高中数学 微积分

高中数学 微积分

一、导数

1．导数的定义

定义：设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限()()

00

lim

x x f x f x x x →--存在，

则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限值为函数f 在点0x 处的导数，记为()0f x '（或

000|||x x x x x x dy df

y dx dx

==='，，）

．若令0x x x =+∆，()()00y f x x f x ∆=+∆-，则 ()()

00

lim

x x f x f x x x →--可改写为()()()0000lim

x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆．所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差

商），而导数()0f x '则为f 在0x 处关于x 的变化率．若()()

00

lim

x x f x f x x x →--极限不存在，则

称f 在点0x 处不可导．

2．导函数

若函数在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f 为I 上的可导函数．此时，对每一个x I ∈，都有f 的一个导数()f x '（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I 上的函数，称为f 在I 上的导函数，也简称为导数，记为f '或y '，即()()()

lim

x f x x f x f x x I x

∆→+∆-'=∈∆，．

3．导数的几何意义

函数f 在点0x 处的导数()0f x '是曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线斜率．曲线

()y f x =在点()00x y ，处的切线方程为()()000y y f x x x '-=-．

4．求导法则 （1）基本求导法则

①()u v u v '''±=±；

②()uv u v uv '''=+，()cu cu ''=（c 为常数）； ③2u u v uv v v '''-⎛⎫=

⎪⎝⎭，2

1v v v ''-⎛⎫= ⎪⎝⎭

；

④反函数导数 1dy dx

dx

dy

=；

⑤复合函数导数

dy dy du

dx du dx

=⋅

． （2）基本初等函数导数公式 ①()0c '=（c 为常数）；

②()

1x x ααα-'=（α为任意实数）；

③()sin cos x x '=，()cos sin x x '=-； ④()2tan sec x x '=，()2cot csc x x '=-，

()sec sec tan x x x '=，()csc csc cot x x x '=-；

⑤ ()

ln x x a a a '=，()

x x e e '=．

⑥()1log ln a x x a '=

，()1

ln x x

'=． 5．导数的应用 （1）判断函数单调性

定理：设函数()f x 在区间I 上可导，则()f x 在I 上递增（减）的充要条件是

()()00f x '≥≤．

推论：设函数()f x 在区间I 上可导，若()()00f x '><，则()f x 在区间I 上严格递增（严格递减）．

（2）函数的极值

定义：若函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内对一切()0x U x ∈有

()()()()()00f x f x f x f x ≥≤，则称函数()f x 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极

大（小）值点．极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点．

（3）最值

对于闭区间[],a b 上的连续函数()f x ，我们只要比较f 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f 在区间[],a b 上的最大值与最小值．

二、定积分

1.定义：设f 是定义在[]a b ，上的一个函数，J 是一个确定的实数．若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[]a b ，的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要

T δ<，就有()1

n

i i i f x J ξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[]a b ，上可积或黎曼可积；数J

称为f 在区间[]a b ，上的定积分或黎曼积分，记为()b

a

J f x dx =

⎰，其中f 称为被积函数，

x 称为积分变量，[]a b ，称为积分区间，,a b 分别称为这个定积分的下限和上限．

牛顿—莱布尼茨公式：若函数f 在[]a b ，上连续，且存在原函数F ，即

()()F x f x '=，[]x a b ∈，，则f 在[],a b 上可积，且()()()b

a f x dx F

b F a =-⎰，这称

为牛顿—莱布尼茨公式，它也常写为

()()|b

b a a

f x dx F x =⎰

．

2.几何意义：对于[],a b 上的连续函数f ，当()0f x ≥，[]x a b ∈，，定积分的几何意义就是()y f x =，x a =，x b =，0y =所围成的曲边梯形的面积；当()0f x ≤，

[]x a b ∈，时，这时()b

a J f x dx =--⎡⎤⎣⎦⎰是位于x 轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨

称之为“负面积”；对于一般非定号的()f x 而言，定积分J 的值则是曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和．

3.性质：

性质1：若f 在[],a b 上可积，k 为常数，则kf 在[]a b ，上也可积，且

()()b

b

a

a

kf x dx k f x dx =⎰

⎰．

性质2：若f 、g 都在[],a b 上可积，则f g ±在[]a b ，上也可积，且