3.1不等式
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
• 同向不等式： • 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的 左边都小于右边（不等号的方向相同）. • 异向不等式： • 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个 的左边小于右边（不等号的方向相反）. • 同解不等式 • 形式不同但解相同的不等式。 • 其它重要概念 • 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2
2a 1)( a
2
2a 1)
与 (a 2 a 1)(a 2 a 1) 的大小．
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小 2 4 3 4
• 解： (2x +1) - (2x +x ) = 2x +1 - 2x3 _ x2 • = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) • = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) • = (x－1) [2x3 - (x +1) ] • = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] • = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) • = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • 技能： • 分组组合；添项、拆项；配方法。
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
§3 3.1 基本不等式
a
b
ab
图1
图2
均为正数， 例 1 设 a, b 均为正数，证明不等式 ab ≥
2 1 1 + a b
.
证明
均为正数，由基本不等式， 因 a, b 均为正数，由基本不等式，可知
1 1 + a b≥ 1 2 ab
也即 ab ≥
2 1 1 + a b
等号成立． ，当且仅当 a = b 时，等号成立．
如图， 的直径， CB=b,过点 如图，AB 是圆 O 的直径，AC= a , CB=b,过点 C 作 CD⊥ AB 交圆 O 上半圆于 D，过 C 作 CE ⊥ OD交 OD 于 E，你能给出这 个不等式的几何解释吗 个不等式的几何解释吗？
a +b 由射影定理可知： 由射影定理可知：CD= ab ，而 OD= ． 2
对于基本不等式，用文字语言可叙述为叙述为： 圆的半径不小于弦长的一半． 圆的半径不小于弦长的一半． 从数列的角度可叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项． 两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．
mab = mx2 ，即 x = ab ．
另外，我们可以把两个正数a,b看成是两条线段的长 另外，我们可以把两个正数a,b看成是两条线段的长 a,b 度，并以它们为边作一长方形，如图1，如果我们想作一 并以它们为边作一长方形，如图1 正方形，使它的面积等于这个长方形的面积， 正方形，使它的面积等于这个长方形的面积，那么它的边 长 ab 就是 a b的几何平均数，如图2. 和 的几何平均数，如图2.
几何平均数的解释： 几何平均数的解释： 对于正数a,b的几何平均数，我们可以有以下两种解释： 对于正数a,b的几何平均数，我们可以有以下两种解释： a,b的几何平均数
3.1 认识不等式八年级上册数学浙教版
说明：有些不等式中不含未知数，如 ；有些不等式中含有未知数，如 .
3.常见不等号及实际意义：
名称
符号
读法
实际意义
举例
小于号
＜
小于
小于、不足、低于、少于
大于号
＞
大于
大于、高出、超过、多于
小于等于号
≤
小于或等于
不大于、不超过、至多、最多
大于等于号
知识点3 在数轴上表示简单的不等式 重难点
所有的实数在数轴上都可以找到一个点与之对应，所以数轴上的点可以表示全体实
不等式
意义
表示小于 的全体实数
表示大于 的全体实数
表示小于或等于 的全体实数
表示大于或等于 的全体实数
在数轴上的表示
本节知识归纳
解：（1） ；（2）（4）
（2） 的 与 的 的和是非负数； “非负数”即“正数和0”，用“ <m></m> ”表示
（3） 与3的和不小于5； “不小于”即“大于或等于”，用“≥”表示
（4） 的 与 的和大于 的3倍.
例题点拨：用不等式表示不等关系时，尤其要注意条件中是否含有“不”字，如不少于、不低于用“≥”表示，不大于、不超过用“≤”表示.
知识点2 列不等式重点 重点
1.用不等式表示不等关系的一般步骤：
（1）找准题中表示不等关系的量；
（2）正确理解题中表示不等关系的词语，如多、少、快、慢、超过、不足等确切的含义；
（3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的量连接起来.
2.常见不等式的基本语言与符号表示：
不等式的基本语言
符号表示
不等式的基本语言
典例2 用“＜”“＞”“≥”或“≤”填空：
高中数学 第3章 不等式 3.1 不等式的基本性质教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一第一册
3.1 不等式的基本性质学习目标核心素养1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值X围．(难点)和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？1．不等式(1)不等式的定义用数学符号“>〞“<〞“≥〞“≤〞“≠〞连接两个数或代数式，这些含有这些不等号的式子叫做不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b〞，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b〞，即假设a>b或a＝b中有一个正确，那么a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b〞，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b〞，即假设a<b或a＝b中有一个正确，那么a≤b正确．(3)不等式中常用符号语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤2(1)如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；(2)如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；(3)如果a－b是负数，那么a<b，即a－b<0⇔a<b．3．不等式的基本性质性质1: 假设a >b ，那么b <a ；(自反性)，a >b ⇔b <a ． 性质2：假设a >b ，b >c ，那么a >c ；(传递性) 性质3：假设a >b ，那么a ＋c >b ＋c ；(加法保号性) 性质4：假设a >b ，c >0，那么ac >bc ；(乘正保号性) 假设a >b ，c <0，那么ac <bc ；(乘负改号性)性质5：假设a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d ；(同向可加性) 性质6：假设a >b >0，c >d >0，那么ac >bd ；(全正可乘性) 性质7：如果a >b >0，那么a n>b n(n ∈N *)．(拓展)提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． (2)要注意每条性质是否具有可逆性．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)假设ac >bc ，那么a >b ．( ) (2)假设a ＋c >b ＋d ，那么a >b ，c >d ． ( )(3)假设a >b ，那么1a <1b．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．a 1，a 2∈()0，1，记M ＝a 1a 2, N ＝a 1＋a 2－1，那么M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定B [由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝()a 1－1()a 2－1>0，故M >N ．应选B ．] 3．假设x ＞y ，且x ＋y ＝2，那么以下不等式一定成立的是( ) A ．x 2＜y 2B ．1x ＜1yC ．x 2＞1D ．y 2＜1C [因为x ＞y ，且x ＋y ＝2，所以2x ＞x ＋y ＝2，即x ＞1，那么x 2＞1，应选C ．]利用不等式的性质判断和解不等式[例1] (1)对于实数a ，b ，c ，给出以下命题： ①假设a >b ，那么ac 2>bc 2； ②假设a <b <0，那么a 2>ab >b 2； ③假设a >b ，那么a 2>b 2； ④假设a <b <0，那么a b >b a． 其中正确命题的序号是．(2)求解关于x 的不等式ax ＋1>0(a ∈R )，并用不等式的性质说明理由． (1)②④[对于①∵c 2≥0，∴只有c ≠0时才成立，①不正确； 对于②，a <b <0⇒a 2>ab ；a <b <0⇒ab >b 2，∴②正确；对于③，假设0>a >b ，那么a 2<b 2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确； 对于④，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2． 又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >b a，④正确．所以正确答案的序号是②④．](2)[解] 不等式ax ＋1>0(a ∈R )两边同时加上－1得ax >－1 (不等式性质3)，当a ＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x ∈R ， 当a >0时，不等式两边同时除以a 得x >－1a(不等式性质4)，当a <0时，不等式两边同时除以a 得x <－1a(不等式性质4)．综上：当a ＝0时，不等式的解集为R ，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，＋∞，当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ．1．利用不等式判断正误的两种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原那么：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的X 围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同X 围得到的解集都是独立的，不能求并集．[跟进训练]1．a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0，那么以下不等式恒成立的是( ) A ．a 2＜b 2＜c 2B ．ab 2＜cb 2C ．ac ＜bcD ．ab ＜acC [∵a ＋b ＋c ＝0且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜bc ，应选C ．]2．假设关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，2)，那么不等式bx －a >0的解集为．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞[因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，2)，所以a <0，且x ＝2是方程ax ＋b ＝0的实数根，所以2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，由bx －a >0得－2ax －a >0，因为a <0，所以x >－12，即不等式bx －a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞．]利用不等式的性质比较代数式的大小[探究问题]1．如果a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a <b ，那么a －b 分别与0的关系？反之呢？[提示] 假设a >b ，那么a －b >0，反之也成立； 假设a ＝b ，那么a －b ＝0，反之也成立； 假设a <b ，那么a －b <0，反之也成立． 2．假设a >b ，那么ab>1吗？反之呢？ [提示] 假设a >b ，当b <0时，a b<1，即a >bab >1；假设a b >1，那么a b －1>0，即a －bb>0， ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0，即a b >1a >b ，反之也不成立．