标决策，是现代信息分析与决策科学中的一个重要 组成部分，在社会、经济、管理、医药卫生等诸多 领域有着广泛的应用。 在医药卫生领域，类似的问题有医疗机构/科室工 作评价、医疗方案选择、临床疗效比较等。 在解决这些问题时，往往要同时考虑多项指标，而 不是简单地由一两个指标来反映。
基于变权系数法的多目标非劣解的模糊决策
ｍ ｎＸ ＝ｆ ） ｆ ） ｉ （）［ Ｘ， ｒ ｆ ， …， （
ｓ． ． ｔ ） （＝ ，－ ） ≤Ｏ ｕ ｌ－ ， －ｑ （．） １１ ｈ ）ＯＶ ｌ…，） ＝ （＝ ， Ｐ
Ｉ ｎ
ห้องสมุดไป่ตู้
若 其 个目 数ｆ ） １ ， 赋 同 权系 １ ∈（ １１０ Ｏ， １ 大 代表 应目 给 各 标函 ｉ （ ， ｍ 予不 的 数（ ｛∑（ ， ＞ １其中（的 小 相 标 （ｉ… ） Ｘ： ） １ ） Ｏ ］ 。 ） Ｉ ｉ － ／ ） ｉ
（． １） ４
其中 ： ， ｍ是随机生成的非负实数。 １…， 】 （） ２ 选择算子 选择算子 的步骤如下 ： ｓｐ： ｔ ｌ评价群 体中的每个个体 ， ｅ 满足非 劣条件 的个体被无条件的保留到下一代群体 。
Ｓｅ２ 重复 以下操作 直到选择 出群体 的所有个体 ： ｔｐ ：
行分类 ， 出代表个体 ， 给 方便 决策者从 中选择适合 自己的 Ｐ ｒｔ ａ ｏ最优 解。 ｅ
关键词 ： 目标优化 ； 多 遗传 算法 ；ａｅ Ｐ ｒｔ ｏ最优 解； 模糊 决策
中图分类号 ： ４ ． Ｏ１ １ ４ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ８ ３ ２ （０ ７ ０ — ０ ９ ０ １０ — ４ １２ ０ ）５ ０ ０ － ６
ｉ
ｆ ） 在多 目标优化问题 中的重要程度 ， 形成 如下单 目标优化问题 ：
１ ｒ＇
ｍｎ ． ｏ（ ｉ２ ｉ ） １ ｆ ｏｉ ｘ
ｉ＝ １
ｓ． ． ｔ
） （ ＝ ， ｑ ≤Ｏ ｕ ｌ …，）
（． １） ２
ｈ ）Ｏｖ ｌ…， ＝（ ， Ｐ ＝ ）
多目标优化的处理方案及非劣解集探究
多⽬标优化的处理⽅案及⾮劣解集探究 求解多⽬标规划的⽅法⼤体上有以下⼏种： ⼀种是化多为少的⽅法，即把多⽬标化为⽐较容易求解的单⽬标或双⽬标，如主要⽬标法、线性加权法、理想点法等； 另⼀种叫分层序列法，即把⽬标按其重要性给出⼀个序列，每次都在前⼀⽬标最优解集内求下⼀个⽬标最优解，直到求出共同的最优解。
对多⽬标的线性规划除以上⽅法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有⼀种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是⼀种定性与定量相结合的多⽬标决策与分析⽅法，对于⽬标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实⽤。
⼀、多⽬标规划及其⾮劣解 （⼀）任何多⽬标规划问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的⽬标函数； （2）若⼲个约束条件。
（⼆）对于多⽬标规划问题，可以将其数学模型⼀般地描写为如下形式： 在图1中，max(f1, f2) .就⽅案①和②来说，①的 f2 ⽬标值⽐②⼤，但其⽬标值 f1 ⽐②⼩，因此⽆法确定这两个⽅案的优与劣。
在各个⽅案之间，显然：④⽐①好，⑤⽐④好, ⑥⽐②好, ⑦⽐③好……。
⽽对于⽅案⑤、⑥、⑦之间则⽆法确定优劣，⽽且⼜没有⽐它们更好的其他⽅案，所以它们就被称为多⽬标规划问题的⾮劣解或有效解，其余⽅案都称为劣解。
所有⾮劣解构成的集合称为⾮劣解集。
