海安高级中学数学答案

江苏省海安高级中学高三模拟考试数学试卷
数学 I
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．纸．相．应．位． 置．上．
1．答案：1
2．答案：－4
3．答案：89
4．答案：100
5．答案：1110
6．答案： ， 4
7．答案：12 8．答案： k 3，k 7 ，k Z
因为平面 BCF 平面 ABC D，平面 BCF 平面 ABC D=BC， FG 平面 BCF，所以 FG 平面 ABC D． 因为 AC 平面 ABC D，所以 FG AC．
因为 OG//AB，EF//AB，OG 1 AB ， EF 1 AB ，
2
2
所以 OG//EF，OG=EF，所以四边形 OGFE 为平行四边形，
3. 6
„„5 分
（2）设平面 CD1O 的向量为 m=(x1，y1，z1)，由 m· CO ＝0，m· CD1 ＝0
得
1 2
x1
1 2
y1
0，
取
x1＝1，得
y1＝z1＝1，即
m=(1，1，1)
.
y1 z1 0，
由
D1E＝λEO，则
E
2(1
， ) 2(1
， ) 1
1
，
DE
=
2(1
， ) 2(1
„„ 14 分
又因为 21 2n2 - 3 2n 1 2n 0 ， 所以 3 2n 21 2n2 22 2n2 2n 2n2 2n1 2n2 3 2n1 ， 即 i 1，2， ，n 满足，故共有 n 个不同的 x Bn ．
„„ 16 分
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．
20．（1）证明：当 n≥ 2 时， Sn an ， Sn1 an1 ，
所以 an
an
an1
，因为
1， an
0 ，所以
an an1
1
，Baidu Nhomakorabea
所以数列
an
是以
1
为公比的等比数列；
又因为
an
为无穷数列且各项为正整数，所以
1
1
1
1
为正整数，
所以正整数 2 ；
（2）解析：由（1）知 Sn 2an ，则 a1 ，故 an 2n1 ，
高三数学试卷第 5 页（共 4 页）
„„ 5 分
„„ 10 分 „„2 分
„„6 分 „„ 8 分
所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sinπ3＝20 3．
22．解：(1)不妨设正方体的棱长为 1，以 DA, DC, DD1
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ．
高三数学试卷(附加)第 1 页（共 2 页）
因为“不出现 n 分”的概率是 1－pn，“恰好得到 n－1 分”的概率是 pn－1，
„„10 分
23.解：（1）所抛 5 次得分 的概率为 P( ＝i)=
Ci5 5
15 2
(i=5，6，7，8，9，10)，
其分布列如下：
5
6
7
8
9
10
P
1 32
5 32
5 16
5 16
5 32
1 32
10
E = i C5i5
i5
1
5
=
2
15 (分) . 2
„„5 分
（2）令 pn 表示恰好得到 n 分的概率. 不出现 n 分的唯一情况是得到 n－1 分以后再掷出一次反面.
3．
b 3 b 2.
„„3 分 „„5 分 „„7 分 „„9 分
„„12 分
由正弦定理得 sin A sin B sin C 1 ，
a
b
12
所以
sin
A
sin
B
1 2
a
b
1
3． 2
16．证明：（1）因为四边形 ABC D 为菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，
所以 O 为 AC 中点．
因为 G 为 BC 中点，所以 OG //AB，OG 1 AB ． 2
又因为 AB 平面 ABFE，OG 平面 ABFE，
„„14 分
„„ 2 分 „„ 4 分
高三数学试卷第 1 页（共 4 页）
所以 OG//平面 ABFE． （2）连接 EO，FG．因为 BF=CF，G 为 BC 中点，所以 FG BC，
所以
200 T
v
4
，即 T
200 v4
，v
4；
（2）(ⅰ)
当能量次级数为 2 时，由（1）知 E 200c v2 v4
，v 4，
(v 4) 42
200c v4
200c
(v
4)
16 v4
8
≥200c 2
(v
4)
16 v4
8
=3200c
（当且仅当
v
4
16 v4
即
v
8
km/h
时，取等号）
(ⅱ) 当能量次级数为 3 时，由（1）知 E 200c v3 ， v 4 ， v4
x1
2(m 1) 2m
，
x2
2(m 1) m2
，
从而
2(m 1) m2
2(m 1) 2m
4 3
，
解得 m 1， n
2. 2
19．解：（1） T ； （2）只需考虑 f (x) 在[0 ， ] 上的最大值即可.