[例2] x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[思路点拨]作差―→因式分解――→x <1判号―→下结论[解]x 3－1－(2x 2－2x ) ＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∵x <1，∴x －1<0，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x ．1．(变条件)本例条件“x <1〞变为“x ≥1〞，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[解]x 3－1－(2x 2－2x )＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∵x ≥1，∴x －1≥0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥0，∴x 3－1≥2x 2－2x ．2．(变题)：a >0, b >0, 比较1a ＋1b 与1a ＋b的大小．[解] (作差法)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －1a ＋b＝ab ＋b 2＋a 2＋ab －ab ab a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2ab a ＋b ，因为a >0, b >0，所以a 2＋ab ＋b 2ab a ＋b>0，所以1a ＋1b >1a ＋b．(作商法)因为a >0, b >0，所以1a ＋1b 与1a ＋b 同为正数，所以1a ＋1b 1a ＋b＝a ＋b 2ab，所以a ＋b 2ab －1＝a 2＋ab ＋b 2ab>0，即a ＋b 2ab>1，因为1a ＋b >0，所以1a ＋1b >1a ＋b． (综合法)因为a >0, b >0，所以a ＋b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b>1，所以1a ＋1b >1a ＋b．1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．2．作商法比较大小的三个步骤 (1)作商变形； (2)与1比较大小； (3)得出结论．提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，此题思路为：A >B >0⇔A ·1B>1．[跟进训练]3．实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，那么a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >bA [∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ． 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a ．应选A ．]4．a ，b ∈R ，试比较a 2－ab 与3ab －4b 2的大小．[解] 因为a ，b ∈R ，所以(a 2－ab )－(3ab －4b 2)＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2， 当a ＝2b 时，a 2－ab ＝ 3ab －4b 2， 当a ≠2b 时，a 2－ab > 3ab －4b 2．证明不等式[例3] (1)a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc ． (2)a > b >0, m >0，求证：b a <b ＋ma ＋m． [证明] (1)∵a >b ，c >0，∴ac >bc ． ∴－ac <－bc ，∵f <e ，∴f －ac <e －bc ．(2)(作差法)因为a > b >0, m >0，所以b －a <0，a ＋m >0， 所以b a －b ＋m a ＋m ＝b a ＋m －a b ＋m a a ＋m ＝m b －aa a ＋m <0，所以b a <b ＋ma ＋m； (不等式的性质)因为a > b >0, m >0， 所以am > bm, a ＋m >0，ab >0，所以am ＋ab >ab ＋bm ，即a (b ＋m )>b (a ＋m )， 所以b a <b ＋ma ＋m．1．利用不等式的性质证明不等式(综合法)的须知(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法那么．2．作差法也可以应用于证明不等式．3．第二题的结论源于生活背景的提炼：在含糖b 克的a 克糖水中放入m 克的糖，结果糖水变甜了．本质上是浓度变大了．[跟进训练]5．假设bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋dd． [证明] ∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，bd >0， ∴a b ≤cd ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd． 6．a >b >m >0，求证：a b <a －mb －m． [证明] (作差法)因为a >b >m >0， 所以b －a <0，b －m >0， 所以a b －a －mb －m ＝a b －m －b a －m b b －m ＝m b －ab b －m <0，所以a b <a －mb －m； (不等式的性质)因为a >b >m >0，所以am >bm ，b －m >0， 所以－bm >－am ，所以ab －bm >ab －am ，即b (a －m )>a (b －m )， 所以a b <a －mb －m．不算式性质的应用a b a b a b [思路点拨] 欲求a －b 的X 围，应先求－b 的X 围，再利用不等式的性质求解． [解]∵1<a <4,2<b <8，∴2<2a <8,6<3b <24， ∴8<2a ＋3b <32．∵2<b<8，∴－8<－b<－2，又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2，故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2．即2a＋3b的取值X围为(8,32)，a－b的取值X围为(－7,2)．所以12≤12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )≤152，所以－2≤12(a ＋b )＋52(a －b )≤10，即3a －2b 的X 围是[－2,10]．1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求X 围，注意变形的等价性．2．两个二元一次代数式的X 围，求第三个二元一次式的X 围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．[跟进训练]7．－12≤α<β≤12，求α＋β2，α－β3的取值X 围．[解] ∵－12≤α<β≤12，∴－14≤α2<14，－14<β2≤14．两式相加得－12<α＋β2<12．∵－16≤α3<16，－16≤－β3<16，两式相加得－13≤α－β3<13．又∵α<β，∴α－β3<0，∴－13≤α－β3<0．8．－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求9a －c 的X 围．[解] 令⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝x ，4a －c ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13y －x ，c ＝13y －4x ，∴9a －c ＝83y －53x ，∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203，①∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403，② ①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20， ∴－1≤9a －c ≤20．1．作差法比较大小的三个步骤作差、变形、定号，概括为“三步一结论〞，这里的“定号〞是目的，“变形〞是关键．2．利用不等式的性质可以判定不等式的正确性、也证明一些不等式还可以求相关量的取值X 围．必须熟记不等式的性质，不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法那么．3．不等式的证明可以用比较法(作差或作商法)、也可以利用不等式的性质(综合法)，注意方法的灵活应用．1．a ，b ，c ，d ∈R ，那么以下命题中必成立的是( )A ．假设a ＞b ，c ＞b ，那么a ＞cB ．假设a ＞－b ，那么c －a ＜c ＋bC ．假设a ＞b ，c ＜d ，那么a c ＞b dD ．假设a 2＞b 2，那么－a ＜－bB [选项A ，假设a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否那么如a ＝－1，b ＝0时不成立，应选B ．]2．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，那么( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b C [a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴a ≥b ．]3．角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，那么3α－β的取值X 围是． (－π，2π)[结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值X 围是(－π，2π)．]4．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)．(在横线上填甲或乙即可)乙[由题意得甲购买产品的平均单价为3a ＋3b 6＝a ＋b 2， 乙购买产品的平均单价为2010a ＋10b＝2ab a ＋b ，由条件得a ≠b ． ∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a －b 22a ＋b >0，∴a ＋b 2>2ab a ＋b，即乙的购买方式更优惠．] 5．假设a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c 2>e (b －d )2． [证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0，又a >b >0，∴a －c >b －d >0，那么(a －c )2>(b －d )2>0，即1a －c 2<1(b －d )2． 又e <0，∴ea －c 2>e(b －d )2．。
第一章-3.1-不等式的性质高中数学必修第一册北师大版
【解析】某人的月收入不高于5 000元可表示为“ ≤ 5 000”，∴ A错误；
小明比小华矮可表示为“ < ”，∴ B错误；C，D正确.
知识点3 实数大小比较的依据
>
例3-3 已知 = 2 + 7, = 4，则与的大小关系为___.
2 > 2 >
1
0，且
1
<
2
1
,则
2
1
> 1 > 0，
题型2 比较大小
例7 (2024·湖南省株洲市九方中学月考)已知 > 0, > 0，试比较
的大小.
【解析】方法1 （作差法）
−
+
− ( + ) =
−
=
−
∵ > 0， > 0，
2
【解析】由−1 < < 5得，−5 < − < 1 ⑤,
由−4 < < 2得，−12 < 3 < 6 ⑥.
⑤⑥相加得−17 < − + 3 < 7.
若令 = + , = − ，那么− + 3 = 2 − 4.
于是上面例题就有以下解法：
正解 2 − 4 = 3 − − + ,
3
> − 3 ，即−3 < − 3 ,所以3 > 3 .
综上， > ⇒ 3 > 3 .（【看透本质】事实上，若 > ,则
2−1 > 2−1 ∈ + , > 1 ）
3.1基本不等式
都昌一中 许建国
情景设置
2002年国际数学家大会 （ICM-2002）在北京召开，此 届大会纪念封上的会标图案，其 中央正是经过艺术处理的“弦 图”。
它标志着中国古代的数学成
就，又像一只转动着的风车，欢 迎来自世界各地的数学家。
探究新知
D
G
F
A
a
H
E
a2 b2
b
B
C a2 +b2 > 2ab
2．不等式 a＋1≥2 a(a＞0)中等号成立的条件是( B ) A．a＝2 B．a＝1 C．a＝12 D．a＝0
3．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( D ) A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
运用新知
例1
设 a, b 均为正数，证明不等式
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a 和 b 都是负数，则不等式 ab≤a＋2 b也成立．( × ) (2)在基本不等式中，a≠b 时也可以有 ab＝a＋2 b.( × ) (3)在不等式 x＋1x≥2(x>0)中，当 x＝2 时取到等号．( × ) (4)在不等式 x2＋2＋ x21＋2≥2 中，等号不成立．( √ )
2
2
基本不等式链
设 a 、 b R ，则 2 ab a b a2 b2
11
2
2
ab
（调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数），
当且仅当 a b 时等号成立.