当⽬标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有⽬标函数同时达到最⼤或最⼩值的最优解，于是我们只能寻求⾮劣解（⼜称⾮⽀配解或帕累托解）。
⼆、多⽬标建模⽅法为了求得多⽬标规划问题的⾮劣解，常常需要将多⽬标规划问题转化为单⽬标规划问题去处理。
实现这种转化，有如下⼏种建模⽅法。
ü 效⽤最优化模型 思想：规划问题的各个⽬标函数可以通过⼀定的⽅式进⾏求和运算。
这种⽅法将⼀系列的⽬标函数与效⽤函数建⽴相关关系，各⽬标之间通过效⽤函数协调，使多⽬标规划问题转化为传统的单⽬标规划问题： 在⽤效⽤函数作为规划⽬标时，需要确定⼀组权值 li 来反映原问题中各⽬标函数在总体⽬标中的权重 ü 罚款模型 思想: 规划决策者对每⼀个⽬标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；在加权的基础上通过⽐较实际值 fi 与期望值 fi* 之间的偏差来选择问题的解 ü 约束模型 理论依据：若规划问题的某⼀⽬标可以给出⼀个可供选择的范围，则该⽬标就可以作为约束条件⽽被排除出⽬标组，进⼊约束条件组中。
lingo-多目标规划模型
在生产系统、工程系统、社会经济系统中， 多目标决策问题更是屡见不鲜。比如在炼油厂的 生产计划中，基本的决策问题是如何根据企业的 外部环境与内部条件，制定出具体的作业计划。 该计划应能使企业的各种主要的经济指标达到预 定的目标。这些指标包括：利润、原油量、成本、 能耗等。其他企业一般也有类似的多目标计划决 策问题。 多目标决策问题有两个共同的特点，即各目 标的不可公度性和相互之间的矛盾性。所谓目标 的不可公度性指各目标之间没有统一的量纲，因 此难以作相互比较。
多目标决策问题的案例及特点 我们介绍两个日常生活中常见的决策问题。第 一个是顾客到商店购买衣服。对于顾客而言，购买 衣服就是一个决策问题，顾客本人是决策者，各种 各样的衣服是行动方案集。该决策问题的解就是顾 客最终买到一件合适的衣服（或选择一个满意的方 案）。那么，一件衣服（即一个方案）合适否（满 意否）应该根据几个指标来评价，比如衣服的质量、 价格、大小、式样、颜色等。 因此，顾客购买衣服的问题是多目标决策问题。 又如，公务人员外出办事总要乘某种交通工具。这 也是一个决策问题，决策者是公务员，备选方案是 可利用的交通工具。公务员为了选择合适的交通工 具，需要考虑几个指标，比如：时间、价格、舒适 性、方便程度等。显然这也是一个多目标决策问题。
图5
d 对应于第三优先等级，将 1 ＝0，d 2 6 作为约束条件，建立
线性规划问题：
min z d 3 10x1 15x2 d1 d1 40 x x d d 1 2 2 2 10 x2 d 3 d 3 7 s.t. d1 0, d 2 6 x , x , d , d 1 2 j j 0, j 1,2,3
由于模型的不准确性和单一目标的片面性，这 种所谓最优的方案并不一定是决策者满意的。自然， 用这种最优方案作为决策者的最终决策具有强迫性 质，往往难以为决策者接受。另一方面，多目标方 法向决策者提供经过仔细选择的备选方案（多种方 案）。这样使得决策者有可能利用自己的知识和经 验对这些方案进行评价和判断，从中找出满意方案 或给出偏好信息以及寻找更多的备选方案。 概括起来，多目标决策方法处理实际决策问题 有三个方面的优点：（1）加强了决策者在决策过程 中的作用；（2）可以得到范围更为广泛的备选决策 方案；（3）决策问题的模型和分析者对问题的直觉 将更加现实。
第五章_多目标规划
用单纯形表求解多目标线性规划Pareto解集
双目标线性规划问题为 max z1=3x1+2x2 max z2=-x1+2x2 s.t. x1+ x2 ≤6
2x1+ x2 ≤10 x1+2x2 ≤10 x1，x2≥0
多目标线性规划问题的图解。