①当
x
0
， 2
时，令
t
sin
x
cos
x
，则
t
[1，2 ]
，
„„3 分
„„5 分 „„7 分
2
2
从而点
P(m ，n)
在椭圆
x2 2
y2
1 上，
根据椭圆定义知， PF1 PF2 2 2 .
（2）设 A(x1，y1) ， B(x2，y2 ) ，
由
AB
F1F2
8 3
得，
x2
x1
4 3
，
mx 2
ny
1，
由
x
2
y2
2，
得，
4 m2
x2 4mx 4
m2 1
0，
m2
n2
1
2
解得
则 A(1，0，0)， O
1 ，1 ，0 22
， C 0，1，0 ，D1(0，0，1)，
E 1，1，1 ， 442
于是 DE
1，1，1 442
， CD1 0，1，1 .
„„10 分
由
cos
DE，CD1
＝
|
DE CD1 DE | | CD1
|
＝
3. 6
所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为
8
8
9．答案： 1， 3
10．答案：1240
11．答案： 6 2， 6 2
12．答案： 2，0 1，
13．答案：18 π
14．答案：
3 ，1 2e
3e2，5e3 2
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．纸．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
集合中元素等价于满足 3 2n 2i 2 j 3 2n1 的不同解 i，j ，i j，i，j N * ，
若 j n 2 ，则 2i 2 j ≥ 2i 2n3 3 2n1 ，矛盾；
若 j n 2 ，则 2i 2 j ≤ 2i 2n1 ≤ 2n 2n1 3 2n ，矛盾； 所以 j n 2 ．
所以
E
200c
2v2 (v 6) (v 4)2
0
得
v
6，
当 v 6 时， E 0 ；当 v 6 时， E 0 ，
所以当 v 6 时， Emin =21600c ． 答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为 3200c ；
(ⅱ) v 6 km/h 时，该探测器消耗的能量最少．
18．解：（1）由 OA 2 ，知 a 2 ，
t 2 sin(x ) 1在 (0 ， ] 上仅有一解 x ，
4
2
2
„„12 分
当 x ( , ) 时，令 f (x) v(t) t2 t 2 0 ，解得 t=－2 或 1. 2
则 t 2 sin(x ) 2 在 ( ， ) 上无解， t 2 sin(x ) 1 在 ( ， ) 上也无解.
„„ 8 分
当1 2 ji 65 时， j i 6 ， 2i1 31 ，则 i 1 ， j 7 ， 31 满足； 综上： 31 或 403； （注：少一解扣 1 分）
„„ 10 分
高三数学试卷第 4 页（共 4 页）
（3）解：因为 Bn x 3 2n1 x 3 2n，x A ，即 3 2n1 2i1 2 j1 3 2n ，
„„9 分 „„12 分 „„14 分
„„16 分 „„2 分
f (x) u(t) t2 at ，t [1，2]；
②当 x ( ， ]时，令 t sin x cos x ，则 t [1，2] ，
2 f (x) v(t) t2 at 2 , t [1, 2] ；
„„4 分 „„6 分
因为△ABC 的面积为
3 ，所以 2
3 1 absin π ，于是 ab 2
22
6
3.
①
在△ABC 中，设内角 A、B 的对边分别是 a，b.
由余弦定理得1 a2 b2 2ab cos π a2 b2 6 ，所以 a2 b2 7 ．
②
6
由①②可得
a
2，或
a
3，于是 a b 2
， )1
1
.
