河南中考数学压轴题分析
2024年中考数学试卷分析报告河南
2024年中考数学试卷分析报告河南介绍本文对2024年河南省中考数学试卷进行了细致的分析，旨在总结试卷内容、难度和重点考点，为学生和教师提供参考和指导，帮助他们更好地备考和讲授数学知识。
试卷概述2024年河南省中考数学试卷总分为120分，包含选择题、填空题和解答题三个部分。
本次试卷共有8个选择题、8个填空题和4个解答题，涵盖了各个知识点和技能要求。
选择题分析难度与出题思路本次试卷的选择题整体难度适中。
其中，有一道题目是通过填空的方式，考查学生对均值和方差的理解和计算能力。
另外，还有几道题目考查了学生对几何形状的认识和计算能力。
考点归纳选择题主要涵盖了以下几个考点：1.代数运算：包括整数的运算、代数式的简化等。
2.几何形状：包括平行线、直角三角形、相似三角形等的性质和计算。
3.统计与概率：包括平均数、方差、样本调查等的计算和分析。
填空题分析难度与出题思路本次试卷的填空题整体难度适中。
填空题从各个知识点中选取了一些典型题型进行考查，涵盖了代数、几何和统计等多个领域。
其中，一道填空题考查了学生对代数方程的解的理解和求解能力，另外一道题考查了学生对三角形的性质和计算能力。
考点归纳填空题主要涵盖了以下几个考点：1.代数方程的解：包括一元一次方程和一元二次方程的解的求解。
2.几何形状计算：包括三角形的性质、面积和周长的计算等。
3.统计与概率：包括样本调查和统计指标的计算等。
解答题分析难度与出题思路本次试卷的解答题整体难度适中。
解答题从代数、几何和统计等多个领域选取了一些典型题型进行考查，要求学生运用所学的知识和方法进行解答和计算。
其中，有一道解答题考查了学生对图形的对称性和平移的理解和应用能力，另外一道题考查了学生对统计图表的分析和解读能力。
考点归纳解答题主要涵盖了以下几个考点：1.几何形状计算：包括三角形的性质、面积和周长的计算等。
2.图形的对称性与平移：包括图形的对称性和平移的理解和应用能力。
3.统计与概率：包括统计图表的分析和解读、样本调查等。
河南中考黑白卷狂押到底(数学)
狂押到底·扫扫刊——数学特殊题型猜押题型一几何图形的折叠与动点问题1.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，点P在线段BC上运动，现将纸片折叠，使点A 与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），设BP=x，当点E落在线段AB 上，点F落在线段AD上时，x的取值范围是.第1题图第2题图2.已知三角形纸片（△ABC）中，AB=AC=5，BC=8，点E、F分别为线段AB、BC上的动点，将三角形沿折痕EF折叠，使得点B落在边AC上，记为点B΄，若以点B΄、F、C为顶点的三角形与△ABC，则CF的长为.题型二特殊四边形的探究题1.如图，已知∆ABC，过点B作DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点，连接DE.（1）求证：BC=DE；（2）填空：①连接AD、BE，当△ABC满足条件，四边形DBEA是矩形，②在①的条件下，当∠C=______.四边形DBEA是正方形．第1题图2.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线BD =8cm ，AC =4cm ，点E 从点B 出发沿BD 方向以1cm/s 的速度向点D 运动，同时点F 从点D 出发沿DB 方向以同样的速度向点B 运动，设点E 、F 运动的时间为t （s ），其中0＜t ＜8. （1）求证：△BEC ≌△DF A ； （2）填空：①以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形一定是 形；②当t 的值为 时，以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为矩形.第2题图题型三 类比、拓展探究题1.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图①，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是BC 边上一点，AE 与BD 交于点G ，过点E 作EF ⊥AE 交AC 于点F . 若2=CE BE ，求EGEF的值.第1题图（1）尝试探究在图中①，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，作EN ⊥AC 于点N ，则EM 和EN 的数量关系是 ，EGEF的值是 . （2）类比延伸如图②，在原题的条件下，若n CE BE =（n ＞0），则EGEF的值是 （用含n 的代数式表示），试写出解答过程.（3）拓展迁移 如图③，在矩形ABCD 中，过点B 作BH ⊥AC 于点O ，交AD 于点H ，点E 是BC 边上一点，AE 与BH 相交于点G ，过点E 作EF ⊥AE 交AC 于点F ，若a CE BE =，b ABBC=（a ＞0，b ＞0），则EGEF的值是 （用含a 、b 的代数式表示）.2.已知∆ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF.(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；(2)如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.第2题图创新题猜押命题点函数关系式如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，12BE DE=，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A.3+xy=-（44）B.121xyx=--B.C.3+xy=-（44）D.124xyx=--命题点几何动点问题如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，点D为BC 的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当△BDE是直角三角时，t的值为 .名校内部模拟题命题点 二次函数图像与性质（2015信阳中学模拟8题3分）如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分，其对称轴为x =-3，且过点（-3，0）.下列说法：①abc ＜0；②2a -b =0； ③4a +2b +c ＜0；④若（-5，y 1），（25，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中说法正确的有 （ ）A.4个B.3个C.2个D.1个命题点 概率计算（2015平顶山一模13题3分）一个口袋中有四个完全相同的小球，把他们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，在随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是 .狂押到底·扫扫刊——数学答案特殊题型猜押题型一 几何图形的折叠与动点问题1.5－21≤x ≤22.1340 题型二 特殊四边形的探究题1.【思路分析】（1）由已知判定四边形DBEA 是平行四边形即可求证；（2）①从矩形的判定着手，对角线相等的四边形是矩形解题；②由①和四边形DBEA 是正方形判断△BEC 是等腰直角三角形即可求解.（1）证明：∵E 是AC 的中点，∴EC =12AC ， 又∵DB =12AC ，∴DB =EC ， 又∵DB ∥AC ，∴四边形DBCE 是平行四边形， ∴BC =DE ；（2）①AB =BC ；②45°. 【解法提示】①△ABC 添加BA =BC ，同（1）可证四边形DBEA 是平行四边形，又∵BA =BC ，BC = DE ，∴AB =DE ，∴四边形DBEA 是矩形；②∵四边形DBEA 是正方形，∴BE =AE ，∠BEC =90°，∴△BEC 是直角三角形，又∵E 是AC 的中点，∴AE =EC ，∴BE =EC ，又∵△BEC 是直角三角形，∴△BEC 是等腰直角三角形，∴∠C =45°． 2.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ，AD ∥BC ， ∴∠EBC =∠FDA . 在△BEC 和△DF A 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DA BC FDA EBC DF BE ， ∴△BEC ≌△DF A .（2）解：平行四边形；2或6.【解法提示】①平行四边形,理由如下：连接CF ，AE ， 由（1）得：∠BEC =∠DF A ，EC =AF ， ∴∠FEC =∠AFE ，即EC ∥AF∴以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形一定是平行四边形.②2或6，理由如下： ∵四边形AECF 为矩形， ∴AC =EF ，∵BD =8cm ，AC =4cm ， ∴EF =4，BE =2cm 或6cm . ∵速度为1cm/s ， ∴t=2或6.题型三 类比、拓展探究题1.（1）解：EM =2EN ，12. 【解法提示】∵四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 是对角线， ∴∠MBE =∠NCE =45°， 又∵EM ⊥BM ，EN ⊥CN ， ∴∠EMB =∠ENC =90°， ∴△EMB ∽△ENC ， ∴2EM EBEN EC==即EM =2EN. 