平行四边形常见证明题
平行四边形的判定习题-含答案
证明：∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∵OA=OC，
∴△ADO≌△ECO，
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CD AE．
6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
证明：∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，
∴OB=OD，
又∵四边形AODE是平行四边形，
∴AE∥OD且AE=OD，Fra bibliotek∴AE∥OB且AE=OB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．
13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．
证明：如答图所示，
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD．
∵G，H分别为OA，OC的中点，
∴OG= OA，OH= OC，
∴OG=OH．
又∵AB∥CD，
∴∠1=∠2．
在△OEB和△OFD中，
∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，
∴△OEB≌△OFD，
∴OE=OF．
∴四边形EHFG为平行四边形．
平行四边形的判定
1．如图所示，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
2如图，已知，□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．
3如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
平行四边形常见证明题
平行四边形常见证明题1.在四边形ABCD中，若AE=CF且DEBF是平行四边形，则EF平行于AD和BC。
理由：DEBF是平行四边形，因此DE平行于BF，EF平行于DB和FA，而AD和BC分别平分DE和BF，因此EF也平分AD和BC。
2.在四边形ABCD中，若ED=BF且EF与AC相交于O，则OA=OC。
理由：由题意可知，EF是AD和BC的平分线，因此O是AC的中点，即OA=OC。
3.在平行四边形ABCD中，若CF=AE且EF与BD交于O，则EF平分BD，BD也平分EF。
理由：连接OF和OE，由平行四边形的性质可知，OF=BE，OE=DF，因此EF=BD。
同时，由相似三角形可知，OE/OF=AE/CF=1，因此OE=OF，即EF被OE和OF平分。
4.在四边形ABCD中，若AE=CF且DF=BE且DF∥BE，则（1）△ADF≌△CBE；（2）ABCD是平行四边形。
理由：（1）由题意可知，△ADF和△CBE分别为DEA和BFC的全等三角形，因此它们相等。
（2）由AE=CF和DF∥BE可知，△ADF和△CBE是等腰三角形，因此AD=BC，AB∥DC，即ABCD是平行四边形。
5.在四边形ABCD中，若∠ABC=70度，∠ABC的平分线交AD于E，BE的平行线交BC于F，则∠CDF的度数为60度。
理由：由角平分线定理可知，∠ABE=35度，∠AEB=145度，又因为BE∥CF，所以∠BFC=35度，∠BCF=145度，由平行线性质可知，∠___∠BCF=145度，因此∠CDF=180度-145度-35度=60度。
6.在四边形ABCD中，若∠ABC的平分线交AD于E且CE⊥BE，则BC=2CD。
理由：连接CE和BD，由垂直平分线定理可知，CE=BE，因此三角形CBE为等腰三角形，∠___∠CEB，又因为∠ABC的平分线AE平分∠CAB，所以∠___∠ABC/2，又因为∠ABC+∠ADC=180度，所以∠ADC=360度/3-∠ABC/2=60度-∠ABC/2，由正弦定理可知，___∠ADC/sin∠ACD=2sin∠ABC/2，因此BC=2CD。
完整版)平行四边形典型证明题(已分类)
完整版)平行四边形典型证明题(已分类)1.在平行四边形ABCD中，平分线AE交DC于点E，已知∠DAE＝25°，求平行四边形ABCD各角的度数。
2.如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，交点G在ED和BC上，点D、C分别落在D′、C′的位置上，已知∠EFG=55°，求∠AEG的度数。
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BD上，且BE=DF，证明四边形AECF是平行四边形。
4.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，且∠DAE=∠BCF。
1）证明AE=CF。
2）证明AE∥CF。
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上平分∠BAD，点F在AD上平分∠BCD，证明四边形AECF是平行四边形。
6.如图，点D、E、F分别是△XXX各边中点。
1）证明四边形ADEF是平行四边形。
2）已知AB=AC=10，BC=12，求四边形ADEF的周长和面积。
7.如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°得到△CFE。
证明四边形DBCF是平行四边形。
8.如图，矩形纸片ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。
1）证明AG＝C′G。
2）求△BDG的面积。
9.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，已知AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。
10.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，已知∠1＝15°。
1）求∠2的度数。
2）证明BO＝BE。
11.如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，CE∥BD，DE∥AC。
1）判断四边形OCED的形状，并证明。
2）已知AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积。
12.在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD 的平分线于点F。
平行四边形证明题精选(初中数学)
平行四边形证明题精选(初中数学)1. 证明平行四边形的性质已知四边形ABCD，证明ABCD是平行四边形的方法有：- 证明对角线互相平分- 证明对边平行- 证明对边长度相等且对角线互相垂直证明对角线互相平分证明方法如下：1. 连接对角线AC和BD；2. 证明线段AC与线段BD的中点E重合，即AE=CE及BE=DE；3. 通过副诱导线的证明，得出结论：ABCD是平行四边形。
证明对边平行证明方法如下：1. 假设AB∥CD；2. 通过诱导线的证明，得出结论：ABCD是平行四边形。
证明对边长度相等且对角线互相垂直证明方法如下：1. 假设AB=CD且AC⊥BD；2. 通过诱导线的证明，得出结论：ABCD是平行四边形。
2. 平行四边形的性质应用在解决平行四边形证明题时，可以根据平行四边形的性质进行推导。
以下是一些常见的平行四边形证明题：证明1已知平行四边形ABCD，证明△ACF≌△EBD。
证明方法：1. 延长AC和BD相交于点F；2. 通过对角线互相平分的证明，得出△ACF≌△EBD。
证明2已知平行四边形ABCD，证明AF=CD。
证明方法：1. 连接AF；2. 通过对边平行的证明，得出AF≥CD；3. 通过对角线互相平分的证明，得出AF≤CD；4. 综合以上两个结论，得出AF=CD。
证明3已知平行四边形ABCD，证明∠DAB=∠BCD。
证明方法：1. 延长AD和BC相交于点E；2. 通过对角线互相平分的证明，得出∠DAB=∠BCD。
以上是初中数学中的一些平行四边形证明题示例及解题方法。
希望能对你的学习有所帮助！。
平行四边形的证明题
平行四边形的【2 】证实题一．解答题（共30小题）1．如图,已知四边形ABCD为平行四边形,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF;（2）若 M.N分离为边AD.BC上的点,且DM=BN,试断定四边形MENF的外形（不必解释来由）．2．如图所示,▱AECF的对角线订交于点O,DB经由点O,分离与AE,CF交于B,D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分离为E,F．（1）求证：△ABE≌△CDF;（2）若AC与BD交于点O,求证：AO=CO．4．已知：如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE.DF是△ABC的中位线,衔接EF.AD．求证：EF=AD．5．如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的大小关系和地位关系,并加以证实．6．如图,已知,▱ABCD中,AE=CF,M.N分离是DE.BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图,平行四边形ABCD,E.F两点在对角线BD上,且BE=DF,衔接AE,EC,CF,FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中,分离以AD.BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,衔接BE.DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示,DB∥AC,且DB=AC,E是AC的中点,求证：BC=DE．10．已知：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度活动,到D点即停滞．点Q自点C向B以2cm/s的速度活动,到B点即停滞,直线PQ截梯形为两个四边形．问当P,Q同时动身,几秒后个中一个四边形为平行四边形？11．如图：已知D.E.F分离是△ABC各边的中点,求证：AE与DF互相等分．12．已知：如图,在▱ABCD中,对角线AC交BD于点O,四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE.四边形DCOE都是平行四边形．13．如图,已知四边形ABCD中,点E,F,G,H分离是AB.CD.AC.BD的中点,并且点E.F.G.H有在统一条直线上．求证：EF和GH互相等分．14．如图：▱ABCD中,MN∥AC,试解释MQ=NP．15．已知：如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD订交于点O,EF经由点O并且分离和AB,CD订交于点E,F,点G,H分离为OA,OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．16．如图,已知在▱ABCD中,E.F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G.H分离在BA和DC的延伸线上,且AG=CH,衔接GE.EH.HF.FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形;（2）若点G.H分离在线段BA和DC上,其余前提不变,则（1）中的结论是否成立？（不用解释来由）17．如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延伸线一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延伸线交于点F,衔接AE.CF．（1）求证：AF=CE;（2）假如AC=EF,且∠ACB=135°,试断定四边形AFCE是什么样的四边形,并证实你的结论．18．如图平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,点E.F分离在CD.BC的延伸线上,AE ∥BD,EF⊥BF,垂足为点F,DF=2（1）求证：D是EC中点;（2）求FC的长．19．如图,已知△ABC是等边三角形,点D.F分离在线段BC.AB上,∠EFB=60°,DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形;（2）若BF=EF,求证：AE=AD．20．如图,四边形ABCD,E.F.G.H分离是AB.BC.CD.DA的中点．（1）请断定四边形EFGH的外形？并解释为什么;（2）若使四边形EFGH为正方形,那么四边形ABCD的对角线应具有如何的性质？21．如图,△ACD.△ABE.△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时,证实：四边形ADFE为平行四边形;（2）当AB=AC时,按序衔接A.D.F.E四点所组成的图形有哪几类？直接写出组成图形的类型和响应的前提．22．如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧分离作三个等边三角形即△ABD.△BCE.△ACF,那么,四边形AFED是否为平行四边形？假如是,请证实之,假如不是,请解释来由．23．在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC地点平面内一点,过点P分离作PE∥AC 交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F．若点P在BC边上（如图1）,此时PD=0,可得结论：PD+PE+PF=AB．请直策运用上述信息解决下列问题：当点P分离在△ABC内（如图2）,△ABC外（如图3）时,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,PD,PE,PF与AB之间又有如何的数目关系,请写出你的猜想,不须要证实24．如图1,P为Rt△ABC地点平面内随意率性一点（不在直线AC上）,∠ACB=90°,M为AB边中点．操作：以PA.PC为邻边作平行四边形PADC,持续PM并延伸到点E,使ME=PM,衔接DE．探讨：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论;（2）请你运用图2,图3选择不同地位的点P按上述办法操作;（3）阅历（2）之后,假如你以为你写的结论是准确的,请加以证实;假如你以为你写的结论是错误的,请用图2或图3加以解释;（留意：错误的结论,只要你用反例赐与解释也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“随意率性△ABC”,其他前提不变,运用图4操作,并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．25．在一次数学实践探讨活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD朋分成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等;（1）依据小强的朋分办法,你以为把平行四边形朋分成知足以上全等关系的直线有很多组;（2）请在图中的三个平行四边形中画出知足小强朋分办法的直线;（3）由上述试验操作进程,你发明所画的两条直线有什么纪律？26．如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=Rt∠,AB=AD=10cm,BC=8cm．点P从点A动身,以每秒3cm的速度沿折线ABCD 偏向活动,点Q从点D动身,以每秒2cm的速度沿线段DC偏向向点C活动．已知动点P.Q同时发,当点Q活动到点C时,P.Q活动停滞,设活动时光为t．（1）求CD的长;（2）当四边形PBQD为平行四边形时,求四边形PBQD的周长;（3）在点P.点Q的活动进程中,是否消失某一时刻,使得△BPQ的面积为20cm2？若消失,要求出所有知足前提的t的值;若不消失,请解释来由．27．已知平行四边形的三个极点的坐标分离为O（0,0）.A（2,0）.B（1,1）,则第四个极点C的坐标是若干？28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB,BC边上的高DE.DF,且cm,,求平行四边形ABCD的面积．29．如图,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形,A.B.C的坐标分离是A（﹣3,）,B（﹣2,3）,C（2,3）,点D在第一象限．（1）求D点的坐标;（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个极点的坐标是若干？（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？30．如图所示．▱ABCD中,AF等分∠BAD交BC于F,DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．1.解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∵AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,∴∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF（A．A．S．）,∴BE=DF;（2）四边形MENF是平行四边形．证实：有（1）可知：BE=DF,∵四边形ABCD为平行四边行,∴AD∥BC,∴∠MDB=MBD,∵DM=BN,∴△DNF≌△BNE,∴NE=MF,∠MFD=∠NEB,∴∠MFE=∠NEF,∴MF∥NE,∴四边形MENF是平行四边形．2.解答：证实：∵四边形AECF是平行四边形∴OE=OF,OA=OC,AE∥CF,∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,∴△FDO≌△EBO,∴OD=OB,∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形．3.解答：证实：（1）∵BF=DE,∴BF﹣EF=DE﹣EF,即BE=DE,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°,∵AB=CD,∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）;（2）∵△ABE≌△CDF,∴∠ABE=∠CDF,∴AB∥CD,∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO．4.解答：证实：∵DE,DF是△ABC的中位线,∴DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,又∵∠BAC=90°,∴平行四边形AEDF是矩形,∴EF=AD．5.解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和地位关系是：平行且相等．证实：∵CE∥AB,∴∠DAO=∠ECO,∵OA=OC,∴△ADO≌△ECO,∴AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴CD AE．6.解答：证实：由平行四边形可知,AD=CB,∠DAE=∠FCB,又∵AE=CF,∴△DAE≌△BCF,∴DE=BF,∠AED=∠CFB又∵M.N分离是DE.BF的中点,∴ME=NF又由AB∥DC,得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC,∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四边形．7.解答：证实：衔接AC交BD于点O,∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=OC,OB=OD．∵BE=DF,∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．8.解答：证实：∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD．又∵△ADE和△CBF都是等边三角形,∴DE=BF,AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF,∠BAE=∠DAB﹣∠DAE,∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四边形BEDF是平行四边形．9.解答：证实：∵E是AC的中点,∴EC=AC,又∵DB=AC,∴DB=EC．又∵DB∥EC,∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．10.解答：解：设P,Q同时动身t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形,依据已知得到AP=t,PD=24﹣t,CQ=2t,BQ=30﹣2t．