变化率问题 导数的概念

1.1变化率与导数
1.1.1变化率问题
1.1.2导数的概念
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)
4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1函数的平均变化率
阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题．
1．函数的平均变化率
(1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．
(2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．
2．平均变化率的几何意义
设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)
Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1
所示．
图1-1-1
【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
(2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) Δy
Δx 2.斜率
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )
(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )
(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1
x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程
度．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念
阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度
(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，
Δs
Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，Δs
Δt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs
Δt ＝lim Δt →0
s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .
2．导数的定义
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim Δx→0Δy
Δx＝lim
Δx→0
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
记作____________________，即f′(x0)＝lim
Δx→0Δy
Δx＝lim
Δx→0
_________.
【答案】 1.(1)某一时刻(2)极限
2．f′(x0)或y′|x＝x0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()
(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()
【解析】(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．
(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．
(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．
【答案】(1)√(2)×(3)×
2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．
【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是
lim Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
f(1＋Δx)－f(1)
Δx
＝lim
Δx→0(1＋Δx)2－12
Δx
＝lim
Δx→0
(2＋Δx)＝2. 【答案】 2
[小组合作型]
求函数的平均变化
率
(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )
【导学号：62952001】
A ．0.40
B ．0.41
C ．0.43
D ．0.44
(2)已知函数f (x )＝x ＋1
x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算Δy
Δx
【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B
(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝
2＋12－(1＋1)
1＝1
2；
自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3
＝5＋15－⎝ ⎛
⎭⎪⎫3＋132＝14
15.
因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1
x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
第三步，求平均变化率Δy
Δx ＝
f(x2)－f(x1)
x2－x1
.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx
的形式．
[再练一题]
1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是() A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
【解析】∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，
∴Δy
Δx
＝
2Δx＋Δx2
Δx
＝2＋Δx，故选C.
【答案】 C
求瞬时速度
(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－1 2
gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是_____．
【精彩点拨】先求出Δs
Δt
，再求lim
Δt→0
Δs
Δt.
【自主解答】(1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－1
2g(t0＋Δt)
2－⎝ ⎛⎭⎪⎫
v0t0－
1
2gt
2
0＝v0Δt－gt0Δt
－1
2gΔt
2，
∴Δs
Δt
＝v0－gt0－1
2gΔt，
∴lim
Δt→0Δs
Δt
＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2
＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2
＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，
∴Δs
Δt
＝
2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt
Δt
＝2(Δt)2＋6Δt＋6，
∴lim
Δt→0Δs
Δt
＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.
【答案】(1)v0－gt0(2)6
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度v＝Δs Δt.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，Δs
Δt无限趋近于常数v，即为瞬时速
度．
2．求Δy
Δx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出Δy
Δx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
[再练一题]
2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).
【导学号：62952002】
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． 【解】 (1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)
Δt
＝lim Δt →0 3Δt －(Δt )2
Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3，
即物体的初速度为3 m/s. (2)v 瞬＝lim Δt →0
s (2＋Δt )－s (2)
Δt
＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)
Δt
＝lim Δt →0
－(Δt )2－Δt
Δt
＝lim Δt →0
(－Δt －1)＝－1，
即物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反． (3)v ＝
s (2)－s (0)2－0
＝6－4－0
2
＝1，
即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.
[探究共研型]
求函数在某点处的导
数
探究1 试求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．
【提示】 Δs Δt ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12
)
Δt
＝－6－3Δt .
探究2 当Δt 趋近于0时探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？
【提示】 当Δt 趋近于0时，Δs
Δt
趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的
瞬时速度．
(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
【精彩点拨】求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．
【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，
∴Δy
Δx
＝
3Δx－(Δx)2
Δx
＝3－Δx，
∴f′(－1)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
(3－Δx)＝3.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴Δy
Δx
＝6＋3Δx，
∴f′(1)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
(6＋3Δx)＝6.
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx 的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率Δy Δx；
(3)求极限，得导数为f′(x0)＝lim
Δx→0Δy Δx.
简记为：一差、二比、三趋近．[再练一题]
3．求函数f(x)＝x－1
x在x＝1处的导数．
【解】∵Δy＝(1＋Δx)－
1
1＋Δx
－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
1
＝Δx＋1－1
1＋Δx ＝Δx＋Δx
1＋Δx
，
∴Δy
Δx
＝
Δx＋
Δx
1＋Δx
Δx
＝1＋1
1＋Δx
，
∴f′(1)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1＋
1
1＋Δx
＝2.
1．函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为() A．6.5 B．7
C．14 D．13
【解析】Δy
Δx
＝
f(3)－f(－1)
3－(－1)
＝
27－(－1)
4
＝7.
【答案】 B
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
【解析】∵Δs
Δt
＝
1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)
Δt
＝5＋Δt，
∴lim
Δt→0Δs
Δt
＝lim
Δt→0
(5＋Δt)＝5(m/s)．
【答案】 C
3．质点运动规律s＝1
2gt
2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于____．
(g＝10 m/s2)
【解析】Δs＝1
2g×(3＋Δt)
2－12g×32
＝1
2×10×[6Δt＋(Δt)
2]＝30Δt＋5(Δt)2，
v＝Δs
Δt
＝30＋5Δt.
【答案】30＋5Δt
4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.
【解析】因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以Δs
Δt ＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为lim
Δt→0
Δs
Δt
＝4a，所以4a＝8，所
以a＝2.
【答案】 2
5．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：
(1)Δy
Δx；(2)f′(1)．
【解】(1)
Δy
Δx
＝
f(1＋Δx)－f(1)
Δx
＝
(1＋Δx)2＋3－(12＋3)
Δx
＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝lim
Δx→0
f(1＋Δx)－f(1)
Δx
＝lim
Δx→0
(2＋Δx)＝2.



















。