由正方形性质得BD ⊥AC 于点O ，则四边形OMEN 为矩形， ∴∠MEN =90°， 又∵AE ⊥EF ，∴∠GEM +∠GEN =90°，∠FEN +∠GEN =90°， ∴∠MEG =∠FEN ，又∵∠EMG =∠ENF =90°，∴△EMG ∽△ENF ，1.2EF EN EG EM ∴==（2）解：1n. 【解法提示】如解图①，过点E 分别作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥AC 于点N . ∴∠BME =∠CNE =90°，∵四边形ABCD 是正方形，AC 、BD 是对角线， ∴∠OBC =∠OCB =45°， ∴△BME ∽△CNE ， ∴.EM EBn EN EC== ∴∠MEG +∠NEG =90°，∠NEF +∠NEG =90°， ∴∠MEG =∠FEN ，又∵∠EMG =∠ENF =90°， ∴△EMG ∽△ENF ，,EM EGn EN EF ∴== 1.EF EG n ∴=第1题解图① （3）解：1.ab解法提示：如解图②，分别作EM ⊥BO 交BO 于点M ，EN ⊥AC 交AC 于点N . ∴∠ENC =∠BME =90°，又∵BH ⊥AC 于点O ，则EN ∥BM ， ∴∠NEC =∠MBE ， ∴△BME ∽△ENC ， ∴.BM BEa EN EC==又∵EN ⊥AC ， ∴△CEN ∽△CAB ，即,EN CNAB BC=∴1EN AB CN BC b==，又∵△BME ∽△ENC ，则1BM EN ME CN b==，即BM =ME b ， ∴.MEMEb a ab EN EN==，即 ∵AE ⊥EF ， AC ⊥BH ， ∴∠AOG =∠AEF =90°， 又∵∠GAO =∠F AE ，∴Rt △AGO ∽Rt △AFE ，∴∠AGO =∠NFE ， 又∵∠MGE =∠AGO ，∴∠MGE =∠NFE ， ∵EM ⊥BO ，FN ⊥AC ， ∴∠EMG =∠ENF =90°， ∴△EMG ∽△ENF ，1,.EG EM EF ab EF EN EG ab===∴即第1题解图② 2.解：（１）证明：如解图①，∵四边形ADEF 是菱形，∴AF ＝AD ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠BAC ＝60°＝∠DAF ， ∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAF －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF ， 在△BAD 和△CAF 中AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAF ，∴CF ＝BD ，即证BD ＝CF ；∴AC ＝BC ＝BD ＋CD ＝CF ＋CD ，即证AC ＝CF ＋CD ； （2）如解图②，AC ＝CF ＋CD 不成立，AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC ＝CF －CD ，理由是：由（1）知：AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝60°， ∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAF ＋∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中AC AB BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF ，∴BD ＝CF ，∴CF －CD ＝BD －CD ＝BC ＝AC ；即AC ＝CF －CD ． （3）AC ＝CD －CF ． 【解法提示】如解图③，∵∠BAC ＝∠DAF ＝60°，∴∠DAB ＝∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中,AB AC DAB FAC AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴CF ＝BD ，∴CD －CF ＝CD －BD ＝BC ＝AC ，即AC ＝CD －CF ．第2题解图创新题猜押命题点 函数关系式A命题点 几何动点问题2或3.5名校内部模拟题命题点 二次函数图像与性质B命题点 概率计算163狂押到底·扫扫刊——数学特殊题型猜押题型一几何图形的折叠与动点问题1.如图，已知矩形ABCD，点M、N分别为AB、CD的中点，连接MN，点E为线段BC上的动点，将△ABE沿AE折叠使得点B落在MN上，点B的对应点为B'，若AB=3，则折痕AE的长为.第1题图2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在线段AC上，点F是线段AB上的动点，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB上的F处，并且FD∥BC，则CD的长为.第2题图题型二与特殊四边形判定有关的证明及计算如图，已知∆ABC，在边BC的同侧分别作三个正方形．它们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，连接AD、DE、EG，试探究：（1）求证四边形ADEG是平行四边形；（2）填空：①当∠BAC= 时，四边形ADEG是矩形；②在①的条件下，AC与AB满足条件时，四边形ADEG是正方形.题型三 类比、拓展探究题已知点P 是矩形ABCD 边AB 上的任意一点（与点A 、B 不重合）. （1）操作发现如图①，现将△PBC 沿PC 翻折得到△PEC ；再在AD 上取一点F ，将△P AF 沿PF 翻折得到△PGF ，并使得线段PE 、PG 重合，试问FG 与CE 的位置关系为 ； （2）猜想论证在（1）中，如图②，连接FC ，取FC 的中点H ，连接GH 、EH ，请你猜想线段GH 和线段EH 的大小关系，并说明你的理由； （3）拓展延伸 如图③，分别在AD 、BC 上取点F 、C ′，使得∠APF ＝∠BPC ′，将△P AF 沿PF 翻折得到△PFG ，并将△PBC ′ 沿PC' 翻折得到△PEC ′，连接FC ′，取FC ′的中点H ，连接GH 、EH ，试问（２）中的结论还成立吗？请说明理由创新题猜押1.抛物线与x 轴交于A(1x ，0)、 B(2x ，0)两点，且1x ＜2x ，与y 轴交于点C (0，－4)，其中1x ，2x 是方程01242=--x x 的两个根，则抛物线的解析式 . 2.如图，已知AB 为⊙O 的直径，过⊙O 上的点C 的切线交AB 的延长线于点E ，AD ⊥EC 于点D 且交⊙O 于点F ，连接BC ，CF ，AC ． （1）求证：BC =CF ；（2）若AD =3，DE =4，求BE 的长；第2题图名校内部模拟题命题点 实数的相关概念（2015郑州一模1题3分）下列各组数中，互为相反数的两个数是 （ ）A.-3和+2B.5和51C.-6和6D.2131和 命题点 阴影部分图形的面积计算（2015平顶山二模15题3分）如图，将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A'B'C'，当两个三角形重叠的面积为32时，则它移动的距离AA' 等于 .命题点 实际应用题（2015平顶山二模21题10分）节能灯在城市已基本普及，今年我省面向县级农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表： 类别进价（元/只） 售价（元/只） 甲型25 30 乙型 45 60（1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）若何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30％，此时利润为多少元？狂押到底·扫扫刊——数学答案特殊题型猜押题型一 几何图形的折叠与动点问题1. 22.940 题型二 与特殊四边形判定有关的证明及计算【思路分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS 证得△BDE ≌△BAC ，所以全等三角形的对应边DE =AG ．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA +∠DAG =180°，易证ED ∥GA ；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG =90°．然后由周角的定义求得∠BAC =135°；（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG =90°，且AG =AD ．由正方形ABDI 和正方形ACHG 的性质证得，AC =2AB ．证明：图中四边形ADEG 是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形，∴AC =AG ，AB =BD ，BC =BE ，∠GAC =∠EBC =∠DBA =90°．∴∠ABC =∠EBD （同为∠EBA 的余角）．在△BDE 和△BAC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE ABCDBE BA BD∴△BDE ≌△BAC （SAS ），∴DE =AC =AG ，∠BAC =∠BDE ．∵AD 是正方形ABDI 的对角线，∴∠BDA =∠BAD =45°．∵∠EDA =∠BDE -∠BDA =∠BDE -45°，∴∠DAG =360°-∠GAC -∠BAC -∠BAD =360°-90°-∠BAC -45°=225°-∠BAC ，∴∠EDA +∠DAG =∠BDE -45°+225°-∠BAC =180°，∴DE ∥AG ，∴四边形ADEG 是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）①135°；②AC =2AB .