（1）若四边形PDCQ是平行四边形,则PD=CQ,∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形;（2）若四边形APQB是平行四边形,则AP=BQ,∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形11.解答：证实：∵D.E.F分离是△ABC各边的中点,依据中位线定理知：DE∥AC,DE=AF,EF∥AB,EF=AD,∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相等分．12.解答：证实：∵▱ABCD中,对角线AC交BD于点O,∴OB=OD,又∵四边形AODE是平行四边形,∴AE∥OD且AE=OD,∴AE∥OB且AE=OB,∴四边形ABOE是平行四边形,同理可证,四边形DCOE也是平行四边形．13.解答：证实：衔接EG.GF.FH.HE,点E.F.G.H分离是AB.CD.AC.BD的中点．在△ABC中,EG=BC;在△DBC中,HF=BC,∴EG=HF．同理EH=GF．∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相等分．14.解答：证实：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AM∥QC,AP∥NC．又∵MN∥AC,∴四边形AMQC为平行四边形,四边形APNC为平行四边形．∴AC=MQ AC=NP．∴MQ=NP．15.解答：证实：如答图所示,∵点O为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,∴OA=OC,OB=OD．∵G,H分离为OA,OC的中点,∴OG=OA,OH=OC,∴OG=OH．又∵AB∥CD,∴∠1=∠2．在△OEB和△OFD中,∠1=∠2,OB=OD,∠3=∠4,∴△OEB≌△OFD,∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．16、解答：（1）证实：∵四边形ABCD是平行四边形,17、∴AB=CD,AB∥CD,∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH,∴BG=DH．又∵BE=DF,∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF,∠GEB=∠HFD,∴∠GEF=∠HFE, ∴GE∥HF,∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）17.解答：（1）证实：∵AF∥EC,∴∠DFA=∠DEC,∠DAF=∠DCE,∵D是AC的中点,∴DA=DC,∴△DAF≌△DCE,∴AF=CE;（2）解：四边形AFCE是正方形．来由如下：∵AF∥EC,AF=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,又∵AC=EF,∴平行四边形AFCE是矩形,∴∠FCE=∠CFA=90°,而∠ACB=135°,∴∠FCA=135°﹣90°=45°,∴∠FAC=45°,∴FC=FA,∴矩形AFCE是正方形．18.解答：（1）证实：在平行四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD,又∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE,∴CD=DE,即D是EC的中点;（2）解：衔接EF,∵EF⊥BF,∴△EFC是直角三角形,又∵D是EC的中点,∴DF=CD=DE=2,在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∵∠ABC=60°,∴∠ECF=∠ABC=60°,∴△CDF是等边三角形,∴FC=DF=2．故答案为：2．19.解答：证实：（1）∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB,∴EF∥DC（内错角相等,两直线平行）,∵DC=EF,∴四边形EFCD是平行四边形;（2）衔接BE∵BF=EF,∠EFB=60°,∴△EFB是等边三角形,∴EB=EF,∠EBF=60°∵DC=EF,∴EB=DC,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC,∴∠EBF=∠ACB,∴△AEB≌△ADC,∴AE=AD．20.解答：解：（1）如图,四边形EFGH是平行四边形．衔接AC,∵E.F分离是AB.BC的中点,∴EF∥AC,EF=AC同理HG∥AC,∴EF∥HG,EF=HG∴EFGH是平行四边形;（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．∵假若四边形EFGH为正方形,∴它的每一组邻边互相垂直且相等,∴依据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应当互相垂直且相等．21、解答：（1）证实：∵△ABE.△BCF为等边三角形,∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形,∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：组成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段．当图形为菱形时,∠BAC≠60°（或A与F不重合.△ABC不为正三角形）当图形为线段时,∠BAC=60°（或A与F重合.△ABC为正三角形）．22.解答：解：四边形AFED是平行四边形．证实如下：在△BED与△BCA中,BE=BC,BD=BA（均为统一等边三角形的边）∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC又∵AC=AF∴DE=AF在△CBA与△CEF中,CB=CE,CA=CF∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF又∵BA=DA,∴DA=EF故四边形AFED为平行四边形（两组对边分离相等的四边形是平行四边形）．23.解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．证实：过点P作MN∥BC分离交AB,AC于M,N两点,由题意得PE+PF=AM．∵四边形BDPM是平行四边形,∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．24.解答：解：（1）DE∥BC,DE=BC,DE⊥AC．（2）如图4,如图5．（3）办法一：如图6,衔接BE,∵PM=ME,AM=MB,∠PMA=∠EMB,∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE,∠MPA=∠MEB,∴PA∥BE．∵平行四边形PADC,∴PA∥DC,PA=DC．∴BE∥DC,BE=DC,∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC,DE=BC．∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴DE⊥AC．办法二：如图7,衔接BE,PB,AE,∵PM=ME,AM=MB,∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE,PA=BE, 余下部分同办法一：办法三：如图8,衔接PD,交AC于N,衔接MN,∵平行四边形PADC,∴AN=NC,PN=ND．∵AM=BM,AN=NC,∴MN∥BC,MN=BC．又∵PN=ND,PM=ME,∴MN∥DE,MN=DE．∴DE∥BC,DE=BC．∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9,DE∥BC,DE=BC．25.解答：解：（1）很多;（2）作图的时刻要起首找到对角线的交点,只要过对角线的交点,任画一条直线即可．如图有：AE=BE=DF=CF,AM=CN．（3）这两条直线过平行四边形的对称中间（或对角线的交点）．26.解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M,依据勾股定理,AD=10,AM=BC=8,∴DM==6,∴CD=16; （2）当四边形PBQD为平行四边形时,点P在AB上,点Q在DC上,如图,由题知：BP=10﹣3t,DQ=2t∴10﹣3t=2t,解得t=2此时,BP=DQ=4,CQ=12∴∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=;（3）①当点P在线段AB上时,即时,如图∴．②当点P在线段BC上时,即时,如图BP=3t﹣10,CQ=16﹣2t∴化简得：3t2﹣34t+100=0,△=﹣44＜0,所以方程无实数解．③当点P在线段CD上时,若点P在Q的右侧,即6≤t≤,则有PQ=34﹣5t,＜6,舍去若点P在Q的左侧,即,则有PQ=5t﹣34,,t=7.8．分解得,知足前提的t消失,其值分离为,t2=7.8．27.解答：解：当BC∥OA,BC=OA时,C和B的纵坐标相等,若选择AB为对角线,则C1（3,1）;若选择OB为对角线,则C2（﹣1,1）;当AB∥OC,AB=OC时,选择OA为对角线,则C3（1,﹣1）．故第四个极点坐标是：C1（3,1）,C2（﹣1,1）,C3（1,﹣1）．28.解答：解：设AB=x,则BC=18﹣x,由AB•DE=BC•DFF得：,解之x=10,所以平行四边形ABCD的面积为．29.解答：解：（1）由B.C的坐标可知,AD=BC=4,则可得点D的横坐标为1,点D的纵坐标与点A的纵坐标相等,为,可得点D的坐标为（1,）．（2）依题意得A1.B1.C1.D1的坐标分离为A（﹣3+,0）,B（﹣2+,2）C（2+,2）,D（1+,0）．（3）如图,平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积, 由题意可得GD=AD﹣AG=4﹣,平行四边形DEFG的高为2﹣=,∴重叠部分的面积为（4﹣）•=4﹣2．30.解答：证实：在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠DAF=∠F,又AF等分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF,∴∠BAF=∠F,∴AB=BF,又AF等分∠BAD,DE⊥AF,∴∠AOD=∠ADO,又∠BOE=∠AOD=∠EDC,∠ADO=∠E,∴∠EDC=∠E,∴CE=CD,又AB=CD,∴BE=CF．。
平行四边形专题证明题33道-含答案
图1 平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．二、选择题（每题3分，共30分）8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图49．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B H G12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图614、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°15、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组16、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题17、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。
(完整版)平行四边形典型证明题(已分类)
平行四边形证明题1.在□ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交DC 于E ，若∠DAE ＝25o，求□ABCD 各角度数.2.如图，把一张长方形ABCD 的纸片沿EF 折叠后，ED 与BC 的交点为G ，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG 度数．3.如图在□ABCD 中，E ，F 为BD 上的点，BE =DF ，那么四边形AECF 是什么图形？并证明.4.如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠DAE=∠BCF ． （1）求证：AE=CF ． （2）求证：AE ∥CF5.如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，CF 平分∠BCD 交AD 于点F ，求证：四边形AECF 是平行四边形.DA CBE6. 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边中点. （1）求证：四边形ADEF 是平行四边形.（2）若AB=AC=10，BC=12，求四边形ADEF 的周长和面积.7.如图，在ABC △中，点D E ，分别是AB AC ，边的中点，若把ADE △绕着点E 顺时针旋转180°得到CFE △． 求证：四边形DBCF 是平行四边形。
8.如图，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G .(1)求证：AG ＝C′G ．(2) 求△BDG 的面积9.如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O.若 AO=3， ∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。
10.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°．(1)求∠2的度数．(2)求证：BO＝BE．11. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状，并证明(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．12.在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F，求证：（1）EO=FO（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？13.如图,BD是菱形ABCD的对角线,点E,F分别在边CD,DA上,且CE=AF.求证:∠DBF=∠DBE.14.如图，在菱形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥AC 交CB 的延长线于F.求证：AB 与EF 互相平分.15.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形．16.在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF ． 四边形AECF 是什么形状？并证明.17.已知：如图所示，△ABC 中，E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥AC ，DF ∥AB ，要使四边形AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是____＿ 试证明：这个多边形是菱形. ABDCF EDCFEBA HG18.如图，在正方形ABCD 中，点G 是BC 上任意一点，连接AG ，过B ，D 两点分别作BE ⊥AG ，DF ⊥AG ， 垂足分别为E ，F 两点，求证：△ADF ≌△BAE .19.如图，已知点E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，过点D 作DG ⊥AE ，垂足为G ，延长DG 交AB 于点F ．求证：①BF =CE ．②DF ⊥AE20.如图, 在正方形ABCD 中, M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．试说明：MD=MN ．21.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB ，过点D 分别作DE ⊥BC,DF ⊥AC ，垂足分别为E,F.求证：四边形DECF 为正方形AF BE CDG 图6A M DBCEN22.在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D,将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处，将△ADC沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB,FC使其交于点M,判断四边形AEMF的形状并证明.23.如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.(1)求证:四边形AEBD是矩形.(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并证明.24.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为多少？25.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上的一个动点，当PC+PD的值最小时，最小值为 .。
平行四边形经典题目
平行四边形经典题目一、如图，分别以▱ABCD的对边AB、CD为边在形外作等边△ABE、等边△CDF。
连结CE交AB于点G，连结AF交CD于点H。
试探索图形中除▱ABCD外，是否有其他的平行四边形，并给予证明。
【答案解析】四边形AECF和四边形AGCH是平行四边形。
（1）对于▱AECF：方法1 ▱ ABCD中，AB＝CD.因为△ABE和△CDF都是等边三角形，所以AE＝CF，EB＝DF，又因为BC＝AD，△ABC ＝△ADC，△ABE＝△CDF＝60°，所以△CBE＝△ADF，所以△CBE△△ADF，得CE＝AF，已证AE＝CF，所以四边形AECF 是平行四边形。
方法 2 设△BAH＝α，则△EAF＝60°＋α.因为□ABCD中AB△DC，所以△CHF＝α.在△CHF中△CFH＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，所以△EAF＋△CFA＝180°，则EA△CF.因为EA＝CF，所以四边形AECF是平行四边形。
方法3 设▱ABCD的对称中心为点O（对角线AC、BD交点），则将▱ABCD绕点O旋转180°以后，AB与CD重合.因为△ABE和△CDF是同在平行四边形外全等的等边三角形，旋转后也相互重合，则对称点E、F连线经过点O，且OE＝OF.因为OA＝OC，所以四边形AECF是平行四边形。
（2）对于▱AGCH：因为（1）中已证▱ AECF可知AH△GC，且已知▱ABCD 中AG△HC，所以四边形AGCH是平行四边形。
二、如下图（a），△ABC中AB＝AC＝13cm，BC＝10cm.M、N分别是AB、AC的中点。
（1）若C1是BC的中点，连结MC1、NB.求图中阴影部分的面积。
（2）将线段BC1沿BC向右移动到B1C1位置，如图（b）.连结MC1、NB1。
图中阴影部分的面积还与（1）中相同吗？请说明理由。
【答案解析】（1）连结AC1，易知它是等腰三角形底边上的高，由勾股定理可得AC1＝12cm，从而cm2.连结MN、NC1，设MC1、NB交于点O.由三角形中位线定理及平行四边形的判定可知四边形MNC1B是平行四边形，所以.因为N是AC中点，所以，进而阴影部分面积cm2。
中考考试重点-关于平行四边形的证明题
