人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案

圆
24.1.1 圆
知识点一圆的定义
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。

固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。

第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3）
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直径
知识点一圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知
识点二垂径定理
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB，
A B
AM=BM
垂足为 M AC =BC
AD=BD
D
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如
上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M，
CD⊥AB AM=BM
AC=BC AD=BD
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4 圆周角
知识点一圆周角定理
（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。

（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。

“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆
内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
知识点一点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

（2）用数量关系表示：若设⊙O 的半径是 r，点 P 到圆的距离 OP=d，则有：
点 P 在圆外d＞r；点 p 在圆上d=r；点 p 在圆内d＜r。

知识点二过已知点作圆（1）经过一
个点的圆（如点 A）
以点 A 外的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA 为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

·O
A·O
·O
（2）经过两点的圆（如点 A、B）
以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA（或 OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

A
B
（3）经过三点的圆
①经过在同一条直线上的三个点不能作圆
②不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。

如经过不在同一条直线上的
三个点 A、B、C 作圆，作法：连接 AB、BC（或 AB、AC 或 BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 O，以点 O 为圆心，以 OA（或 OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。

③
A
O
B C
知识点三三角形的外接圆与外心（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，
这个圆叫做三角形的外接圆。

（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

知识
点四反证法
（1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

（2）反证法的一般步骤：
①假设命题的结论不成立；
②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；
③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2 直线和圆的位置关系
知识点一直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。

（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O 的半径是 r，直线 l 与圆心 0 的距离为 d，则有：
直线 l 和⊙O 相交d ＜ r；直线 l 和⊙O 相切d = r；直线 l 和⊙O 相离d ＞ r。

知识点二切线的判定和性质
（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

（3）切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

知识点三切线长定理
（1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（3）注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。

知识点四三角形的内切圆和内心
(1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

(3)注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内
角。

24.2.3 圆和圆的位置关系
知识点一圆与圆的位置关系（1）圆
与圆的位置关系有五种：
①如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；
②如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；
③如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

（2）圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：
若设两圆圆心之间的距离为 d，两圆的半径分别是 r r,且 r ＜ r，则有
两圆外离d＞r+r两圆外切d=r+r两圆相交-r＜d＜r+r两圆内切d=r-r两圆内含d＜r-r
24.3 正多边形和圆
知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正
多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正
多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二正多边形的性质
（1）正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成 2n 个全等的直角三角形。

（2）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都经过正 n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时，这个正 n 边形也是中心对称图形，正 n 边形的中心就是对称中心。

（3）正 n 边形的每一个内角等于(n? 2) ?180?
，中心角和外角相等，等于
360?。

n n
24.4 弧长和扇形面积
n?R
知识点一弧长公式 l= 180
n n?R 在半径为 R 的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式 l= ×2πR=。

360 180 知识点二扇形面积公式
n?R 2 在半径为 R 的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为 S = 360。

比较扇形的弧长公式和面积公式发现：
n?R 2 n?R 1 1 1
S = 360 ? 180 ? 2 R? 2
lR,所以s
扇形? 2 lR
知识点三圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。

设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为
r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积s圆锥侧?1
2?2?r?l??rl。

圆锥的全面积为
s圆锥全? s圆锥侧? s底??rl??r2。

练习：
一．选择题（共10小题）
1．下列说法，正确的是（）
A．弦是直径B．弧是半圆
C．半圆是弧D．过圆心的线段是直径
2．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6c m
（2题图）（3题图）（4题图）（5题图）（8题图）
3．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM 经过圆心O交⊙O于点E．若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（）
A．4 B．6C．8D．9
4．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）
A．51°B．56°C．68°D．78°
5．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）
A．25°B．50°C．60°D．30°
6．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内
C．点A在圆外D．无法确定
7．已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．外切
8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．2，πC．，D．2，
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长（）A．2πB．πC．D．
10．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）A．12πB．24πC．6πD．36π
二．填空题（共10小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．（9题图）（10题图）（11题图）（12题图）
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若∠A=40°，则∠B=度．
（13题图）（14题图）（15题图）（17题图）
14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为．
15．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为．
16．已知一条圆弧所在圆半径为9，弧长为π，则这条弧所对的圆心角是．
17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．
18．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是．
19．如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是．
20．半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为．
三．解答题（共5小题）
21．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
22．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
24．如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）25．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积．
新人教版九年级数学上册第二十四章圆单元试题参考答案
一．选择题（共10小题）
1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．B 7．C 8．D 9．B 10．B
二．填空题（共10小题）
11．12．50°13．70 14．1或5 15．54°16．50°17．2π
18．24π19．20πcm220．60°
三．解答题（共5小题）
21．（1）证明：连接AC，如图∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，，∴，∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，∴，
又∵BE=OE，∴OE=2，∴，∴．
（21题图）（22题图）（23题图）（24题图）
22．证明：连结OC，如图，
∵OD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3，又∵OB=OC，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，∴AD=DC．
23．（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S阴影=4π﹣8．
24．解：连接OC，∵AB与圆O相切，∴OC⊥AB，
∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°，
在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，∴OC=OA=2，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，AC==2，即AB=2AC=4，
则S阴影=S△AOB﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣．故阴影部分面积4﹣．25．解：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，所以圆锥的母线长==13，所以圆锥的表面积=π?52+?2π?5?13=90π．。