中考反比例函数与几何综合

O
y x
B
A
A
B
x
y O
反比例函数与几何综合
基本图形及常见结论 （1） 反比例函数)0(≠=
k x
k
y 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴；所围k S =矩形
（2）反比例函数)0(≠=
k x
k
y 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴及原点连线；所围2k S =
三角形
（3）反比例函数与正比例函数图像交于A ，B 两点，AM 与x 轴垂直； 则：①A ，B 两点关于原点对称；②k S ABM =△
（4）过反比例函数x
k y 1
1=
图像上任一点向坐标轴做垂线，与反比例函数)(212
2k k x
k y ＞=
交于两点； 则：①BN
BP AM AP =,即AB ∥MN
②2
1k k S APNH -=矩形
③）（△2121
k k S OAP -=
一次函数)0(≠+=kb b kx y 和反比例函数)0(≠=m x
m
y 图像交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，BF ⊥y 轴，
则：①OAE OBF S S △△= ② OAB ABFE S S △梯形=③AC BD =
④BF
AE
OE OF AE OE BF OF =⇒⋅=⋅ ⑤OAC
OBD S S △△=
（一）巧用k 的几何意义解题
y x A
B
O C
D
y x
D
C F E
O B A
例1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是________。

迁移练习1（1）.如图，双曲线)0x (k
>=
x
y 经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与AB 交于点C ．若△OBC 面积为3，则k ＝_______
迁移练习1（2）..双曲线)0x (k
>=
x
y 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ； 若梯形OEBA 的面积为9，则k=________。

（二）设坐标解题 反比例与相似综合
例2．如图，直线y=x 与双曲线y=（x ＞0）交于点A ，将直线y=x 向下平移个6单位
后，与双曲线y=（x ＞0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若
=2，则k=________。

迁移练习2(1).如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数)0x (k
>=x
y 图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则k=________。

迁移练习2(2). 如图，直线AD 分别与x 轴、y 轴交于A 、D 两点，与反比例函数
)0k 0x (x
k
y ＞，＞=
的图像交于B 、
C 两点，连接OB 、OC ，若AB=BC ，S △BOC =4，则k 的值为 .
迁移练习2(3)如图，已知点A 在y=
x 2的图象上，点B 在y=x
k
的图象上，且OA ⊥OB ，cosA=3
3
，则k 的值为________
反比例与平行线、三角形、四边形综合
例3. 正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1，P 2在反比例函数x
y 2
=
（0x >）的图象上，顶点A 1，B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数x
y 2
=（0x >）
的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．
迁移练习3(1).如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，点D 在双曲线y=
x
k
（k ≠0）上．将正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后，点C 恰好落在该双曲线上，则a 的值是________。

例4.如图，()()111222P x y P x y ，，
，，……，()n n n P x y ，在函数()9
0y x x
=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都
在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．
迁移练习4.如图，11212POA P A A 、△△都是等腰直角三角形，点12P P 、
在函数
y x
=()0x >的图象上，斜边112OA A A 、
都在x 轴上，则点2A 的坐标是 ．
例5.已知四边形OABC 是菱形，CD ⊥x 轴，垂足为D ，函数
x
y 4
=的图象经过点C ，且与AB 交于点E ．若OD=2，则△OCE 的面积为 ．
迁移练习5、△AOB 和△ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线x
y 4
=（x ＞0）上，则图中S △OBP = .
例6.如图，平行四边形ABCD 的顶点O 是坐标原点，顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 在、C 均在第一象限，OA=4，OC=2，将∆ABC 沿对角线AC 折叠，点B 落在∆ABC 所在平面内的点D 处，且CD 经过OA 的中点，若反比例函数的图象经过点D ，则这个反比例函数的解析式为 .
迁移练习6(1).矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y
A 2A 1
P 2P 1
O
y
x
轴上，点B 的坐标为（35-,5），D 是AB 边上的一点，将△AOD 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，求该函数的解析式_______．
迁移练习6(2) 如图,以矩形OABC 的顶点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，若点B 的坐标为（2，3），双曲线()0k
y x x
=
＞的图像经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，过OC 边上一点F ，把△BCF 沿直线BF 翻折，使点C
落在点'
C 处（点'
C 在矩形OABC 内部），且'
C E BC ∥，则点F 的坐标_________。

