最新不定积分的基本公式与运算法

例6 已知某种商品的最大需求量为A（即价格为0时 的需求量），有关部门给出这种商品的需求量Q的变化 率模型为 Q(p)Aln2(1)p（也称边际需求），其中p
2 表示商品的价格，求这种商品的需求函数.
解 Q(p)[Aln2(1 2)pdp Aln2(12)pdp
Aln2 1 (1)pC ln22
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不定积分的基本运算法则
法则１ 两个函数代数和的不定积分等于各个函数 的不定积分的代数和，即
f ( x ) g ( x ) d x f ( x ) d x g ( x ) d x .
法则2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积 分符号外面，即
k f(x )d x k f(x )d x ( k 0 ) .
例4 求
2 x2 dx. 1 x2
解 12 xx22dx21 1 x2x 21dx
2111x2 dx
2 x 2 a r c t a n x C
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例5
csc2xdxcotxC
1 dxarcsinxC 1x2
11x2dxarctanxC
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问 下述公式右边的对数中为什么要加绝对值？
1xdxln x C.
讨论 当 x0时，有
（1） x 7 d x.
（2）
1 d x. x
（3） 3xex d x.
解 （1） x7dx1x7 1C1x8C .
பைடு நூலகம்
71
8
（2）
1dx
1
x2dx
1x11 2C2xC.
x
11
2
（3）
3xexdx(3e)xdx(3e)x C. ln(3e)
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lnx(lnx)1,
x 当 x0时，也有
ln x l(n x ) ( x ) 1 1
x xx
所以 ln | x | 是 1 x
的原函数.
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例1 求下列不定积分：
学院
College
t
dt.
若我们能求出上述不定积分，则可得运动方程 s s(t).
于是，将 t 3代入该方程，可求得制动点的距离为s ( 3 )
因此，我们的重点是研究不定积分的计算问题.
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1x22sinx3xC. 2
问：最后的结果为什么只写一个任意常数？
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直接积分法
定义 直接用积分基本公式与运算性质求不定积
分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（包括代数变
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依题意，当 t 0 时，s 0. 代入上式，得 C0. 于是，
得 s t 1 t2. 6
将 t 3 代入上式，得
s3132 1.5. 6
即列车在离站台1.5公里处开始制动.
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求
cos2
x dx. 2
解 利用降幂公式化简.
cos22 xdx1c2osxdx 121cosxdx
1xsinxC.
2
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案例4.2的解 求积分，得
s 1 1 3 t d t 1 d t 1 3 td t t 1 6 t2 C .
1dxxC xdx1 1x1C (1) 1xdxln x C ax dx ax C
lna
exdxexC
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sinxdxcosxC
cosxdxsinxC
sec2xdxtanxC
不定积分的基本公式与运算法
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分析
令 v 1 1 t 0, 3
得 t 3 , 即 3 分钟后列
车停下来. 设列车从制动点开始计算所运行的路程为s，
则
s
1
1 3
抽象归纳 不定积分的基本公式
F ( x ) f( x ) f( x ) d x F ( x ) C ( s i n x ) c o s x c o s x d x s i n x C ;
类似地，可以推导出其他基本积分公式：
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例2 求 (x2cosx3)dx.
解 (x2cosx3)dx
x d x 2 c o sx d x 3 d x x d x 2 c o sx d x 3 1 d x
形与三角变形），再利用积分的基本公式与运算法则求不
定积分的方法叫做直接积分法．
例3
求
x 12
x
d x.
解
x x12dxx2x 2x1dx
x21 x dx1 2x22xlnx C .
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