【解法提示】①当四边形ADEG 是矩形时，∠DAG =90°，则∠BAC =360°-∠BAD -∠DAG -∠GAC =360°-45°-90°-90°=135°，即当∠BAC =135°时，平行四边形ADEG 是矩形；②当四边形ADEG 是正方形时，∠DAG =90°，且AG =AD ．由（2）知，当∠DAG =90°时，∠BAC =135°． ∵四边形ABDI 是正方形，∴AD =2AB ．又∵四边形ACHG 是正方形，∴AC =AG ，∴AC =2AB ，∴AC =2AB 时，四边形ADEG 是正方形．题型三 类比、拓展探究题解：（１）FG ∥CE ；【解法提示】在矩形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，由题意得∠G ＝∠A ＝90°，∠PEC ＝∠B ＝90°.∴∠GEC ＝90°，∴∠G ＝∠GEC ，∴FG ∥CE ．（２）GH ＝EH ．如解图①，延长GH 交CE 于点M ，由（１）得FG ∥CE ，∴∠GFH ＝∠MCH ．∵H 为CF 的中点，∴FH ＝CH ．又∵∠GHF ＝∠MHC∴△GFH ≌△MHC （ASA ），∴GH ＝HM ＝21GM ， ∵∠GEC ＝90°，∴EH =21GM ， ∴GH ＝EH .解图① 解图②（３）（２）中的结论还成立．如解图②，取PF 的中点M ，PC ′的中点N ，连接GM ，EN ，HM ，HN ，∵∠FGP ＝90°，M 为PF 的中点，∴GM =21PF ，PM =21PF ，HM ∥PC'， ∴GM ＝PM ，∴∠GPF ＝∠MGP ，∴∠GMF ＝∠GPF ＋∠MGP ＝２∠GPF ．∵H 为FC ′的中点，M 为PF 的中点，∴HM =21PC'. 同理HN =21PF ，EN =21PC'，HN ∥PF ，∠ENC'=2∠EPC'， ∴GM ＝HN ，HM ＝EN ．∵∠GPF ＝∠FP A ，∠EPC ′＝∠BPC ′．∴∠BPC ′＝∠APF ，∴∠GPF ＝∠EPC ′，∴∠GMF ＝∠ENC ′．∵HM ∥PC ′，HN ∥PF ，∴四边形HMPN 为平行四边形，∴∠HMF ＝∠HNC ′，∴∠GMH ＝∠HNE ．∵GM ＝HN ，HM ＝EN ，∴△GMH ≌△HNE ，∴GH ＝HE ．创新题猜押 1.434312--=x x y 2.（1）证明：如解图，连接OC ，∵ED 切⊙O 于点C ，∴CO ⊥ED ，∵AD ⊥EC ， ∴CO ∥AD ，∴∠OCA =∠CAD ，∵∠OCA =∠OAC ， ∴∠OAC =∠CAD ，∴»»BC CF =，∴BC =CF ；第2题解图（2）在Rt △ADE 中，AD =3，DE =4，则根据勾股定理得AE =5，∵CO ∥AD ，∴△EOC ∽△EAD ，∴ADOC EA EO =， 设⊙O 的半径为r ，则OE =5-r ，∴553r r -=，解得815=r ， ∴EB =5-2r =45. 名校内部模拟题命题点实数的相关概念C命题点阴影部分图形的面积计算4或8命题点实际应用题解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200–x）只，由题意，得25x+45（1200﹣x）=46000，解得：x=400，∴购进乙型节能灯1200﹣400=800只．答：购进甲型节能灯400只、购进乙型节能灯800只，进货款恰好为46000元；（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200–a）只，商场的获利为y元，由题意，得y=（30–25）a+（60–45）（1200–a），y=–10a+18000．∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，∴–10a+18000≤[25a+45（1200–a）]×30%，∴a≥450．∵y=–10a+18000，∴k=–10＜0，∴y随a的增大而减小，∴a=450时，y最大=13500元．∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．。
2024河南中考数学试题评析
2024河南中考数学试题评析中考是每个学生人生中的一次重要考试，决定着他们的高中学业发展。
其中数学科目一直被认为是学生们最为困难的科目之一，曾有人说过：“ 胜数学者胜中考”。
2024年中考拉下帷幕，当我们仔细分析今年的数学命题，我相信有经验的数学老师都会有一种意料之中的快意，下面我谈几点不成熟的看法。
一、稳中求变。
我从2002-2022河南中考数学试题做过对比分析，这里面有五次大的转折，基本呈现五年有调整，前二次转折无论从题量还是题型甚至知识点考查调整比较大，更倾向于 变”；后三次转折可以说是微调，更注重 稳”。
1.我们先来说说稳。
发展到现在主要有三不变：①结构不变：闭卷120分，考试时间为100分钟，题目共计23题，填空选择15题45分，解答8题75分。
②题型不变：选择题、填空题、解答题，解答题主要涵盖——计算求解、推理证明题、应用性问题、阅读分析题、类比探究性问题、开放性问题等。
③考查知识点不变：以数与代数、图形与几何为主，统计与概率、综合与实践为辅。
2.我们再来说说变。
三变”。
①选择题由原来的6题升为8题，再升为10题，填空题由原来的9题降为7题再将为5题。
②题目难度下调，2024难度系数0.65-0.70，满分120，基本平均分78-84；③阅读量增大。
二、变中求新。
1.体现教-学-评一致性。
可以说原来我们的数学中考是考什么，学什么，所以每一年都会有 惊喜”，正如有人说平时学了一粒沙，考试考了撒哈拉；现在依据新课程标准转变为学什么，考什么。
以前我们每年可以扒拉出上百套全国各地中考试题，以后这种情况将不复存在了。
新课标明确规定学业水平考试由省级教育行政部门组织实施，依据学业质量标准，对学生学完本课程后课程目标达成度进行终结性评价。
考试成绩是学生毕业和高一级学校招生录取的重要依据，为评价区域和学校教学质量、改进教学提供重要参考。
值得注意的是2025与2026届仍延续的是2011版课标，今年暑假后七年级新生将正式使用新教材，2022版新课标也正式落地。
2024年河南省中考数学试卷正式版含答案解析
绝密★启用前2024年河南省中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数轴上点P表示的数是( )A. −1B. 0C. 1D. 22.据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元.数据“5784亿”用科学记数法表示为( )A. 5784×108B. 5.784×1010C. 5.784×1011D. 0.5784×10123.如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为( )A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°4.信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为( )A.B.C.D.5.下列不等式中，与−x>1组成的不等式组无解的是( )A. x>2B. x<0C. x<−2D. x>−36.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF//AB 交BC于点F.若AB=4，则EF的长为( )A. 12B. 1 C. 43D. 27.计算(a·a···a⏟a个)3的结果是( )A. a5B. a6C. a a+3D. a3a8.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为( )A. 19B. 16C. 15D. 13⏜的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为( )A. 8π3B. 4πC. 16π3D. 16π10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是( )A. 当P=440W时，I=2AB. Q随I的增大而增大C. I每增加1A，Q的增加量相同D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多第II卷（非选择题）二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
2017全国中考数学压轴题——解答题部分(三)
2017全国中考数学压轴题一一解答题部分(三)241. (河南省23)如图，直线y=—3X+ c与x轴交于点A(3, 0)，与y轴交于点B,抛物(1) 求点B的坐标和抛物线的解析式；⑵M(m, 0)为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N,①点M在线段OA上运动，若以B, P, N为顶点的三角形与?APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M, P, N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M , P, N三点为“共谐点” •请直接写出使得M , P, N三点成为“共谐点”的m的值.42. (黑龙江大庆28)如图，直角？ABC中，/ A为直角，AB = 6, AC= 8 •点P, Q, R 分别在AB , BC, CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R 由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：(1) 求证：？APR, ?BPQ, ?CQR的面积相等；⑵求?PQR面积的最小值；(3)用t(秒)(0 w t w 2)表示运动时间，是否存在t，使/ PQR= 90。
