实时信号处理论文

小波变换研究与仿真

1小波的简介

传统的信号理论，是建立在Fourier 分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier 变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier 分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier 分析之后的又一有效的时频分析方法。 小波变换与Fourier 变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。

2小波分析

信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小波(mother wavelet)可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。

2.1 连续小波变换continuous wavelet transform (CWT)

傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基函数。同样，小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。可以说，凡是能够用傅立叶分析的函数都可以用小波分析，因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换的正弦波。

定义：设)()(2

R L t ∈ψ，其傅立叶变换为)(ˆωψ

，当)(ˆωψ满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）

⎰

=

R

d C ωω

ωψψ2

)(ˆ< ∞ (2.1)

时，我们称)(t ψ为一个基本小波或母小波。将母函数)(t ψ经伸缩和平移后得

)(

1)(,a

b t a

t b a -=

ψψ 0;,≠∈a R b a (2.2)

称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。对于任意的函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换为

dt a

b t t f a

f b a W R

b

a f )(

)(,),(2

/1,->==<⎰

-ψψ

(2.3)

其重构公式（逆变换）为

⎰⎰

∞∞

-∞

∞

--=

dadb a

b t b a W a

C t f f )(

),(11)(2

ψψ

(2.4)

由于基小波)(t ψ生成的小波)(,t b a ψ在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以

)(t ψ还应该满足一般函数的约束条件

⎰

∞

∞

-dt t )(ψ〈∞ (2.5)

故)(ˆωψ是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，)(ˆωψ在原点必须等于0，即

0)()0(ˆ==⎰

∞

∞

-dt t ψψ

(2.6)

为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波)(t ψ的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：

∑

∞

∞

--≤≤

B A j

2

)2(ˆωψ (2.7)

式中0〈A ≤B 〈∞

从稳定性条件可以引出一个重要的概念。

定义（对偶小波） 若小波)(t ψ满足稳定性条件（2.7）式，则定义一个对偶小波)(~t ψ

，其傅立叶变换)(ˆ~ωψ

由下式给出： ∑∞

-∞

=-=j j

2

)

2

()

(*)(ˆ~ωψωψωψ

（2.8）

注意，稳定性条件（2.7）式实际上是对（2.8）式分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性。值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。

2.2 连续小波变换的仿真

小波变换完成之后得到的系数是在不同的缩放因子下由信号的不同部分产生的。这些小波系数、缩放因子和时间之间的关系和它们的含义可以通过MATLAB 仿真直观的表示，该图是用调用MATLAB 提供的例子绘制的。下图是用二维图像表示的小波变换分析图，x 轴表示沿信号的时间方向上的位置， y 轴表示缩放因子，每个x-y 点的颜色表示小波系数C 的幅度大小。

Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...

time (or space) b

s c a l e s a

50

100

150

200250300

350

400

450

500

1

3 5 7 911131517192123252729

31

2.3离散小波变换Discrete Wavelet Transform (DWT)

在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。为了解决计算量的问题，在实际运用中，常需要将小波离散化处理。缩放因子和平移参数都选择2 j ( j >0 的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波变换(discrete wavelet transform ，DWT)的一种形式。从文献