1.如图,四边形ABCD的对角线AC.BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF;(2)若OD=AC,则四边形ABCD是什么特别四边形？请证实你的结论.2.已知：如图,在矩形ABCD中,点E,F 分离在AB,CD边上,BE=DF,衔接CE,AF.求证：AF=CE.3.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M.N分离是AD.BC的中点,BC=2CD.(1)求证：四边形MNCD是平行四边形;(2)求证：BD=MN.4.如图,四边形ABCD是平行四边形,P 是CD上一点,且AP和BP分离等分∠DAB和∠CBA.(1)求∠APB的度数;(2)假如AD=5 cm,AP=8 cm,求△APB的周长.5.如图,在△ABC中,点D,E,F分离是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形;(2)求证：∠DHF=∠DEF.6.已知：如图,在平行四边形ABCD中,点E.F在AC上,且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.7.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC 是对角线,BE⊥AC,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F.求证：BE=DF.8.如图3-34所示,E,F分离为平行四边形ABCD中AD,BC的中点,G,H在BD上,且BG＝DH,求证四边形EGFH是平行四边形．9、如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC 上一点,以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,衔接AD,EC．（1）求证：△ADC≌△ECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形．10.如图,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边B D延伸线上一点,贯穿连接AC.CE,使AB=AC.⑴求证：△BAD≌△AEC;⑵若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE的面积.11.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC 的等分线BF分离与AC.AD 交于点E.F.(1) 求证：AB＝AF;(2)当AB＝3,BC＝5时,求的值．12.已知,如图,在平行四边形ABCD中,延伸DA到点E,延伸BC到点F,使得AE ＝CF,衔接EF,分离交AB,CD于点M,N,衔接DM,BN.(1)求证：△AEM≌△CFN;(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．13.如图所示,已知在平行四边形ABCD 中,BE=DF,求证：AE=CF．14.已知：如图,在△ABC中,,D是BC的中点,,CE∥AD．假如AC=2,CE=4．（1）求证：四边形ACED是平行四边形;（2）求四边形ACEB的周长;（3）直接写出CE和AD之间的距离．15.如图,已知：AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．16.如图9,平行四边形ABCD中,AE.CF分离等分∠DAC.∠BCA,则四边形AFCE是平行四边形吗？为什么？17. 如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延伸线于F ,且AF=BD,贯穿连接BF（1）求证：D是BC的中点．（2）假如AB=AC ,试断定四边形AFBD的外形,并证实你的结论．18、如图,四边形ABCD是平行四边形,作AF∥CE,BE∥DF,AF交BE与G点,交DF 与F点,CE交DF于H点.交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．19.如图,在□ABCD中,为边上一点,且．（1）求证：;（2）若等分,,求的度数．20.如图,已知平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,（14分）（1）若AE=3cm,AF=4cm,AD=8cm,求：CD的长．（2）若平行四边形的周长为36cm,AE=4cm,AF=5cm,求平行四边形ABCD的面积．21.如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分离为E.F．求证：四边形AECF是平行四边形．22.如图,在□ABCD中,点E.F分离是AD.BC的中点,分离衔接BE.DF.BD．（1）求证：△AEB≌△C FD;（2）若四边形EBFD是菱形,求∠ABD的度数．23.已知,如图,在▱ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于点G.求证:GF=GC.24.已知,如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分离是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.25.如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延伸线上,且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．26.如图,四边形中,,点在的延伸线上,联络,交于点,联络DB ,,且.(1) 求证：;（2）当等分时,求证：四边形是菱形.27.已知：如图,在□ABCD中,E是CA延伸线上的点,F是AC延伸线上的点,且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△CDF;（2）BE∥DF．28.如图,在□ABCD中,AC.BD交于点O,EF过点O,分离交CB.AD的延伸线于点E.F..求证：AE=CF.。
中考考试重点-关于平行四边形的证明题
1、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE=CF ，DF ∥BE.(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OD=21AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论.2、已知：如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 边上，BE=DF ，连接CE ，AF.求证：AF=CE.3、如图，在平行四边形ABCD 中，∠C=60°，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，BC=2CD.(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；(2)求证：BD=3MN.4、如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA. (1)求∠APB的度数；(2)如果AD=5 cm，AP=8 cm，求△APB的周长.5、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF=∠DEF.6、已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC 上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.7、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F.求证：BE=DF.8、如图3-34所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH是平行四边形．9、如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．10、如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边B D 延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC.⑴求证：△BAD≌△AEC；⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积. 11、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF 分别与AC、AD交于点E、F.(1) 求证：AB＝AF；(2)当AB＝3，BC＝5时，求的值．12、已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.(1)求证：△AEM≌△CFN；(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．13、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF，求证：AE=CF．14、已知：如图，在△ABC中，，D是BC 的中点，，CE∥AD．如果AC=2，CE=4．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）求四边形ACEB的周长；（3）直接写出CE和AD之间的距离．15、如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF ⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．16、如图9，平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠DAC、∠BCA，则四边形AFCE是平行四边形吗？为什么？17、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD 的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F ，且AF=BD，连结BF（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．18、如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF 于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．19、如图，在□ABCD中，为边上一点，且．（1）求证：;（2）若平分，，求的度数．20、如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，（14分）（1）若AE=3cm，AF=4cm，AD=8cm，求：CD的长．（2）若平行四边形的周长为36cm，AE=4cm，AF=5cm，求平行四边形ABCD的面积．21、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD, CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：四边形AECF是平行四边形．22、如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，分别连接BE 、DF 、BD ． （1）求证：△AEB ≌△CFD ；（2）若四边形EBFD 是菱形，求∠ABD 的度数．23、已知,如图,在▱ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是AE 的中点,FC 与BE 交于点G.求证:GF=GC.24、已知,如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.25、如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC 的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．26、如图，四边形中，，点在的延长线上，联结，交于点，联结DB，，且.(1) 求证：；（2）当平分时，求证：四边形是菱形.27、已知：如图，在□ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE＝CF．求证：（1）△ABE ≌△CDF；（2）BE∥DF．28、如图，在□ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O，分别交CB、AD的延长线于点E、F.。
平行四边形证明典型题
平行四边形证明典型题1.已知平行四边形ABCD，点E在AD上，且AE=AB。
BE和CD的延长线交于F，且∠BFC=40°。
求平行四边形ABCD各内角的度数。
2.已知平行四边形一组邻角的比是2∶3.求它的四个内角的度数。
3.平行四边形ABCD中，以AD、BC为边在形外作等边三角形ADE和CBF，连结BD、EF，且它们相交于O。
证明EO=FO，DO=BO。
4.已知平行四边形ABCD中，AD=2AB。
延长AB到F，使BF=AB。
延长BA到E使AE=AB。
证明XXX。
5.已知平行四边形ABCD，直线FH与AB、CD相交。
过A、B、C、D向FH作垂线，垂足为E、H、G、F。
证明AE-DF=CG-BH。
6.平行四边形ABCD中，E为DC中点，延长BE与AD 的延长线交于F。
证明E为BF中点，D为AF的中点。
7.平行四边形ABCD中，以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF。
证明△AEF为等边三角形。
8.在△ABC中，BD平分∠B，DE∥BC交AB于E，EF∥AC交BC于F。
证明BE=FC。
9.平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是CD中点，分别延长BA和DC到G、H，使AG=CH。
连结GF、EH。
证明GF∥EH。
10.平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF。
AF与BE相交于G，CE与DF相交于H。
证明EF与GH互相平分。
11.在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于O。
EF过O交AB于E，交DC于F，且OE=OF。
证明四边形ABCD是平行四边形。
12.已知△ABC，分别以AB、BC、AC为边向BC同侧作等边三角形ABE、BCD、ACF。
证明DEAF为平行四边形。
13.已知四边形ABCD中，AB=DC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，AE=CF。
证明四边形ABCD是平行四边形。
14.点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB的面积为7cm。
(完整版)平行四边形的性质及判定典型例题
平行四边形的性质及判定 （典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，O 是卜二・ABCD 对角线的交点.△ OBC 的周长为59, BD=38 , AC=24，贝卩AD= __ 若厶OBC 与厶OAB 的周长之差为 15，贝y AB=QABCD 的周长= _____ .AC ,可得BC ,再由平行四边形对边相等知 AD=BC ，由平行四 边形的对角线互相平分，可知△ OBC 与厶OAB 的周长之差就为BC 与AB 之差，可得AB ，进而可得」ABCD 的周长.解 EBCD 中0A 二= OB = OD = |E D （平行四边形的对角线互相平分）•••△ OBC 的周长=0B + 0C +EC分析: 根据平行四边形对角线互相平先 所OC =1=19 + 12 + BC=59••• BC=28—ABCD 中，•BC=AD(平行四边形对边相等)•AD=28△ OBC的周长-△ OAB的周长=(OB + OC + BC)-(OB + OA+AB)=BC-AB=15•AB=13•••二ABCD的周长=AB + BC + CD + AD=2(AB + BC)=2(13 + 28)=82说明：本题条件中的△ OBC占厶OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15 .例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形. ()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分. ()(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：(1) 错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边AD // BC .显然四边形ABCD 不是平行四边形．(2) 错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3) 错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．”一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4) 对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的．(5) 错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6) 对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF .求证：ED // BF .分析：欲址DE // BF，只需/ DEC二/ AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：v AE=CFAE+EF二CF+EF••• AF=CE在二ABCD中AB // CD（平行四边形的对边平行）• / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）•••△ ABF刍乂 CDE（SAS）•••/ AFB= / DCE• ED // BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在△ ABC中DE // BC // FG，若BD=AF、求证; DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH // AB（或DM // AC）,得至U DE=BH、只需证HC=FG ,因AF=BD=EH , / CEH=/ A. / AGF = Z C所以△ AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK // AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证△ AFG CKE .过E作EH // AB交于Hv DE // BC•••四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）••• DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又BD=AF• AF=EHv BC // FGAGF= / C（两直线平行同位角相等）同理 / A= / CEH• △ AFG EHC(AAS)••• FG=HC••• BC二BH+HC二DE二FG.过C作CK // AB交DE的延长线于K.v DE // BC•四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）•CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又BD=AF•AF=CKv CK // AB• / A= / ECK（两直线平行内错角相等）v BC // FG•••/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK二/ AED（对顶角相等）•••/ AGF= / CEK•••△ AFG S' CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BC• DE+FG=BC例 5 如图I—ABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.u --- ---------- r分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45°进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在二ABCD 中，AD // BC•••/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）vZ ABC=3 / A•••/ A=45 ,Z ABC=135•••Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）•EF 丄CD•Z F=45°（直角三角形两锐角互余）•EF=CE=1在RtAOEF中,CF = JCE之》EF金=（勾股定理）v AD=BC=1二BF = CF”EC = Q[例6如图1，‘ ■ ABCD中，对角线AC长为10cm , Z CAB=30 , AB长为6cm，求一ABCD的面积.解：过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)vZ CAB=30-■.CH 二丄= 1 X10=52 2••• S—ABCD = AB-CH = 6X5=30(cm2)答：二ABCD的面积为30cm2 .说明：由于二=底＞高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C 作高.例7如图，E、F分别在’・ABCD的边CD、BC上，且EF //求证：S△ ACE二S △ ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.