中考专题复习 二次根式知识点总结大全

二次根式

【知识回顾】 1.二次根式：式子

a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：

（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同

a （a ＞0）

a −（a ＜0）

0 （a =0）；

类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab =a ·b （a≥0，b≥0）；

b b

a a

=

（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1、概念与性质

例1、下列各式 1），

其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围

（1）

x x −−

+31

5；（2）

2

2)-(x

例3、 在根式1)

2

2

2;2);3);4)275

x

a b x xy abc +−，

最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)

例4、已知：

例5、已知数a ，b ，若2

()a b −=b －a ，则 ( )

A. a>b

B. a

C. a≥b

D. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将

根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.

； B. －

； C. －

； D.

例2. 把（a －b ）－1

a －

b 化成最简二次根式

例3、计算：

例4、先化简，再求值：

11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512−．

例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：

222

()a b a b −−−

4、比较数值 （1）、根式变形法

当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。 例1、 比较35与53的大小。

（2）、平方法

当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。 例2、比较32与23的大小。

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较

231−与1

21

−的大小。

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较1514−与1413−的大小。

（5）、倒数法

例5、比较76−与65−的大小。

（6）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①0a b a b −>⇔>；②0a b a b −<⇔< 例6、比较2131++与2

3

的大小。

5、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

， 验证：；

验证:.

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4

415

的变形结果，并进行验证；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.

例3、已知a>b>0，a+b=6ab ，则a b

a b

−+的值为（ ） A ．

22

B ．2

C ．2

D ．12

例4、甲、乙两个同学化简

时，分别作了如下变形：

甲：

=

=

；

乙：=。

其中（ ）A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确

【基础训练】

1．化简：（1）72=__ __；（2）22

2524−=___ __

（3）61218⨯⨯=___ _；

（4）3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _； （5）_______420

=−

。

2.)化简

()

2

4−=_________。

3.计算4的结果是

Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4 4. 化简：（1）9的结果是 ； （2）123−的结果是 ；

（3）825−= （4））5x -2x =_____ _； （5）3＋（5－3）=_________； （6） ； （7）

＝________；

（8） ．

5．计算28−的结果是（ ）

A 、6

B 、6

C 、2

D 、2 6

3的倒数是 。

7.下列计算正确的是 A ． B ．

C ．

D ．

8.下列运算正确的是 A 、4.06.1= B 、

()5.15.12

−=−

C 、39=−

D 、

3

294= 9．已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是__________； 10. 比较大小：３

10。

11．使2x −有意义的x 的取值范围是 ．

12.若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是（ ）

A.x >-5

B.x <-5

C.x ≠-5

D.x ≥-5

13. 函数

中，自变量的取值范围是 ．