„„7 分
又设平面 CDE 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，由 n· CD ＝0，n· DE ＝0.
得
y2 0， x2
2(1 )
y2 2(1 )
z2 1
0， 取
x2=2，得
z2＝－λ，即
n＝(－2，0，λ)
.
因为平面 CDE⊥平面 CD1F，所以 m·n＝0，得 λ＝2．
B．选修 4—2：矩阵与变换
解：依题意，BA＝10
0 cosθ k sinθ
－sincθosθ＝012
－1 0，
cosθ＝0 －sinθ＝－1，
从而 ksinθ＝12， kcosθ＝0．
因为 0＜θ＜2π，所以
θ＝π2 ， k＝12．
C．选修 4—4：坐标系与参数方程 解：易得线段 AB 的中点坐标为(5，π3)， 设点 P(ρ，θ)为直线 l 上任意一点， 在直角三角形 OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5， 所以，l 的极坐标方程为 ρcos(θ－3π)＝5， 令 θ＝0，得 ρ＝10，即 C(10，0)．
„„10 分
高三数学试卷第 3 页（共 4 页）
（3）因为 a 1 ，探究 f (x) 在 (0 ， ) 上的零点个数.
当 x (0 , ] 时，令 f (x) u(t) t2 t 0 ，解得 t=0 或 1. 2
则 t 2 sin(x ) 0 在 (0 ， ] 上无解，
4
2
所以 A 2i1 2 j1 ，1≤ i j，i，j N * ，
„„16 分 „„ 2 分 „„ 4 分
因为 2015 A ，所以 2015= 2i1 1 2 ji 513 31 ，
„„ 6 分
因为 j i 0 ，所以1 2 ji 为不小于 3 的奇数，
而1 2 ji 13，31，5 31，13 31，5 13 31 均不满足，所以1 2 ji 5，5 13 ； 当1 2 ji 5 时， j i 2 ， 2i1 403 ，则 i 1 ， j 3 ， 403 满足；
由①②可知， f (x)max max{u(t) ，v(t)} ， t [1，2] . 又 v(t) u(t) 2t2 2≥ 0 ，
所以 f (x)max v(t)max max{v(1) , v( 2)} max{a 1 , 2a} .
„„8 分
所以当 a≤ 2 1 时，的最大值为 a 1；当 a 2 1时，最大值为 2a .
所以 OE//FG，所以 OE AC．
又因为四边形 ABC D 为菱形，所以 AC BD，
因为 OE BD=O，OE、BD 平面 BDE，
所以 AC 平面 BDE．
17．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为 200 ， T
又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小 4 km/h，即 v 4 ，
又 c 1，所以 b2 a2 c2 1 ，
„„ 6 分 „„ 10 分 „„12 分 „„ 14 分 „„ 4 分
„„ 8 分
„„ 12 分 „„ 14 分
高三数学试卷第 2 页（共 4 页）
所以椭圆的方程为
x2 2
y2
1.
因为 P(m，n) 在直线 mx ny 1 上，所以 m2 n2 1 ，
15．解：（1） f (x) 2 3 cos2 x 2sin x cos x =
2
22
3(1 cos x) sin x = 2cos
x
π 6
3．
由 2cos
π 6
3
3
1 ，得 cos
π 6
1 2
，
于是 π 2kπ π (k Z) ，因为 0， ，所以 π ．
6
3
6
（2）因为 C (0，π) ，由（1）知 C π ． 6
4
2
4
2
又因为 x＝时， f ( ) 0 ．
„„14 分
综上， f (x) 在 (0， ] 上有且仅有 2 个零点，分别为 x 与 x .
2
又因为 f (x) 是以为周期的函数，所以 f (x) 在 (0，k ) 上恰有 2n 1个零点，由题意得 2k 1 2015，
则 k 1008 ．