二ABCD DE // AB•••/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/ GDE= / DAB（同上）AD // BC•••/ DAB= / FBH（同上）:丄 GDE= / FBHv DE // BH , DB // EH•四边形BHED是平行四边形V DE二BH（平行四边形对边相等）GDE 刍乂 FBH（ASA）••• S△ GDE=S △ FBH（全等三角形面积相等）.GE=FH（全等三角形对应边相等）.S△ ACE=S △ AFH（等底同高的三角形面积相等）.S △ ADE = S △ ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二a・ha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a.例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析EF二DE （目标）十BEDP 为口DF"d叫西3 ]1=Z 3 r Z 1=Z 2f t"S亠彩姑皤彩B口ABCD证明：T四边形ABCD是平行四边形二DE // FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）•••/仁/ 3（两直线平行内错角相等）而Z]=^Z ADC,Z2=|ZABC•••/ 2= / 3• DF // BE（同位角相等两条直线平行）•四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）• BF=DE .（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过△ ADF CBE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的Rt△ ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF // AB，交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG // BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, 可得EG=EC ,从而得出结论.过E点作EG // BC交AB于G点.v EF // AB••• EG=BFv CD为Rt△ ABC斜边AB上的高•/ BAC + / B=90°.Z BAC + / ACD = 90°•/ B= Z ACD•Z ACD=Z EGAv AE 平分Z BAC•Z 1= Z 2又AE=AE•△ AGE ACE(AAS)•CE=EG•CE=BF .说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用.(2)本题也可以设法平移AE .(连F点作FG // AE，交AB于G)例10如图，已知I —ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于E, AF 丄DC 于F，/ EAF=2 / C,求AE 和AF 的长.分析：从化简条件开始①由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.口虹CD 的周长=321 fAB=10AB : BC-5 : 3 p |BC=6②/ EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAE^ZC=180°] oAE 1 EAF-2 Z C j討c=6°这样，立即可以看ADF、△ AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形.于是有= = = 3再由勾股定理求出解：——ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 16 2又AB : BC=5 : 35+3BC= —X3 = 65+3/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于360°v AE 丄BC / AEC=90AF 丄DC / AFC=90•••/ EAF+ / C=180/ EAF=2 / CT AB // CD(平行四边形的对边平行)•••/ ABE二/ C=60 (两直线平行同位角相等)同理/ ADF=60SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5£—■Al = ja =E^ = 5^3 (cm)在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= ^AP = |B C=3■f-j d—iAF - 7A D3 -I>F a = M Ccm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2 .平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是—，理由是（2）如图2, D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE // BC贝卩四边形ADCF是__,理由是__ ,四边形BCFD 是—，理由是—分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD // CF即BD // CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形.解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定 方法.例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB 二 /CBD=90 .求 证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：CIID 从对角钱看一（5 ）对角线互相平分 因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一:v AB=CD . Z ADB= / CBD=90 , BD=DB .••• Rt △ ABD 坐 Rt △ CDB .「（ 1）两组对边分别平存C I ）从边看 —（2）两组对边分别相等_（3）-组对边平行且相尊 （1）从边看 （II ）从角看 （4）两组对角分别相等 的四边形绘平行四边形•••/ ABD= / CDB，/ A= / C.•/ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 / ABC= / CDA .•四边形ABCD 是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．证法二：vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .•Rt△ ABD 坐Rt△ CDB .•Z ABD=Z CDB．•AB //CD.（内错角相等两直线平行）•四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．证法三：由证法一知，Rt △ ABD幻Rt △ CDB .••• DA=BC又T AB二CD•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，‘「ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.分析：只须证明EGFH为平行四边形.证明：连结EG 、GF、FH 、HE．T四边形ABCD是平行四边形•••/ A= / C, AD=CB .T BG=DH•AH=CG又AE=CF•△ AEH CFG（SAS）•HE=GF同理可得EG=FH•四边形EGFH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）•EF 与GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F.求证：四边形AECF是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，可得△ ABE CDF••• AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.证明：口ABCD中，AB屯CD（平行四边形的对边平行，对边相等）•/ ABD= / CDB（两直线平行内错角相等）AE 丄BD、CF 丄BD•AE // CF / AEB= / CFD=90•△ ABE CDF（AAS）•AE=CF•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF // EC , BE // DF，从而四边形GEHF为平行四边形.证明：」ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）v AE=CF /. DE=BFT四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）二AF // CE , BE // DF（平行四边形对边平行）•••四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）••• GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知—ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、H 在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄HF分析：证EF 、GH 互相平分二GEHF 为平行四边形.证明:连 BG 、DH 、GF 、EHT ABCD 为平行四边形.••• AD 垒 BC又 AG=HC• DG 丄 BH•四边形BGDH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）• HO = GO , DO=BO （平行四边形的对角线互相平分） 又 BE=DF•OE=OF•四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）••• EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7如图，——ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.分析：连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边证法一:连结EH , HF、FG、GEv AE丄BD , G是AD中点.-■.GE=C J D =^AD2/ GED二 / GDE同理可得HF =HB =^EC,Z HFE =Z HEFV四边形ABCD是平行四边形••• AD 岂BC,/ GDE= / HBF••• GE=HF，/ GED= / HFB•GE // HF•四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分）证法二：容易证明厶ABE CDF• BE=DFT四边形ABCD为平行四边形••• AD 些BCT G、H分别为AD、BC的中点•DG 丄BH•四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）•OG=OH , OB=OD又BE=DF•OE=OF•EF和GH互相平分.例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：—ABCD ,使/ ABC二/ a, AB=a , BC=b ,分析：已知两边与夹角，可先确定△ ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出.作法:(1) 作/ EBF二/ a,⑵在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,⑶分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点D, 二四边形ABCD为所求.*证明：由作法可知AB=CD = aBC=AD=b二四边形ABCD 为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平 行四边形)且/ ABC 二 / a, AB=a , BC=b- ABCD 为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1) 已知两邻边(AB 、BC)和夹角(/ B).(2) 已知一边(BC)和两条对角线(AC , BD).(3) 已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角 (如/ DBC ,Z ACB).⑷已知一边(CD)和一个内角(/ ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD ，且BD > CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法.。
平行四边形证明练习题
平行四边形证明练习题一．解答题1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．2．在▱ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2求证：△ABE≌△CDF．4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．6．已知：如图，▱ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．求证：四边形EFGH是平行四边形．15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系：_________（2）请证明你的猜想．16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．17．如图，已知E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．18．如图，BD是▱ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：EF=DG且EF∥DG．22．已知如图所示，▱ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．平行四边形证明练习题参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．解答：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴∠ADE=∠CBF又∵BE=DF，∴BF=DE，∵在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴∠DAE=∠BCF．点评：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF 全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．2．在▱ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键．求证：△ABE≌△CDF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∴在：△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键．4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E 是CD边的中点，根据AAS即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又∵EC=ED，∴△EBC≌△EFD（AAS），∴BC=DF．点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．5．（2013•莒南县二模）如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF，BE∥DF．解答：解：由题意得：BE=DF，BE∥DF．理由如下：连接DE、BF．∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评：本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．6．已知：如图，▱ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定．分析：根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据SAS证出即可．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠BAC=∠DCF，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证△ABE≌△CDF的三个条件是解此题的关键．7．如图，已知在▱ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，∵OA=OC，∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，∵DC=AB，∴DE=BF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF和△COE全等．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？考点：等腰梯形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．分析：根据等腰三角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．解答：解：是平行四边形，理由：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=DC，∠B=∠C，∵AB=AE，∴∠AEB=∠B，∴∠AEB=∠C，∴AE∥DC，又∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形．点评：本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，关键是根据题意推出AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．分析：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，根据平行四边形性质求出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，根据平行四边形的判定推出四边形BEDF是平行四边形即可．解答：证明：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此题的证明方法二是证△AED≌△CFB，推出DE=BF．10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析：求出∠AED=∠CFB=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．解答：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△AED和Rt△CFB中，∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），∴∠ADE=∠CBD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD∥BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根据平行四边形的判定推出即可．解答：证明：∵E为AD中点，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四边形AFBD是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD．12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质．分析：（1）证出平行四边形ABED，推出DE=AB，即可推出答案；（2）根据BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，推出DC=EC 即可证出答案．解答：证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∵AB=DC，∴DE=DC．（2）证明：∵BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，∴DC=EC，由（1）知：DE=DC，∴DE=DC=EC，∴△DEC是等边三角形．点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED和DC=EC是解此题的关键．13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．