，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.43. (黑龙江哈尔滨26)已知：AB是O O的弦，点C是AB的中点，连接OB、OC, OC交AB于点D .⑴如图1,求证：AD = BD;(2) 如图2,过点B作O O的切线交0C的延长线于点M，点P是AC上一点，连接AP、BP,求证：/ APB-Z OMB = 90°⑶如图3,在⑵的条件下，连接DP、MP，延长MP交O O于点Q,若MQ = 6DP , sinZ ABO = 5,求MQ 的值•44. (黑龙江哈尔滨27)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y= x2+ bx+ c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线y = x- 3经过B、C两点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 过点C作直线CD丄y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE丄x轴于点E, PE交CD于点F,交BC于点M，连接AC,过点M作MN丄AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；⑶在⑵的条件下，连接PC,过点B作BQ丄PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD 于点T,连接OQ交CD于点S,当ST= TD时，求线段MN的长.45. (黑龙江龙东28)如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x—15| + y- 13 = O(OA>OC)，直线y = kx+ b分别与x 轴、y轴交于M、N两点，将△ BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D3处，且tan Z CBD = 74(1) 求点B的坐标；(2) 求直线BN的解析式；(3) 将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB 的面积S关于运动的时间t(0 v t < 13)的函数关系式.46. (黑龙江齐齐哈尔26)如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E.矩形OABC的边OC, OA的长是关于x的一元二次方程x2—12x+ 32= 0的两个根，且0A>OC. 3 43 直接写出点D的坐标；4 若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P,使以点E, C, P, F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.47. (黑龙江绥化28)如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分/ DEB, F为CE 的中点，连接AF, BF，过点E作EH II BC分别交AF, CD于G, H两点.(1) 求证：DE = DC ；(2) 求证：AF丄BF；⑶当AF?GF = 28时，请直接写出CE的长.348. (黑龙江绥化29)在平面直角坐标系中，直线 y = — 4X + 1交y 轴于点B ,交x 轴于点1 ~ , 3A ,抛物线y = — 2x 5 6 + bx + c 经过点B ,与直线y = — 4+1交于点C(4, — 2).(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图，横坐标为 m 的点M 在直线BC 上方的抛物线上，过点 M 作ME II y 轴交直线 BC 于点E ，以ME 为直径的圆交直线 BC 于另一点D ，当点E 在x 轴上时，求△ DEM 的周长. ⑶将△ AOB 绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转 90°得到△ A 1O 1B 1，点A , O , B 的对应点分别是点 A 1, 01, B 1,若厶A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出 方，且CE = £5 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；6 求证：直线DE 是厶ACD 外接圆的切线；1⑶在直线AC 上方的抛物线上找一点 P ,使S ?ACP = ?S ?ACD ，求点P 的坐标；⑷在坐标轴上找一点 M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ ACD 相似，直接写出点 M 的坐标.c350. (湖北恩施24)如图12,已知抛物线y= ax2+ c过点(-2, 2) , (4, 5),过定点F(0, 2)的直线I: y= kx+ 2与抛物线交于A, B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.(1) 求抛物线的解析式；(2) 当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(＞、＜、=)，并证明你的判断；(3) P为y轴上一点，以B, C, F, P为顶点的四边形是菱形，设点P(0, m)，求自然数m的值；(4) 若k= 1,在直线I下方的抛物线上是否存在点Q,使得？QBF的面积最大，若存在，求出点Q的坐标及？QBF的最大面积，若不存在，请说明理由.51. (湖北黄冈24)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形, OA= 4,0C = 3.动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动•设点P、点Q的运动时间为t(s).y j1C P£r7------ --- fc-Q J X⑴当t = 1s时，求经过点O, P, A三点的抛物线的解析式；⑵当t = 2s时，求tan Z QPA的值；⑶当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM = 2AM时，求t(s)的值；⑷连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记？CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S, 求S与t 的函数关系式.52. (湖北黄石24)在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为.2：1,我们不妨就把这样的矩形成为“标准矩形” •在“标准矩形” ABCD中，P为DC边上一定点，且CP = BC,如下图所示.(1)如图①，求证：BA = BP;⑵如图②，点Q在DC上，且DQ= CP，若G为BC边上一动点，当△ AGQ的周长最小时，求C—的值；⑶如图③，已知AD = 1,在(2)的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF , T 为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM = BN,请证明：△ MNT的面积S为定值，并求出这个定值.453. (湖北黄石25)如图，直线I: y= kx+ b(k v 0)与函数y = ；(x>0)的图象相交于A、C z\.两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y 轴的垂线，垂足分别为E、F;直线AE与CD相交于点P,连接DE•设A、C4 4两点的坐标分别为(a, a), (c, C),其中a>c>0.⑵如图②，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值；⑶如图③，已知c= 1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得OM丄AM ?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.54. (湖北荆门24)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，/ C= 90° , OB = 25, OC= 20.若点M是边OC上的一个动点(与点O, C不重合)，过点M作MN // OB交BC 于点N.(1)求点C的坐标；⑵当？MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；(3) 在OB上是否存在点Q,使得?MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由.355. (湖北荆州25)如图在平面直角坐标系中，直线y = —4X+ 3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒•其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度.以点Q为圆心，PQ长为半径作O Q.(1)求证：直线AB是O Q的切线；⑵过点A左侧x轴上的任意一点C(m, 0)，作直线AB的垂线CM，垂足为M •若CM 与O Q 相切于点D，求m与t的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；⑶在⑵的条件下，是否存在点C,直线AB、CM、y轴与O Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.xL O AF — G=90o, AC II OP 交OM 于C , D 为OB 的中点，DE 丄DC 交MN 于E .(1)如图1，若点B 在OP 上，则①AC_OE(填”或“〉”)；②线段CA 、 CO 、CD 满足的等量关系式是 ___________________________ ;⑵将图1中的等腰Rt △ ABO 绕O 点顺时针旋转 (0o< V 45。