利用基本不等式比较大小
例2. 设f (x) ln x,a b, 若 p f ( ab), q f (a b),r f (a) f (b)
浙教版八年级上册 3.1 认识不等式 课件(共24张PPT)
(5)要使代数式 xx+-3有3意义，x的值与3 之间有什么关系？
x≠3
像 v≤40，t≥6000，3x＞5，q＜p+2，x≠3
这样，用符号“＜”（或“≤”），“＞” （或“≥”），“≠”连成的数学式子，叫
不等式。这些用来连接的符号统称不等号。
（两个代数式，用不等号连接）
开启智慧之门
2、用不等式表示： （1）a与b的平方和大于3 （2）x与y差的平方不小于2 （3）m与2的差是非负数
3、填空
（1）某食品包装袋上标有“净含量385克 5克”，
则食品的合格净含量x的范围是________
（2）写出满足不等式 x 4 的所有正整数______ （3）写出满足不等式 x 2的最小整数______
（４）–2 ≤Ｘ＜1又表示怎样的数的全体？
在数轴上表示不等式，你认为需要确定什么？
（１）确定空心点或实心点 （２）确定方向
温馨提醒
请完成课本课内练习３
一起来探索吧!
1、如何在数轴上表示X<a?
a
2、如何在数轴上表示X≥a?
a
3、如何在数轴上表示b＜X＜a(b＜a)?
b
a
下列表示怎样的不等式？
下列问题中的数量关系能用等式表示吗?若不
能,应该用怎样的式子来表示:
(1)如图,是公路上对汽车
40
的限速标志,表示汽车在
该路段行驶的速度不得超
超 速
？
过40km/h,用v(km/h)表
示汽车的速度,怎样表示v
与40之间的关系?
v≤40
(2)据科学家测定,太 阳表面的温度不低于 60000c,设太阳表面的 温度为t(0c),怎样表 示t与 6000之间 的关系?
3.1不等式基本性质
a b ; 4 2 _____ 2
5 a c_____ b c ; 6 ac 2 _____ bc 2 ;
选择适当的不等号填空： （1)∵0 ＜ 1, ∴ a ＜ a+1(不等式的基本性质3）；
（2）∵(a-1)2 ≥ 0, ∴(a-1)2-2 ≥ -2(不等式的基本性质3）
x ＞-1 (3)若x+1＞0,两边同加上-1,得____________
不等式的基本性质3 (依据:_____________________).
x ＞-3 依据 (4)若2 x ＞-6,两边同除以2,得________, 不等式的基本性质4 _______________. X≥-2 (5)若-0.5 x≤1,两边同乘以-2,得________, 依据 不等式的基本性质4 ___________
5.1 不等式的性质
不等式有哪些基本性质呢?
不等式的基本性质1
如果a>b,那么b<a
不等式的基本性质2：
（不等式的传递性）
若a＜b，b＜c，则a＜c。
性质3： 不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得 到的与原不等式同向 ； 不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,所得到
不等式与原不等式异向. 即
例
已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
解法一：∵2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1，a＜0，
∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二：
∵ a＜0,
∴ a+a ＜ a
∴2a<a(不等式的基本性质2）
试一试
1.若-m>5，则m < -5. 2.如果x/y>0, 那么xy > 0. 3.如果a>-1,那么a-b > -1-b. 4.-0.9＜-0.3,两边都除以(-0.3),得 3 >1 _______.
3.1不等式的性质
2
求f (2)的取值范围。
解： 1 f (1) a b 2, 2 f (1) a b 4, 3 两式相加，得 3 2a 6, 所以 a 3. 2 又 2 b a 1, 2 a b 4, 3 0 2b 3, 即0 b . 2 6 4a 12, 3 2b 0. 3 f (2) 4a 2b 12.
1 b 1 a
c (2)如果a＞b＞c＞0，那么 a b 变式a＞b＞c＞0，那么 a－b
c ac
c b
课堂练习
1. 若a、b、c R，a b，则下列不等式成 立的是 （C ）
1 1 A. a b a b C. 2 2 c 1 c 1
B. a b
2
2
D. a | c | b | c |
a b 例3. 例４：已知 a>b>0,c>d>0，求证： d c
x 例4. 例３．如果 30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y, 的范围？ y
课堂练习
3.已知 （0， ）， （ ，），求 2的取值范围。 2 2 2 2 2 4. 若、 满足 A . ，则 的 2 2 B . 0 取值范围是 （B ）
错解
正确解法：
解：由f (1) a b, f (1) a b, 1 1 得a [ f (1) f (1)],b [ f (1) f (1)] 2 2 f (2) 4a 2b f (1) 3 f (1) 1 f (1) 2, 3 3 f (1) 6. 又 2 f (1) 4, ５ f (2) 10.
3.1 不等式的基本性质
1.等式的性质 性质 1 如果 a＝b，b＝c，那么 a__＝__c； 性质 2 如果 a＝b，那么 a±c_＝___b±c； 性质 3 如果 a＝b，那么 ac__＝__bc；ac_＝___bc(c≠0).
索引
2.不等式的性质 性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b，即a>b⇔b<a. 性质2 如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a__>__c. 性质3 如果a>b，那么a＋c__>__b＋c. 性质4 如果a>b，c>0，那么ac__>__bc；如果a>b，c<0，那么ac__<__bc. 性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c__>__b＋d. 性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac__>__bd. 性质7 如果a>b>0，那么an__>__bn(n∈N，n≥2).
索引
点睛
如何准确地把握不等式的性质？ (1)注意不等式的单向性和双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性. (2)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件.
索引
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × ) 提示 当 c＝0 时，a＞b⇒ac2＞bc2. (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.( × ) 提示 相乘需要看是否ac>>db>>00，，而相加与正、负和零均无关系. (3)若 a>b，则1a<b1.( × ) 提示 若 a>0，b<0，则a1>1b. (4)设a>b，则a3>b3.( √ )
人教版高中数学第3章3.1不等关系
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
②关于 a≤b 或 a≥b 的含义． 不等式 a≤b 应读作“a 小于或者等于 b”，其含义是 指“或者 a＜b，或者 a＝b”，等价于“a 不大于 b”，即 若 a＜b 或者 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确． 如 2＜3 正确，则 2≤3 没有逻辑错误，因为 2、3 是 具体数值，“2＜3”比“2≤3”更确切．
因为 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－b>0，所以 b－a<0.所以 ab<0. 又 a>b，所以 a>0，b<0.故该命题为真命题．
名师点评 判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意 条件和结论之间的联系，利用不等式的性质进行不等式的 证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质， 并注意在解题时要灵活、准确地加以应用．
[变式训练]
1．国家计划以 2 400 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入 100 元纳税 8 元(称作税率为 8 个百分点，即 8%)，为了减轻农民负担， 制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低 x 个百分 点，收购量能增加 2x 个百分点，税率降低后，国家此项 税收总收入不低于原计划的 78%.请用不等式表示上述不 等关系．
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
3.1不等式的基本性质(课件)高一数学(2019)
（2）如果 a b 0，c d 0 那么 ac ___ bd ；
（3）如果
a b 0 ，那么
1 a2
___
1 b2
；
（4）如果 a b c 0 ，那么 c ___ c ． ab
练习巩固
练习巩固
作差法比较大小一般步骤
作差
变形
判号
结论
练习巩固
练习巩固
练习巩固
小结
情境导入
高矮
胖瘦
轻重
长短
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，下面我们来 看一下具体的例子。
新知探究
问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
新知探究
问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（3）三角形两边之和大于第 三边、两边之差小于第三边
（4）连接直线外一点与直线上各 点的所有线段中，垂线段最短.
以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.接着，就可以用 不等式研究相应问题了.
新知探究
形
数
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”.
新知探究
在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质：
提示：运算中的不变性就是性质.