分析：（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD与BC平行且相等，由AD与BC平行得到内错角∠DAF 与∠BCA相等，再由已知的AE=CF，根据“SAS”得到△ADF与△CBE全等；（2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF与EB相等且∠DFA与∠BEC相等，由内错角相等两直线平行得到DF与BE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF的形状．解答：证明：（1）∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC（1分）∴∠DAF=∠BCA（2分），∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE（3分）∴△ADF≌△CBE（4分）（2）四边形DEBF是平行四边形（5分）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC，DF=BE，∴DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形（6分）点评：本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题．14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．求证：四边形EFGH是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．解答：证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；又∵AE=CG，AH=CF（已知），∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH；∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系：平行且相等（2）请证明你的猜想．考点：平行四边形的判定与性质．分析：（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF 即可．解答：（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；∵BE∥DF（已知），∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等），∴∠AEB=∠CFD（等量代换），∴△ABE≌△CDF（AAS）；∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．点评：本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．17．如图，已知E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．考点：平行四边形的判定与性质．分析：根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，根据线段的中点的定义得到EB=AB，DF=CD，即BE=DF，BE∥DF，得到平行四边形EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，∴EB=AB，DF=CD，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴ED=BF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键．18．如图，BD是▱ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；角平分线的定义．分析：根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，∴∠FDB=∠EBD，∴DF∥BE，∵AD∥BC，即ED∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形．点评：本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DF∥BE，主要检查学生能否运用定理进行推理，题型较好，难度适中．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OA=OC，OB=OD；然后由已知条件“点E、F分别为AO、OC的中点”可以证得OE=OF；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）．又∵点E、F分别为AO、OC的中点，∴OE=OF．∴四边形BFDE是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；垂线；直角三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质．分析：求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE，连接BE、DF，根据HL证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF，得出平行四边形DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：BD平分EF，理由是：证法一、连接BE、DF．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BD平分EF；证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DEG（AAS），∴EG=FG，即BD平分EF．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF，题目比较好，难度适中．21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：EF=DG且EF∥DG．考点：三角形中位线定理；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质．分析：根据三角形的中位线推出DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，推出GF=DE，GF∥DE，得出平行四边形DEFG，根据平行四边形的性推出即可．解答：证明：∵BD、CE是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE=BC，同理：GF∥BC，GF=BC，∴GF=DE，GF∥DE，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF=DG，EF∥DG．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．22．已知如图所示，▱ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质．分析：根据平行四边形性质得出OA=OC，AD∥BC，推出OE=OF，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根据AAS证△AGO≌△CHO，推出OG=OH，根据平行四边形的判定推出即可．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∵AE=CF，∴OE=OF，∵AD∥BC，∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，在△AGO和△CHO中，∴△AGO≌△CHO（AAS），∴OG=OH，∵OE=OF，∴四边形EHFG是平行四边形．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．。
初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案
初中数学特殊平行四边形的证明一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC的垂直平分线DE交BC于D, 交AB于E, F在DE上, 并且AF=CE．（1）求证: 四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时, 四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论.2．（2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF．求证: 四边形BCFE是菱形.3．（2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD中, AB∥CD, AC平分∠BAD, CE∥AD交AB于E．（1）求证: 四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点, 试判断△ABC的形状, 并说明理由.4．（2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点．求证: EB=EC.5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α, 且cosα= , AB=4, 则AC的长为多少？6. （2019春•宿城区校级月考）如图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC、BD相交于点O, BE ∥AC交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE.7．（2019•雅安）如图：在▱ABCD中, AC为其对角线, 过点D作AC的平行线及BC的延长线交于E．（1）求证: △ABC≌△DCE；（2）若AC=BC, 求证: 四边形ACED为菱形.8．（2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC．（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8, AC=6, 求四边形ABCF的周长.9．（2019•遂宁）已知：如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形.10. （2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, 点E是BC的中点, 连接AC, DE, AC=AB, DE∥AB. 求证: 四边形AECD是矩形.11. （2019•钦州）如图, 在正方形ABCD中, E、F分别是AB、BC上的点, 且AE=BF. 求证：CE=DF.12．（2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E 作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE．（1）求证: DF=AE；（2）当AB=2时, 求BE2的值.13．（2019•吴中区一模）已知：如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE．（1）求证: AE=AF；（2）若AE垂直平分BC, AF垂直平分CD, 求证: △AEF为等边三角形.14. （2019•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形, 点C在AF上, 点E, G分别在BC, CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°, AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.15. （2019•槐荫区三模）如图, 菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°. 求对角线AC的长.16. （2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm, AE ⊥BC于点E, 求AE的长.17．（2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC、FC（1）求证: EC=FC；（2）若AE=2, ∠A=60°, 求△AEF的周长.18．（2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点．求证: 四边形ADEF是菱形.19. （2019春•防城区期末）如图, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是为E, F, 并且DE=DF. 求证：四边形ABCD是菱形.20．（2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点．（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH的面积.21．（2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C 作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4, ∠BCF=120°, 求菱形BCFE的面积.22．（2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD．（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6, BC=8, 求四边形OCED的周长.23. （2019•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连结BE交CD于点O, 求证：△AOD≌△BOC.24．（2019•东海县二模）已知：如图, 在正方形ABCD中, 点E、F在对角线BD上, 且BF=DE, （1）求证: 四边形AECF是菱形；（2）若AB=2, BF=1, 求四边形AECF的面积.25．（2019•玉溪模拟）如图, 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上, 连接BE、DG．求证: BE=DG.26．（2019•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中, E为CD边上一点, F为BC延长线上一点, 且CE=CF（1）求证: △BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°, 求∠BEF的度数.27．（2019•深圳模拟）四边形ABCD是正方形, E、F分别是DC和CB的延长线上的点, 且DE=BF, 连接AE、AF、EF．（1）求证: △ADE≌△ABF；（2）若BC=8, DE=6, 求△AEF的面积.28. （2019•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中, AC为对角线, E为AC上一点, 连接EB、ED. 求证：∠BEC=∠DEC.29．（2019•温州一模）如图, AB是CD的垂直平分线, 交CD于点M, 过点M作ME⊥A C, MF ⊥AD, 垂足分别为E、F．（1）求证: ∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°, 求证: 四边形AEMF是正方形.30．（2019•湖里区模拟）已知：如图, △ABC 中, ∠ABC=90°, BD 是∠ABC 的平分线, DE⊥AB 于点E, DF ⊥BC 于点F ．求证：四边形DEBF 是正方形．初中数学 特殊平行四边形的证明参考答案及试题解析一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, BC 的垂直平分线DE 交BC 于D, 交AB 于E, F 在DE 上, 并且AF=CE ．（1）求证: 四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定. 菁优网版权所有结论．考点:考点：专题:证明题.（1）ED是BC的垂直平分线, 根据中垂线的性质: 中垂线上的分析:点线段两个端点的距离相等, 则EB=EC, 故有∠3=∠4, 在直角三角形ACB中, ∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余, 则可得到AE=CE, 从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形, 又因为FD⊥BC, AC⊥BC, 所以AC∥FE, 再根据内错角相等得到AF∥CE, 故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形, 当∠1=60°时△ACE是等边三角形, 有AC=EC, 有平行四边形ACEF是菱形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形.（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．解: （1）∵ED是BC的垂直平分线解答:∴EB=EC, ED⊥BC,∴∠3=∠4,∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,∵∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余∴∠1=∠2,∴AE=CE,又∵AF=CE,∴△ACE和△EFA都是等腰三角形,∴∠5=∠F,∴∠2=∠F,∴在△EFA和△ACE中∵,∴△EFA≌△ACE（AAS）,∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时, 四边形ACEF是菱形. 证明如下: ∵∠B=30°, ∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形.点评:本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解, 有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2. （2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC 的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF.菱形的判定. 菁优网版权所有求证：四边形BCFE是菱形.考点:考点：专题:证明题.分析:由题意易得, EF 及BC 平行且相等, ∴四边形BCFE 是平行四边形．又EF=BE, ∴四边形BCFE 是菱形．解答: 解: ∵BE=2DE, EF=BE,∴EF=2DE. （1分）∵D.E 分别是AB.AC 的中点,∴BC=2DE 且DE ∥BC. （2分）∴EF=BC. （3分）又EF ∥BC,∴四边形BCFE 是平行四边形. （4分）又EF=BE,∴四边形BCFE 是菱形. （5分）∴四边形BCFE 是菱形．（5分）点评: 此题主要考查菱形的判定, 综合利用了平行四边形的性质和判定．3. （2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD 中, AB ∥CD, AC 平分∠BAD, CE ∥AD 交AB 于E.（1）求证: 四边形AECD 是菱形；菱形的判定及性质. 菁优网版权所有（2）若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由．考点:考点：几何图形问题.专题:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形, 进而证明分析:一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等, 进而证明∠ACB为直角即可．（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可.（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．解: （1）∵AB∥CD, CE∥AD,解答:∴四边形AECD为平行四边形, ∠2=∠3,又∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AD=DC,∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形.理由: ∵AE=EC∴∠2=∠4,∵AE=EB,∴EB=EC,∴∠5=∠B,又因为三角形内角和为180°,∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°,∴∠ACB=∠4+∠5=90°,∴△ACB为直角三角形.