2022年河南省数学中招试题评析
2022年河南省中招数学试卷评析河南省第二实验中学胡亚丽试卷依照《新课程标准》，以《中考说明》规定的考试范围为依据，突出了对数学基础知识和基本能力的考查,涵盖数与代数，空间与几何，概率与统计等知识点，与课标要求比例分基本上一致。
有利于引导和促进数学教学全面落实《课程标准》所设立的课程目标，有利于引导改善学生的数学学习方式，提高学生数学学习的效率。
试题注重通性通法、淡化特殊技巧，解答题设置了多个问题，形成入口宽、层次分明、梯度递进的特点，有较好的区分度。
有利于高中阶段学校综合、有效地评价学生的数学学习状况;所有试题的考查内容及试题编排由易及难，坡度平缓，一部分试题情景来源于教材，对考生具有相当的亲和度，有利于考生获得较为理想的成绩。
试卷体现了“稳中求变、稳中求新”。
今年试题与去年相比难度稍有下降，重视基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验等“四基”的考查，第三大题解答题中删掉了一个概率题，增加了一个几何证明题。
难、中、易的比例基本在6：3：1。
试卷所呈现的信息不仅是数学符号和文字，还包括图形、图像及表格等。
如第5题求月牙①旋转到月牙②时点A的坐标、第18题通过表格和扇形统计图获取信息进而解决问题，第22题通过表格获取信息，利用不等式组及其它知识解决实际问题、让学生在各种赏心悦目的考查形式下，愉悦地进行答卷。
试卷呈现丰富多彩的生活情境，贴近生活，体现时代性。
如第13题摸球游戏，如第14题通过折纸求点A的移动距离，折纸是学生喜欢做的手工，看似似曾相识，但本题有一定难度，重在考查数学能力；家庭换灯泡是再常见不过的事情了，第20题就以换灯泡为背景，考查学生构建数学模型解决问题的能力；又如第18题以奥运为背景设计的统计问题；第22题背景取材于同学们所熟悉的“社会主义新农村建设”，以家电下乡设计的方案设计问题等。
使学生感悟到生活中处处有数学。
试卷积极创设探索思考空间，如第17题.试判断OE和AB的位置关系；第21随着旋转角α的变化探索四边形EDBC的形状，对各种形状图形求AD的长，激发了考生的探究欲望；第19题判断他们能否在汽车报警前回到家? 请说明理由.很好地考查了学生“观察——发现——自主探索”的思维过程、用数学知识和数学思想方法解决综合问题的能力，以及学生的创新意识和能力。
2024年河南省中考数学真题(解析版)
2024年河南省普通高中招生考试试卷数学注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1.如图，数轴上点P 表示的数是（）A.1-B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P 表示的数为1-，从而求解．【详解】解：根据题意可知点P 表示的数为1-，故选：A ．2.据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A.8578410⨯B.105.78410⨯ C.115.78410⨯ D.120.578410⨯【答案】C 【解析】【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，确定a 和n 的值是解题的关键．用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：5784亿11578400000000 5.78410==⨯．故选：C ．3.如图，乙地在甲地的北偏东50︒方向上，则∠1的度数为（）A.60︒B.50︒C.40︒D.30︒【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．【详解】解：如图，由题意得，50BAC ∠=︒，AB CD ∥，∴150BAC ∠=∠=︒，故选：B ．4.信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可．从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面．【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形；故选A ．5.下列不等式中，与1x ->组成的不等式组无解的是（）A.2x >B.0x < C.<2x - D.3x >-【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．【详解】根据题意1x ->，可得1x <-，A 、此不等式组无解，符合题意；B 、此不等式组解集为1x <-，不符合题意；C 、此不等式组解集为<2x -，不符合题意；D 、此不等式组解集为31x -<<-，不符合题意；故选：A6.如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =，则EF 的长为（）A.12B.1C.43D.2【答案】B 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出14CE AC =，证明CEF CAB ∽△△，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵四边形ABCD 是平行四边形，∴12OC AC =，∵点E 为OC 的中点，∴1124CE OC AC ==，∵EF AB ∥，∴CEF CAB ∽△△，∴EF CE AB AC =，即144EF =，∴1EF =，故选：B ．7.计算3···a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个的结果是（）A.5aB.6a C.3a a + D.3aa 【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．【详解】解：()()333···aaa a a a aa == 个，故选D8.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）A.19B.16C.15D.13【答案】D 【解析】【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．【详解】解：把3张卡片分别记为A 、B 、C ，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，∴两次抽取的卡片图案相同的概率为3193=．故选∶D ．9.如图，O 是边长为ABC 的外接圆，点D 是 BC的中点，连接BD ，CD ．以点D 为圆心，BD 的长为半径在O 内画弧，则阴影部分的面积为（）A.8π3B.4πC.16π3D.16π【答案】C 【解析】【分析】过D 作DE BC ⊥于E ，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出120BDC ∠=︒，利用弧、弦的关系证明BD CD =，利用三线合一性质求出12BE BC ==，1602BDE BDC ∠=∠=︒，在Rt BDE △中，利用正弦定义求出BD ，最后利用扇形面积公式求解即可．【详解】解∶过D 作DE BC ⊥于E ，∵O 是边长为ABC 的外接圆，∴B C =，60A ∠=︒，180∠+∠=︒BDC A ，∴120BDC ∠=︒，∵点D 是 BC的中点，∴ BDCD =，∴BD CD =，∴12BE BC ==，1602BDE BDC ∠=∠=︒，∴4sin sin 60BE BD BDE ===∠︒，∴21204163603ππS ⋅==阴影，故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键．10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（）A.当440W P =时，2AI = B.Q 随I 的增大而增大C.I 每增加1A ，Q 的增加量相同D.P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多【答案】C 【解析】【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．【详解】解∶根据图1知：当440W P =时，2A I=，故选项A 正确，但不符合题意；根据图2知：Q 随I 的增大而增大，故选项B 正确，但不符合题意；根据图2知：Q 随I 的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C 错误，符合题意；根据图1知：I 随P 的增大而增大，又Q 随I 的增大而增大，则P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多，故选项D 正确，但不符合题意；故选：C ．二、填空题（每小题3分，共15分）11.请写出2m 的一个同类项：_______．【答案】m （答案不唯一）【解析】【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．