思考：类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质并加以证明吗？
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
同样的，利用性质4(可乘性)和性质2(传递性)可以推出：
新知探究
对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 同正可乘方性
练习巩固
练习巩固
Байду номын сангаас
3.1不等式的性质
3.1 不等式的性质学习目标：1、理解不等式的8个性质。
2、会比较两个实数的大小。
重点：不等式的性质。
难点：比较大小和不等式的证明。
预习达标：1．不等式的对称性用字母可以表示为 ．2．不等式的传递性用字母可以表示为____________________．3．不等式的加减法则是指不等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）不等号方向不变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相加，用字母可以表示为 ．4．不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可以表示为 ；同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示为 。
5．乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先变形。
如：a<b<0,则a 2 b 2，a 3 b 3，3a 3b【典例解析】例⒈判断下列不等式是否成立，若不成立，适当增加条件使下列命题成立： ⑴若a>b ，则ac ≤bc ； ⑵若ac 2>bc 2，则a 2>b 2；⑶若a>b ，则lg(a+1)>lg(b+1)； ⑷若a>b ，c>d ，则d a >cb ．例⒉设f(x)=ax 2+bx 且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围．【达标练习】一．选择题：⒈ 若a>b ，c>d ，则下列不等式成立的是（ ）Ａ．a+d>b+c Ｂ．ac>bd Ｃ．c a >da Ｄ．d －a<c －b ⒉ 若a<b<0，则下列不等关系不成立的是（ ）Ａ．a 1>b 1 Ｂ．b a -1>b1 Ｃ．a ->b - Ｄ．│a │>－b⒊ 对于0<a<1，给出下列四个不等式①log )1(a a +<log )11(aa +②log )1(a a +>log )11(aa +③a a +1<a a 11+④a a +1>a a 11+，其中成立的是（ ） Ａ．①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④⒋ 若a=22ln ，b=33ln ，c=55ln 则（ ） Ａ． a<b<c Ｂ．c<b<a Ｃ．c<a<b Ｄ.b<a<c ⒌ 下列命题正确的是（ ）Ａ．若a>b 则ac 2>bc 2 Ｂ．若2c a > 2cb 则a>b Ｃ．若a>b,ab ≠0则a 1>b1 Ｄ．若a>b ，c>d 则ac>bd 二．填空题：⒍ 1<a<2<b<3则a+b 的范围是 ；a －b 的范围是 ；a－2b 的范围是 ；ab 的范围是 ；ba 的取值范围是 。
不等式的基本性质(解析版)
3.1 不等式的基本性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a 、b ①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0b a b a -=⇔=．对于任意实数a 、b ，a b >，a b =，a b <三种关系有且只有一种成立．知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：（1）对称性：a b b a >⇔< （2）传递性：, a b b c a c >>⇒>（3）可加性：a b a c b c >⇔+>+（c ∈R ） （4）可乘性：a >b ，000c ac bc c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩运算性质有：（1）可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+ （2）可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅> 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=． 作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小．①1aa b b>⇔>； ②1aa b b<⇔<；③1aa b b=⇔=． 中间量法：若a b >且b c >，则a c >（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系 题型二：作差法比较两数（式）的大小 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 题型四：利用不等式的性质证明不等式 题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系例1．（2022·湖南·怀化五中高二期中）用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于300元 （ ）． A ．300a ≤ B ．300a ≥ C ．300a > D ．300a <【答案】B【解析】依题意：生活费a 不低于300元，即300a ≥． 故选：B例2．（2022·全国·高一专题练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1．2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0．8元．设该医院每月所需口罩()n n *∈N 个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（ ） A ．800n > B ．5000n >C ．800n <D ．5000n <【答案】B【解析】由0.82000 1.2n n +<，得0.42000n >，即5000n >， 故选：B ．例3．（2022·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母(),a b a b ≠的不等式表示出来（ ）A ．()2212a b ab +> B ．()2212a b ab +< C ．()2212a b ab +≥ D ．()2212a b ab +≤ 【答案】A【解析】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积2211122=+S a b ． 图（2）是一个矩形，面积2S ab =． 可得：221()()2a b ab a b +>≠． 故选：A例4．（2022·上海·上外附中高一期中）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的()*1N k k∈，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．【答案】2441,774441777kk k ⎧+<⎪⎪⎨⎪++≥⎪⎩ 【解析】解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以2441,77444 1.777kk k ⎧+<⎪⎪⎨⎪++≥⎪⎩ 故答案为：2441,77444 1.777kk k⎧+<⎪⎪⎨⎪++≥⎪⎩例5．（2022·全国·高一课时练习）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2100h ；预计此产品明年销售量至少80000袋；每袋需用4h ；每袋需用原料20kg ；年底库存原料600t ，明年可补充1200t ．试根据这些数据预测明年的产量x （写出不等式（组）即可）为________．【答案】0420021008000000.026001200x x x <≤⨯⎧⎪≥⎨⎪<≤+⎩，， 【解析】由题意可得0420021008000000.026001200x x x <≤⨯⎧⎪≥⎨⎪<≤+⎩，， 故答案为：0420021008000000.026001200x x x <≤⨯⎧⎪≥⎨⎪<≤+⎩，， 【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 题型二：作差法比较两数（式）的大小例6．（2022·江西·九江县第一中学高二期中（理））若0,01a b ><<，则2,,a ab ab 的大小关系为（ ） A ．2a ab ab >> B ．2a ab ab << C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >>【答案】A【解析】(1)a ab a b -=-，又0,01a b ><<，则(1)0a b ->，则a ab > 2(1)ab ab ab b -=-，又0,01a b ><<，则(1)0ab b ->，则2ab ab >综上，2a ab ab >> 故选：A例7．（2022·江苏·高一）已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（ ） A ．x y > B ．x y < C ．x y =D ．无法确定【答案】B【解析】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <． 故选：B例8．（2022·河南河南·高二期末（文））若0a b >>，c 为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ）． A ．22ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．a c b c +>+【答案】A【解析】A 选项中，若0c ，则不成立； B 选项中，110b aa b ab --=<，所以11a b<，成立； 由不等式的可乘方性知选项C 正确； 由不等式的可加性知选项D 正确． 故选：A例9．（2022·全国·高一专题练习）下列四个代数式①4mn ，①224+m n ，①224m n +，①22m n +，若0m n >>，则代数式的值最大的是______．（填序号）． 【答案】①【解析】①0m n >>，令①-①得：()2224042mn m n m n -=-+＞，①①＞①， 令①-①得：22222244330m n m n m n +--=-＞，①①＞①， 令①-①得：22222430m n m n m +--=＞，①①＞①， ①代数式的值最大的是①． 故答案为：①例10．（2022·江苏·高一）（1）比较231x x -+与221x x +-的大小； （2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--． 【解析】（1）由()()222312122x x x x x x -+-+-=-+()2110x =-+>，可得223121x x x x -+>+-． （2）()()()()()()()a cb bc a a b c a bc a c b c a c b c a c b -----==------， ①0c a b >>>，①0a b ->，0c a ->，0c b ->， ①()()()0a b c c a c b ->--，①a bc a c b>--．【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例11．（2022·上海崇明·二模）如果0,0a b <>，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．22a b < B a b -<C ．a b > D ．11a b< 【答案】D【解析】对A ，若2,1a b =-=，则22a b <a b -AB 错误； 对C ，若1,2a b =-=，则a b >不成立，故C 错误； 对D ，因为110a b<<，故D 正确； 故选：D例12．（2022·上海交大附中模拟预测）已知a b <，0c ≥，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．ac bc <B ．22a c b c ≤C ．22a c b c +<+D ．22ac bc ≤【答案】D【解析】①a b <，0c ≥，①ac bc ≤，则选项A 不正确； 当1a =-，12b =时，即22a b >，①22a c b c ≥和22a c b c +>+成立，则选项B 、C 不正确； ①0c ≥，①2c ≥0，①22ac bc ≤，则选项D 正确； 故选：D ．