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九年级上册数学知识点二次函数
九年级上册数学知识点二次函数
九年级上册数学知识点的二次函数主要包括以下内容：
1. 二次函数的概念：二次函数是一个含有x的二次多项式，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c。其中a、b、c为常数，a不等于0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线。开口向上
的抛物线对应的二次函数的a值为正，开口向下的抛物线对应的二次函数的a值为负。
3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口
向下）。顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。
4. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。对称轴的
方程为x = -b/(2a)。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数的图像与x轴交点的横坐标。可以通过求
解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得零点。
6. 二次函数的最值：开口向上的二次函数没有最小值，开口向下的二次函数没有最大值。可以根据顶点和抛物线的开口方向来判断最值的取值范围。
7. 二次函数的平移：对二次函数进行平移操作可以改变函数的顶点和对称轴的位置。
平移时，可以考虑将二次函数的一般式写成完全平方形式，然后对x进行平移。
8. 二次函数与一次函数的关系：二次函数是一次函数的平方。通过解方程或图像的变化，可以找到一次函数和二次函数之间的关系。
9. 二次函数的应用：二次函数在现实生活中具有广泛应用，如物体的抛射运动、焦点和准线问题、面积最大值和最小值等问题。应用中需要把问题转化为二次函数，并利用二次函数性质进行求解。
九年级上册数学二次函数知识点汇总
九年级上册数学二次函数知识点汇总
二次函数知识点总结
知识点一：二次函数的定义
一般地，形如y = ax^2 + bx + c（a，b，c是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
知识点二：二次函数的图像与性质
抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点
1.二次函数y = a(x - h) + k的图像与性质
1）二次函数基本形式y = ax^2的图像与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2）y = ax^2 + c的图像与性质：上加下减。
3）y = a(x - h)^2的图像与性质：左加右减。
4）二次函数y = a(x - h)^2 + k的图像与性质。
2.二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与性质
1）当a。0时，抛物线开口向上，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，-Δ/4a）。
当x。-b/2a时，y随x的增大而增大；当x = -b/2a时，y 有最小值Δ/4a。
2）当a < 0时，抛物线开口向下，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，Δ/4a）。
当x。-b/2a时，y随x的增大而减小；当x = -b/2a时，y 有最大值Δ/4a。
3.二次函数常见方法指导
1）二次函数y = ax^2 + bx + c图像的画法
①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）。
利用配方法将二次函数y = ax^2 + bx + c化为顶点式y = a(x - h)^2 + k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。
九年级数学上册二次函数知识点总结及练习
初三数学二次函数
知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如
2
y
ax
bx
c （a b c ，，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数。这
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a
，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实
数．2. 二次函数2
y
ax
bx c 的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二、二次函数的基本形式
二次函数的基本形式
2
y
a x
h
k 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
三、二次函数图象的平移
1.
平移步骤：
方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2
y a x h k ，确定其顶点坐标h k ，；
⑵保持抛物线2
y
ax 的形状不变，将其顶点平移到
h k ，处，具体平移方法如下：
向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k |个单位
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=a (x-h)2+k
y=a(x-h)2
y=ax 2+k
y=ax 2
2. 平移规律
在原有函数的基础上“
h 值正右移，负左移；
k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”
．
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
a 向上
h k ，X=h
x
h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随
(完整版)初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二、二次函数的基本形式
二次函数的基本形式()2
y a x h k =-+的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2
沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结(新版)新人教版
九年级数学上册：
第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2
ax y =的性质
（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2
ax y =的图像与a 的符号关系.
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；
②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2
ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2
的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：
()
k h x a y +-=2
的形式，其中a
b a
c k a b h 4422
-=-=，.
5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2
ax
y =；②k ax y +=2
；③()
2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤
c bx ax y ++=2.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；
a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
九年级上册二次函数知识点总结
一、引言
二次函数是初中数学课程中的重要内容，也是九年级上册数学课本
中的重点章节之一。掌握二次函数的知识对于理解数学原理、解决实
际问题都具有重要意义。通过九年级上册的学习，我们已经初步接触
了二次函数的概念和基本性质，下面将对九年级上册二次函数的知识
点进行总结，帮助大家巩固所学内容。
二、二次函数的定义
1. 二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数
称为二次函数，其中a、b、c是已知常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线。抛物线开口方向由
二次函数的系数a的正负性决定。
3. 二次函数的自变量、因变量：自变量通常用x表示，因变量通常
用y表示。
三、二次函数的图像特征
1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，
抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点：二次函数的图像在其顶点处取得极值，当a>0时，抛物线的顶点是最小值点；当a<0时，抛物线的顶点是最大值点。
3. 抛物线的对称轴：对称轴是垂直于x轴过抛物线顶点的直线，其
方程为x=-b/2a。
4. 抛物线的焦点：焦点是抛物线上所有点到定点的距离与到定直线
的距离相等的点。
四、二次函数的基本性质
1. 判别二次函数的开口方向：利用二次函数的一阶导数的正负性可
以判断抛物线的开口方向。
2. 求解二次函数的零点：利用二次函数的根的求法，可以求出二次
函数的零点。
3. 求解二次函数的顶点：利用二次函数的完全平方公式，可以求出
二次函数的顶点。
五、二次函数的应用
1. 利用二次函数解决实际问题：例如利用二次函数的图像特征和性质，可以解决抛物线运动、抛物线的方程等实际问题。
人教版九年级数学上册第22章二次函数知识点汇总
★二次函数知识点汇总★XX ：
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数2
ax y =的性质
(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2
ax y =的图像与a 的符号关系.
