第9章 响应面设计分析

(2)设计变量和响应变量
明确试验目的及确定设计变量和响应变 量是首先要解决的问题。首先要理清欲考察 谁对谁的影响或谁对谁的关系，从机理层面 上分析因果关系，确定哪些是自变量，哪些 是因变量。 根据试验目的，发酵浓度、pH值及原料 配比应是设计变量(试验因素)，沼气产量和 甲烷含量应是响应变量(试验指标)，欲研究 因素对指标的影响程度、变量间关系及关系 密切程度。
y1 y 2 y y n1 yn
响应向量
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0 1 p 12 q 11 p 1 p 11 回归参数向量 pp
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本章内容
10.2 响应面设计 10.2.1 因素水平编码 10.2.2 中心组合正交设计 10.2.3 中心组合可旋转设计 10.2.4 中心组合正交旋转设计 10.2.5 Box-Behnken Design 10.2.6 Hybrid Design 10.2.7 设计方案的响应精度 10.2.8 响应面设计的SAS实现
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10.1 一般性问题
(4)设计点类型和数目
试验设计若满足基本要求，则全部回归 估计和假设检验可进行；否则，只有部分回 归估计和假设检验可进行。响应面设计一般 可能存在下述三种情形： (1)n<q，称作欠饱和设计。析因设计点采 用部分析因设计、中心设计点重复较少时可 能产生这种情况。部分回归系数不能估计， 全部检验不能进行。
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(3)响应面分析
y X
(7)岭脊分析：它以中心试验点为原点，在 试验范围内以到原点的距离为半径搜索响应 面上的最大或最小响应点，最后获得由一系 列距离及其最佳响应点构成的集合，可据此 选择需要的最佳水平组合； (8)等值线分析：垂直于不同坐标轴剖切响 应面，获得响应面的等值线，可从不同剖面 观察试验的响应特性。