【详解】解：2m 的一个同类项为m ，故答案为：m12.2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为___________分．【答案】9【解析】【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数．根据众数的概念求解即可．【详解】解：根据得分情况图可知：9分数的班级数最多，即得分的众数为9．故答案为：9．13.若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为___________．【答案】12##0.5【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=-，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：()21Δ1402c =--⨯=，再求解即可．【详解】解∶∵方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，∴()21Δ1402c =--⨯=，∴12c =，故答案为：12．14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20-，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为___________．【答案】()3,10【解析】【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，先判断四边形AOGD 是矩形，得出OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，根据折叠的性质得出BF BC a ==，CE FE =，在Rt BOF △中，利用勾股定理构建关于a 的方程，求出a 的值，在Rt EGF 中，利用勾股定理构建关于CE 的方程，求出CE 的值，即可求解．【详解】解∶设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，则四边形AOGD 是矩形，∴OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，∵折叠，∴BF BC a ==，CE FE =，∵点A 的坐标为()20-，，点F 的坐标为()06，，∴2AO =，6FO =，∴2BO AB AO a =-=-，在Rt BOF △中，222BO FO BF +=，∴()22226a a -+=，解得10a =，∴4FG OG OF =-=，8GE CD DG CE CE =--=-，在Rt EGF 中，222GE FG EF +=，∴()22284CE CE -+=，解得5CE =，∴3GE =，∴点E 的坐标为()3,10，故答案为：()3,10．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．15.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为_________，最小值为_________.【答案】①.1+##1+②.1-##1-+【解析】【分析】根据题意得出点D 在以点C 为圆心，1为半径的圆上，点E 在以AB 为直径的圆上，根据cos AE AB BAE =⋅∠，得出当cos BAE ∠最大时，AE 最大，cos BAE ∠最小时，AE 最小，根据当AE与C 相切于点D ，且点D 在ABC 内部时，BAE ∠最小，AE 最大，当AE 与C 相切于点D ，且点D 在ABC 外部时，BAE ∠最大，AE 最小，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，3CA CB ==，∴190452BAC ABC ∠=∠=⨯︒=︒，∵线段CD 绕点C 在平面内旋转，1CD =，∴点D 在以点C 为圆心，1为半径的圆上，∵BE AE ⊥，∴90AEB ∠=︒，∴点E 在以AB 为直径的圆上，在Rt ABE △中，cos AE AB BAE =⋅∠，∵AB 为定值，∴当cos BAE ∠最大时，AE 最大，cos BAE ∠最小时，AE 最小，∴当AE 与C 相切于点D ，且点D 在ABC 内部时，BAE ∠最小，AE 最大，连接CD ，CE ，如图所示：则CD AE ⊥，∴90ADE CDE ∠=∠=︒，∴AD =∵ AC AC=，∴45CED ABC ==︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，∴CDE 为等腰直角三角形，∴1DE CD ==，∴1AEAD DE =+=+，即AE 的最大值为1+；当AE 与C 相切于点D ，且点D 在ABC 外部时，BAE ∠最大，AE 最小，连接CD ，CE ，如图所示：则CD AE ⊥，∴90CDE ∠=︒，∴22223122AD AC CD --=∵四边形ABCE 为圆内接四边形，∴180135CEA ABC =︒-=︒∠∠，∴18045CED CEA =︒-=︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，∴CDE 为等腰直角三角形，∴1DE CD ==，∴221AE AD DE =-=-，即AE 的最小值为21-；故答案为：221+；21-．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出AE 取最大值和最小值时，点D 的位置．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：(025013-；（2）化简：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭．【答案】（1）9（2）2a +【解析】【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：（1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可；（2）先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可．【详解】解：（1）原式1=-101=-9=；（2）原式()()3212222a a a a a a -+⎛⎫=+÷ ⎪--+-⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⋅-+2a =+．17.为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题．（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误()1⨯-，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．【答案】（1）甲29（2）甲（3）乙队员表现更好【解析】【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶（1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可；（2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可；（3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可．【小问1详解】解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的的得分上下波动幅度，∴得分更稳定的队员是甲，乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，∴中位数为2830292+=，故答案为∶乙，29；【小问2详解】解∶因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好；【小问3详解】解∶甲的综合得分为()26.518 1.52136.5⨯+⨯+⨯-=，乙的综合得分为()26110 1.53138⨯+⨯+⨯-=，∵36.538<，∴乙队员表现更好．18.如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A ．（1）求这个反比例函数的表达式．（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象．（3）将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．【答案】（1）6y x=（2）见解析（3）92【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解即可；（2）分别求出1x =，2x =，6x =对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；（3）求出平移后点E 对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．【小问1详解】解：反比例函数k y x =的图象经过点()3,2A ，∴23k =，∴6k =，∴这个反比例函数的表达式为6y x =；【小问2详解】解：当1x =时，6y =，当2x =时，3y =，当6x =时，1y =，∴反比例函数6y x=的图象经过()1,6，()2,3，()6,1，画图如下：【小问3详解】解：∵()6,4E 向左平移后，E 在反比例函数的图象上，∴平移后点E 对应点的纵坐标为4，当4y =时，64x =，解得32x =，∴平移距离为39622-=．故答案为：92．