第3讲_激光输出特性

➢考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移 动的常数因子以外，uq1应能够将uq 再现来，两者之间应有关系：
uq1 uq
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
2. 自再现模积分方程
➢综合上两式可得：
uq (x,
y)
ik 4
M
'
uq
(
x'
,
y'
)
eik
(1 cos )ds'
u(x, y) ik u(x', y') eik (1 cos )ds'
4 M '
➢对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于反射镜的 线度a，而a又远大于光波长 。对上式做两点近似可得到自再现模所满足的积分 方程：
mnumn(x, y) K(x, y, x', y')uq (x', y')ds'
➢其中
K ( x,
y,
x',
y')
ik 2L
eik ( x, y,x', y')
i L
eik (x,y,x',y') ，称为积分方程的核。
➢ umn 和 mn 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这 说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
小， 为光波长； ds' 为源点 P'处的面元。
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
1.自再现模概念
a) 开腔。腔镜的衍射效应导致损耗。 b)自洽（稳定的横向场分布）：反射只改变光强的大小，不改变腔中任何位置光强 的空间分布。
2. 自再现模积分方程
➢图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面M和M上' 分别建立了坐标轴两两 相互平行的坐标 x y和 x' y' 。利用上式由镜面 M上' 的光场分布可以计算出镜M上 的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。
它们的关系为
kL
arg
mn kL argmn
3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
1. 谐振条件、驻波和激光纵模
(1) 光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的光
才能满足谐振条件
2 2q q 1,2,3,
(2) 每个q值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。
kL
(3)
2 2q k 2ν c
νmnq
qc 2L
c 2 L
mn
qc 2L
2. 纵模频率间隔
(1) 腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔
νmnq
qc 2L
c 2L
mn
νq
νq1
νq
c 2L
➢举例1：10cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数 （一种，单纵模），纵模频率间隔为1.5*109Hz
uq
2
uq
uq1
2
2
mn
1 mn 2
uq1 uq
➢本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
uq1 uq arg uq1 arg arg uq
➢自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为
arg uq1 arg uq arg
➢自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移，
2. 惠更斯－菲涅耳原理
设波阵面上任一源点P' 的光场复振幅为 u'(P')，则空间任一观察点P的光场复振 幅 u(P)由下列积分式计算：
u(P) ik u'(P)eik (1 cos )ds'
4
式中 为源点 处的波面法线
nP与'与P观' P察的点夹P角之；间k 的2距 /离为；光波为矢源的点大P'
➢举例2：30cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数 （三种，多纵模）纵模频率间隔为0.5*109Hz ，
图(3-4) 腔中允许的纵模数
普通He原子辉光放电中荧光光谱的中心频率是4.76*1014Hz（6328nm），其线宽为 1.5*109Hz。
3.2 对称共焦腔内外的广场分布
3.2.1 共焦腔镜面上的场分布
生物光子学研究生院硕士研究生课件： 激光原理与技术
第三讲：激光器的输出特性
陈同生
3.1 光学谐振腔的衍射理论
3.1.1 惠更斯-基尔霍夫衍射公式
1.惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源， 下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加 的结果。
3. 积分方程解的物理意义 (1)本征函数 umn 和激光横模 ➢本征函数umn 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上 光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自 再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。图3-3为各种横模光斑。
图3-3 横模光斑示意图
1.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解
(1)设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，并把x，y坐标的原点 选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有
本征函数近似解析解
umn
Cmn
H
m
(
X
)
H
n
(Y
)e
X
2 Y 2
2
;
其中X
x
2 ,Y y L
2 L
本征值近似解
➢假设uq (x', y') 为经过q次渡越后在某一镜面上所形成 的场分布，uq1(x, y)表示光波经过q+1次渡越后，到达
另一镜面所形成的光场分布，则uq1 与 uq 之间应满足 如下的迭代关系：
uq1(x,
y)
ik
4
M
'
uq
(
x'
,
y'
)
eik
(1 cos )ds'
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
(2)本征值 mn 和单程衍射损耗、单程相移 ➢本征值 mn 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
3. 积分方程解的物理意义
(2)本征值 mn 和单程衍射损耗、单程相移
➢损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用
表示。定义为
i[kL(mn1) ]
mn e
2
Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：
H0(X) 1
H1(X ) 2X
H2(X) 4X 2 2
Hm ( X ) (1)m e X 2
dm dX m
eX 2
3.2.1 共焦腔镜面上的场分布
2. 镜面上自再现模场的特征
(1)振幅分布:令 Fm(X ) Hm(X )eX 2 2, Fn (Y ) Hn(Y )eY2 2 ,则有 umn CmnFm ( X )Fn (Y ) Imn um2 n Fm2 ( X )Fn2 (Y )