标准化问题为
min z1=-3x1-2x2
min z2= x1-2x2
当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,2,0), z1=14, z2=6是 Pareto解。对应于C点。
x3进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解D。
产量（吨）
总产量不低于12吨
总产量12吨
如果允许排放的污染量从25立方米逐步减少，最优解也 将发生变化。变化情况如下表：：
多目标规划的例子(3)
允许排放的 产品A产量 产品B产量 产品C产量 最大利润 污染(m3) （吨） （吨） （吨） （万元）
25
7
5
0
83
19
7
5
0
83
18
6
6
0
78
17
5
7
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
多目标决策理论
2.无异于
若某多目标决策问题的2个备选方案x(k)和x(l) 的目标函数值有如下关系：
fi [x(k)] =fi [x(l)]
i=1, ..., m
则称方案x(k)无异于方案x(l)，记作x(k) ~ x(l)；或 称方案x(l)无异于方案x(k)，记作x(l) ~ x(k)。
3.优于或无异于/劣于或无异于
从定义2来看，如果交集不为空成立，单目标最优解集的交集X *有 可能含有多个解。。
2.非劣解
若多目标决策问题存在可行解 x0 满足以下条件：
x(k) ⊁x0
r}
k=1, ..., rx；0 ∈X x=0 { x(k)| k=1, ...,
x0
则 为该多目标决策问题的非劣解。
上式中，符号“⊁”表示不优于。 由于“不优于” ⊁= ≺ ~ ⋎
x1 决策解
x(k)=[ x1(k1), x2(k2)] T
f1(x)=f1 (x1, x2) 目标点
f [x(k)]=[ f1(x(k)), f2 (x(k))] T
决策空间和目标空间的映射和反映射
二、多目标决策问题的基本特性
1.目标间的矛盾性
例如：质量和成本；经济效益和生态环境效益； 旅游景点的开发和自然环境的保护 ……
四、决策方案的多元优劣关系 ——决策解的性质
1.最优解
定义（1）: 若多目标决策问题存在可行解x*，满 足以下条件：
x(k) ≼ x* k=1, ..., r；x*∈X = { x(k)| k=1, ..., r }
则x*为该多目标决策问题的最优解。上式中，X 为决策空间可行域。
定义（2）：
对多目标决策问题的各目标函数分别进行单目
一个i使fi [x(k)] > fi [x(l)]，则称方案x(k)优于方案 x(l)，记作x(k) ≻ x(l)；同时，称方案x(l)劣于方案 x(k)，记作x(l) ≺ x(k)。
多目标优化
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§5.2 协调函数法
② 多目标函 1,2,, q
s.t. gu x 0 u 1,2,, m
hv x
fv x
f0 v
0
v 1,2,, q 1
v j
其中
f0 v
fv x * f j
为理想的合理值，是 fv x *的让步。
f1 x max y h min y y h
0.1m
y
min
0.3m 0.5m
0.5m
d1 1 d1 0.7 d1 0.3 d1 0
2. E点水平分速度的变化率越小越好
f2
x
max
vx
min
3. 货物对支点A所引起的倾覆力矩差越小越好
f3x max M min
这三个要求都属于第二类功效函数。
标函数表达式如下：
min .
s
wj
f
j
x
F
x
j 1 q
wj f jx
j s 1
o wj 1
四. 线性加权组合法：
min.
