人教版九年级数学上册 二次函数专题练习(解析版)

人教版九年级数学上册二次函数专题练习（解析版）

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：

（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2

y x2x3

=-++；3

y x

=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）

【解析】

【分析】

（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；

（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；

（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．

【详解】

解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得

930

10

b c

b c

-++=

⎧

⎨

--+=

⎩

，

∴

2

3

b

c

=

⎧

⎨

=

⎩

，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

当x＝0时，y＝3，

∴点C的坐标是（0，3），

把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1

1

30

3

k b

b

+=

⎧

⎨

=

⎩

，

∴

1

1

3

k

b

=-

⎧

⎨

=

⎩

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；

（2）如图，连接BC，

∵点D是抛物线与x轴的交点，

∴AD＝BD，

∴S△ABC＝2S△ACD，

∵S△ACP＝2S△ACD，

∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，

即：P（﹣1，0），

过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，

联立①②解得，

1

x

y

=-

⎧

⎨

=

⎩

或

4

5

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

，

∴P（4，﹣5），

∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；

（3）如图，

①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，

当x＝1时，y＝2，

∴Q'坐标为（1，2），

∵Q'D＝AD＝BD＝2，

∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，

∴∠AQ'B＝90°，

∴点Q'为所求，

②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），

过点A1'作A1'E⊥DQ于E，

∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，

∴∠DAQ+∠AQD＝90°，

由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，

∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，

∴∠DAQ＝∠A1'QE，

∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），

∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ， ∴点A 1'的坐标为（﹣m +1，m ﹣2）， 代入y ＝﹣x 2+2x +3中， 解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍）， ∴Q 的坐标为（1，﹣3），

∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．

2．如图，抛物线()2

1y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y

轴的负半轴交于点C ．

()1求点B 的坐标．

()2若ABC 的面积为6．

①求这条抛物线相应的函数解析式．

②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不

存在，请说明理由．

【答案】（1）（1，0）；（2）①2

23y x x =+-；②存在，点P 的坐标为

⎝⎭或⎝⎭

． 【解析】 【分析】

（1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标；

（2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到1

2

(1−a)•(−a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式；

②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可． 【详解】

解：()1当0y =时，()2

10,x a x a -++=

解得121,.x x a ==

点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C

0,a ∴<

∴点B 坐标为()1,0．

()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a <

1,AB a OC a ∴=-=-

ABC 的面积为6,

()()1

16,2a a ∴

--⋅= 123,4a a ∴=-=．

0,a <

3a ∴=-

22 3.y x x =+-

②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-， ∴设直线BC 的解析式为3,y kx =-

则03,k =-

3k ∴=．

,POB CBO ∠=∠

∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC

∴直线OP 的函数解析式3,y x =为