高中数学公式大全精简版

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一、集合模块

1、集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=表示；

A 是

B 的子集记为A ⊆B ；A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。 ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；

②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ⊆，同时A B

⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，

A C ⊆那么； 2、交集{|}A

B x x A x B =∈∈且； 并集{|}A B x x A x B =∈∈，或；

补集|U C A x x U x A =∈∉｛，且｝，集合U 表示全集。

二、函数模块

（一）、函数的概念：

1、函数的定义：)(x f y =，A x ∈，y B ∈；

2、函数概念的三要素：定义域、值域与对应法则；

3、函数相等的条件：定义域和对应法则相同；

（二）函数定义域的求法：

1、由函数的解析式确定函数的定义域（二次根式、分式、对数式）；

2、由实际问题确定的函数的定义域；

3、不给出函数的解析式，而由)(x f 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域。

（三）函数值域的求法：

函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的，因此，要求函数的值域，一般要从函数的定义域与对应法则入手分析，常用的方法有： （1）观察法；（2）图象法；（3）配方法；（4）换元法。

（四）函数图像的概念及画法：

1、函数图象的概念

将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值()0f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()()

0,0x f x ．当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合（点集）为

()(){},,x f x x A ∈即()(){},,x y y f x x A =∈，所

有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象． 2、函数图象的画法

画函数的图象，常用描点法，其基本步骤是：⑴列表；⑵描点；⑶连线．在画图过程中，一定要注意函数的定义域和值域． 3、分段函数

在定义域不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数; 注意：

①分段函数是一个函数,而不是几个函数;

②分段函数的定义域是x 的不同取值围的并集;其值域是相应的y 的取值围的并集

（五）函数的性质

1、单调性：定义：如果函数()y f x =对于属于定义域I 某个区间上的任意两个自变量的值12x x 、，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x f x f x <>（）），则称()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）；

判断单调性的方法：定义法、复合函数法、求导法.

特别注意：复合函数单调性，奇偶函数在对称区间的单调性关系.

2、奇偶性： 函数的奇偶性的定义

如果对于函数f (x )定义域的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； 如果对于函数f (x )定义域的任意x 都有 f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数. 函数的奇偶性的几个性质

（1）、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； （2）、)(x f 为奇函数，定义域为D ，若0,D ∈则必有0)0(=f ；

（六）、指数函数性质及其应用

1、常用的指数关系式： （1）负数和零不能作为底数；

(2) 01a = .； 1

a a = ； 1x

x

a a -=

． 2、指数运算与指数函数 根式的性质1：n n a )(＝a ；

根式的性质2：当n 是奇数时，n n a ＝a ； 当n 是偶数时，⎩

⎨⎧<≥-==)0()

0(||a a a a a a n n ；

3、分数指数幂

正数的正分数指数幂的意义： *

(0,,,1)a m n N n >∈> 正数的负分数指数幂的意义： *(0,,,1)a m n N n >∈> 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

4、实指数幂的运算性质(0,0,,)a b s R r R >>∈∈ （1）r a ·s r s

a a +=

；（2）rs

s r a a =)(；（3）()r r r

ab a a =；

5、指数函数：函数)1,0(≠>=a a a y x

叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ；

6、指数函数的图象与性质：

7、掌握指数函数的图象和性质，特别要弄清1>a 与10<

当1>a 时，若,0x 则 ； 当10<x 则 。

（七）、对数函数性质及其应用

1、对数的概念

对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N, 就是N a b =，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作log a b N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

2、常用的对数关系式： （1）负数和零没有对数；

（2） 0

1a = ∴log 1___a =.；（2） 1

a a = ∴log ___a a =．

3、对数运算性质

3、对数函数的性质

三、复数模块

（一）、复数的有关概念

1、复数的概念

形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋

b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．

2、复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．

3、共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ；b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．

（二）、复数的四则运算

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则

1、加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；

2、减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；

3、乘法：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++ ；

4、除法：2222

()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad

a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++．

（三）、复数的几何意义

1、复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2

＋b 2

，实际上就是指复平面上的点Z 到原点O 的距离；|z 1－z 2|的几何意义是复平面上的点Z 1、Z 2两点间的距离．

2、复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. 注：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．

（四）两条性质 (1)i 4n

＝1，i

4n ＋1

＝i ，i

4n ＋2

＝－1，i

4n ＋3

＝－i ，i n ＋i

n ＋1

＋i

n ＋2

＋i

n ＋3

＝0(各式中n ∈N )．

(2)(1±i)2

＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.