算法习题

算法设计与分析试卷

一、填空题（20分，每空2分）

1、算法的性质包括输入、输出、确定性、有限性。

2、动态规划算法的基本思想就将待求问题分解成若干个子问题、先求解子问题，然后

从这些子问题的解得到原问题的解。

3、设计动态规划算法的4个步骤：

（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。

（2）递归地定义最优值。

（3）以自底向上的方式计算出最优值。

（4）根据计算最优值得到的信息，构造最优解。

4、流水作业调度问题的johnson算法：

（1）令N1={i|ai=bj};

（2）将N1中作业依ai的ai的非减序排序；将N2中作业依bi的非增序排序。

5、对于流水作业高度问题，必存在一个最优调度π，使得作业π（i）和π（i+1）满足Johnson不等式min{bπ(i),aπ(i+1)}≥min{bπ(i+1),aπ(i)}。

6、最优二叉搜索树即是最小平均查找长度的二叉搜索树。

二、综合题（50分）

1、当（a1,a2,a3,a4,a5,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为∑ak(2<=k<=4)=20（5分）

2、由流水作业调度问题的最优子结构性质可知，T（N，0）=min{ai+T(N-{i},bi)}(1=

3、最大子段和问题的简单算法(10分)

int maxsum(int n,int *a,int & bestj)

{

Int sum=0;

for (int i=1;i<=n;i++)

for (int j=i;j<=n;j++)

int thissum=0;

for(int k=i;k<=j;k++)

this sum+=a[k];

if(thissum>sum){

sum=thissum;

besti=i；

bestj=j;}

}

return sum;

}

4、设计最优二叉搜索树问题的动态规划算法OptimalBinarysearchTree? (15分)

Void OptimalBinarysearchTree(int a,int n,int * * m, int * * w)

{

for(int i=0;i<=n;i++) {w[i+1][i]=a[i]; m[i+1][i]= 0;}

for(int r=0;r

for(int i=1;i<=n-r;i++){

int j=i+r;

w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];

m[i][j]= m[i+1][j];

s[i][j]=i;

for(int k=i+1;k<=j;k++){

int t=m[i][k-1]+m[k+1][j];

if(t

}

m[i][j]=t; s[i][j]=k;}

}

5、设n=4, (a1,a2,a3,a4)=(3,4,8,10), (b1,b2,b3,b4)=(6,2,9,15) 用两种方法求4个作业的最优调度方案并计算其最优值？（15分）

法一：min(ai,bj)<=min(aj,bi)

因为min(a1,b2)<=min(a2,b1)

所以1→2 (先1后2)

由min(a1,b3)<=min(a3,b1)

得1→3 （先1后3）

同理可得：最后为1→3→4→2

法二：johnson算法思想

N1＝{1，3，4} N2＝{2}

N¹1＝{1，3，4} N¹2＝{2}

所以N¹1→N¹2

得：1→3→4→2

三、简答题（30分）

1、将所给定序列a[1:n]分为长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有哪三种情形？(10分)

答：（1）a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同。

（2）a[1:n]的最大子段和与的最大子段a[n/2+1:n]和相同。

（3）a[1:n]的最大子段和为∑ak(i=

2、由0——1背包问题的最优子结构性质，可以对m（i,j）建立怎样的递归式? (10分)

（1）m（i,j）=max{m(i+1,j),m(i+1,j-wi)+ui} (j>=wi)

或则m（i,j）= m(i+1,j) (0<=j

（2）m(n,j)=un j>=wn 或则m(n,j)=0 0<=j

3、0——1背包求最优值的步骤分为哪几步？（10分）

（1）、p[n+1]={(0,0)}

（2）、由p[i+1]→q[i+1], q[i+1]=p[i+1]⊕(wi,vi)

（3）、Mij=p[i+1]∪q[i+1]

Pi=Mij——其中的受控点＝p[i+1]∪q[i+1]——其中的受控

（4）、重复（2）-（3）直到求出P[1]。

4、请说明算法的五个基本特性，并进行简要的分析(5分)

答：算法的五个基本特性如下：

①确定性算法的每一种运算必须要有确切的定义，即每一种运算应该执行何种动作必须是相当清楚的、无二义性的。

③输入一个算法有0个或多个输人，这些输人是在算法开始之前给出的量，它取自特定的对象集合。