点评:考查菱形的判定及性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等.4. （2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点.求证：矩形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有EB=EC.考点:考点：专题: 证明题.分析: 利用矩形的性质结合全等三角形的判定及性质得出△ABE ≌△DCE（SAS）, 即可得出答案．解答: 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠A=∠D=90°,∵点E是边AD的中点,∴AE=ED,在△ABE和△DCE中,,∴△ABE≌△DCE（SAS）,∴EB=EC.∴EB=EC．点评: 此题主要考查了全等三角形的判定及性质以及矩形的性质, 得出△ABE≌△DCE是解题关键．矩形的性质. 菁优网版权所有5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α,且cosα= ,AB=4, 则AC的长为多少？考点：分析: 根据等角的余角相等, 得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长．解答: 解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°, AD∥BC,∴∠EAD=∠ACB,∵在△ABC及△AED中,∵DE⊥AC于E, ∠ABC=90°∴∠BAC=∠ADE=α.∴cos∠BAC=cosα= ,∴AC= = .∴AC==．点评: 此题综合运用了锐角三角函数的知识、勾股定理、矩形的性质.矩形的性质；平行四边形的判定及性质. 菁优网版权所有6.（2019春•宿城区校级月图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC.BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. 求证:BD=BE.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据矩形的对角线相等可得AC=BD, 对边平行可得AB∥CD,再求出四边形ABEC 是平行四边形, 根据平行四边形的对边相等可得AC=BE, 从而得证．解答: 证明: ∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD, AB ∥CD,又∵BE ∥AC,∴四边形ABEC 是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.∴BD=BE．点评: 本题考查了矩形的性质, 平行四边形的判定及性质, 熟记各性质并求出四边形ABEC 是平行四边形是解题的关键．7. （2019•雅安）如图: 在▱ABCD 中, AC 为其对角线, 过点D 作AC 的平行线及BC 的延长线交于E.（1）求证: △ABC ≌△DCE ；（2）若AC=BC, 求证：四边形ACED为菱菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形．考点:考点：专题: 证明题.分析: （1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形, 然后证得AC=AD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答: 证明: （1）∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD, AB=CD,∴∠B=∠1,又∵DE∥AC∴∠2=∠E,在△ABC及△DCE中,,∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中,∴AD∥BC,即AD∥CE,由DE∥AC,∴ACED为平行四边形,∵AC=BC,∴∠B=∠CAB,由AB∥CD,∴∠CAB=∠ACD,又∵∠B=∠ADC,∴∠ADC=∠ACD,∴AC=AD,∴四边形ACED为菱形.点评: 本题考查了菱形的判定等知识, 解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理, 难度不大．8. （2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC.（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）菱形的判定及性质；旋转的性质. 菁优网版权所有若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长．考点:考点：几何综合题.专题:（1）根据旋转可得AE=CE, DE=EF, 可判定四边形ADCF是平行分析:四边形, 然后证明DF⊥AC, 可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长, 再根据中点定义可得AD=5, 根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5, 进而可得答案．（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案.（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．（1）证明: ∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,解答:∴AE=CE, DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∵D.E分别为AB, AC边上的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形；（2）解: 在Rt△ABC中, BC=8, AC=6,∴AB=10,∵D是AB边上的中点,∴AD=5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5,∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．此题主要考查了菱形的判定及性质, 关键是掌握菱形四边相点评:等, 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9. （2019•遂宁）已知: 如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC.BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE. 过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF. 求证:（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形. 考点: 考点：矩形的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定. 菁优网版权所有专题: 证明题.分析: （1）根据两直线平行, 内错角相等可得∠ODE=∠FCE, 根据线段中点的定义可得CE=DE, 然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC, 再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形, 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD, 然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答: 证明: （1）∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,∵E是CD中点,∴CE=DE,在△ODE和△FCE中,,∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC,∵CF∥BD,∴四边形ODFC是平行四边形,在矩形ABCD中, OC=OD,∴四边形ODFC是菱形.∴四边形ODFC是菱形．点评: 本题考查了矩形的性质, 全等三角形的判定及性质, 菱形的判定, 熟记各性质及平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．10.矩形的判定. 菁优网版权所有（2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:四边形AECD是矩形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 先判断四边形AECD为平行四边形, 然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．解答: 证明: ∵AD∥BC, DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD=BE.∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD.∴四边形AECD是平行四边形.∵AB=AC, 点E是BC的中点,∴AE⊥BC, 即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形.∴▱AECD是矩形．点评: 本题考查了梯形和矩形的判定, 难度适中, 解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．正方形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有11.（2019•钦州）如图,在正方形ABCD中, E、F分别是AB.BC上的点, 且AE=BF.求证:CE=DF.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据正方形的性质可得AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, 然后求出BE=CF, 再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等, 根据全等三角形对应边相等证明即可．解答: 证明: 在正方形ABCD中, AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, ∵AE=BF,∴AB﹣AE=BC﹣BF,即BE=CF,在△BCE和△CDF中,,∴△BCE≌△CDF（SAS）,∴CE=DF.∴CE=DF．点评: 本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．12. （2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE.（1）求证: DF=AE；正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2）当AB=2时,求BE2的值．考点:考点：（1）连接CF, 根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等, 根分析:据全等三角形对应边相等可得DF=EF, 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°, 求出△AEF是等腰直角三角形, 再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF, 然后等量代换即可得证；（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC, 然后求出AE, 过点E作EH⊥AB于H, 判断出△AEH是等腰直角三角形, 然后求出EH=AH= AE, 再求出BH, 然后利用勾股定理列式计算即可得解．（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解.（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．（1）证明: 如图, 连接CF,解答:在Rt△CDF和Rt△CEF中,,∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）,∴DF=EF,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠EAF=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AE=EF,∴DF=AE；（2）解: ∵AB=2,∴AC= AB=2 ,∵CE=CD,∴AE=2 ﹣2,过点E作EH⊥AB于H,则△AEH是等腰直角三角形,∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣,∴BH=2﹣（2﹣）= ,在Rt△BEH中, BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4 ．本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等腰直点评:角三角形的判定及性质, 勾股定理的应用, 作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．13. （2019•吴中区一模）已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE.（1）求证: AE=AF ；（2）若AE 垂直平分BC, AF 垂直平分CD, 求证：△AEF 为等边三角形．考点:考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定. 菁优网版权所有专题:证明题. 分析:（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD, ∠B=∠D, 进而得出△ABE ≌△ADF （ASA ）, 即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形, 进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°, 求出△AEF 为等边三角形．（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形.（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD, ∠B=∠D,又∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,在△ABE和△ADF中,,∴△ABE≌△ADF（ASA）,∴AE=AF；（2）解: 连接AC,∵AE垂直平分BC, AF垂直平分CD,∴AB=AC=AD,∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形,∴∠CAE=∠BAE=30°, ∠CAF=∠DAF=30°,∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°,又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.点评: 此题主要考查了等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质等知识, 熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14. （2019•新乡菱形的性质. 菁优网版权所有一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,点C在AF上, 点E, G分别在BC,CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°,AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.考点:考点：分析: 根据菱形的性质可得出∠BAE=30°, ∠B=45°, 过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x, 则可得出AB、AE的长度, 继而可得出的值, 求出AB即可．解答: 解: ∵∠BAD=135°, ∠EAG=75°, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,∴∠B=180°﹣∠BAD=45°, ∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°,过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x,在Rt△AEM中, AE=2EM=2x, AM= x,在Rt△BEM中, BM=x,则= = ,∵AE=100cm, ∴AB=50（+1）cm,∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm.点评: 本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识, 属于基础题, 关键是掌握菱形的对角线平分一组对角．15. （2019菱形的性质. 菁优网版权所有•槐荫区三模）如图,菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°.求对角线AC的长.考点:考点：分析: 连接BD及AC交于点O, 根据菱形的性质可得AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD, 然后判断出△ABD是等边三角形, 根据等边三角形的性质求出AO, 再根据AC=2AO计算即可得解．解答: 解: 如图, 连接BD及AC交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD,∵∠D=120°,∴∠ADB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AO=AD×sin∠ADB= ,∴AC=2AO= .点评: 本题考查了菱形的性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．16.菱形的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E, 求AE的长.考点：分析: 根据菱形的对角线互相垂直平分求出CO、BO, 再利用勾股定理列式求出BC, 然后利用菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可．解答: 解: ∵四边形ABCD是菱形,∴CO= AC=3cm, BO= BD=4cm, AO⊥BO,∴BC= = =5cm,∴S菱形ABCD= =BC•AE,即×6×8=5•AE,解得AE= cm.答：AE的长是cm.答: AE的长是cm．答：AE 的长是cm．点评: 本题考查了菱形的性质, 勾股定理, 熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键, 难点在于利用菱形的面积列出方程．17. （2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC.FC（1）求证: EC=FC；（2）若菱形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有∠A=60°,求△AEF的周长．考点:考点：分析: （1）连接AC, 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CAE=∠CAF, 然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等, 根据全等三角形对应边相等可得EC=FC；（2）判断出△AEF是等边三角形, 然后根据等边三角形的三条边都相等解答．（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答.（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答．解答: （1）证明: 如图, 连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴∠CAE=∠CAF,在△ACE和△ACF中,,∴△ACE≌△ACF（SAS）,∴EC=FC；（2）解: 连接EF,∵AE=AF, ∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴△AEF的周长=3AE=3×2=6.点评: 本题考查了菱形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．18. （2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点.求证：菱形的判定；三角形中位线定理. 菁优网版权所有四边形ADEF是菱形.