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(1)响应面模型
考察第i次试验，用响应面模型表述响应变 量y与自变量(x1,x2,…,xp)样本观测间的关系：
p p p p 2 y x x x x i 0 j ij jj ij ij jj ij i j 1 j 1 j 1 j 1 j j 2 i 1,2, , n i ~ N 0,
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10 响应面设计与分析
(2)响应面设计
y X
响应面设计的特点：(1)正交化设计，试 验布点均衡分散，代表性强；(2)统计控制响 应的精度，优化试验的响应特性；(3)力图实 现尽可能少的试验次数；(4)实现能对因素效 应进行独立解释的试验方案；(5)实现能求解 最佳试验处理的试验方案。响应面设计最终可 归结为对设计矩阵的优化设计，按试验点的分 布及特性，可分为正交设计、中心组合设计、 旋转设计和最优设计等。
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10 响应面设计与分析
本章内容
10.1 一般性问题 10.1.1 案例和解决方案 10.1.2 设计变量和响应变量 10.1.3 设计点类型和空间分布 10.1.4 设计点类型和数目 10.1.5 设计编码和归一化编码 10.1.6 试验方案和设计矩阵
y f ( x1，x 2， ，xl )
，xl )是自变量 其中 f( x1，x2，
x1，x 2， ，xl 的函数，
是误差项。
在响应面分析中，首先要得到回归方程，然后通过对自变
，xl 的合理取值，求得使 y ˆ f ( x1，x 2， ，xl ) 量 x1，x 2，
最优的值，这就是响应面设计试验的目的。
影响因子
(2006年数据)
10.452 6.352 3.799 2.358 2.327 1.535 1.387 1.375
Journal of Food Engineering
European Food Research and Technology Journal of Food Science
1.209
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10 响应面设计与分析
(3)响应面分析
y X
响应面分析(Response Surface Analysis) 是与响应面设计配套的数据分析方法,主要任 务如下： (1)回归方程估计和检验； (2)回归参数估计和检验； (3)模型拟合不足检验； (4)因素效应检验； (5)一次项、二次项及交叉项模型效应检验； (6)典型分析：求解响应面驻点及其响应；
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10.1 一般性问题
Universality Problems
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10.1 一般性问题
(1)案例和解决方案
响应面设计与分析的过程陈述，将通过 下面的案例展开。 案例：某温室废弃物制沼气试验，试验因素 为配料浓度(ferment)、PH值(PH)和配料比 (scale)，检测指标为产气量(gasvalue)和甲 烷含量(CH4)。试完成试验设计、试验实施 和试验结果分析，找出最佳处理，以提高产 气量为目标确定下一步试验的方向。
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(1)响应面模型
响应面模型 是多元二次多项式
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(1)响应面模型
连续定量的变量间关系，可用下面的二 次响应面模型描述：
y f x p p p 2 0 j x j jj x j x j jj x j j 1 j j j 1 ~ N 0, 2 ，j 1,2,, p，j ' 1,2,, p
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本章内容
10.3 响应面分析 10.3.1 数据整理 10.3.2 SAS编程 10.3.3 简单统计 10.3.4 响应面回归分析 10.3.5 响应面典型分析 10.3.6 响应面岭脊分析 10.3.7 响应面图形分析
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响应面设计(Response Surface Design) 是一种探析变量间相关关系的试验设计 方法，亦称回归设计。它从控制响应精度分 布特性的角度出发，着眼于实现诸多优良统 计特性，设计并优化变量的水平组合(处理) 或试验点。与其它试验设计方法不同，它以 “果”的要求设计“因”的水平组合(处理)， 而不是以效应要求设计“因”的水平组合。
适用范围
确信或怀疑因素对指标存在非线性影响； 因素个数2-7个，一般不超过4个； 所有因素均为计量值数据； 试验区域已接近最优区域； 基于2水平的全因子正交试验。
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(4)设计点类型和数目
自变量个数p，水平数a，回归参数个数q， 试验容量n,析因点数np,主轴点数n,中心点数n0 ap-k部分析因设计点、主轴设计点和中心设计点
试验容量n n p n n0 a
p k
2 p n0
p p p p 1 p 2 q 1 2 1 2 1 一般要求n q
1.084 0.99
什么是RSM？
响应面设计方法(Response Surface Methodology， RSM)是利用合理的试验设计方法并通过实验得到一定
数据，采用多元二次回归方程来拟合因素与响应值之
间的函数关系，通过对回归方程的分析来寻求最优工
艺参数，解决多变量问题的一种统计方法。
在响应分析中，观察值y可以表述为：
响应面试验设计
Response surface methodology
缩写RSM
杂志名称 Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America Journal of Biomedical Materials Research Biomaterials Applied Microbiology and Biotechnology Journal of Agricultural and Food Chemistry Food Chemistry Bioresource Technology Process Biochemistry
x1 p x2 p xnp
x11 x12 x21 x22 xn1 xn 2
x1 p1 x1 p x2 p1 x2 p xnp 1 xnp
x12p 2 x2 p 2 xnp
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(1)响应面模型
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10.1 一般性问题
(3)设计点类型和分布
(-1,-1,1)

(-1,1,1)
x3
(1,-1,1)

中心点
(1,1,1)


(-1,-1,-1)
o x1

x2
(-1,1,-1)
(1,-1,-1)
主轴点

析因设计点 (1,1,-1)
因素的水平组 合称作处理，亦 称试验点或设计 点，用几何形式 表述主要有析因 设计点、主轴设 计点和中心设计 点三种类型，还 有棱边设计点和 其它设计点等。
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10.1 一般性问题
(1)案例和解决方案
解决问题选用响应面设计和分析，主要 依据是：(1)与线性模型相比，响应面模型 是二次曲面，它能更逼近地拟合实际问题中 的变量间关系；(2)与其它设计相比，响应 面设计是较强效应检验和较小试验方案的完 美结合；(3)典型分析确定响应面的驻点， 并判断是鞍点还是最优点，为确定最佳处理 提供信息；
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10.1 一般性问题
(1)案例和解决方案
(4)岭脊分析给出从中心点出发到试验边界 终止的最优点轨迹（岭脊），为确定最佳处 理提供多种选择；(5)网格图和等值线图展 示响应面形状、变化规律和变化趋势，为搜 寻最佳处理的下一步试验提供方向性信息。
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(1)响应面模型
~ MVN n 0, I
2
1 2 i n 1 残差向量 n
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响应面模型
y X
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(2)响应面设计
y X


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(1)响应面模型
所有n个变量观测间的关系，用矩阵形 式的二次响应面模型表述如下：
y X
1 x11 X X 1 x21 n q 1 1 xn1
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设计矩阵
2 x11 2 x21 2 xn 1