湖南省2017年普通高等学校对口招生考试数学试卷

湖南省2017年普通高等学校对口招生考试
数学试题(附答案)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟.满分120分
一、选择题（每小题 分，共 分．每小题只有一项是符合题目要求的）

已
知
集
合
{}
,2,1=A
{}
4,32，=B 则
B
A 等于
【答案】
✌ {}2  {}4,32，  {}4,3,1  {
}4,3,2,1 已知
32-=a ，2
1
2
=b ，
2)2
1
(=c 则c b a ,,的大小关系为
【答案】
✌．c b a << ． b c a << ．c a b << ． a b c << 
已
知
()
παα,0,2
1
cos ∈= ，则
=αsin 【答案】✌ ✌．
2
3
． 23- ．21
．2
1
- 已知两条直线1)2(2++=-=x a y ax y
和互相垂直，则
=a 【答案】
✌． ．  ． ．1- 
下
列
函
数
中
，
在
区
间
()
+∞,0上单调递增的是
【答案】 ✌
x y sin =  x
y 1=
 2
x y =  x y
3
1log =
已知函数)(x f 的定义域为 ，则“)(x f 为偶函数” 是“)1()1(f f =-”的【答
案】
✌． 充分必要条件 ． 必要不充分条件 ． 充分不必要条件 ． 既不充分也不必要条件 
不
等
式
652<+-x x 的解集是
【答案】 ✌．
{}2<x x ．{}3>x x ．{}32><x x x 或 ．
{}32<<x x
设m l 、 是两条不同的直线，α是平面，则下列命题正确的是 【答案】 ✌．若α⊂⊥m m l
,，则α⊥l ．若l m l //,α⊥，则α⊥m
．若αα⊂m l ,//，则l m // ．若αα//,//m l ，则l m //  从 这 个数中取 个不同的数，使其和为偶数，则不同的取法共有
✌ 种  种  种  种 【答案】
．在三棱锥ABC P - 中， ✌， ， 两两互相垂直，且 ✌ ，则
该
三
棱
锥
的
体
积
为
【答案】✌ ✌．
61 ．31 ．2
1
．
二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 名运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员成绩的平均数是♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉（❍）． 【答案】  ．若直线06=+-
y kx 经过圆
4)2()122=-+-y x （的圆心，则=k ♉♉♉♉♉♉． 【答案】4-
．函数
()x x f cos 21-=的最小值为 ． 【答案】1-
若关于x 的不等式
32<+b x 的解集为{}03<<-x x ，则=b ．
【答案】 若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上存在四点✌， ， ， ，使四边形✌
为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为 ．【答案】
(
)
∞+，2
三、解答题（本大题共 小题，其中第 ， 题为选做题．满分 分．解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤）  （本小题满分 分） 已知函数
()1)1(),1,0(1)5(log 2=-≠>-+=f a a x x f a 且
（✋）求a 的值，并写出()x f 的定义域；（✋✋）当[]11,4-∈x 时，求()x f 的取值范围．
解：（✋）依题意，有：
()11)51(log 21=-+-=-a f ，解得：4=a ，
由505->>+x x 得
∴4=a ，()x f 的定义域为）
，（∞+-5 （✋✋）由（ ）得：()1)5(log 24-+=x x f ∵ ∴()1)5(log 24-+=x x f 为
增函数，而
314116log 2)11(,111log 2)4(44=-=-=-=-=-f f
∴当[]11,4-∈
x 时，()x f 的取值范围为[]3,1-．
 （本小题满分 分）
某射击运动员射击 次，每次射击击中目标的概率为
3
2
，求： （✋） 次射击都击中目标的概率； （✋✋）击中次数ξ的分布列．
解：（✋）27
8
323)
3(==）（P
（✋✋）随机变量ξ的分布列
为：
 （本小题满分 分）
已知数列{}n a 为等差数列，若1231,1a a a a +==，求： （✋）求数列{}n a 的通项公式；
（✋✋）设n a
n n a b )2
1(+=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
解：（✋）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意，有：
⎩⎨⎧
==⇒⎩⎨
⎧++=+=,1,12111
111d a a d a d a a ∴n d n a a n =-+=)1(1
∴数列{}n a 的通项公式为n a n =；
（✋✋）n a
n n a b )2
1
(+= n
n ）（2
1+
∴n n
n n n n n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=212212
1
1211212
)
1(S 2
）（
 （本小题满分 分）
已知向量),1(m a =
，向量)3,2(=b
（✋）若b a //，求m 的值； （✋✋）若b a ⊥，求)3()3a b a
-⋅（的值．
解：（ ）由b a //得：32=m ，23=∴m
（ ）由b a
⊥得023=+m 3
2-=∴m
∴ ），（（3
2
13)3-=a ），（23- ）
（），（）（5,1233,2)3(-=--=-a b ∴135213)3()3-=⨯-+-⨯=-⋅）（）（（a b a
 （本小题满分 分）
已知抛物线px y C 2:2
=的焦点为().0,2F
（✋）求抛物线 的方程；
（✋✋）过点 （ ）的直线l 与C 相交于B A ,两点，且 为✌的中点，求直线l 的方程．
解：（✋）∵抛物线px y C 2:2
=的焦点为()0,2F ，∴
22
=p
，解得4=p ， 故抛物线 的方程为：x y
82
=；
（ ）设)A 11y x ，（、)B 22y x ，（ ，则依题意有422121=+=+y y x x ，
易知若直线l 的斜率不存在，则直线方程为1=x ，此时4021
≠=+y y ，不合题意，
由⎪⎩⎪⎨⎧==2
2212188x y x y 得：)(8212221x x y y -=- 即2121218y y x x y y +=-- ∴24
8
8212121==+=--==y y x x y y k k AB
l ∴ 直线l 的方程为02=-y x
注意：第 题， 题为选做题，请考生选择其中一题作答．
．（本小题满分 分）
已知c b a ,,，分别为△ABC 内角✌， ， 的对边，已知ab c
22
=，
（✋）若 90=C ，且1=a ，求ABC ∆的面积； （✋✋）若C A sin sin =，求C cos 的值
解：（✋）由 90=C
，且1=a ，则222c b a =+，又ab c 22=
∴0122=+-b b ，解得1=b ∴2
1
21S ==
∆ab ABC （✋✋）由正弦定理
c
a
C A C c A a =⇒=sin sin sin sin ， 又C A sin sin =， ∴c a =，
又ab c
22
= ∴b c a 2==
4
1
22cos 2222==-+=ab b ab c b a C 由余弦定理得：
．某公司有 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对乙项目投资的
3
1
倍，且对每个项目的投资都不能低于 万元。

对项目甲每投资 万元可获得 万元的利润，对项目乙每投资 万元可获得 万元的利润。

问：该公司如何规划投资，才能使公司获得的总利润最大？
☯解 设投入甲、乙项目分别为⌧万元，⍓万元，公司 获利为☪万元，则y x z
3.02.0+=
由题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤+5
53
140y x y
x y x 作出可行域如图四边形✌所示
作直线0l ：032=+y
x 并平移，由图象得，当直线经过✌点时☪能取得最大值，
解得⎩⎨⎧==3010y x
即✌（ ） 所以当（万元）时，11303.0102.0Z 30,10max =⨯+⨯===y x。