F
x
S
wj
j 1
f j (x)
q j s 1
wj f j (x)
第12页/共22页
§5.3 统一目标函数法
五. 目标函数的规格化：
当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。 以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数 值规范在 [0,1] 之间。
二. 功效系数和功效函数：
1、功效系数dj ：表示对于分目标函数值 fj (x) 的满意程度。 若dj =1，表示效果最好，非常满意； dj =0，表示效果极差，方案不可取。
多目标决策方法
多目标决策方法一．多目标决策方法简介1．多目标决策问题及特点（１）案例个人：购物；买房；择业．．．．．．集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．．（２）要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则（3）多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性；目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。
有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。
2．多目标决策问题的描述DR{f1(x),f2(x),?fn(x)}S.Tg1(x)?0,g2(x)?0,?gp(x)?0决策空间：X?{xgi(x)?0} 目标空间F?{f(x)x?X}两个例子：离散型；连续型3．多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4．多目标决策主要有以下几种方法：（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
（（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。
（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（８）多目标群决策和多目标模糊决策。
（９）字典序数法和多属性效用理论法等。
多目标模糊优化方法
多目标模糊优化方法1.引言1.1 概述在多目标优化问题中，传统的单目标优化方法无法满足需求。
因此，多目标模糊优化方法应运而生。
多目标模糊优化方法可以有效地处理多个目标函数之间的冲突和矛盾，为决策者提供一系列的非劣解，使其能够根据自己的偏好和需求进行最佳选择。
针对多目标优化问题，传统的优化方法需要将多个目标函数融合成为一个单一的目标函数，从而进行求解。
然而，这种方法容易丢失目标函数之间的权衡关系，无法全面考虑多个目标之间的平衡与矛盾。
相比之下，多目标模糊优化方法能够维持多个目标函数的独立性，通过使用模糊理论对目标的模糊性进行建模和描述，从而更好地处理多目标优化问题。
模糊优化方法是一种在不确定和模糊环境下进行决策和优化的方法。
这种方法能够考虑到现实问题中各种不确定性的存在，如参数的模糊性、目标函数的不确定性等。
通过引入模糊集合和隶属度函数，模糊优化方法能够将问题的模糊性表示出来，并通过模糊推理和模糊优化算法进行求解。
在多目标模糊优化方法中，模糊集合用于表示目标函数的隶属度，并通过各目标函数之间的权重来表示其重要性。
通过对模糊集合的操作和模糊推理的过程，可以得到一系列模糊解，这些解对应于不同的权重组合。
然后，根据这些模糊解的隶属度进行排序，得到一组非劣解，供决策者选择。
多目标模糊优化方法在实际问题中具有广泛的应用价值。
它能够帮助决策者充分考虑多个目标的需求，并提供一系列潜在的解决方案供其选择。
此外，多目标模糊优化方法还能够处理问题中的不确定性和模糊性，使得决策更加准确和灵活。
本文将对多目标模糊优化方法进行详细的介绍和分析，并探讨其在实际问题中的优势和局限性。
最后，将展望未来相关研究的方向，以期进一步推动多目标模糊优化方法在实际应用中的发展和应用。
1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下结构组织和呈现多目标模糊优化方法的相关内容：第一部分为引言部分，旨在给读者提供对多目标模糊优化方法的概述和背景信息。
多指标决策问题的劣解和非劣解
多指标决策问题的劣解和非劣解
多指标决策问题包括多个决策指标或目标的情况下，需要找到最佳的决策方案。
在解决这类问题时，一般存在两种解的类型：劣解和非劣解。
劣解是指在多个决策指标或目标下，得出的解决方案相对较差，无法满足所有指标或目标的要求。
劣解并非最优解，但可能是在特定条件下，权衡各个指标后的最优选择。
