机械振动学MATLAB实验指导书

·kx

cx

c

k

x

m

m x

O

0cos F t

ω实验名称 单自由度系统数值模拟

一、实验目的、要求

1．熟悉单自由度系统强迫振动特性和求解方法； 2．掌握强迫振动系统的计算机模拟仿真方法。 二、实验设备及仪器 1. 计算机 2. Matlab 软件 3. c 语言 三、实验步骤

1．利用如右图所示的受力分析，得出单自由度系统强迫振动的运动方程。

物体沿水平方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，水平向右为x 轴正向，建立如图所示的坐标系。受力情况如图，其激励力为：0cos F F t ω=，其中，

0F 称为激励力的力幅，为常值。

ω为激励频率，为常值。

根据牛顿第二定律，得到单自由度系统强迫振动的运动方程：

0cos m x F t kx cx

ω=-- 2．对方程进行求解。

令n k m

ω=，00F X k

=

，22c n c km m ω==，22c

n

c c c c m km

ζω=

=

=

则原方程可以变形为：

22

02cos n n n x x x X t ζωωωω++=

这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成

12x x x =+

其中，1x 代表齐次微分方程2

20n n x x x ζωω++=

的解，简称齐次解，当1ζ<时，由前面的单自由度阻尼自由振动可得：

()112cos sin cos()n n t

t

d d d x e

B t B t Ae

t ζωζωωωωϕ--=+=

-

其中：2

1d n ωζ

ω=-⋅，称为衰减振动的固有频率。

2

2

000n d

x x A x ζωω⎛⎫+=

+ ⎪

⎝⎭

，1000tan n d x x x ζωϕω-+= 由于激励为简谐的，根据微分方程的理论，上述微分方程有如下形式的特解： ()2cos x X t ωφ=-

其中的,X φ可以如下得到：

将()2cos x X t ωφ=- ()2sin x

X t ωωφ=-- ()2

2cos x X t ωωφ=--

代入到微分方程22

2cos n n n x x x A t ζωωωω++= 中，

()()()2

2

2

cos 2sin cos cos n n n X t X t X t A t ωωφζωωωφωωφωω----+-=

()()()2

2

2

cos 2sin cos n

n

n X t X t A t ω

ω

ωφζω

ωωφωω----=

()()222

cos cos sin sin 2sin cos cos sin cos n n n X t t t t A t ωωωφωφζωωωφωφωω⎡⎤-+--=⎣⎦

要想等式成立，等式两边对应的cos t ω和sin t ω系数应该相等（cos t ω和sin t ω正交） ()()22222

cos 2sin sin 2cos 0n n n n n X A

X ωωφζωωφωωωφζωωφ⎧⎡⎤-+=⎪⎣⎦

⎨⎡⎤-+=⎪⎣⎦⎩

可以采用如下写法：

()()()22

2

cos cos cos cos sin sin n n n A t A t A t t ωωωωφφωωφφωφφ=-+⎡⎤⎣⎦

=---⎡⎤⎣⎦

()()()

()()()()

22

22

2

cos 2sin cos cos sin sin cos cos sin sin n

n

n n n X t X t A t t A t A t ω

ω

ωφζω

ωωφωωφφωφφωφωφωφωφ----=---⎡⎤⎣⎦=---

从而：

()22

2

cos n

n X

A ω

ω

ωφ

-=

2

2sin n n X A ζωωωφ

=

()()()

()02

2

22

01102121cos ,,2sin 2tan 1n X X X X X X X X γζγγφ

ζγφζγφγ-⎧

=⎪⎧-+-=⎪⎪⇒⎨⎨

=⎪⎪⎩=⎪-⎩

则系统的稳态解：()()

()

1

02

22

2

2

2cos tan 112X t x ζγωγγζγ-⎛⎫ ⎪- ⎪-⎝⎭

=

-+

微分方程的通解为： ()

()

()

02

2

2

cos cos()12n t

d X t x Ae

t ζωωφωϕγζγ--=-+

-+

其中：220001000tan n d

n d x x A x x x x ζωωζωϕω-⎧

⎛⎫+⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩ ， ()()

()02

2

212122tan 1X X γζγζγφγ-⎧=⎪-+⎪⎨

⎪=⎪-⎩

右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；第二项是特解，代表与激励力同频率的简谐运动。自由振动，在运动开始后很短的时间内迅速消失，通常可以不加考虑。强迫振动却不因阻尼而衰减，它的振幅x 与相角φ也与运动的初始条件无关，对于一定的振动系统，x 与φ是激励力的幅值0F 和激励频率ω的函数，只要0F 和ω保持不变，x 与φ是常值。强

迫振动是稳态振动，通常称为稳态响应，特解2x 也称为稳态解。在自由振动消失后，2x 代表物体的全部运动。 令0

X M X =

，称为系统的放大因子

()

()

2

2

2

1

12M γζγ

=-+

3. 利用计算机程序MATLAB 或者C 语言编写程序对单自由度系统强迫振动的特性进行模拟仿真。

4．取0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,1.0ζ=时，绘制单自由度系统放大因子M 与频率比关系的响应曲线。

四、实验结果与分析： 1.程序如下： clear

r=0:0.1:4;

for x=0.1:0.1:1;

a=sqrt((1-r.^2).^2+(2*x*r).^2); M=a.\1;

plot(r,M),hold on;