算法试卷(示例)

一、判断题（10分，共5题）
1、近似算法解最优化问题时需保证得到的结果在一定误差之内。

（ √ ）
2、剪枝函数就是约束函数。

（ × ） 3、蒙特卡罗方法可以精确得到状态空间树上实际生成的结点数。

（ × ）
4、渐近时间复杂度使得可以在数量级上估计一个算法的执行时间。

（ √ ）
5、一般称用于确定n 个元素的排列满足某些性质的状态空间树为排列树。

（ √ ）
二、填空题（20分，共10空）
1、辗转相除法又称 欧几里德算法 ，是一种求两个整数的 最大公约数 的算法。

2、很多情况下，可以通过考察一个程序中 关键操作 的执行次数，来估算算法的渐近时间复杂度。

3、如果f(n)=a m n m
+a m-1n m-1
+…+a 1
n+a 0
是m 次多项式，且a m
>0，则f(n)=O( n m
)。

4、贪心法在算法的每一步上根据 最优量度标准 选择分量，只需保证形成的部分解不违反约束条件，最终得到的n-元组必定是 最优解 。

5、Cook 定理表明 可满足性问题 是NP 完全的。

若问题Q ∈NP 且Q 是 NP 难度 的，则称Q 是NP 完全的。

6、信息安全的目标是保护信息的机密性、 完整性 ，并具有 抗否认性 和可用性。

三、选择题（10分，共5题）
1、二分搜索算法的执行过程可以用一个（ B ）来描述。

A ．哈夫曼树
B ．二叉判定树
C ．堆栈
D ．队列
2、实时系统最关心系统（ C ）情况下的时间复杂度。

A ．最好
B ．平均
C ．最坏
D ．所有
3、下面关于备忘录方法的说法中（ A ）是错误的。

A ．备忘录方法自底向上求解。

B ．备忘录方法为每个已解过的子问题建立备忘录进行保存。

C ．备忘录方法是动态规划法的变形。

D ．当只有部分子问题需要求解时，选用备忘录方法较好。

4、若已知RSA 算法中的公开密钥为{e,n}，私人密钥为{d,n}，M 为明文分组，C 是M 对应的密文。

则加密公式为（ A ） A ．C=M e mod n
B ．C=M d mod n
C ．M=C e mod n
D ．M=C d mod n
5、下面（ D ）不是针对RSA 算法的攻击方式。

A ．大整数分解 B ．时间攻击 C ．中间人攻击 D ．数字认证
四、问答题（50分，共5题）
1、（1）请写出分治法的算法思想。

（2）分治法求解的问题通常得到一个递归算法，若算法的执行时间可以表
示为T(n)=aT(n/b)+cn k ，T(1)=c ，请给出该算法渐近时间复杂度的解。

答：（1）分治法的算法思想是1）将一个难以直接求解的复杂问题分解成若干个规模较小、相互独立，但类型相同的子问题。

2）如果子问题还比较复杂而不能直接求解，还可以继续细分，直到子问题足够小，能够直接求解为止。

3）最后，再通过组合子问题的解，来得到原始问题的完整解。

（2）log ()()(log )()b a k
k k
k k n a b T n n n a b
n a b ⎧Θ>⎪=Θ=⎨⎪Θ<⎩
若若若
2、请画出W={1，3，5，7，8，10}的三路最佳合并树。

答：因为n=6，k=3，(n-1)%(k-1)=1，需补齐一个虚结点。

3、下图所示的AOE 网中
（1）求每个事件（结点）i 可能的最早发生时间earliest(i)和允许的最迟发生时间latest(i)。

（2）求从源点0到汇点5的关键路径长度。

（3）找出图中所有的关键活动。

（4）写出图中所有的关键路径。

解：（1）
（2）关键路径长度：9
（3）关键活动：<0,1><1,3><1,4><3,5><4,5>
（4）关键路径：(0,1,3,5)和(0,1,4,5)
4、请用启发式方法计算0/1背包问题。

背包载重为M=6，有4件物品的重量为(w0，w1，w2，w3)=（3.3，2，1.2，5），放入背包的收益分别为（p0，p1，p2，p3）=（4，5，6，1）。

背包最大收益是多少？最优解是什么？
（注：最优解中的解分量x i表示物品i放入背包的比例。

）
解：ProfLeft（0）=16，ProfLeft（1）=12，ProfLeft（2）=7，ProfLeft（3）=1，ProfLeft （4）=0。

物品0，1放入背包总重量5.5<M=6，收益9，得一可行解L=9。

S0={（0，0），（3.3，4）} x0=0
S1={（2，5），（5.3，9）} x1=1
S2={（3.2，11）} x2=1
S3={（3.2，11）} x2=0
所以最大收益是11，最优解是（0，1，1，0）。

5、设有n=4个正数的集合W={w0,w1,w2,w3}=（3，5，8，10）和整数M=13,求W中元素之和等于M的所有子集。

画出对于这一实例由SumOfSub算法实际生成的那部分状态空间树，并给出所有可行解。

解：（1）实际生成的状态空间树：
（2）可行解有：（1，0，0，1）和（0，1，1，0）
五、算法设计题（10分）
1、请利用快速排序算法的思想，用分治法设计一个算法选出n个元素中第k
小的元素。

请尽可能的说清楚你的算法，不用给出具体程序。

答：每一步根据一个随机选取的元素对输入数组进行递归划分，只对含有第
k小元素的那部分子数组进行递归操作——即寻找x[k]位置的所有者。