光电信息物理基础第二章习题答案

2.1 已知某一区域中给定瞬间的电流密度)(333z y x e z e y e x C J K K K K ++=，其中C 是
大于零的常量，求：在此瞬间，点（1，-1，2）处电荷密度的时间变化率； 解：由电流连续性方程0＝t
ρJ ∂∂+⋅∇K P26 （2.2-8） 所以电荷密度的时间变化率为：
)333()()()(222333z y x z Cz y Cy x Cx z J y J x J J t
z y x ++−=∂∂−∂∂−∂∂−=∂∂−∂∂−∂∂−=⋅−∇=∂∂K ρ在点（1，-1，2）处的电荷密度的时间变化率为 -18C 。

2.2 设在某静电场域中任意点的电场强度均平行于x 轴。

证明：（1）E K 与坐标y ，z 无关；（2）若此区域中没有电荷，则E K 与坐标x 无关。

证明：
（1）因为任意点的电场强度均平行于x 轴，这说明电场强度的振动方向沿x 方
向，电场强度E K 的表达式可写为),,(z y x E e E x x K K =
又因为是静电场，为有源无旋场，所以该电场强度的旋度为零。

即
0 0
0 =∂∂−∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=×∇y
E e z E e E z y x e e e E E E z y x e e e E x z x y x z
y x z y x z y x G G G G G G G G K 所以0=∂∂z E x 并且0=∂∂y
E x ，这就说明分量Ex 与坐标y ，z 无关，即电场强度E K 与坐标y ，z 无关
（2）因为此区域没有电荷，这说明此区域没有电场的源，0=ρ，电场的散度也为零，即0=∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇x
E z E y E x E E x z y x K ，所以E K 与坐标x 无关。

2.5 从微分形式麦克斯韦方程组导出电流连续性方程
解：微分形式的麦克斯韦方程组
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂−=×∇∂∂+=×∇ρ
D B t B
E t D J H G G G G G G G 0，其中和电流有关的是第一个全电流方程t D J H ∂∂+=×∇G G G 因为矢量的旋度的散度恒为零，即0)(≡×∇⋅∇H G ，所以0=⎟⎟
⎠⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+⋅∇t D J G G 即()
t D J t D J ∂⋅∇∂+⋅∇=∂∂⋅∇+⋅∇G G G G （因为∇是对空间坐标求导，t ∂∂是对时间求导，二者相互独立，可以互换）
也就是说()
0=∂∂+⋅∇=∂⋅∇∂+⋅∇t J t D J ρG G G ，即电流连续性方程。

得证。

2.6 试证明通过电容器的位移电流等于导线中的传导电流
证明：假设平行电容器之间的介质的介电常数为ε，电容器的面积为S ，电容器间距为d 。

根据图示可知，位移电流I d 与传导电流I f 方向相同 根据定义位移电流密度为：t
E t D J d ∂∂=∂∂=K K K ε；因为电场强度d U E =，所以t U
d J d ∂∂=ε。

位移电流f d d I t
Q t CU t U C t U
d S S J I =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂==)(ε d
J G
其中电容器的电容U
Q d S C ==
ε 2.7线性各向均匀介质中某点的极化强度z y x e e e P K K K K 53018+−=，5.20=z D ，求
这点的E K 和D K 解：极化强度D D E E P r
r r r K K K K K )11()1()1(0000εεεεεεεχε−=−=−== 所以z r z D P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ε11，1.31.41.41115.2051111=−=−=−=z
z
r D P ε 所以电位移矢量
z y x r r r r e e e P P P P P D K K K K K K K K K 5.201238.731.411.31.4111111111+−==⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=εεεε 电场强度()
1201075.15.103.6×+−==z y x r e e e D E K K K K K εε
2.9 有一个内、外半径分别为a 和b ，介质常数为 ε 的介质球壳，其中有密度为ρ 的均匀电荷，求任一点的电位移矢量及球壳内的极化电荷密度。

解：由球对称性可知，电位移矢量的方向沿着球的半径方向，大小随着半径r 的变化而变化。

根据积分形式的麦克斯韦定理∫∫==⋅v
S f dV Q S d D ρK K 分段考虑：
（1） 若0 < r < a ，则0=Q ，0=D
（2） 若b r a ≤≤，由于电荷均匀分布，则()
3334a r Q −=πρ，Q r D =24*π 所以()()
233233234344r a r r a r r Q D −=−==ρππρπ （3） 若b r >，由于电荷均匀分布，则()
3334a b Q −=πρ，Q r D =24*π，所以
()()233233234344r a b r a b r Q D −=−==ρππρπ （4） 球壳内的极化电荷密度满足P p K ⋅−∇=ρ （P24 2.1-23） 根据极化强度P K 和电位移矢量D K 之间的关系
即E E P r K K K )1(00−==εεχε （P25 2.1-31）
；E D r K K εε0= （P25 2.1-32） D D E P r r r r K K K K ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=−=−=εεεεεεε11)1()1(000 所以球壳内的极化电荷密度为
ρεερεεερ*1*11*11110⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅∇⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−
⋅−∇=⋅−∇=r r r p D D P K K K。