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点
3.二次函数 c bx ax y ++=2
的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.
4.二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中
a
b a
c k a b h 4422-=
-=，.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①2ax y =；②k ax y +=2；③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2
.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：
当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状一样. ②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 一样，那么抛物线的开口方向、开口大小完全一样，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
人版九年级数学(上册)第22章二次函数知识点汇总
① a 决定抛物线的开口方向：
当a 0 时，开口向上；当a 0 时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 y 轴(或重合)的直线记作 x h .特别地， y 轴记作直线 x 0 .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口
判定：
①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点(顶点在 x 轴上) 0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离. (4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设
h b ，k 4ac b 2 .
2a
4a
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① y ax2 ；② y ax 2 k ；③ y ax h2 ；④ y ax h2 k ；⑤
y ax 2 bx c .
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法： y ax2 bx c a x b 2 4ac b2 ，∴顶点是（ b ，4ac b2 ），对称轴是
2a 4a
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二次函数知识点总结
一、二次函数概念:
2
1二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c（ a,b ,c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0,而b，c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.
9
2. 二次函数y ax bx c的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
⑵a ,b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
二、二次函数的基本形式
2
1.二次函数基本形式：y ax的性质:
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2
2. y ax c的性质:
上加下减。
2
3. y a x h的性质:
左加右减。
2
4. y ax h
k 的性质: a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a 0
向上
h , k
X=h
x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大
而减小；x h 时，y 有最小值k •
a 0
向下 h , k X=h
x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大
而增大；x h 时，y 有最大值k •
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
2
⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h , k ；
⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下:
当x 2a 时，y 随x 的增大而减小; y=ax 2 A y=ax 2+k
向右(h>0)【或左(*0)] 平移|k|个单位
y=a(x h)2
向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位
人教版九年级上册数学二次函数知识点总结
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
四、
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2
九年级上二次函数知识点归纳总结
九年级上二次函数知识点归纳总结二次函数是初中数学中比较重要的一个内容，也是高中数学的
重点。在九年级上学期，我们学习了关于二次函数的各种知识点，包括定义、性质、图像和应用等方面。在本文中，我们将对这些
知识点进行归纳总结，以便加深对二次函数的理解和掌握。
一、二次函数的定义
二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0，a、b、c为常数）的函数，它的图像是一个抛物线。在定义中，a决定了抛物线的开
口方向和大小，b决定了抛物线在x轴方向上的平移，c决定了抛
物线在y轴方向上的平移。
二、二次函数的性质
1. 对称性：二次函数的图像以抛物线的开口处为对称轴对称。
对于 y = ax^2 + bx + c，对称轴的方程为 x = -b/2a。
2. 零点：二次函数的零点即为方程 y = ax^2 + bx + c 的解，可
以通过求根公式或配方法得到。零点的个数与二次函数与x轴的
交点个数相同。
3. 最值：当 a > 0 时，二次函数的最小值为（-b/2a, f(-b/2a))；
当 a < 0 时，二次函数的最大值为（-b/2a, f(-b/2a)）。
4. 单调性：当a > 0 时，二次函数在（-∞，-b/2a）上单调递增，在（-b/2a，+∞）上单调递减；当 a < 0 时，二次函数在（-∞，-
b/2a）上单调递减，在（-b/2a，+∞）上单调递增。
三、二次函数的图像特征
1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物
线开口向下。
2. 平移：二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像在 x 方向上的平移
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点
1二次函数的概念
1.二次函数的概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数。
2.二次函数的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。
⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。
2初三数学二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)。
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]。
交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁，0)和B(x₂，0)的抛物线]。
注：在3种形式的互相转化中，有如下关
系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a。
3二次函数的性质
1.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：
y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
2.k，b与函数图像所在象限：
当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;
当b=0时，直线通过原点;
当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。
4初三数学二次函数图像
九年级上册数学知识点二次函数2篇
九年级上册数学知识点二次函数
九年级上册数学知识点二次函数精选2篇（一）
九年级上册数学的知识点二次函数包括以下内容：
1. 二次函数的定义：二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
2. 二次函数的图像特征：二次函数的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（对于开口朝上的抛物线）或
最高点（对于开口朝下的抛物线）。顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(-
b/2a)。
4. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是经过顶点且与抛物线垂直的直线。对称轴
