北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 复习课件

注意：
1、直径是弦，而弦不一定是直径； 2、半圆是弧，而弧不一定是半圆； 3、两条等弧的度数相等，长度也相等， 反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。
C
即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB, ⌒及ACB ⌒ 并且平分AB
·
E A D B
O
垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧．

M O
A
P
例4已知圆O的半径为5cm,弦AB∥弦CD,AB=6cm,CD=8cm, 则AB与CD距离是 cm. 解: 当两条弦在圆心的两侧时 F 4 4 D 过O作OE⊥AB于E点,连接OB, C 3 O 5 由垂径定理得:AE=BE=0.5AB=3 4 5 OB=5,由勾股定理得:OE=4 延长EO交CD于F,连接OC A B 3 E 3 又∵AB∥CD ∴OF⊥CD 由垂径定理得: CF=DF=0.5CD=4 OC=5,由勾股定理得:OF=3 则EF=OE+OF=7 O C D 5 当两条弦在圆心的同侧时 5 4 F EF=OE-OF=1
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°， 40 20 3 OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____ ；
2、已知、同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与 AC之间的关系为（B）； A.AB=2AC B.AB<2AC C.AB>2AC D.不能确定
3、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那 么∠BOC等于 ( C )； A．150° C B．130°
D A O B
C．120°
D．60°
图1
图2
4.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆 60度 30或150度. 心角是＿＿＿ ,圆周角是＿＿＿＿＿＿
O
A
B
5：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO， 如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数． D 解：在优弧AC上定一点D，连结AD、 CD. ∵ ∠ AOC=140 ° O A ∴ ∠ D=70 ° ∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 °
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，以点O为圆心的圆， 记作☉O，读作“圆O”
圆的定义辨析
篮球是圆吗？
圆必须在一个平面内
以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心画圆，能画多少个？ 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
C
A
M└
●
B O

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C


O B
(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
（7）平分弦的直径垂直于弦
C B O A C B C O A D A O E D (6)
B
(4)
(5)
1、如图,已知⊙O的半径OA长 AC=BC 为5,弦AB的长8,OC ⊥AB于C, 则OC的长为 _______. 3
D E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB C 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
B
O A
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径
A O B
∴ ∠ACB=900
性质5: 圆内接四边形对角互补。
请将自己所画的圆与同伴所画的 圆进行比较， 它们是否能够完全重
合？并思考什么情况下两个圆能够完
全重合？ 半径相等的两个圆叫做等圆。 r r O2
O1
判断题
圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;
半径相等的两个圆是等圆.
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的 半径相等。 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 心圆 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等， 2）两弧的度数相等。
●
O
3、平面上有三点A、B、C，经过A、B、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？
经过A,B两点的圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上. 经过B,C两点的圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上. 经过A,B,C三点的圆的圆心应该这 两条垂直平分线的交点O 圆是“圆周”还是“圆面”？
圆是一条封闭曲线
圆周上的点与圆心有什么关系？
圆的定义（集合观点）
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
到定点的距离等于定长的点都在圆上。

圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
一个圆把平面内的所有点 分成了多少类？ 你能模仿圆的集合定义思 想，说说什么是圆的内部 和圆的外部吗？
A O· B
●
O
B
C
圆周角定义辨析： 圆心角：如∠BOA
角的顶点 在圆心
F D C
O
圆内角：如∠BCA 圆外角：如∠BFA 圆周角：如∠BDA
•角的顶点在圆周上 •是否顶点在圆周上 的角就是圆周角呢?
A
B
B
C
C A
C
A
O
O
O
B
A
B
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角.
点A在⊙O内
点B在⊙O上
点C在⊙O外
点与圆的位置关系
读作“等价 于”，它表示 设⊙O 的半径为r，点 P到圆心的距离OP=d， 从符号左端可 以得到右端， 则有： p d 也可以从右端 点P在⊙O内 d得到左端。 ＜r r
点P在⊙O上 点P在⊙O外
d=r
d＞r
r
d p
P d r
1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有 几个？圆心在哪里？
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
B O
·
C
A
劣弧与优弧 小于半圆的弧叫做劣弧.
大于半圆的弧叫做优弧.
（如图中的AC）
⌒
⌒ (用三个字母表示,如图中的ACB)
B O
·
C
A
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)等弧就是拉直以后长度相等的弧
C
1、已知∠AOB＝75°， 求： ∠ACB
A
C
O
2、已知∠AOB＝120°， B 求： ∠ACB
O A
B
3、已知∠ACD＝30°，求： ∠AOB
4、已知∠AOB＝110°，求： O B ∠ACB
B
C O D A
A
C
圆周角的性质(2)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论

如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
● ●
A
E
3
B
1、已知 ⊙ O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为P， 5 AB=6，CP=1，则 ⊙ O的半径为 -------------。 2、已知 ⊙ O的直径为10cm,A是⊙ O内一点，且
8 OA=3cm,则 ⊙ O中过点A的最短弦长=------------cm 。
3、两圆相交于C、B，AC=100， A C O P B D O A A C E
延长AB，AC分别交
D
50 ⊙ O于D、E，则 E= -------------B
4.如图所示，已知RtΔ ABC中，∠C=90°, AC= 2 ,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的圆交
3 AB于P，则AP＝ 3
。
D
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的 角,叫做圆周角. A
8.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在
AmB上,则∠C= 30° 。
二、点和圆的位置关系 如图，设⊙O 的半径为r， C A点在圆内 OA＜r B点在圆上 OB=r OC＞r C点在圆外 OA＜r OB=r OC＞r
O
A
r
B
反过来，如果已知点到圆心的距离和圆的半径之 间的关系，可以判断点和圆的位置关系?
B
C
6.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 3 ，那么 这条弦所对的圆周角为 ( D ) A.60° B.120° C.45° D.60°或120° 7 . 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，若它的一个外角 ∠DCE=70°，则∠BOD=( D ) A．35° B.70° C．110° D.140°

圆的性质
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线
都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任 意一个角度α，都能与原来的图形重合。
弦
连接圆上任意两点的线段（如图AC） 叫做弦， 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B O
·
C
A
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B ⌒ ，读作“圆弧AB”或“弧 为端点的弧记作 AB AB”．
A
O
弦心距
半径
C 半弦长 B
E
2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a中， D 任意知道两个量，可根据 垂径 定理求出第三个量：
3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝ AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。 关于弦的问题，常常需 B 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 助线。 圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。
M└
●
B O
D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、 弧、弦有一组量相等，那么它们所 对应的其余两个量都分别相等。
同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所 对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相 等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相 等,所对的圆心角相等.
●
●
O O
●
●
A
●
O
●
O
O
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这 点与点A的距离
2、平面上有两点A、B，经过已知点A、B 的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？
●O O ●
无数个。它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,以这点 到A或B的距离为半径作圆.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
C
A
垂径定理及推论
条件 ①② ①③ 结论 命题 ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
D ∵ ∠COD =∠AOB O
∴
B
︵ ︵ AB = CD
C ∴AB=CD
A
圆周角的性质:
圆周角定理：在同一个圆中,同弧所对 的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即
A C
●
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
C
C
C
O B
化 归
A
O A B
化 归
O
A B
分类讨论
完全归纳法
圆周角定理
本章知识结构图
圆的基本性质
圆的对称性
弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 三角形的外接圆 切线
与圆有关的位置关系
直线和圆的位置关系
三角形内切圆
圆
正多边形和圆
圆和圆的位置关系
等分圆
弧长 有关圆的计算 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积
一、与圆有关的概念
圆的定义（运动观点）