19.如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，∥BE DC 交AC 的延长线于点E ．（1）请用无刻度的直尺和圆规作ECM ∠，使ECM A ∠=∠，且射线CM 交BE 于点F （保留作图痕迹，不写作法）．（2）证明（1）中得到的四边形CDBF 是菱形【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；（2）先证明四边形CDBF是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出12CD BD AB==，最后根据菱形的判定即可得证．【小问1详解】解：如图，；【小问2详解】证明：∵ECM A∠=∠，∴CM AB∥，∵∥BE DC，∴四边形CDBF是平行四边形，∵在Rt ABC△中，CD是斜边AB上的中线，∴12CD BD AB==，∴平行四边形CDBF是菱形．20.如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时APB∠为最大视角．（1）请仅就图2的情形证明APB ADB∠>∠．（2）经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）．【答案】（1）见解析（2）塑像AB 的高约为6.9m 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：（1）连接BM ，根据圆周角定理得出AMB APB ∠=∠，根据三角形外角的性质得出AMB ADB ∠>∠，然后等量代换即可得证；（2）在Rt AHP 中，利用正切的定义求出AH ，在Rt BHP △中，利用正切的定义求出BH ，即可求解．【小问1详解】证明：如图，连接BM ．则AMB APB ∠=∠．∵AMB ADB ∠>∠，∴APB ADB ∠>∠．【小问2详解】解：在Rt AHP 中，60APH ∠=︒，6PH =．∵tan AH APH PH ∠=，∴tan 606AH PH =⋅︒==∵30APB ∠=︒，∴603030BPH APH APB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．在Rt BHP △中，tan BH BPH PH ∠=，∴tan 3063BH PH =⋅︒=⨯=．∴()4 1.73 6.9m AB AH BH =-=≈⨯≈．答：塑像AB 的高约为6.9m ．21.为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包（2）选用A种食品3包，B种食品4包【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质”列方程组求解即可；（2）设选用A种食品a包，则选用B种食品()7-a包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于90g”列不等式求解即可．【小问1详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得7009004600, 101570.x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组，得4,2. xy=⎧⎨=⎩答：选用A种食品4包，B种食品2包．【小问2详解】解：设选用A 种食品a 包，则选用B 种食品()7-a 包，根据题意，得()1015790a a +-≥．∴3a ≤．设总热量为kJ w ，则()70090072006300w a a a =+-=-+．∵2000-<，∴w 随a 的增大而减小．∴当3a =时，w 最小．∴7734a -=-=．答：选用A 种食品3包，B 种食品4包．22.从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =-+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．（1）小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）．（2）若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】（1）010v （2）()20m /s （3）小明的说法不正确，理由见解析【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（2）把010v t =，20h =代入205h t v t =-+求解即可；（3）由（2），得2520h t t =-+，把15h =代入，求出t 的值，即可作出判断.【小问1详解】解：205h t v t=-+220051020v v t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当010v t =时，h 最大，故答案为：010v ；【小问2详解】解：根据题意，得当010v t =时，20h =，∴20005201010v v v ⎛⎫-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，∴()020m /s v =（负值舍去）；【小问3详解】解：小明的说法不正确．理由如下：由（2），得2520h t t =-+，当15h =时，215520t t =-+，解方程，得11t =，23t =，∴两次间隔的时间为312s -=，∴小明的说法不正确．23.综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．（1）操作判断用分别含有30︒和45︒角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．（2）性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB AD =，AC 是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC m =，DC n =，2BCD θ∠=，求AC 的长（用含m ，n ，θ的式子表示）．（3）拓展应用如图3，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，分别在边BC ，AC 上取点M ，N ，使四边形ABMN 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN 的长．【答案】（1）②④（2）①ACD ACB ∠=∠．理由见解析；②2cos m nθ+（3）5或7【解析】【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；（2）①延长CB 至点E ，使BE DC =，连接AE ，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出ABE D ∠=∠，证明()SAS ABE ADC ≌，得出E ACD ∠=∠，AE AC =，根据等边对等角得出E ACB ∠=∠，即可得出结论；②过A 作AF EC ⊥于F ，根据三线合一性质可求出2m n CF +=，由①可得ACD ACB θ∠=∠=，在Rt AFC △中，根据余弦的定义求解即可；（3）分AB BM =，AN AB =，MN AN =，BM MN =四种情况讨论即可．【小问1详解】解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，故答案为：②④；【小问2详解】解：①ACD ACB ∠=∠，理由：延长CB 至点E ，使BE DC =，连接AE ，∵四边形ABCD 是邻等对补四边形，∴180ABC D ∠+∠=︒，∵180ABC ABE ∠+∠=︒，∴ABE D ∠=∠，∵AB AD =，∴()SAS ABE ADC ≌，∴E ACD ∠=∠，AE AC =，∴E ACB ∠=∠，∴ACD ACB ∠=∠；②过A 作AF EC ⊥于F ，∵AE AC =，∴()()1112222m n CF CE BC BE BC DC +==+=+=，∵2BCD θ∠=，∴ACD ACB θ∠=∠=，在Rt AFC △中，cos CF θAC=，∴cos 2cos CF m n AC θθ+==；【小问3详解】解：∵90B Ð=°，3AB =，4BC =，∴225AC =AB +BC ，∵四边形ABMN 是邻等对补四边形，∴180ANM B ∠+∠=︒，∴90ANM =︒，当AB BM =时，如图，连接AM ，过N 作NH BC ⊥于H ，∴22218AM AB BM =+=，在Rt AMN 中222218MN AM AN AN =-=-，在Rt CMN 中()()22222435MN CM CN AN =-=---，∴()()22218435AN AN -=---，解得 4.2AN =，∴45CN =，∵90NHC ABC ∠=∠=︒，C C ∠=∠，∴NHC ABC ∽ ，∴NC NH CH AC AB CB ==，即45534NH CH ==，∴1225NH =，1625CH =，∴8425BH =，∴BN ==；当AN AB =时，如图，连接AM ，∵AM AM =，∴Rt Rt ABM ANM ≌，∴BM NM =，故不符合题意，舍去；当AN MN =时，连接AM ，过N 作NH BC ⊥于H ，∵90MNC ABC ∠=∠=︒，C C ∠=∠，∴CMN CAB ∽△△，∴CN MN BC AB =，即543CN CN -=，解得207CN =，∵90NHC ABC ∠=∠=︒，C C ∠=∠，∴NHC ABC ∽ ，∴NC NH CH AC AB CB ==，即207534NH CH ==，∴127NH =，167CH =，∴127BH =，∴BN ==；当BM MN =时，如图，连接AM ，∵AM AM =，∴Rt Rt ABM ANM ≌，∴AN AB =，故不符合题意，舍去；综上，BN 的长为1225或7．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．。