的方程为x = -b/2a。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，即使得f(x) = 0的
x值。二次函数一般有两个零点。
6. 二次函数的判别式：二次函数的判别式是b^2 - 4ac。判别式的值决定了二次函数
的图像与x轴的相交情况：当判别式为正时，函数图像与x轴有两个交点，即有两个
不同的实数根；当判别式为零时，函数图像与x轴有一个交点，即有一个重根；当判
别式为负时，函数图像与x轴没有交点，即无实数根。
7. 二次函数的求解：用二次函数的零点和其他已知条件可以求得函数的具体表达式。
可以通过配方法、因式分解、公式法等来求解二次函数。
这些是九年级上册数学中关于二次函数的主要知识点，了解并掌握这些内容可以帮助你正确理解和应用二次函数。
九年级上册数学知识点二次函数精选2篇（二）
九年级数学上册 二次函数知识点汇总
二次函数的复习资料
知识点1.二次函数的定义
1、一般地，如果y=ax 2
+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． 2、当b=c=0时，二次函数y=ax 2
是最简单的二次函数． 练习（1）下列函数中，二次函数的是（ ）
A ．y=ax 2
+bx+c B 。2)1()2)(2(---+=x x x y C 。x
x y 1
2
+= D 。y=x(x —1)
练习（2）如果函数1)3(2
32
++-=+-mx x m y m m
是二次函数，那么m 的值为
知识点2.二次函数的图像及性质
1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。
已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。 （1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. （2）、二次函数 c bx ax y ++=2
，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；
当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点
（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ，
）．对于y=a （x －h ）2
+k 而言其顶点坐标
为（ ， ）。二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2
)(的形式，其中h= ,k=
练习（３）抛物线1822
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新人教版九年级上二次函数知识点总结
知识点一：二次函数的定义
1．二次函数的定义：
一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．2y ax bx c =++a b c ，，0a ≠其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
a b c 知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶
⇒⇒点
2. 二次函数的图象与性质
()2
y a x h k =-+（1）二次函数基本形式的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小
2y ax =
（2）的图象与性质：上加下减
2y ax c =+
（3）的图象与性质：左加右减
()2
y a x h =-
（4）二次函数的图象与性质
()2
y a x h k =-+
3. 二次函数的图像与性质
c bx ax y ++=2 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
0a >2b
x a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，2b x a <-
y x 2b x a >-y x 2b
x a
=-有最小值
．y 2
44ac b a
- （2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．
0a <2b
x a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2b x a <-
y x 2b x a >-y x 2b
x a
=-有最大值
．y 2
44ac b a
-
4. 二次函数常见方法指导
（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）
利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点.（2）二次函数图象的平移平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；()2
y a x h k =-+()h k ，② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下：
2
ax 【【【(h <0)【【【
【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．（3）用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：.已知图象上三点或三对、
的值，通常选择一般式.
②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
③交点式：
.已知图象与轴的交点坐标
、
，通常选择交点式.
（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：，∴顶点是，对称轴a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=），（a b ac a b 4422--是直线.a
b
x 2-
=②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,
()k h x a y +-=2
h )，对称轴是直线.
k h x =
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.（5）抛物线中，的作用
c bx ax y ++=2
c b a ,,①决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.a 2
ax y =a ②和共同决定抛物线对称轴的位置
b a 由于抛物线的对称轴是直线，故
c bx ax y ++=2
a
b
x 2-=如果时，对称轴为轴；
0=b y 如果
（即、同号）时，对称轴在轴左侧；0>a b
a b y 如果（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
0 b a b y ③的大小决定抛物线与轴交点的位置 c c bx ax y ++=2 y 当时，，所以抛物线与轴有且只有一个交点（0，），故0=x c y =c bx ax y ++=2 y c 如果，抛物线经过原点；0=c 如果,与轴交于正半轴；0>c y 如果,与轴交于负半轴. 0 5.函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程 c bx ax y ++=20y =20ax bx c ++=的解就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此二次函数图象与轴的交点情况决定一元二x x 次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； x (2)当二次函数的图象与轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实x 根；(3)当二次函数的图象与轴没有交点，这时 ，则方程没有实根. x 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识 （1）轴与抛物线得交点为. y c bx ax y ++=2 (0,)c （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(, y h x =c bx ax y ++=2 h ). c bh ah ++2 （3）抛物线与轴的交点 x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元 c bx ax y ++=2 x 1x 2x 二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一02 =++c bx ax x 元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ⇔0>∆⇔x ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；x ⇔0=∆⇔x ③没有交点抛物线与轴相离.⇔0<∆⇔x （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 x 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐 标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. k k c bx ax =++2 （5）一次函数的图像与二次函数的图像 ()0≠+=k n kx y l ()02 ≠++=a c bx ax y 的交点，由方程组的解的数目来确定：G 2 y kx n y ax bx c =+⎧⎨=++⎩ ①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ⇔l G