第三章_应变分析

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第三章 应变分析

在第二章我们研究了应力张量本身和体力、面力之间的关系式，即平衡

规律。本章将讨论变形体研究的另一个基本关系：变形与位移之间的关系。当然要以小变形假设为基础，位移和形变相对于变形体几何尺寸是微小的。

第1节 位移和（工程）应变

1.1

位移

变形体任意点P 的位移矢量i i e u u

=，u 有三个分量。

(工程)应变

工程应变是通常工程中描述物体局部几何变化，分为正应变和剪应

变。l

l

∆=

ε， （角变形）＝两微元线段夹角的改变量。

（工程）正应变：

11

、

22

、

33

， （工程）剪应变：

12

=

xy

、

23

=

yz

、

31

=

zx

工程应变共有六个分量：三个正应变和三个剪应变，正应变以伸长为正，剪应变以使直角变小为正。

x 2

x 1

x 3

P’

u P

r

o

第2节 应变张量和转动张量

应变张量和转动张量是描述一点变形和刚体转动的两个非常重要的物

理量，本节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.

相对位移矢量和相对位移张量

x 1

x 1

2

2

22

dx 2

23

x

'

而 j j e dx r d

= r d e dx j j ⋅= ——(b)

将（b ）式代入（a ）式，得

r d e e u u d j i j i ⋅=,

根据商法则 r d U u d

•=

则 j i ij j i j i e e U e e u U

==, 为一个二阶张量——相对位移张量

应变张量和转动张量

相对位移张量u i,j 包含了变形和刚体转动，为了将两者分开，对u i,j

进行整理，张量分成对称和反对称张量之和。

)(2

1)(21,,,,,i j j i i j j i j i ij

u u u u u U -++== 或

ij ij j i ij u U ωε+==,

其中 ),(21,,i j j i ij u u +=ε )(2

1

,,i j j i ij u u -=ω

显然 ij

=

ji

（对称张量），

ij

= -

ji

（反对称张量）

而

ij

表示变形体的形变，ij

表示了刚体转动。

以在平面x 1 —x 2的两个垂直线段PQ 、PR 的相对位移来说明并直观看一下

ij

，

ij

二阶张量表示了形变和刚体转动。

1,1u ，2,1u ，1,2u ，2,2u 相对位移

11

，

12

=

21

，

22

纯变形

12

= -

21

纯

转动

转动张量的对偶矢量ω

由纯刚体转动可见，

12

= -21

，正好相当于一个沿x 3轴方向的转动

矢量33e

ω，方向为3e

，其大小

3

：

)(2

1

)(21212131212321123ωωωωωe e +=-=

u 1 ,1

P’ R’

Q’R’

Q’ u 1、u 2

x 1

x dx 1=1

dx 2=1

u 1 ,2

u 2 ,1

u 2 ,2

12

= (u 1 ,2 -u 2 ,1 )

21=(u 2 ,1 -u 1 ,2 ) 12=(u 1 ,2 +u 2 ,1 )

22

=u 2

11

=u 1

21

= (u 2 ,1 +u 1 ,2 )/

(+

+

⇓

类似可得，其它两个坐标平面，转动矢量 11e

ω、 22e ω

综合三个坐标面的转动矢量 ：k ij ijk k k e e e

ωωω21

==

ω

为转动张量的对偶矢量。

*比较工程应变定义和应变张量，可得：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3332312322

211312

113332

31232221131211222222εεεεεεεεεεγγγεγγγε

第3节 应变张量和转动张量的坐标变换式

在

x k 坐标系中，已知变形体内任一点应变张量

kl

和转动张量

kl

，

则在新笛卡尔坐标系x’i 中此点应变张量’ij 和’ij 均可以通过二阶张

量的坐标转换式求出它们。

即：kl l j k i ij Q Q εε'''

=

kl l j k

i ij

Q Q

ωω'''

=

'''ki k i k i Q e e Q =⋅=

第4节 主应变、应变方向应变张量的三个不变量

确定一点的主应变和应变主方向方法与求主应力和应力主方向的方法