例13．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．2()0a b c -≥【答案】D【解析】A 显然错误，例如3,2,10a b c ===-，a b b c +<-；0c <时，由a b >得ac bc <，B 错；a b >0a b ⇒->，但0c 时，20c a b=-，C 错；a b >0a b ⇒->，又2c ≥0，所以2()0a b c -≥，D 正确．故选：D ．例14．（2022·江苏南京·模拟预测）设a 、b 均为非零实数且a b <，则下列结论中正确的是（ ） A ．11a b> B ．22a b < C ．2211a b < D ．33a b <【答案】D【解析】对于A ，取1a =-，1b =，则11a b<，A 错误； 对于B ，取1a =-，1b =，则22a b =，B 错误； 对于C ，取1a =-，1b =，则2211a b=，C 错误； 对于D ，因a b <，则33222213()()()[()]024b a b a b ab a b a b a a -=-++=-++>，即33a b <，D 正确． 故选：D【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型四：利用不等式的性质证明不等式例15．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知a b >，0ab >，求证：11a b<； （2）已知0a b >>，0c d <<，求证：a b c d>． 【解析】（1）因为0ab >，所以10ab>． 又a b >，所以1a b ab ab1⋅>⋅， 即11b a >，因此11a b<．（2）因为0c d <<，根据（1）的结论，得110c d>>．又0a b >>，则11a b c d⋅>⋅，即a b c d >．例16．（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））（1）33a x y =+，22b x y xy =+，其中x ，y 均为正实数，比较a ，b 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c ca cb c>--． 【解析】解：（1）因为33a x y =+，22b x y xy =+，所以()()()233223322a b x y x y xy x y x y xy x y x y -=+-+=+--=-+因为0x >，0y >，所以0x y +>，()20x y -≥， 所以0a b -≥，即a b ≥；（2）因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <， 所以0a c b c ->->， 所以110a c b c<<--， 所以c c a c b c>--； 例17．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式： （1）若a b <，0c <，则()0a b c ->； （2）若0a <，10b -<<，则2a ab ab <<． 【解析】（1）证明：a b >，0a b ∴->，又0c <，()0a b c ∴-<；（2）证明：10b -<<，201b ∴<<2101b b ∴>>>>-，又0a <，2a ab ab ∴<<．例18．（2022·全国·高一专题练习）（1）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a b b +≤c dd+； （2）已知c >a >b >0，求证：a bc a c b>-- 【解析】证明：（1）①bc ≥ad ，bd >0，①c ad b≥，①c d ＋1≥a b ＋1，①a b b +≤c dd+． （2）①c >a >b >0，①c －a >0，c －b >0． ①a >b >0，①11a b< 又①c >0，①c c a b <，①c a c b a b--<， 又c －a >0，c －b >0，①a bc a c b>-- ．例19．（2022·全国·高一专题练习）已知三个不等式：①0ab >；①c da b>；①bc ad >．若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程． 【解析】解法1：①①⇒①，即若0ab >且bc ad >，则c d a b>． 因为c da b>且0ab >， 所以c dab ab bc ad a b⋅>⋅⇒>，则命题成立．解法2：①①⇒①，即若0ab >且c da b>，则bc ad >． 因为0ab >，所以10ab>， 又因为bc ad >， 所以11c d bc ad ab ab a b⋅>⋅⇒>， 则命题成立．例20．（2022·江苏·高一专题练习）（1）设0b a >>，0m >，证明：a a m b b m+<+； （2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y zx y y z z x<++<+++． 【解析】证明：（1）因为0b a >>，0m >，所以0a b -<，0b m +>．所以()()()()()0a b m b a m a b ma a mb b m b b m b b m +-+-+-==<+++， 故得证；（2）由不等式的性质知，,,x x y y z zx y x y z y z x y z z x x y z>>>+++++++++，所以1x y z x y z x y y z z x x y z x y z x y z++>++=+++++++++， 又因为根据（1）的结论可知，,,x x z y x y z y z x y x y z y z x y z z x x y z+++<<<+++++++++， 所以2x y z x z x y y z x y y z z x x y z x y z x y z +++++<++=+++++++++． 所以12x y z x y y z z x<++<+++． 例21．（2022·全国·高一专题练习）若0a b >>，0c d <<，||||b c > （1）求证：0b c +>； （2）求证：22()()b c a da cb d ++<--；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()b c a c +<-所求式2()a db d +<-？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．【解析】（1）因为||||b c >，且0,0b c ><，所以b c >-，所以0b c +>．（2）因为0c d <<，所以0c d ->->．又因为 0a b >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ->->．所以22()()0a c b d ->->． 所以22110()()a c b d <<--，因为,a b d c >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c +>+． 所以0a d b c +>+>，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d ++<--．（3）因为0b c +>，22110()()a c b d <<--，所以22()()b c b ca cb d ++<--，因为0b c a d <+<+，210()b d >-，所以22()()b c a db d b d ++<--， 所以222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---．所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式2()b cb d +-满足题意．【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明（1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a ，b 有0a b a b ->⇒>；0a b a b -=⇒=；0a b a b -<⇒<．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．题型五：利用不等式的性质比较大小例22．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（文））设2a =73b =62c =则a ，b ，c 的大小关系__________． 【答案】a c b >>【解析】解：因为7373b ==+，6262c + 因为06273<<7362<++b c <， 而22a =，而2262c =8212=-848836=22a ==，所以a c >，所以a c b >>． 故答案为：a c b >>例23．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知1t >，且1x t t =+1y t t =-则x ，y 的大小关系是______． 【答案】x y < 【解析】11111t tt tx t t t tt t+++=++++11111t t t t y t t t t t t --=-==+-+-，110t t t t +->， 11t t t t <+++-x y <．故答案为：x y <例24．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，A ．d a <B ．a d b <<C ．b d c <<D ．d c >【答案】B【解析】由题意知：()()()a d b d c d d c ---=-，又c d ≠，则()()10a d b d --=-<，显然,a d b d --异号，又a b <，所以a d b c <<<． 故选：B ．例25．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））若a 是实数，210P a a +，2264Q a a ++P ，Q 的大小关系是（ ）A ．Q P >B ．P Q =C ．P Q >D ．由a 的取值确定【答案】A【解析】显然P ，Q 都是正数， 又()2222210210210P a aa a a =+=+++()()222222264210264Q a a a aa =++=++++24221021024a a a =++++若a 是负数，则()()222640210aa a ++>>+22Q P >，所以Q P >；若a 是非负数，则2424221021021024a a a a a a +=+++22Q P >，所以Q P >． 综上所述，Q P >． 故选：A ．例26．（多选题）（2022·湖南·长郡中学高二期中）若0a b <<，0c >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．ac bc <C ．c c a b <D ．11a b a b->- 【答案】AB【解析】对于A ，由0a b <<，得a c b c +<+，正确； 对于B ，由0a b <<，0c >，得ac bc <，正确；对于C ，举反例：2a =-，1b =-，2c =，则41c c a b =>=，所以C 项错误； 对于D ，由()11111ab a b a b a b a b b a ab+--+=-+-=-⋅， 因为0a b <<，所以10ab +>，0ab >，0a b -<， 所以()10ab a b ab+-⋅<，所以11a b a b -<-，所以D 项错误；例27．（多选题）（2022·山西运城·高二阶段练习）已知0b a <<，则下列选项正确的是（ ） A ．22a b > B ．a b ab +< C ．||||a b < D ．2ab b >【答案】BC【解析】①0b a <<， ①22b a >，0a b +<，0ab >， ①a b ab +<，A 错误，B 正确； ①||||a b <，C 正确；0b a <<不等式两边同乘以b 得：2ab b <，故D 错误．故选：BC ．例28．（2022·江苏·高一课时练习）（1）已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． （2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，p ＝a 2＋b 2＋c 2，q ＝ab ＋bc ＋ca ，试比较p 与q 的大小．【解析】（1） 3x 3－（3x 2－x ＋1）＝（3x 3－3x 2）＋（x －1）＝3x 2（x －1）＋（x －1）＝（3x 2＋1）（x －1）．