人教版九年级上册数学二次函数知识点归纳及练习

二次函数
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。

4.
()2
y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的
平移
1. 平
移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点
式
()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2
沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成c m x b m x a y ++++=)()(2
（或
c m x b m x a y +-+-=)()(2）
四、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看，()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -⎛
⎫=++
⎪⎝
⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．
五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶
点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，
则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．
当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a =-时，y 有最小值244ac b a -．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值244ac b a -．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x
轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a
-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b
a
-
=，即抛物线的对称轴就是y 轴；
当0b <时，02b
a
-
<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：
3. 常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，
对称
()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠
的两根．这两点间的距离21AB x x =-=
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'
当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
十一、函数的应用
二次函数应用⎧⎪
⎨⎪⎩
刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少
练习
一、选择题
1. 二次函数2
47y x x =--的顶点坐标是( )
A.(2,－11)
B.（－2，7）
C.（2，11）
D. （2，－3） 2. 把抛物线2
2y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. 2
2(1)y x =-+ B. 2
2(1)y x =-- C. 2
21y x =-+ D. 2
21y x =-- 3.函数2
y kx k =-和(0)k
y k x
=
≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
4.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是
( )
A.1个
B.2个
C. 3个
D. 4个
5.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),
由图象
可知关于x 的一元二次方程2
0ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）
Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 7.方程2
2
2x x x
-=
的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. 2
2y x x =-- B. 2
2y x x =-++
C. 22y x x =--或22y x x =-++
D. 22y x x =---或2
2y x x =++
二、填空题
9．二次函数2
3y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.
11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。

12．抛物线2
2(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

13. 二次函数2
241y x x =--的图象是由2
2y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14).
三、解答题：
15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,5
2
-). (1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?
16.某种爆竹点燃后，其上升高度h （米）和时间t （秒）符合关系式2
012
h v t gt =- （0<t≤2），其中重力加速度g 以10米/秒2
计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升，
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.
第15题图
17.如图，抛物线2
y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此
抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P
的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．。