初中数学-圆的有关性质
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初中数学
能力提高题
2.如图已知△ABC中，∠C=90°,在AC上截取AD=BC, 在BC上截取BE=DC,连结BD,AE交于F,求∠BFE.
B
G
E F
A
D
C
第十六讲 圆的有关性质
C
一.重要定理及方法
1.垂径定理：垂直于弦的直径平
分弦且平分弦所的对的两条弧.
O
A
推论：平分非直径的弦的直径垂
E
B
分析:分两种情况:
当P在圆内时:
r PA PB 9 3 6
2
2
A
O ·B
P
当P在圆外时
r PA PB 9 3 3
2
2
A
O
B ·P
3.如图，点P(x ，y), 是以坐标原点为圆心，5为半径
的圆周上的点，若x, y都是整数，则这样的点共有
（C）
A. 4个
B.8个
C.12个 D.16个
(1)求证:GF=AE;
(2)若AB=6, ⊙O的半径为 5 ,求tan∠ADG的值.
A E
(1)证法一：连结GE， ∵∠GAE=90°
G B
O1
32
FD
∴GE为直径，得∠GDE=90° ∠ 1+ ∠2= 90°
C ∵∠ADB=90°得∠ 3+∠2=90° ∴ ∠ 1= ∠ 3
∴ GF=AE
5．已知如图AB是⊙O的直径，C为圆上一点，
点A的坐标为(-2,0), (1)求直线BC的解析式; (2) 连结MF BC,求证:MF//BC
Y
E C
F
A
O
M
B
X
D
直于弦且平分弦所对的两条弧.
D
2.圆中的基本三角形---半径，半弦和弦心距构 成的直角三角形
设弦长为a,半径为r,弦心距为d
则：
r2
d
2
a
2
2
O r
d
A
C
B
3.圆周角等于它所夹的 弧所对的圆心角的一半 4.在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角相等；
反之，相等的圆周角所对
的弧相等。
E为OB的中点,CE的延长线交⊙O于G,AG交OD于F,
求证:OD=3FO
A
证明：作EM⊥AG于M
∵AB，CD为直径且AB⊥CD
∴ 1 1 AOC 45 2
C
O
F
D
M
∴ME=MG
E
1
易证△AOF∽△AME
G B
∴OF：AO=ME：AM ∴OF：AO=MG：AM 而：MG：AM=BE：AE
A D
则:∠A+∠C=180° :∠B+∠D=180°
O C
B
二.精讲例题
1.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角等
于
30°或150 °
度.
c
分析:连结OA,OB,得正三角
形OAB,所以∠O=60°
O
AB所对的圆周角有两种情
60°
况:
顶点在优弧上∠C=30°
A
B
D
劣弧上∠D=150°
2.平面内一点P到⊙O上的最近点和最远点的距 离分别为3和9，则⊙O的半径等于 6或3
AC·BC=2R·CD,若有请证明,若没有请说明理由.
C
∴∠CAE=90°=∠CDB
A
D
B
∵∠E=∠B
O
∴△AEC∽△DBC
E
解：结论AC·BC=2R·CD
AC CE CD CB
AC BC 2RCD
仍然成立。
证明：连结CO并延长交⊙O于E
连结AE，
∵CE为直径
6.已知如图 ,⊙O中,AB为直径,AC为弦,CD⊥AB于D, AF=AC,FB交⊙O于E, 求证:∠ACE=∠AFD
C
A2
DO
1
B
3
F
E
证明：连结CB，因为AB为直径 ∴∠ACB=90° ∵CD⊥AB
∴ AC2 AD AB
∵ AF=AC
∴ AF2 AD AB
AF AD AB AF ∵∠2=∠2 ∴ △AFD∽△ABF ∴∠3=∠1，
∵∠ACE=∠1
∴ ∠ACE=∠AFD
7.已知如图,AB CD是⊙O的两条互相垂直的直径,
推论：直径所对的圆周 角为直角；90°的圆周 角所对的弦是直径.
A
O
C B
C D
O
A
B
C
A
O
B
5.在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角
和两个弦心距有一组量相等，则其余各组量对应相
等。
6.不在同一直线上的三点确定 一个圆.
A C
E
B
F
三角形有唯一的外接圆
O D
A
wk.baidu.com
A
A
O
B
O
B
C
B
C
C
O
7.圆内接四边形对角互补. 若四边形ABCD内接于圆
y
分析：连结PO，则
5
P
x2 y2 52
满足这个方程的其中两个整
-5
O
5
x
数解为
x1 3
y1
4
xy22
4 3
在由对称性得在其余三个
-5
象限有6个，另外坐标轴上
有4个，共12个
4.已知如图：△ABC是等腰直角三角形，且AD ⊥BC,过AD的圆分别交BC,AB,AC于点F,G,E.
CD⊥AB于D，连结AC BC,
(1)求证：AC·BC=AB·CD (AB=2R)
C
证明：∵AB为直径
A
∴∠ACB=90°
∴
1
1
SABC 2 AC BC 2 ABCD
AC BC ABCD
OD
B
即：AC BC 2R CD
还可以用相似来证
(2)向上平移AB,此时AB为弦,是否还有
=1：3
∴ OF：AO=1：3 ∴ OF：OD=1：3
∴ OD=3FO
三.思考题
1.已知如图,AB是⊙O的直径,P是AB上的一点, 弦CD经过点P,且∠DPB=45°,
求证：PC 2 PD2 2r 2
D
A
P
B
O
C
2. 点M在X轴上, ⊙M交X轴于A B两点,
交Y轴于C D两点,C为弧AE的中点,AE=8,
能力提高题
2.如图已知△ABC中，∠C=90°,在AC上截取AD=BC, 在BC上截取BE=DC,连结BD,AE交于F,求∠BFE.
