第二章课后习题答案

第二章 容斥原理课后习题答案
1、某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇1次，一人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议？
解：设A i 为甲与i 个朋友相遇的会议集合，i ＝1, 2, …, 6，根据题意，|A 1|=12⨯C (6, 1)，|A 2|=6⨯C (6, 2)，|A 3|=4⨯C (6, 3)，|A 4|=3⨯C (6, 4)，|A 5|=2⨯C (6, 5)，|A 6|=1⨯C (6, 6)，根据容斥原理，甲在会上至少遇见一位朋友的会议次数为||||||||||||12345628A A A A A A -+-+-=。

甲在会上一人也没有遇见的有5次，根据加法法则，甲共参加会议次数为28+5=33。

2、求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数。

解：令A 3为1到500的整数中被3整除的数的集合，A 5为1到500的整数中被5整除的数的集合，A 7为1到500的整数中被7整除的数的集合。

根据题意，所求的整数个数为
357353575005003342935357A A A A A A A A ⎢⎥⎢⎥
=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦
3、A 、B 、C 三种材料用作产品I 、II 、III 的原料，但要求I 禁止用B 、C 作原料，II 不能用B 作原料，III 不允许用A 作原料，问有多少种安排方案？（假定每种材料只做一种产品的原料）
解：按题意可得如下的带禁区的棋盘，其中有阴影的表示禁区。

棋盘多项式为
R
)=
R R =(1+x )(1+3x +x 2)=1+4x +4x 2+x 3
故方案数=3!－4×2!+4×1!－1×0!＝1
4、在由a, a, a, b, b, b, c, c, c 组成的排列中，求满足下列条件的排列数。

(a) 不存在相邻3元素相同； (b) 相邻两元素不相同。

解：(a) 设T 为a, a, a, b, b, b, c, c, c 设A 1：出现3个相邻a 的排列的集合 A 2：出现3个相邻b 的排列的集合 A 3：出现3个相邻c 的排列的集合 根据容斥原理，所求的排列数为
||1239!7!5!
333!13143!3!3!3!3!3!
A A A =
-⨯+⨯-= (b) 设T 为重集B ={3*a, 3*b, 3*c}的排列全体集合，则||9!
16803!3!3!
T =
=。

设A 1为重集B 1={a, X , 3*b, 3*c}的排列全体集合，A 2为重集B 2={3*a, b, Y , 3*c}的排列全体集合，A 3为重集B 3={3*a, 3*b, c, Z }的排列全体集合，其中X ='aa'，Y ='bb'，Z ='cc'，则
||||||1238!7!
9803!3!3!3!A A A ===-=
I II
设A 4为重集B 4={a, X , b, Y , 3*c}的排列全体集合，A 5为重集B 5={3*a, b, Y , c, Z }的排列全体集合，A 6为重集B 6={a, X , 3*b, c, Z }的排列全体集合，其中X ='aa'，Y ='bb'，Z ='cc'，则
||||||4567!6!5!
26203!3!3!
A A A ===-⨯+=
设A 7为重集B 7={a, X , b, Y , c, Z }的排列全体集合，其中X ='aa'，Y ='bb'，Z ='cc'，则
||76!5!34!33!426A =-⨯+⨯-=
根据容斥原理，所求的排列数为
1680-3×980+3×620-426=174
5、求从O (0, 0)点到P (8, 4)点的路径数，已知(2, 1)到(4, 1)的线段，(3, 1)到(3, 2)的线段被封锁。

解：设S 为O (0, 0)点到P (8, 4)点的所有路径的集合。

则
()
||844954
S +== 令A 1表示S 中经过线段(2, 1)→(3, 1)的路径
A 2表示S 中经过线段(3, 1)→(4, 1)的路径
A 3表示S 中经过线段(3, 1)→(3, 2)的路径，则
1231221(83)(41)38168
1411331(84)(41)47140
1411331(83)(42)4784
1421221(84)(41)31411A A A A A +-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭13231237105321(83)(42)3763
1421200
A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==
根据容斥原理，有
123495(16814084)(105630)0271A A A =-+++++-=
6、求满足条件12312320,39,08,717x x x x x x ++=≤≤≤≤≤≤的整数解的数目。

解：作变量代换1122333,,7y x y x y x =-==-
则方程变为12312310,06,08,010y y y y y y ++=≤≤≤≤≤≤ 令P 1为性质17y ≥，P 2为性质29y ≥，P 3为性质311y ≥
并设S 为12310y y y ++=的非负整数解集合，A i 为S 中满足性质Pi （i =1, 2, 3）的集合， 则所求问题变成在S 中计算123A A A 。

8, 4)
112312311223312310(7,0,0)7,,331||10
3131||3||0
1A y y y y y y z y z y z y A A A ++=≥≥≥=-==+-⎛⎫
== ⎪⎝⎭
+-⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
是方程 的整数解集合，通过作代换，可得 同理可得， 121323123123||||||||0103110366135310A A A A A A A A A A A A ====+-⎛⎫
=-
+=-= ⎪⎝⎭
根据容斥原理，有
（）
7、n 个单位各派两名代表去出席一会议。

2n 位代表围一圆桌坐下。

试问：
(a) 各单位代表并排坐着的方案是多少？
(b) 各单位的两人互不相邻的方案数又是多少？
解：(a) 首先把n 个单位的两名代表分别看作一个整体，进行圆排列， 然后各单位的两名代表可分别进行换位， 根据乘法法则，方案是方案数为(n -1)!2n 。

(b) 设第i 单位代表相邻的方案集合为A i （i =1, 2, …, n ）， 根据容斥原理，所求方案数为
01(1)(21)!2n
n
k k
i
k i n A n k k ==⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑ 8、一书架有m 层，分别放置m 类不同种类的书，每层n 册。

先将书架上的图书全部取出
清理。

清理过程要求不打乱所有的类别。

试问： (1) m 类书全不在各自原来层次上的方案数有多少？
(2) 每层的n 本书都不在原来位置上的方案数等于多少？
(3) m 层书都不在原来层次，每层n 本书也不在原来位置上的方案数又有多少？ 解：令错排数1111!1...(1)1!2!3!!n n D n n ⎛
⎫=-+-++- ⎪⎝
⎭
(1) 方案数为(!)m m D n ⨯
(2) 方案数为0(!)m
k m k
k n k m D n D k -=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
∑
(3) 方案数为m
m n D D ⨯。