例7.已知：（x ＞0）图象上一点P ，PA ⊥x 轴于点A （a ，0），点B 坐标为（0，b ）（b
＞0）．动点M 在y 轴上，且在B 点上方，动点N 在射线AP 上，过点B 作AB 的垂线，交射线AP 于点D ，交直线MN 于点Q ，连接AQ ，取AQ 的中点为C ．若四边形BQNC 是菱形，面积为2
，此时P 点的坐标为_________．
迁移练习7.两个边长分别为a ，b （a ＞b ）的正方形连在一起，三点C ，B ，F 在同一直线上，反比例函数y=在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E ．若OB 2﹣BE 2=10，则k 的值是_________．
例8.函数y=（x ＜0）的图象与直线y=x +m 相交于点A 和点B ．过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，P 为线段AB 上的一点，连接PE 、PF ．若△PAE 和△PBF 的面积相等，且x P =﹣，x A ﹣x B =﹣3，则k 的值是___________．
迁移练习8.M 为双曲线y ＝
x
1
上的一点，过点Ｍ作ｘ轴、ｙ轴的垂线，分别交直线ｙ＝－ｘ＋m 于D 、C 两点，若直线ｙ＝－ｘ＋m 与ｙ轴交于点Ａ，与ｘ轴相交于点B ，则AD ·BC 的值为 ．
跟踪训练
1.如图，点A 在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB 垂直于y 轴于点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC=2AB ，点E 在线段AC 上，且AC=3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为 .
2.如图，直线l 与反比例函数2
y x
=
的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点，若AB:BC ＝（m －1）:1（m>1），则△OAB 的面积（用m 表示）为_______
3.如图，A 、B 是双曲线）（0≠=k x
k
y 上的点，A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB
的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC=6．则k 的值为________。

4.如图,直线y=ax+3分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,双曲线x
3
2-y =与直线AB 交于D 点,过B 点作BC ⊥y 轴,交双曲线于C 点,若DC=DB,则a=________.
5.如图，直线AD 分别与x 轴、y 轴交于A 、D 两点，与反比例函数)0k 0x (x
k
y ＞，＞=
的图像交于B 、C 两点，连接OB 、OC ，若AB=BC ，S △BOC =4，则k 的值为 .
6.如图,点P(m ，m)是反比例函数x
9
y =
在第一象限内的图象上一点,点A 、B 均在x 轴上，若△PAB 为等边三角形则△POB 的面积为
7．直线2x y =
与双曲线k y x =)00(＞，＞x k 交于点A ，将直线2
x
y =向上平移4个单位长
度后，与y 轴交于点C ，与双曲线k
y x
=)00(＞，＞x k 交于点B ．若OA=3BC ，则k 的值为____________．
8.如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 的顶点A 在y 轴上,顶点D. F 在x 轴上,点C 在DE 边上,反比例函数k
y x
=
(k≠0)的图象经过点B 、C 和边EF 的中点M.若S 正方形ABCD=2,则正方形DEFG 的面积为 .
9．双曲线y= （x<0）经过Rt ∆ABC 的两个顶点A 、C ，∠ABC=90°，AB//x 轴，连接OA ，
将Rt ∆ABC 言AC 翻折后得到Rt ∆AB ’C ，点B 落在OA 上，连接OC ，OC 恰好平分OA 与x 轴负半轴的夹角，若Rt ∆ABC 的面积为2，则k 的值为 。

10. 菱形ABCD 的顶点A 、顶点B 均在x 轴的正半轴上，AB=4，∠DAB=60°，将菱形ABCD 沿
AD 翻折得到菱形AEFD ，若双曲线x
k
y =（x>0）恰好经过点C 和F ，则k 的值是 。

图象与AC 边交于点E ．若将△CEF 沿EF 翻折后，点C 恰好落在OB 上的点M 处，求点F 的坐标_______．
12. 已知四边形ABCD 是平行四边形，BC =2AB ，A ，B 两点的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C ，
D 两点在反比例函数k y x
=（0x <）的图象上，则k 的值为_______．
13．如图，C 、D 是双曲线)0k 0x (x
k y ＞，＞=
上两点，延长CD 交x 轴于点E ，DB⊥x 轴于点B ，点F 是线段DE 的中点延长FB 交y 轴于点S ，连接SE ，若34=SBE S △，k=_____．
14.如图,已知点A 在反比例函数x
k y =
(x ＜0)上,作Rt △ABC,点D 是斜边AC 的中点,连DB
并延长交y 轴于点E,若△BCE 的面积为12,
则k 的值为________.。