非劣解是指在多个决策指标或目标下，得出的解决方案在各个指标或目标上都能够满足要求，没有明显的改进空间。
非劣解是在多指标决策问题中的一种理想情况，表示找到了一个在各个指标下都表现出色的可行方案。
在实际应用中，非劣解的概念通常与多目标优化、多目标规划等方法相关联。
通过这些方法，可以在不同的指标或目标之间找到一组可行解，这些解在无法互相比较或权衡的情况下，都是最佳的选择。
需要注意的是，在多指标决策问题中，劣解和非劣解是相对概念，具体的评判标准和权重取决于具体的决策环境和需求。
由于该问题涉及较多领域，建议在实际决策中综合考虑相关专业知识和方法，以确保得出合理的劣解或非劣解。
多目标优化问题与决策理论
多目标优化问题与决策理论多目标优化问题是指在给定的约束条件下，寻求多个矛盾目标之间的最佳平衡点的问题。
决策理论是指在面对多个选择或决策时，寻求最佳解决方案的理论。
本文将探讨多目标优化问题与决策理论之间的关系及应用。
一、多目标优化问题的定义与特点多目标优化问题是现实生活中非常常见的问题，它通常涉及到多个冲突的目标。
例如，对于一辆汽车的设计，可能需要同时考虑汽车的安全性、燃油效率和舒适性等多个指标。
传统的单目标优化问题只需要考虑一个目标，例如最大化利润或者最小化成本，而多目标优化问题则需要在多个目标之间做出权衡和平衡。
多目标优化问题的特点主要体现在以下几个方面：1. 多个目标之间存在冲突：多目标优化问题中的不同目标往往是相互矛盾的。
例如，在一个供应链管理中，库存成本和交货时间往往是相互冲突的目标。
2. 解空间较大：由于涉及到多个目标，多目标优化问题的解空间通常较大。
在解空间中寻找最佳解，需要考虑多个目标之间的平衡。
3. 解的多样性：多目标优化问题的解是多样化的，不同的解可能在各个目标上表现出较优的性能。
因此，多目标优化问题通常不仅仅寻求一个解，而是提供一系列的非劣解供决策者选择。
二、决策理论在多目标优化问题中的应用决策理论为解决多目标优化问题提供了一系列有效的方法和工具。
以下是常见的几种决策理论的应用：1. 权衡法：权衡法是一种常用的决策理论方法，通过给出不同目标的权重，将多个目标转化为单一目标，然后使用传统的单目标优化方法求解。
2. 基于Pareto前沿的方法：Pareto前沿是指解集中不可再改进的解的集合。
基于Pareto前沿的方法通过同时优化多个目标，寻找Pareto 前沿上的非劣解。
这些非劣解可以提供给决策者进行选择。
3. 价值工程法：价值工程法是一种将目标转化为价值函数的方法，通过对各个目标的重要性进行量化，然后使用数学规划方法求解最优解。
4. 模糊数学方法：由于多目标优化问题中涉及到多个冲突目标，而这些目标往往无法非常准确地量化。
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一、多目标决策问题及模型
2. 多目标决策问题的解决过程
(1)问题的构成: 分析问题，明确主要因素、界 限和所处的环境等，确定问题的目标集． (2)建立模型: 由上一步的结果，建立问题的适 宜模型． (3) 模型的分析与评价：对各可行方案进行分 析比较，为每一个目标标定属性（目标函数），其 属性的值用作采用某方案时各个目标的一种度量． (4) 确定实施方案: 依据各目标的属性值和决 策规则比较各可行方案，按优劣次序将方案排序， 确定出最佳的实施方案．
6 2018年8月19日
一、多目标决策问题及模型
3、多目标决策问题的基本要素 多目标决策问题的五个基本要素：决策单元、 目标集、属性集、决策情况和决策规则． •决策单元:制订决策的人（一个或一群人）； •目标:决策人对研究问题的“要求”或“愿望” ，通常有若干个不同的目标构成一个目标集； •属性:实现目标程度的一个度量,即每一个目标都 可设定一个或若干个属性,构成一个属性集； •决策情况:指决策问题的结构和决策环境； •决策规则:用于排列方案优劣次序的规则。
某 一 个 确 定 的 x ( x1 , x2 ,, xN ) X ， 对 应 的 属 性
y ( y1 , y2 ,, yn ) Y ，其中 yi Yi 表示对应于方案 x 的第 i 个属性 f i ( x)(i 1,2,, n) 的取值．
为了简便，也称 y ( y1 , y2 ,, yn ) 为方案，并用 v i 表示第
第十七章 多目标决策分析方法
多目标决策问题及模型；
多属性效用函数的理论； 多目标决策问题的非劣解；
多目标群决策问题的解；
案例分析：股份制公司的综合投资。
3
2018年8月19日
一、多目标决策问题及模型
1.问题的引入---综合投资问题
公司要确定下一年度的投资组合方案问题 ,在可供选 择的多个候选方案中，往往都是收益与风险并存．如何选 择合适的投资组合方案，使收益最高，风险最小呢?