考点:专题: 证明题.分析: 利用三角形中位线的性质得出DE AC, EF AB, 进而得出四边形ADEF 为平行四边形．, 再利用DE=EF 即可得出答案．解答: 证明: ∵D.E 、F 分别是△ABC 三边的中点,∴DE AC, EF AB,∴四边形ADEF 为平行四边形.又∵AC=AB,∴DE=EF.∴四边形ADEF 为菱形.∴四边形ADEF 为菱形．点评: 此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定等知识, 熟练掌握菱形判定定理是解题关键．19. （2019春•防城区期末）如图, 已菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形ABCD是平行四边形, DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别是为E, F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE≌△CDF, 再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形．解答: 证明: 在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥AB, DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.∴平行四边形ABCD是菱形．点评: 本题考查了平行四边形的性质, 全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法, 解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．20. （2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点.（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH 的面积．考点:考点：菱形的判定及性质；正方形的判定及性质；中点四边形. 菁优网版权所有分析: （1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH 的四边相等, 即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°, 得到菱形EGFH 是正方形, 利用三角形的中位线定理求得GE 的长, 则正方形的面积可以求得．（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得.（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD中, E、F、G、H分别是AD.BC.BD.AC 的中点,∴FG= CD, HE= CD, FH= AB, GE= AB.∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四边形EGFH是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD中, G、F、H分别是BD.BC.AC的中点,∴GF∥DC, HF∥AB.∴∠GFB=∠DCB, ∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.∴∠GFH=90°.∴菱形EGFH是正方形.∵AB=1,∴EG= AB= .∴正方形EGFH的面积=（）2= .点评: 本题考查了三角形的中位线定理, 菱形的判定以及正方形的判定, 理解三角形的中位线定理是关键．21. （2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C作CF∥BE交DE的延长线于F.（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若菱形的判定及性质. 菁优网版权所有CE=4, ∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积．考点:考点：分析: （1）由题意易得, EF及BC平行且相等, 故四边形BCFE 是平行四边形. 又麟边EF=BE, 则四边形BCFE是菱形；（2）连结BF, 交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度, 则BF=2BO．利用菱形的面积= CE•BF进行解答．（2）连结BF，交CE于点O. 利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形. 通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO. 利用菱形的面积= CE•BF进行解答.（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进行解答．解答: （1）证明: ∵D.E分别是AB.AC的中点,∴DE∥BC, BC=2DE.∵CF∥BE,∴四边形BCFE是平行四边形.∵BE=2DE, BC=2DE,∴BE=BC.∴□BCFE是菱形；（2）解: 连结BF, 交CE于点O.∵四边形BCFE是菱形, ∠BCF=120°,∴∠BCE=∠FCE=60°, BF⊥CE,∴△BCE是等边三角形.∴BC=CE=4.∴.∴.点评: 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算, 使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．22. （2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE ∥AC, CE∥BD.矩形的性质；菱形的判定. 菁优网版权所有（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6,BC=8,求四边形OCED的周长．考点:考点：分析: （1）根据矩形性质求出OC=OD, 根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形, 根据菱形判定推出即可；（2）根据勾股定理求出AC, 求出OC, 得出OC=OD=CE=ED=5,相加即可．（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可.（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2OC, BD=2OD, AC=BD,∴OD=OC,∵DE∥AC, CE∥BD,∴四边形OCED是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵AB=6, BC=8,∴在Rt△ABC中, 由勾股定理得: AC=10,即OC= AC=5,∵四边形OCED是菱形,∴OC=OD=DE=CE=5,∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20.∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．。
平行四边形综合证明练习题
1．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .(1) 求证：DE －BF = EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．5．（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E .(1）若AB =8，DE =3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG +PH 的值，并说明理由.11．（2009年广西梧州）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．(1）求证：AD ＝CE ；(2）试判断四边形ADCE 的形状。
13．（2009年日照市）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． (1）求证：EG =CG ；(2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）D A EN M OFB D第24题图①D BD第24题图②B第24题图③17．（2009恩施市）两个完全相同的矩形纸片、如图7放置，，求证：四边形为菱形．22． (2009山西省太原市）如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上 一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．32．（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD 中，是边上的点，AE =BC ，DF ⊥AE ， 垂足为F ，连接DE ．(1）求证：；(2）如果，求的值．35．（2009年江苏省）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．(1）与有何等量关系？请说明理由；(2）当时，求证：四边形AEFD 是矩形．36．（2009年广西南宁）如图13-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，. (1）求∶的值； (2）延长交正方形外角平分线（如图13-2），试判断的大小关系，并说明理由； (3）在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．60．（2009年广东省）在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．(1）求的周长； (2）点为线段上的点，连接并延长交于点． 求证：．ABCD BFDE AB BF =BNDM ABCD B CD E C D MN 12CE CD =AMBNE BC ABE △DFA ≌△10AD AB =，=6sin EDF ∠ABCD AD BC AB DE AF DC E F ∥，∥，∥，、BC AEFD AD BC AB DC =ABCD E F BC DC AE EF ⊥2BE =EC CF EF CP P 于点AE EP 与AB M DMEP ABCD AC BD O 56AB AC ==，D DE AC ∥BC E BDE △P BC PO AD Q BP DQ = CDEMABFN 图（1）A BCDEFMN DA BCE FA DCFE B 图13-1 ADCB E 图13-2B C E DAF P FA Q D EBPCO。
平行四边形题库
1、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．2、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．3、已知，在平行四边形ABCD 中，BC=2AB ，M 为AD 的中点，CE ⊥AB 于E ．求证：∠DME=3∠AEM ．4、下列命题：（1）一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形， （2）一组对边相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形，（3）一组对边平行，一组对角相等四边形是平行四边形，（4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，其中错误的有（ ）个。
A ．1 B.2 C.3 D .45、如图1， 在周长为10cm 的□ABCD 中，AB≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AD 上，且OE ⊥BD ，则△ABE 的周长是 。
6、在□ABCD 中，已知∠ADB=90°，OA=5cm ，DB=6cm ，OE ⊥AC ，交AB 于E ，连结CE ，则△CBE 的周长 。
P A D CBFP DE CBA 图17、□ABCD 的周长是28cm ，AC 与BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△OBC 的周长大4cm ，那么AB 等于（ ）A ．8cm B.9cm C.10cm D.11cm4.如图所示，E 是□ABCD 内任一点，若S 四边形ABC D =6，则图中阴影部分的面积为（ ）A.2B.3C.4D.58、如图，P 是□ABCD 内任一点，且,,PABPADS S==52 则阴影部分的面积是为 。
9、（2012•包头）如图，过▱ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的▱AEMG 的面积S 1与▱HCFM 的面积S 2的大小关系是（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1=S 2D ．2S 1=S 210、如图所示□ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点M ，而MD 平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= 。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)证明题专题训练(含答案)
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形证明题专题训练1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形EBFD 是平行四边形．2．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF= 1AB，连接DE，AD，EF，DF．2（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求EF的长．的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，3．如图所示，ABCDF．求证：四边形AFCE是菱形．AC BD交于点,O过点O任作直线分别交4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线,AB CD于点E F,、．求证：OE OF =．5．已知：如图，在ABCD 中，,E F 是对角线BD 上两个点，且BE DF =．求证：.AE CF =6．已知：如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别相交于点E 、F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F 为顶点的四边形是菱形？并给出证明．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，OE 与AB 交于点F ．（1）求证：四边形AEBO 的为矩形；（2）若OE ＝10，AC ＝16，求菱形ABCD 的面积．8．已知：如图，在ABC 中，中线,BE CD 交于点,,O F G 分别是,OB OC 的中点．求证：（1）//DE FG ；（2）DG 和EF 互相平分．9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，且AB ＝AC ，CF 是∠ACB 的角平分线交AB 于点F ，在AD 上取一点E ，使AB ＝AE ，连接BE 交CF 于点P ．（1）求证：BP ＝CP ；（2）若BC ＝4，∠ABC ＝45°，求平行四边形ABCD 的面积．10．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．(1)求证：OD=OC．(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．11．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．（1）求证：CE＝CF；（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．12．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．13．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD 和CB于点E，F连接AF，CE．（1）求证：OE＝OF；（2）求证：四边形AFCE是菱形．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．19．在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分∠AEC，（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠A=90°，BC=5，AE=1，求线段BE的长．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．参考答案：1．解：证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形．2．（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=12 AB，∵AF=12 AB，∴DE=AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，∴EF=AD，∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=12BC=5，∴EF=AD=5．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AE FC ，AO CO =，∴EAC FCA ∠=∠，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴EF AC ⊥，在AOE △与COF 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA AOE COF ≌△△，∴EO FO =，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF AC ⊥，∴四边形AFCE 为菱形．4．解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠EAO =∠FCO ，在△AEO 和△CFO 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ．5．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ．∴∠ABE =∠CDF ．在△ABE 和△CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CDF （SAS ）∴AE =CF ．6．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形． 证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．7．解：（1）证明：∵//BE AC ，//AE BD ，∴四边形AEBO 为平行四边形，又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴平行四边形AEBO 为矩形；（2）∵四边形AEBO 为矩形，∴AB ＝OE ＝10，又∵四边形ABCD 为菱形，∴AO ＝12AC ＝8，∴90AOB ∠=︒，∴6BO ==，∴BD ＝2BO ＝12，∴菱形ABCD 的面积＝12121696⨯⨯=．8．（1）在△ABC 中，∵BE 、CD 为中线∴AD =BD ，AE =CE ，∴DE ∥BC 且DE =12BC ．在△OBC 中，∵OF =FB ，OG =GC ，∴FG ∥BC 且FG =12BC ．∴DE ∥FG（2）由（1）知：DE ∥FG ，DE =FG ．∴四边形DFGE 为平行四边形．∴DG 和EF 互相平分9．解：（1）设AP 与BC 交于H ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝12BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．10．证明：（1）∵AC∥DB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD；（2）∵E是OC中点，F是OD中点，∴OE=12OC，OF=12OD，∵OC=OD，∴OE=OF，又∵OA=OB，∴四边形AFBE是平行四边形．11．（1）证明：∵ABCD是菱形，∴AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠B ＝∠D ，∵AE ＝AF ，∴AB ﹣AE ＝AD ﹣AF ，∴BE ＝DF ，在△BCE 与△DCF 中，∵BE DF B D BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF ，∴CE ＝CF ；（2）结论是：BC ＝CE ．