因为x ≤1，所以x －1≤0，而3x 2＋1>0， 所以（3x 2＋1）（x －1）≤0， 即3x 3≤3x 2－x ＋1．（2） 因为a ， b ， c 互不相等，所以a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2>0， 即a 2＋b 2>2ab ．同理b 2＋c 2>2ac ， a 2＋c 2>2ac ． 所以2（a 2＋b 2＋c 2）>2（ab ＋bc ＋ac ）， 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，亦即p >q ．例29．（2022·江苏·高一课时练习）已知10x y -<<<，比较1x，1y ，2x ，2y 的大小关系．【解析】因为10x y -<<<，根据实数的性质，可得22110,0,0,0x y x y >><<，由22()()x y x y x y -=+-，且11y x x y xy--=，又由10x y -<<<，可得0,0,0x y x y xy +<-<>， 所以()()0x y x y +->，且0y xxy->，即220x y >>且110x y>>，所以2211x y x y >>>．【方法技巧与总结】 注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例30．（2022·福建·厦门市国祺中学高一期中）若13a b -<+<，24a b <-<，23t a b =+，则t 的取值范围为______． 【答案】91322t -<< 【解析】设()()()()t x a b y a b x y a x y b =++-=++-，则23x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因为()5515222a b -<+<，()1212a b -<--<-，所以()()951132222a b a b -<+--<，即91322t -<<．故答案为：91322t -<<． 例31．（2022·江苏·苏州大学附属中学高一阶段练习）若实数x ，y 满足121x y -≤+≤且131x y -≤+≤，则9x y +的取值范围是_____________．【答案】[]13,13-【解析】由题意96(2)7(3)x y x y x y +=-+++， 又121x y -≤+≤，131x y -≤+≤，66(2)6x y ∴-≤-+≤，77(3)7x y -≤+≤①13139x y +-≤≤， 故答案为：[]13,13-．例32．（2022·全国·高一期中）已知0b >，且445b a c b a c b -≤-≤-≤-≤，则9a cb-的取值范围是___________． 【答案】[]1,20-【解析】由445b a c b a c b -≤-≤-≤-≤可得：445b a c bb ac b -≤-≤-⎧⎨-≤-≤⎩，令()()94a c m a c n a c -=-+-，整理可得：()()94a c m n a m n c -=+-+， 所以491m n m n +=⎧⎨--=-⎩，解得：5383m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()589433a c a c a c -=--+-， 将4b a c b -≤-≤-两边同时乘以53-，可得()5520333b ac b ≤--≤，①将45b a c b -≤-≤两边同时乘以83，可得()88404333b ac b -≤-≤，①两式相加可得：()()585820404333333b b ac a c b b -≤--+-≤+， 即920b a c b -≤-≤， 因为0b >，所以9120a cb--≤≤， 所以9a cb-的取值范围是[]1,20-， 故答案为：[]1,20-．例33．（2022·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若实数,αβ满足11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，则3αβ+的取值范围为________．【答案】[]1,7【解析】设()3(2)αβλαβμαβ+++=+，解得1λ=-，2μ= 所以()(322)αβαβαβ++-+=+．又11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，()11αβ∴-≤-+≤，()2226αβ≤+≤ 所以137αβ≤+≤． 故答案为：[]1,7．例34．（2022·河南·西平县高级中学高一阶段练习）已知实数,x y 分别满足，15x <<，27y <<．（1）分别求23x y +与45x y -的取值范围； （2）若,x y <试分别求x y -及xy的取值范围． 【解析】（1）15x <<，27y <<，2210,6321,4420,35510x y x y ∴<<<<<<-<-<-， 82331x y ∴<+<， 314510x y -<-<．（2）由条件则63x y -<-<． 又因为0x y x y <⇒-<， 从而可得60x y -<-<； 由27y <<11172y ⇒<<． 1572x y ⇒<<， 又因为1xx y y<⇒<， 从而117xy⇒<<． 例35．（2022·江苏·高一专题练习）已知15a b ≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围．【解析】设()()32a b m a b n a b -=++-，则有：32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()153222a b a b a b -=++-． 因为15a b ≤+≤，所以()115222a b ≤+≤， 因为13a b -≤-≤，所以()5515222a b -≤-≤，所以()()1521022a b a b -≤++-≤， 即23210a b -≤-≤， 所以32a b -的取值范围为．例36．（2022·江苏·高一专题练习）实数,a b 满足32a b -≤+≤，14a b -≤-≤． （1）求实数,a b 的取值范围； （2）求32a b -的取值范围．【解析】（1）由32a b -≤+≤，14a b -≤-≤， 两式相加得，426a -≤≤，则23a -≤≤， 由14a b -≤-≤， 得41a b -≤-+≤， 又32a b -≤+≤，两式相加得，723b -≤≤，即7322b -≤≤；（2）设()()()()32a b m a b n a b m n a m n b -=++-=++-，则32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，①()()153222a b a b a b -=++-， ①32,14a b a b -≤+≤-≤-≤，①()()31551,102222a b a b -≤+≤-≤-≤，则43211a b -≤-≤．例37．（2022·全国·高一专题练习）（1）若1260a ，1536b ，求2a b -，a b的取值范围；（2）已知x ，y 满足1122x y -<-<，01x y <+<，求3x y -的取值范围．【解析】（1）因为1260a ，所以242120a ， 因为1536b ，所以1113615,3615bb ， 所以122105a b -<-<，143ab<<；所以2a b -的取值范围是()12,105-；a b 的取值范围是1,43⎛⎫⎪⎝⎭；（2）设()()()()3x y m x y n x y m n x n m y -=-++=++-，则31m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，所以()()32x y x y x y -=-++， 又因为1122x y -<-<，01x y <+<，所以132x y -<-<，所以3x y -的取值范围是()1,2-例38．（2022·安徽·阜阳市耀云中学高二期中）已知122a b -<+<且34a b <-<，求5a b +的取值范围．【解析】解：设5(2)()a b a b a b λμ+=++-，可得∴251λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解之得21λμ=⎧⎨=⎩，得52(2)()a b a b a b +=++-122a b -<+<且34a b <-<，22(2)4a b ∴-<+<，且34a b <-<，两个不等式相加，得12(2)()8a b a b <++-<5a b ∴+的取值范围是()1,8．例39．（2022·全国·高一课时练习）设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，求47x y的取值范围．【解析】解：()324272x y x y xy ⎛⎫⎪⎝⎭=，32827x y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，()2214xy ≤≤，4782741x y ∴≤≤，即47227x y ≤≤，47x y∴的取值范围为[]2,27．【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知2030,1518x y x y <+<<-<，要求23x y +的范围，不能分别求出,x y 的范围，再求23x y +的范围，应把已知的“x y +”“x y -”视为整体，即5123()()22x y x y x y +=+--，所以需分别求出51(),()22x y x y +--的范围，两范围相加可得23x y +的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【同步练习】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（理））如果实数,a b 满足0a b <<，那么（ ）． A ．0a b ->B ．11a b> C ．ac bc < D ．22a b <【答案】B 【解析】对于A ：因为0a b <<，所以0a b -<，故A 错误； 对于B ：因为0a b <<，所以10,0ab ab>>， 所以11a b ab ab ⋅<⋅，即11a b>，故B 正确； 对于C ：因为0a b <<，当0c ≤时ac bc ≥，故C 错误； 对于D ：因为()()220a b a b a b -=+->，即22a b >，故D 错误；故选：B2．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具．小王在某段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同．现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，第二种方式是每次加油30升．我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（ ） A ．第一种 B ．第二种 C ．两种一样 D ．不确定【答案】A【解析】设第一次的油价为1x ，第二次的油价为2x ，且12x x ≠， 第一种加油方式的平均油价为12112122400200200x x y x x x x ==++，第二种加油方式的平均油价为()1212230602x x x x y ++==，因为()()21212122112122022x x x x x xy y x x x x -+-=-=>++，则12y y <，因此，更经济的加油方式为第一种． 故选：A ．3．（2022·宁夏·银川二中高二期中（文））已知0ab >，且()()332a b a b ++=，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．222a b +≤B ．222a b +C ．2a b +D ．2a b +>【答案】A【解析】因为()()()()()23322443344222a b a b a b a b ab a b a b a b ++-+=+++-++()2332220a b ab a b ab a b =+-=-≥，所以，()2222a b +≤，因为2220a b ab +≥>，则222a b +A 对B 错；若1412a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()()332a b a b ++=成立，但134412222a b ⎛⎫+=⨯=> ⎪⎝⎭C 错； 若1412a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()()332a b a b ++=成立，则2a b +>D 错． 故选：A ．