变化率问题 导数的概念

1.1变化率与导数

1.1.1变化率问题

1.1.2导数的概念

1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．

2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)

3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)

4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)

[基础·初探]

教材整理1函数的平均变化率

阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题．

1．函数的平均变化率

(1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．

(2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．

2．平均变化率的几何意义

设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)

Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1

所示．

图1-1-1

【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

(2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) Δy

Δx 2.斜率

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )

(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )

(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1

x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程

度．( )

【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念

阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度

(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．

(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，

Δs

Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，Δs

Δt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs

Δt ＝lim Δt →0

s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .

2．导数的定义

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是

lim Δx→0Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，

记作____________________，即f′(x0)＝lim

Δx→0Δy

Δx＝lim

Δx→0

_________.

【答案】 1.(1)某一时刻(2)极限

2．f′(x0)或y′|x＝x0f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()

(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()

【解析】(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．

(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．

(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．

【答案】(1)√(2)×(3)×

2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．

【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是

lim Δx→0Δy

Δx

＝lim

Δx→0

f(1＋Δx)－f(1)

Δx

＝lim

Δx→0(1＋Δx)2－12

Δx

＝lim

Δx→0

(2＋Δx)＝2. 【答案】 2

[小组合作型]

求函数的平均变化

率

(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )

【导学号：62952001】

A ．0.40

B ．0.41

C ．0.43

D ．0.44

(2)已知函数f (x )＝x ＋1

x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．

【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算Δy

Δx

【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B

(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝

2＋12－(1＋1)

1＝1

2；

自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3

＝5＋15－⎝ ⎛

⎭⎪⎫3＋132＝14

15.

因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1

x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．

1．求函数平均变化率的三个步骤