线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数

线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系.

在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.

一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性

二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径

三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力

线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查

四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识

计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，

第一章行列式

一.概念复习

1. 形式和意义

形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:

a11 a12 (1)

a21 a22 (2)

……….

a n1 a n2…a nn

如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|.

意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.

请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.

当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)

每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.

行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.

2. 定义(完全展开式)

一般地,一个n阶行列式

a11 a12 (1)

a21 a22 (2)

………

a n1 a n2…a nn

的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:

n

nj

j

j

a

a

a

2

1

2

1

,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。

所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.

逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:

2

3

2

3

215

6

3

4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.

则项

n

nj

j

j

a

a

a

2

1

2

1

所乘的是.

)1

()

(2

1n

j

j j

即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值:

a11 a12 (1)

a21 a22…a2n =.

)1

(

2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

n

n

n

nj

j

j

j

j j

j

j j

a

a

a

………

a n1 a n2…a nn

这里

n

j

j j

2

1

表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式.

用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.

3、对角行列式计算

行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.

对角行列式,上三角、下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的乘积。 关于副对角线：

(1)2

1121

21

1211

1

(1)

n n n

n

n n n n n n n a a a a a a a a a

K N N

4、代数余子式

把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij

的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.

定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.

5、化零降阶法

化零降阶法 用行列式的性质把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式；或者直接把行列式化成三角行列式，

化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 6、行列式的性质

① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .

② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |.

③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.

④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.

⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.

⑥ 如果在行列式某一行、列的元素，加上另一行、列对应元素的K 倍，则行列式的值不变。

⑦某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.

7.范德蒙行列式：

形如

1 1 1 … 1 a 1 a

2 a

3 … a n

a 12 a 22 a 32 … a n 2

… … … …

a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-I 的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j j

i a a

因此范德蒙行列式不等于0? a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.

对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.

8、克莱姆法则

克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0，则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值。

说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值，因此法则的主要意义在理论上，用在对解的唯一性的判断。

法则的改进:系数行列式不等于0是非齐次线性方程组有唯一解的充要条件. 用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |0，或者表述为：如果齐次方程组有非0解，则它的系数行列式|A |=0。第四章可证明：|A |=0是齐次方程组有非0解的充要条件。