理由如下：∵ABCD 是菱形，∠B ＝80°，∴∠A ＝100°，∵AE ＝AF ，∴180100402AEF AFE ︒-︒∠=∠==︒由（1）知CE ＝CF ，∠ECF ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴∠CEF ＝60°，∴∠CEB ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B ＝∠CEB ，∴BC ＝CE ．12．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =DC ，∠A =∠D =90°，∵M 为AD 中点，∴AM =DM ，在△ABM 和△DCM ，AM DM A D AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）；（2）解：当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，理由：当四边形MENF 是正方形时，则∠EMF =90°，∵△ABM ≌△DCM ，∴∠AMB =∠DMC =45°，∴△ABM 、△DCM 为等腰直角三角形，∴AM =DM =AB ，∴AD =2AB ，即当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形．13．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∵AC 的中点是O ，∴OA ＝OC ，在EOA △和FOC 中，AOE COF AO COEAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EOA FOC ASA ∴ ≌，∴OE ＝OF ；（2）∵OE ＝OF ，AO ＝CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．14．证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBF ，∵BD平分∠ABC，∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝12∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，DF，DH，∴FH＝12∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC DH＝6，∴DF＝，∴菱形BEDF的边长为15．（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG=AG AB=AF ⎧⎨⎩，∴△ABG ≌△AFG （HL ）；（2）∵△ABG ≌△AFG ，∴∠BAG ＝∠FAG ，∴∠FAG ＝12∠BAF ，由折叠的性质可得：∠EAF ＝∠DAE ，∴∠EAF ＝12∠DAF ，∴∠EAG ＝∠EAF ＋∠FAG ＝12（∠DAF ＋∠BAF ）＝12∠DAB ＝12×90°＝45°；（3）∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ＝12CD ＝12×6＝3，设BG ＝x ，则CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，∵GE 2＝CG 2＋CE 2∴（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解得：x ＝2，∴BG ＝2．16．（1）证明：∵DE ⊥BC ，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ，∴AC ∥DE ，∵MN ∥AB ，即CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE ＝AD ；（2）解：四边形BECD 是菱形，理由是：∵D 为AB 中点，∴AD ＝BD ，∵CE ＝AD ，∴BD ＝CE ，∵BD ∥CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴CD ＝BD ，∴四边形BECD 是菱形．17．（证明：（1）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴AB ∥DE ，AB ＝DE （平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B ＝∠EDC （两直线平行，同位角相等）；又∵AB ＝AC （已知），∴AC ＝DE （等量代换），∠B ＝∠ACB （等边对等角），∴∠EDC ＝∠ACD （等量代换）；∵在△ADC 和△ECD 中，AC ED ACD EDC DC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）；（2）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴BD ∥AE ，BD ＝AE （平行四边形的对边平行且相等），∴AE ∥CD ；又∵BD ＝CD ，∴AE ＝CD （等量代换），∴四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC （等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC ＝90°，∴▱ADCE 是矩形．18．证明：（1）∵BF=DE ，∴BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CD BE DF =⎧⎨=⎩,∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，∴ABE CDF ∠=∠，∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠CBE=∠AEB ，∵EB 平分∠AEC ，∴∠CBE=∠BEC ，∴CB=CE ，∴△CBE 是等腰三角形；（2）如图2中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，在Rt △ECD 中，∵∠D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，3AB CD ∴====，在Rt AEB 中，∵∠A=90°，AB=3．AE=1，BE ∴===20．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC ，∠AFD=∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.。
八下平行四边形,证明题
八下平行四边形证明题1 ．如图，在四边形 ABCD 中，∠ BAC ＝∠ ACD ＝ 90°， CD ，点 E 是CD 的中点．求证：四边形 ABCE 是平行四边形．2 ．如图， B ， E ， C ， F 在一条直线上，已知 AB ∥ DE ， AC ∥ DF ， BE ＝CF ，连接 AD ．求证：四边形 ABED 是平行四边形．3 ．如图，将▱ ABCD 的对角线 BD 向两个方向延长，分别至点 E 和点 F ，且使 BE = DF ．求证：四边形 AECF 是平行四边形．4 ．如图，▱ ABCD 中， E 是 AD 边的中点， BE 的延长线与 CD 的延长线相交于F ．求证： DC ＝ DF ．5 ．如图，△ ABC 中， D 是 AB 边上任意一点， F 是 AC 中点，过点 C 作 CEAB 交 DF 的延长线于点 E ，连接 AE ， CD ．(1) 求证：四边形 ADCE 是平行四边形；(2) 若∠ B ＝ 30°，∠ CAB ＝ 45°，，求 AB 的长．6 ．如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ，点 F 在线段 BD 上，且DE ＝ BF ．求证： AE ∥ CF ．7 ．如图，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ BAD 的平分线 AF 交 CD 于点 E ，交 BC 的延长线于点 F ．点 E 恰是 CD 的中点．求证：（ 1 ）△ ADE ≌△ FCE ；（ 2 ） BE ⊥ AF ．8 ．如图，在平行四边形 ABCD 中，，点 E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点．（ 1 ）求证：；（ 2 ）当时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的 2 倍的所有角．9 ．已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分別为、．求证：四边形是正方形．10 ．如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别是 AC ， AB 的中点，点 F 是 CB 延长线上的一点，且 CF ＝ 3 BF ，连接 DB ， EF ．（ 1 ）求证：四边形 DEFB 是平行四边形；（ 2 ）若∠ ACB ＝ 90°， AC ＝ 12cm ， DE ＝ 4cm ，求四边形 DEFB 的周长．11 ．已知：在菱形中，点 E ， O ， F 分别为 AB ， AC ， AD 的中点，连接，．求证：；12 ．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在 BC 延长线上， DF ⊥ AE 于点 F ，点 G 在 AE 上，且∠ ABG ＝∠ E ．求证： AG ＝ DF ．13 ．如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边 BC 重合在一起，，，．交 AB 于点 E ；作交 AC 的延长线于点 F ．(1) 求证：四边形 AEDF 是正方形．(2) 当时，求正方形 AEDF 的边长．14 ．如图，矩形 ABCD 中， E 、 F 分别为边 AD 和 BC 上的点， BE ＝ DF ，求证：DE ＝ BF ．15 ．如图，点 E 、 F 在菱形 ABCD 的对角线 AC 上，且 AF ＝ CE ，求证： DE ＝BF ．16 ．已知：如图，▱ ABCD 中，延长 BC 至点 E ，使 CE = BC ，连接 AE 交 CD 于点O ．(1) 求证： CO = DO ；(2) 取 AB 中点 F ，连接 CF ，△ COE 满足什么条件时，四边形 AFCO 是正方形？请说明理由．17 ．在中， AE 平分∠ BAD ， O 为 AE 的中点，连接 BO 并延长，交AD 于点 F ，连接 EF ， OC ．(1) 求证：四边形 ABEF 是菱形；(2) 若点 E 为 BC 的中点，且 BC ＝ 8 ，∠ ABC ＝ 60°，求 OC 的长．18 ．如图，在菱形 ABCD 中，点 E 、 F 分别是边 CD 、 BC 的中点(1) 求证：四边形 BDEG 是平行四边形；(2) 若菱形 ABCD 的边长为 13 ，对角线 AC ＝ 24 ，求 EG 的长．19 ．已知：如图，在▱ ABCD 中， AE ⊥ BC ，，点 E ， F 分别为垂足．(1) 求证：△ ABE ≌△ CDF ；(2) 求证：四边形 AECF 是矩形．20 ．已知：如图，在中， E ， F 是对角线 AC 上的两点，且 AF ＝CE ．求证：．参考答案：1 ．证明：∵∠ BAC ＝∠ ACD ＝ 90°，∴ AB ∥ EC ，∵点 E 是 CD 的中点，∴，∵，∴ AB ＝ EC ，∴四边形 ABCE 是平行四边形．2 ．证明：∵∴∠ B =∠ DEF ，∵，∴∠ ACB =∠ F ，∵ BE ＝ CF ，∴ BE+EC ＝ CF+EC ，即 BC=EF ，∴△ ABC ≌△ DEF ，∴ AB=DE ，∵，∴四边形 ABED 是平行四边形．3 ．证明：连接 AC ，设 AC 与 BD 交于点 O ．如图所示：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA = OC ， OB = OD ，又∵ BE = DF ，∴ OE = OF ．∴四边形 AECF 是平行四边形．4 ．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ， AB ＝ DC ，∴∠ F ＝∠ EBA ，∵ E 是 AD 边的中点，∴ DE ＝ AE ，在△ DEF 和△ AEB 中，∵，∴△ DEF ≌△ AEB （ AAS ），∴ DF ＝ AB ，∴ DC ＝ DF ．5 ．(1)证明：∵ AB CE ，∴∠ CAD ＝∠ ACE ，∠ ADE ＝∠ CED ．∵ F 是 AC 中点，∴ AF ＝ CF ．在△ AFD 与△ CFE 中，，∴△ AFD ≌△ CFE （ AAS ），∴ DF ＝ EF ，∴四边形 ADCE 是平行四边形；(2)解：过点 C 作 CG ⊥ AB 于点 G ，∵∠ CAB ＝ 45°，∴，在△ ACG 中，∠ AGC ＝ 90°，∴，∵，∴ CG ＝ AG ＝，∵∠ B ＝ 30°,∴ ,∴ ,在 Rt △ BCG 中，，∴．6 ．证：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝ CB ， AD ∥ BC ，∴∠ ADE ＝∠ CBF ，在△ ADE 和△ CBF 中，∴△ ADE ≌△ CBF （ SAS ），∴∠ AED ＝∠ CFB ，∴ AE ∥ CF ．7 ．证明：（ 1 ）∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AD ∥ BC ，∴∠ D ＝∠ ECF ，∵ E 为 CD 的中点，∴ ED ＝ EC ，在△ ADE 和△ FCE 中，，∴△ ADE ≌△ FCE （ ASA ）；（ 2 ）∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AB ＝ CD ， AD ∥ BC ，∴∠ FAD ＝∠ AFB ，又∵ AF 平分∠ BAD ，∴∠ FAD ＝∠ FAB ．∴∠ AFB ＝∠ FAB ．∴ AB ＝ BF ，∵△ ADE ≌△ FCE ，∴ AE ＝ FE ，∴ BE ⊥ AF ．9 ．证明：∵平分，，，∴，，，又∵，∴四边形是矩形，∵，∴矩形是正方形．10 ．（ 1 ）证明：∵点 D ， E 分别是 AC ， AB 的中点，∴ DE 是△ ABC 的中位线，∴ DE // BC ， BC ＝ 2 DE ，∵ CF ＝ 3 BF ，∴ BC ＝ 2 BF ，∴ DE ＝ BF ，∴四边形 DEFB 是平行四边形；（ 2 ）解：由（ 1 ）得： BC ＝ 2 DE ＝ 8 （ cm ）， BF ＝ DE ＝ 4cm ，四边形DEFB 是平行四边形，∴ BD ＝ EF ，∵ D 是 AC 的中点， AC ＝ 12cm ，∴ CD ＝ AC ＝ 6 （ cm ），∵∠ ACB ＝ 90°，∴ BD ＝＝ 10 （ cm ），∴平行四边形 DEFB 的周长＝ 2 （ DE + BD ）＝ 2 （ 4+10 ）＝ 28 （ cm ）．11 ．证明：∵四边形是菱形，∴，，∵点，，分别为，，的中点，∴在和中，，∴；12 ．证明：四边形是正方形，，，，，，，，，，，，在和中，，，．13 ．证明：∵，∴∵∴四边形 AEDF 是矩形∵∴在和中∴∴四边形 AEDF 是正方形．(2)解：∵，，∴，设得解得：∴正方形 AEDF 的边长是．14 ．证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ＝ CD ， AD ＝ BC ，∠ A ＝∠ D ＝ 90 °，在 Rt △ ABE 和 Rt △ CDF 中，，∴ Rt △ ABE ≌ Rt △ CDF （ HL ），∴ AE ＝ CF ，∴ DE ＝ BF ．15 ．证明：四边形是菱形，，，，在和中，，，．16 ．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD = BC ， AD // BC ，∴∠ DAE =∠ E ，∵ CE = BC ，∴ CE = AD ，又∵∠ AOD =∠ COE ，∴△ AOD ≌△ EOC （ AAS ），∴ CO = DO ；(2)解：当 CO = EO ，∠ COE =90°时，四边形 AOCF 是正方形；理由如下：∵ CO = DO ，∴ CO = CD ，又∵ F 是 AB 的中点，∴ AF = AB ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB = CD ， AB // CD ，∴ AF = CO ， AF // CO ，∴四边形 AFCO 是平行四边形，∵△ AOD ≌△ EOC ，∴ AO = EO ，∵ CO = EO ，∴ AO = CO ，∴平行四边形 AFCO 是菱形，∵∠ COE =90°，∴菱形 AFCO 是正方形．17 ．证明：在中，，∴∠ FAO =∠ BEO ，∵ O 为 AE 的中点，∴ AO=EO ，∵∠ AOF =∠ BOE ，∴△ AOF ≌△ BOE ，∴四边形 ABEF 是平行四边形，∵ AE 平分∠ BAD ，∴∠ BAE =∠ FAE ，∴∠ BAE =∠ AEB ，∴ AB=BE ，∴四边形 ABEF 是菱形；(2)解：过点 O 作 OG ⊥ BC 于 G ，∵点 E 为 BC 的中点，且 BC ＝ 8 ，∴ BE=CE =4 ，∵四边形 ABEF 是菱形，∠ ABC ＝ 60°，∴∠ OBE =30°，∠ BOE =90°，∴ OE =2 ，∠ OEB =60°，∴ GE =1 ，，∴ GC =5 ，∴ OC ．．18 ．证明：∵ AC 平分∠ BAD ， AB ∥ CD ，∴∠ DAC ＝∠ BAC ，∠ DCA ＝∠ BAC ，∴∠ DAC ＝∠ DCA ，又∵ AB ∥ CD ， AB ＝ AD ，∴ AB ∥ CD 且 AB ＝ CD ，∴四边形 ABCD 是平行四边形，∵ AB ＝ AD ，∴四边形 ABCD 是菱形．(2)解：连接 BD ，交 AC 于点 O ，如图：∵菱形 ABCD 的边长为 13 ，对角线 AC ＝ 24 ，∴ CD ＝ 13 ， AO ＝ CO ＝ 12 ，∵点 E 、 F 分别是边 CD 、 BC 的中点，∴ EF ∥ BD （中位线），∵ AC 、 BD 是菱形的对角线，∴ AC ⊥ BD ， OB ＝ OD ，又∵ AB ∥ CD ， EF ∥ BD ，∴ DE ∥ BG ， BD ∥ EG ，∵四边形 BDEG 是平行四边形，∴ BD ＝ EG ，在△ COD 中，∵ OC ⊥ OD ， CD ＝ 13 ， CO ＝ 12 ，∴，∴ EG ＝ BD ＝ 10 ．19 ．证明：四边形是平行四边形，，，，在和中，，．(2)证明：，，四边形是平行四边形，，，在四边形中，，四边形是矩形．20 ．证明：在中，，∴∠ DAC =∠ ACB ，∵ AF ＝ CE ．∴△ ADF ≌△ CBE （ SAS ），∴∠ AFD =∠ BEC ，∴．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．在□ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，且AE=CF ，四边形DEBF 是平行四边形吗？请说明理由．
2.如图，▱ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且ED=BF ，EF 与AC 相交于点O ，求证：OA=OC ．
3、如图，延长平行四边形ABCD 的边BC 至F 、DA 至E ，使CF ＝AE ，EF 与BD 交于O ．
试说明EF 与BD 互相平分
4．如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ，DF =BE ，DF ∥BE ，
求证：（1）△ADF ≌△CBE ；（2）四边形ABCD 是平行四边形．
5． 如图, 在ABCD 中，∠ABC ＝70
,∠ABC 的平分线交AD 于点E,过点D 作BE 的平行线交BC 于点F,求∠CDF 的度数.
A E D
B
A B
C D F E
6．已知如图，在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，且CE ⊥BE 。
求证：BC =2CD
7.如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．
（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
8、如图，四边形ABCD 和四边形EBFD 都是平行四边形． 试说明△ABE ≌△CDF
C
9. 已知:如图, 在ABCD 中，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，AE=CF, M 、N 分别是DE 和BF 的中点，求证.四边形ENFM 是平行四边形．
10. 已知:如图, 在
ABCD 中，E 、F 分别是CD 和AB 上的点，AE//CF, BE 交CF 于点H ，DF 交AE 于点G ．求
证.EG=FH ． A B C D O F E。