4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b+的取值范围是（ ） A ．[0,12] B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]【答案】C【解析】设()()42+=++-a b A a b B a b ，可得42+=⎧⎨-=⎩A B A B ，解得31=⎧⎨=⎩A B ，()423+=++-a b a b a b ，因为1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩可得()33911⎧≤+≤⎨-≤-≤⎩a b a b ，所以24210a b ≤+≤． 故选：C ．5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >， 则 a c b d +>+ B ．若a b >， 则ac bc > C ．若0a b >>，0c d >>， 则a b c d> D ．若a b >，则22a b >【答案】A【解析】解：对于A ：由不等式的性质得，当a b >，c d >，则a c b d +>+，故A 正确； 对于B ：当0c 时0ac bc ==，故B 错误；对于C ：当2,1a b ==，满足0a b >>；当3,0.1c d ==，满足0c d >>，但2103a bc d=<=，故C 错误；对于D ：当1a =，1b =-满足a b >，但是22a b =，故D 错误； 故选：A6．（2022·河南·高二期中（文））已知a ，b ，c ∈R ，a b >，且0ab ≠，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．2a bab +≥B ．2ab b > C ．22ac bc > D ．33a b >【答案】D【解析】当0,0a b <<时，02a bab +<<A 不成立； 0b <时，由a b >得2ab b <，B 不成立；当0c 时，22ac bc =，C 不成立， 由不等式得性质，D 正确． 故选：D ．7．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11a ab b ->- B ．11a b b>- C ．11a ab b +>+ D ．11a b b a->- 【答案】C【解析】对于A ：1(1)(1)1(1)(1)a a ab b a b ab b b b b b ------==---， 因为0a b >>，所以0b a -<，0b >，但1b -的正负不确定， 所以11a ab b ->-不一定成立，即选项A 错误； 对于B ：11()2()()b a b b a a b b b a b b a b ----==---， 因为0a b >>，所以0a b ->，0b >，但2b a -的正负不确定， 所以11a b b>-不一定成立，即选项B 错误； 对于C ：1(1)(1)1(1)(1)a a ab b a a bb b b b b b ++-+--==+++，因为0a b >>，所以0a b ->，0b >，10+>b ， 所以11a ab b ->-一定成立，即选项C 正确； 对于D ：11()(1)()a b ab a b b a ab-----=，因为0a b >>，所以0a b ->，0ab >，但1ab -的正负不确定， 所以11a b b a->-不一定成立，即选项D 错误．故选：C ．8．（2022·浙江金华·高三阶段练习）若非负实数x 、y 、z 满足约束条件3135x y z x y z -+≤⎧⎨+-≥⎩，则3S x y z =++的最小值为（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】D 【解析】由不等式组可推导出245S y z ≥++，由不等式组结合不等式的基本性质可得出1y z ≥+，进而可得出67S z ≥+，结合0z ≥可求得S 的最小值． 【详解】由35x y z +-≥可得53x y z ≥-+，3533245S x y z y z y z y z ∴=++≥-+++=++， 由31x y z -+≤得31x y z -+-≥-，又35x y z +-≥，由不等式的基本性质可得()()33444x y z x y z y z -+-++-=-≥，即1y z -≥，1y z ∴≥+．()214567S z z z ∴≥+++=+， 0z ≥，677S z ∴≥+≥．因此，S 的最小值为7． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（ ） A ．若c ca b>，则a b < B ．若a b <且0ab >，则11a b> C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0,0a b c d >><<，则ac bd <【答案】BD【解析】对选项A ：可取3a =，2b =，1c =-，则满足c ca b>，但此时a b >，所以选项A 错误；对选项B ：因为0ab >，所以若0b a >>，则11a b >；若0a b <<，则11a b>；所以选项B 正确；对选项C ：若0a b <<，则2a ab >，所以选项C 错误；对选项D ：若0c d <<，所以0c d ->->；又因为0a b >>，所以由同向同正可乘性得：ac bd ->-，所以ac bd <，所以选项D 正确，故选：BD ．10．（2022·浙江·温州市第八高级中学高二期中）已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（ ） A ．39x y <+< B ．13x y -<-< C ．218xy << D ．122xy<< 【答案】AC【解析】由16x <<，23y <<，知39x y <+<，218xy <<，A 、C 正确； 32y -<-<-，故24x y -<-<，B 错误；11132y <<，故133x y <<，D 错误．故选：AC ．11．（2022·广西·高一阶段练习）若a ，b 为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（ ）． A ．222a b ab +≥B ．()22242a b a b ++≤C ．2a b aba b +≥+ D ．2b aa b+≥【答案】AB【解析】选项A ：由()2222220222a b ab a b a b ab ++-==-≥-，可得222a b ab +≥．判断正确； 选项B ：由()()222222204244a b a b a b a ab b +-++-+--==≤，可得()22242a b a b ++≤．判断正确；选项C ：当1,2a b =-=-时，32223a b ab a b +=-=-+，，由3223-<-，可得2a b aba b +<+．判断错误；选项D ：当1,2a b ==-时，2152122b a a b -+=+=-<-．判断错误． 故选：AB12．（2022·浙江·台州市书生中学高二开学考试）已知0x y z ++=，x y z >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．xy xz > B ．xy yz >C ．222x z y +>D ．y y z z >【答案】ACD【解析】因为0x y z ++=，且x y z >>，可得0,0x z ><，y 正负不确定， 对于A 中，由y z >且0x >，所以xy xz >，所以A 正确；对于B 中，由>x z ，但y 正负不确定，所以xy 与yz 大小不确定，所以B 不正确； 对于C 中，由0x y z ++=，可得()y x z =-+，可得2222y x z xz =++，又由22222222)(20x z y x z x z zx xz =+-=-++-+>，所以222x z y +>，所以C 正确；对于D 中，当0y ≥时，可得220,0y y y z z z =≥=-<，所以y y z z >； 当0y <时，可得22,y y y z z z =-=-，因为y z >且0y <，可得0z y ->->，可得22z y >，所以22y z ->-，即y y z z >， 所以D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·辽宁·高二阶段练习）已知13a -<<且24b <<，则2a b -的取值范围___________． 【答案】6,4【解析】由13226a a -<<⇒-<<，由2442b b <<⇒-<-<-，相加得624a b -<-<． 故答案为：6,4．14．（2022·广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（文））若7,34(0)P a a Q a a a =+=++≥．则P ，Q 的大小关系__________（用“<”，“≤”，“=”连接两者的大小关系） 【答案】P Q <【解析】依题意可知0,0,0P Q a >>≥，22222727,272712P a a a Q a a a =+++=++++所以22P Q <，所以P Q <． 故答案为：P Q <15．（2022·全国·高三专题练习）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若222a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________．【答案】3-､1-､1（答案不唯一）【解析】令3a =-，1b =-，1c =，则222101a b c +=>=，此时41a b +=-<-，所以a b c +>”是假命题．故答案为：3-､1-､116．（2022·全国·高一课时练习）设,a b ∈R ，则22222a b a b ++≥+中等号成立的充要条件是_______． 【答案】1a =且1b =．【解析】由题设，22222121(1)(1)0a a b b a b -++-+=-+-≥， ①要使等号成立，则1a =且1b =，当1a =且1b =时，有2224,224a b a b ++=+=，即22222a b a b ++=+成立． 综上，1a =且1b =是22222a b a b ++≥+中等号成立的充要条件．故答案为：1a =且1b =．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17．（10分）（2022·上海市大同中学高一期中）设x 、y 是不全为零的实数，试比较222x y +与2x xy +的大小，并说明理由．【解析】解：()()22222223224y y x y x xy x xy y x ⎛⎫+-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，若223024y y x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则020y x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可得0x y ==， 但x 、y 是不全为零的实数，矛盾，故223024y y x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，因此，2222x y x xy +>+． 18．（12分）（2022·全国·高一课时练习）设实数a 、b 、c 满足2234644b c a a c b a a ⎧+=-+⎨-=-+⎩试确定a 、b 、c 的大小关系，并说明理由．【解析】由已知得222451c a a b a ⎧=-+⎨=+⎩， 因为()224420c b a a a -=-+=-≥， 所以c b ≥，当且仅当2a =时取等号， 因为22131024b a a a a ⎛⎫-=+-=-+> ⎪⎝⎭，所以b a >，综上：c b a ≥>． 19．（12分）（2022·广东广雅中学高一阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为2m a ，地板面积为2m b ，（1）若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为2330m ，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为2m t ，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．