每个项目的收益和风险都与一些不确定的因素 有关(即可视为随机变量)，其期望值分别为
pi , ri (i 1,2,, N ) ．董事会规定，如果确定投资某
一个项目，则该项目至少投资 m 万元．
问题： 董事会如何充分考虑公司的利益和综合各 股东的意见做出最后的投资决策方案．
5 2018年8月19日
设某股份公司有 n 个股东， 每个股东所持股份的 比例分别为 sk (k 1,2,, n) ．公司计划投入 M 万元 资金用于下一年度 N 个预选项目的投资，对任何一 个投资项目都是风险与收益并存， 而且风险随着收益 的增加而增大.
4 2018年8月19日
一、多目标决策问题及模型
1.问题的引入---综合投资问题
7 2018年8月19日
一、多目标决策问题及模型
4、多目标决策问题的数学模型
设 X 为方案集，决策变量 x ( x1 , x2 ,
, xN ) X 为方案，
属 性 f1 ( x), f 2 ( x),, f n ( x) 表 示 目 标 函 数 ． 对 于 给 定 的
x X ，由目标函数可以确定每一个属性 f1 , f 2 ,, f n 的值．
(2)
模型的意义是运用决策规则 DR 依据属性 f1 , f 2 ,, f n 的值 在 X 中选择一个最好的方案．
9 2018年8月19日
4、多目标决策问题的数学模型
例如，设有一个确定的无限个方案的多目标决策问题： 属性集： { f1 , f 2 ,, f n }， 目标集： { f1 ( x), f 2 ( x),, f n ( x)}，
4、多目标决策问题的数学模型
一般多目标决策问题的数学模型为
[ f1 ( x), f 2 ( x),, f n ( x)] DR xX N X { x R | g i ( x) 0, i 1,2,, m}
其中 DR （decision rule）表示决策规则。
i (i 1,2,, n) 个属性的价值函数．
12 2018年8月19日
1、 确定型的多属性效用函数
如果一个偏好结构的价值函数 v( y ) 能用加性表示时，则
v( y) k1v1 ( y1 ) k2 v2 ( y2 ) kn vn ( yn )
其中 ki (i 1,2,, n) 为标度常数，且
xX
的解．
10 2018年8月19日
4、多目标决策问题的数学模 元素集． 如果是多元素集，则非劣解不唯一，决策人根据偏 好选择最佳的方案．
选择方案的方法：依据决策人的“偏好结构” ，一般偏好 结构可用效用函数 u( f1 ( x), f 2 ( x),, f n ( x)) 来表示非劣方 案的效用，即可转化为求解
方案集： X {x R N | g i ( x) 0, i 1,2,, m} ， 决策规则：若有某方案能使 f1 , f 2 ,, f n 都能达到最优，则 可选择这个方案， 即决策问题的解； 否则可选择一个非劣的方案， 使能最好地满足决策人的要求．
求解多目标决策问题的非劣解，即求向量最优化问题 opt{ f1 ( x ), f 2 ( x ),, f n ( x )} (3)
实际中，方案集 X 可以是有限的，或无限的．不妨设 x 的所 有约束都能用不等式表示出来，即
g i ( x) 0, i 1,2,, m
方案集 X （又称决策空间中的可行域）可以表示为
（1）
X {x R N | gi ( x) 0, i 1,2,, m}
8 2018年8月19日
*
max u ( f 1 ( x ), f 2 ( x ), , f n ( x )) *
x X
(4)
的问题．
11 2018年8月19日
二、多属性的效用函数
1、确定型的多属性效用函数
设 Y1 , Y2 ,, Yn 分 别 表 示 n 个 属 性 所 有 可 能 值 的 集 合 ，
Y Y1 Y2 Yn 为属性集。