B
G
E F
A
D
C
第十六讲 圆的有关性质
C
一.重要定理及方法
1.垂径定理：垂直于弦的直径平
分弦且平分弦所的对的两条弧.
O
A
推论：平分非直径的弦的直径垂
E
B
分析:分两种情况:
当P在圆内时:
r PA PB 9 3 6
2
2
A
O ·B
P
当P在圆外时
r PA PB 9 3 3
2
2
A
O
B ·P
3.如图，点P(x ，y), 是以坐标原点为圆心，5为半径
的圆周上的点，若x, y都是整数，则这样的点共有
（C）
A. 4个
B.8个
C.12个 D.16个
(1)求证:GF=AE;
(2)若AB=6, ⊙O的半径为 5 ,求tan∠ADG的值.
A E
(1)证法一：连结GE， ∵∠GAE=90°
G B
O1
32
FD
∴GE为直径，得∠GDE=90° ∠ 1+ ∠2= 90°
C ∵∠ADB=90°得∠ 3+∠2=90° ∴ ∠ 1= ∠ 3
∴ GF=AE
5．已知如图AB是⊙O的直径，C为圆上一点，
点A的坐标为(-2,0), (1)求直线BC的解析式; (2) 连结MF BC,求证:MF//BC
Y
E C
F
A
O
M
B
X
D
直于弦且平分弦所对的两条弧.
D
2.圆中的基本三角形---半径，半弦和弦心距构 成的直角三角形
设弦长为a,半径为r,弦心距为d
则：
r2
d
2
a
2
2
O r
d
A
C
B
3.圆周角等于它所夹的 弧所对的圆心角的一半 4.在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角相等；
反之，相等的圆周角所对
的弧相等。
E为OB的中点,CE的延长线交⊙O于G,AG交OD于F,
求证:OD=3FO
A
证明：作EM⊥AG于M
∵AB，CD为直径且AB⊥CD
∴ 1 1 AOC 45 2
C
O
F
D
M
∴ME=MG
E
1
易证△AOF∽△AME
G B
∴OF：AO=ME：AM ∴OF：AO=MG：AM 而：MG：AM=BE：AE
A D
则:∠A+∠C=180° :∠B+∠D=180°
O C
B
二.精讲例题
1.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角等
于
30°或150 °
度.
c
分析:连结OA,OB,得正三角
形OAB,所以∠O=60°
O
AB所对的圆周角有两种情
60°
况:
顶点在优弧上∠C=30°
A
B
D
劣弧上∠D=150°
2.平面内一点P到⊙O上的最近点和最远点的距 离分别为3和9，则⊙O的半径等于 6或3
AC·BC=2R·CD,若有请证明,若没有请说明理由.
C
∴∠CAE=90°=∠CDB
A
D
B
∵∠E=∠B
O
∴△AEC∽△DBC
E
解：结论AC·BC=2R·CD
AC CE CD CB
AC BC 2RCD
仍然成立。
证明：连结CO并延长交⊙O于E
连结AE，
∵CE为直径
6.已知如图 ,⊙O中,AB为直径,AC为弦,CD⊥AB于D, AF=AC,FB交⊙O于E, 求证:∠ACE=∠AFD
C
A2
DO
1
B
3
F
E
证明：连结CB，因为AB为直径 ∴∠ACB=90° ∵CD⊥AB
∴ AC2 AD AB
∵ AF=AC
∴ AF2 AD AB
AF AD AB AF ∵∠2=∠2 ∴ △AFD∽△ABF ∴∠3=∠1，
∵∠ACE=∠1
∴ ∠ACE=∠AFD
7.已知如图,AB CD是⊙O的两条互相垂直的直径,
推论：直径所对的圆周 角为直角；90°的圆周 角所对的弦是直径.
A
O
C B
C D
O
A
B
C
A
O
B
5.在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角
和两个弦心距有一组量相等，则其余各组量对应相
等。
6.不在同一直线上的三点确定 一个圆.
A C
E
B
F
三角形有唯一的外接圆
O D
A
wk.baidu.com
A
A
O
B
O
B
C
B
C
C
O
7.圆内接四边形对角互补. 若四边形ABCD内接于圆
y
分析：连结PO，则
5
P
x2 y2 52
满足这个方程的其中两个整
-5
O
5
x
数解为
x1 3
y1
4
xy22
4 3
在由对称性得在其余三个
-5
象限有6个，另外坐标轴上
有4个，共12个
4.已知如图：△ABC是等腰直角三角形，且AD ⊥BC,过AD的圆分别交BC,AB,AC于点F,G,E.
CD⊥AB于D，连结AC BC,
(1)求证：AC·BC=AB·CD (AB=2R)
C
证明：∵AB为直径
A
∴∠ACB=90°
∴
1
1
SABC 2 AC BC 2 ABCD
AC BC ABCD
OD
B
即：AC BC 2R CD
还可以用相似来证
(2)向上平移AB,此时AB为弦,是否还有
=1：3
∴ OF：AO=1：3 ∴ OF：OD=1：3
∴ OD=3FO
三.思考题
1.已知如图,AB是⊙O的直径,P是AB上的一点, 弦CD经过点P,且∠DPB=45°,
求证：PC 2 PD2 2r 2
D
A
P
B
O
C
2. 点M在X轴上, ⊙M交X轴于A B两点,
交Y轴于C D两点,C为弧AE的中点,AE=8,