【解析】（1）根据题意可得：33010%a b ab+=⎧⎪⎨≥⎪⎩ ，则330b a =-，所以10%330a a ≥-，解得：30a ≥，所以这所公寓的窗户面积至少为30平方米（2）同时增加窗户面积和地板面积后，比值为a tb t ++，则()()()t b a a t a ab tb ab at b t b b b t b b t -++---==+++，因为0,0,b t b a >>>，所以()()0t b a a t a b t b b b t -+-=>++，所以a t ab t b+>+，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后，公寓的采光效果变好了 20．（12分）（2022·福建·福州三中高一阶段练习）证明下列不等式 （1）若bc -ad ≥0，bd ＞0，求证：a b c db d++≤ （2）已知a ＞0，b ＞0，求证：22a b a b b a++≥【解析】证明：（1）因为()()a b d c d b a b c d ad bcb d bd bd+-+++--==，又bc -ad ≥0，bd ＞0， 所以0ad bc bd-≤，所以a b c db d ++≤；（2）因为()()()2223223+a b a b a b a b a b a b b ab a ab b a +-⎛⎫+-+== ⎝--⎪⎭，又a ＞0，b ＞0，所以()()20a b a b ab+-≥，所以22a b a b b a++≥．21．（12分）（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知：实数12,(0,1)x x ∈，求证：不等式121211x x x x +>+ 成立的充分条件是12x x <． 【解析】实数12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，120x x -<，1201x x <<， 则12121212121212121212()(1)1111()()()()()0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---+-+=-+-=-+=>， 于是得121211x x x x +>+， 所以不等式121211x x x x +>+ 成立的充分条件是12x x <． 22．（12分）（2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）（1）比较3x 与21x x -+的大小； （2）已知a b c >>，且0a b c ++=， ①求证：c c a c b c>--．①求ca的取值范围．【解析】解：（1）32322(1)()(1)(1)(1)x x x x x x x x --+=-+-=+-， 当1x =时，2(1)(1)0x x +-=，故321x x x =-+， 当1x >时，2(1)(1)0x x +->，故321x x x >-+， 当1x <时，2(1)(1)0x x +-<，故321x x x <-+； （2）①证明：a b c >>且0a b c ++=，0c ∴<， a b c >>，0a c b c ∴->->，两边取倒数得11a cb c<--， 又0c <， ∴c c a c b c>--，从而得证． ①a b c >>且0a b c ++=，0,0a c ∴><， 所以0ca <，1b a<， 因为0a b c ++=，所以10b ca a ++=，即1bc a a=--， 所以11c a--<，即2ca >-，综上，20c a -<<．。
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课型：新授课课时：一课时授课对象：八年级【设计理念】华罗庚先生说过，“数学的学习必须经历两个过程，先学习、接受，知识由厚边薄，再提炼、升华，知识由薄变厚。
”现代数学教学也指出，数学的教学必须在学生自主探索、经验归纳上获得，必须展现思维的过程性。
3.1认识不等式【教材分析】本节课的内容主要介绍不等式的概念。
相等与不等式研究数量关系的两个重要方面，用不等式来表示不等的关系，是代数基础知识的一个重要组成部分，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
本节课是研究不等式的导入课，为接下来进一步学习不等式的基本性质，一元一次不等式，一元一次不等式组起到铺垫作用，因此在内容安排上有着重要作用。
【学情分析】本课的授课对象在小学阶段已经学习过不等号的相关知识，这有助与学生进一步学习不等关系的相关内容。
但是学生在小学阶段接触的是比较低级的不等式，而本节课的教学任务是在学生完成七年级代数式的相关内容后跟高水平地学习不等关系，即学习不等式的相关内容，这里教教师要做好引导工作，将学生在小学阶段认识的数与数之间的不等关系与七年级学习的代数式知识联系起来，组织学生学习不等式的相关内容。
【教学方法】根据以上分析，确定如下教学方法：【教学目标】根据以上分析，我制定了如下三位目标：【教学重难点】（1）重点：不等式的概念和列不等式。
教法：主要采用启发引导法，结合讨论法、讲授法，充分体现学生的主体地位学法：通过合作探究，经观察分析，独立思考，小组交流，完成学习目标知识与技能：（1）：掌握用不等号表示不等关系； （2）：掌握用数轴表示简单的不等式；过程与方法：（1）：通过操作、观察，培养学生动手和归纳的能力，培养学生探索、创新精神。
（2）：结合具体情境向学生渗透数形结合的数学思想，培养学生通过数形结合思想解决问题的能力。
情感态度价值观：（1）：通过直观感知、动手操作，让学生经历、体会规律的形成；（2）：通过动手操作，观察探索，体验数学研究和发现的过程，逐步培养学生在教学活动中的主动探索的意识和合作交流的习惯。
（2）难点：不等关系在数轴上的表示。
【教学过程】教师：我们先来看一副有趣的漫画，小明被交警拦下，很不服气地说“我怎么违规了？” 交警说；你没看到这个标志吗？你超速了”，这个牌子我们在公路上经常看到，它究竟表示什么含义。
学生（预设）：车的速度不能超过70千米每小时。
教师：用数学语言里的不等号该怎么表示不超过，说明速度要……。
学生：小于70。
教师：可以等于70吗？ 学生（预设）：可以。
教师：所以完整的表达是速度是小于等于70。
由此我们发现在现实生活中，除了之前我们熟悉的相等量关系外，我们还经常遇到不相等的关系，所以本节课我们来学习认识刻画不等关系的不等式。
接下来我们看一些生活中的不等关系，想这些数量关系该用怎样的式子来表示？教师：跟刚才很相像的路牌，这个该怎么表示呢？ 学生：40≤v教师：很好，你是根据哪几个关键字得到的？ 学生：不得超过。
教师：很好，那我们接着看下一个情形。
教师：（2）据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000℃。
设太阳表面的温度为t （℃），怎样表示t 与6000之间的关系？ 学生（预设）：6000≥t 教师：关键词是不是是“不低于”，然后我们得出这个不等式。
接着看下一个情形。
如图3-2，天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g 砝码，天平倾斜。
设每个乒乓球的质量为x （g),怎样表示x 与5之间的关系？ 学生（预设）：53＞x教师：(4)如图3-3，小聪与小慧玩跷跷板，两人都不用力时，跷跷板左低、右高。
小聪的身体质量为p （kg),书包的质量为2kg,x 小慧的身体质量为q （kg),怎样表示p,q 之间的关系？ 学生：2+p q ＜ 教师：（5）要使代数式32-+x x 有意义，x 的值与3之间有什么关系？这里是个分式，要使分式有意义，分母要满足什么条件？ 学生（预设）：分母不等于0，所以3≠x环节一：创设情景，引入新知教师：现在我们一起看看同学们所列的这些式子，这些式子有共同特征吗？它们表示什么数量关系？学生（预设）：表示不等关系。
教师：还有它们都是用什么符号连接的。
学生（预设）：都是用不等号连接的。
教师：这样我们找出共同特征了，那哪个同学可以由此总结下不等式的定义。
学生：表示不等关系，用不等号连接的数学式子叫做不等式。
教师：很好，那你能告诉老师不等号具体有哪些？学生：大于，大于等于，小于，小于等于，不等于。
教师：这样我们总结出不等式的定义像这样，用符号"＜，≤，＞，≥，≠”连接而成的数学式子，叫做不等式。
这样，我们判断一个所给的数学式子是否为不等式，就只要看它是不是用不等号连接的就行了。
来判断老师所给的式子是否为不等式。
教师：第一个是不是不等式？0＜的。
学生（预设1）：不是，2学生（预设2）：是的。
教师：我们判断一个式子是不是不等式就看它是不是用不等号连接，大于号是不是不等号。
所以它是不等式，但它是一个错误的不等式。
下面的题大家快速给出答案。
教师：判断是否为不等式就找不等号，这个不等号看起来很重要，我们来梳理下这些不等式，首先都加都来念一下黑板上的这五个不等号。
学生：大于，大于等于，小于，小于等于，不等于。
教师：大家再根据刚才做题的经验，找到这些不等号对应的关键词。
教师：我们把不等号与关键词一一对应起来了，这样再来列不等式就简单多了。
我们看ppt 。
有关键词“比……小”，选什么符号。
学生：＜。
教师：完整的不等式是什么？学生（预设）：162＜y 教师：大家来总结下列不等式的步骤：第一步是……学生：找关键词，选不等号。
教师：再列出完整的不等式，对吧。
接着我们再做两道题巩固下。
【设计意图：让学生自己观察，发现，归纳不等式的概念，充分体现学生的主题地位。
给出不等式概念后再让学生判断所给式子是否为不等式，即使巩固，加强学生对所学知识的理解与记忆。
从生活中来，再回到数学中去，在学生认识不等式后让学生用不等式列出问题中所表示的数量关系。
】教师：大家已经掌握了不等式的概念，我们进入下一环节。
我们知道数轴是研究数与数量关系的一个好工具，那在研究不等关系的时候我们利用数轴来更好地学习不等式这个内容。
首先是用数轴表示数。
我们来回顾下怎样用数轴表示数，首先画数轴，数轴的三要素是…… 学生（预设）：原点，正方向，单位。
（教师画好数轴） 教师：现在又如何表示x1,x2的位置呢？ 学生（预设）：描出它们所在位置的点。
教师：很好，大家对以前的知识掌握的很好，我们接着看下面的题目，x<1,表示怎样的数的全体？学生：表示小于1的数的全体。
教师：这些小于1的数在数轴上的什么位置？是在表示数1的点的左边还是右边？ 学生：左边。
教师：像0，-1，-2，，2,5……这些小于的数在1的左边。
那在1左边的数是不是都小于1呢？学生：是。
教师：因为数轴上左边的数小于右边的数对吧，这样大家看这些密密麻麻的点都是，包不包括1？学生：不包括。
教师：不包括，那我们用一个空心的圈来表示，大家看这些在1左边的数构成了一条怎样的环节二：教师生互动，探究新知线？学生：一条射线。
教师：而且是不包括端点的射线。
这样我们把它画出来。
大家看，老师用不同颜色的粉笔画，但看起来还是不够清晰，因为重合在一起了，那你们用铅笔画，是不是更加不够清晰了，所以我们把这条直线往上平移，架起一座高架桥。
这样我们就用数轴把不等式表示出来了。
同学们，那如果是1≤x ，又该如何表示？ 学生：实心的。
教师：很好，这里包括1，所以要用实心。
我们用数轴表示不等式其实很简单，就是要注意端点值的虚实，还要定方向。
下面的题目老师教给大家，你们拿出草稿纸动手画一画。
请学生到黑板上作图，并作批改。
32-＜x ≤，这里不包括3用空心表示，包括-2，所以用实心的教师：我们看一看课本里对这部分内容的介绍。
课本最下面的注释1，“为了表示a 为任意的实数，，如图3-4,3-5,3-6，这样的数轴中不标注原点和单位长度”，但在实际做题中，a 为具体的值是我们必须画出原点来。
【设计意图：在数轴上表示不等式是在数轴上表示点的基础上的延伸，这里教师通过引导，由浅入深地让学生掌握用数轴表示不等式的方法，在总结想过知识，落实好一些要注意的点，帮助学生通过直观操作学习新的知识。
】教师：大家已经知道如何根据题意用不等式来表示不等关系，也知道如何用数轴来表示不等关系，那下面我们来看道应用题，在实际应用的情况中操练下我们今天学到的知识。
（ppt 展示题目）教师：x 与12,20相比，又怎样的不等关系？用不等式如何表示？在数轴上怎样表示？ 第二小题可归结成怎样的数学问题？用不等式或数轴的知识进行解答。
【设计意图：通过一道应用题，巩固了很多知识，即要求学生通过条件关系列出不等式，又要将不等式用数轴表示，能起到培养学生综合应用知识的能力。
】环节三：强化练习，巩固新知教师：现在我们来总结下今天学到的知识（用板书为展示对象）我们学了不等式的概念，重新认识了不等号；我们学了根据条件所给关系列出不等式;学了用数轴表示不等式。
(展示ppt ）：也就是一个概念，是不等式的概念；两个步骤：怎样列不等式，怎么用数轴表示不等式。
【板书设计】：【板书设计】：【教学反思】：一．只见树木，不见森林----------注意到小环节的过渡，但忽略整堂课的结构二．对学生的开放性还可以再高------应把课堂交给学生，让学生自己暴露错误，再生成知识环节四：小结知识，布置作业 3.1认识不等式1.不等式：用不等号连接的数学式子。
用数轴表示不等式的引题 （＜，≤，＞，≥，≠） 学生做题22.列不等式：关键词， 选不等号 例题23.用数轴表示不等式：定虚实，定方向 学生做题1。