中考数学压轴题预测,压轴题解题策略,解题技巧,专项训练完整版
最新中考数学压轴题展望，压轴题解题策略，解题技巧，专项训练数学综压轴题是为观察考生综合运用知识的能力而设计的，集中表现知识的综合性和方法的综合性，多半为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的分析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
求已知函数的分析式主要方法是待定系数法，重点是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（分析法）。
几何型综合题：是先给定几何图形，依据已知条件进行计算，而后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的分析式，求函数的自变量的取值范围，最后依据所求的函数关系进行研究研究。
一般有：在什么条件以下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或研究两个三角形知足什么条件相像等，或研究线段之间的数目、地点关系等，或研究面积之间知足必定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数分析式的重点是列出包括自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
找等量关系的门路在初中主要有益用勾股定理、平行线截得比率线段、三角形相像、面积相等方法。
求函数的自变量的取值范围主假如找寻图形的特别地点（极端地点）和依据分析式求解。
而最后的研究问题变化多端，但少不了对图形的剖析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
解中考压轴题技术：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形联合思想，经过成立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，获得某些代数问题的解答。
重点是掌握几种常用的数学思想方法。
一是运用函数与方程思想。
以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其分析式、研究其性质。
二是运用分类议论的思想。
对问题的条件或结论的多变性进行观察和研究。
三是运用转变的数学的思想。
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一、 选择题压轴题
（2018年）10．（3分）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速
度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图
象，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
（2017年）14．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，
图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低
点，则△ABC的面积是 ．
（2016年）8．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆
时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（，0） D．（0，﹣）
（2015年）8．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、
O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1） D．（2016，0）
（2014年）8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出
发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），
线段AP的长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、 填空题压轴题
（2018年）15．（3分）如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，
连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE
并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 ．
（2017年）15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别
是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，
若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 ．
（2016年）15．（3分）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，
连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于
点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 ．
（2015年）15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边
BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为
等腰三角形，则DB′的长为 ．
三、22题几何类比探究应用综合题
（2018年）22．（10分）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填
空：
①的值为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延
长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=
，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
（2017年）22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，
AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是 PM=PN ，位置关系是 PM⊥PN ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形
状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最
大值．
（2016年）22．（10分）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．
填空：当点A位于 CB的延长线上 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 a+b （用
含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，
作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及
此时点P的坐标．
（2015年）22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边
BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
三、二次函数压轴题
（2018年）23．（11分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直
线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于
点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
（2017年）23．（11分）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于
点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点
重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”
的m的值．
（2016年）23．（11分）如图1，直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛
物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作
x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点
P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．