随机系统的自适应控制

(5.2.11)
其中 x1 ∈ R, x2 ∈ R 表示系统状态， ϕ1 : R → Rn ,ϕ2 : R → Rn ， g1 : R → Rr , g2 : R → Rr 是 已 知 的 向 量 非 线 性 函 数 且 满 足 局 部
n
Lipschitz
条 件 及
ϕ1 ( 0 ) =0，ϕ2 ( 0 ) =0 , g1 ( 0 ) =0，g 2 ( 0 ) =0 ，θ ∈ R 表示未知的参数向量，ω 为 r 维独
ˆ(0) = 0 ， 在仿真中， 选择控制参数 c = 0.5, γ = 0.5 ， 初始条件设计为 x(0) = 0 ，θ
则 Simulink 模块图和仿真结果如图。
-0.5*u-0.5*u*(sin(u))^2 u*sin(u) 2.5*u^2 1 s Add Integrator Dot Product 0.5*u^3 -u^2 1/s Integrator1 Dot Product1 Add1 Scope1 Scope
n
n n
(5.1.1)
其中 x ∈ R ， f : R → R ，g : R → R 满足局部 Lipschitz 条件， 且 f (0) = 0, g(0) = 0 ， ω 为 r 维独立标准维纳过程。 定义 5.1：假设 Ω ⊂ R n 是一紧集，称系统(5.1.1)的平衡点 x = 0 是
n
n×r
(5.2.16)
设计：
⎧α = −c y − θ ˆTϕ ( y ) + β ( y ) 1 1 1 ⎪ 1 ⎪ ⎞ ∂α1 ∂α1 ∂α1 1 2 ∂2α1 ⎪ T ⎛ ˆ ˆ u cz θ ϕ y ϕ y x θ g1 ⋅ 2 + β2 ( y, z2 ) (5.2.17) = − − − ⋅ + ⋅ + + ⎨ 2 1 ( )⎟ 2 ⎜ 2( ) ˆ y y 2 ∂ ∂ ∂y θ ∂ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 3 ˆ ⎡ 3 ⎤ ⎪ ⎩θ = −θ = Γ ⎣ y ϕ1 ( y ) + z2 ⋅ w⎦ 将(5.2.17)代入(5.2.13)和(5.2.16)得：
γ 1 (| x |) ≤ V ( x) ≤ γ 2 (| x |) 且 LV ≤ −W ( x)
在概率意义下局部(或全局)一致有界，且满足
(5.1.5)
对于 ∀t ≥ 0 和 ∀x0 ∈ Ω ( ∀x ∈ R n )成立，其中 W 是连续非负函数，则平衡点 x = 0 和
P{lim W ( x(t )) = 0} = 1
2 ⎡ ⎛ ⎞ ∂α ⎡ ∂α ⎤ ∂α ∂α ˆ 1 2 ∂ α1 ⎤ dz2 = ⎢u + θ T ⎜ ϕ2 ( y ) − 1 ⋅ ϕ1 ( y ) ⎟ − 1 ⋅ x2 − 1 θ − g1 ⋅ 2 ⎥ dt + ⎢− 1 ⋅ g1 ( y ) + g2 ( y ) ⎥ dw ˆ 2 ∂y ∂y ⎦ ∂θ ⎝ ⎠ ∂y ⎣ ∂y ⎦ ⎣

(5.2.6)
V =V (X )+
ˆ 。由(5.2.4)- (5.2.6)得 = θ −θ 其中 θ1 2 θ 2γ(5.2.7)
1 2 L⎡ ⎣V ⎤ ⎦ = −cx + xθ f ( x ) + ⋅ θ ⋅ θ
γ
⎡ xf ( x ) + 1 ⋅ θ ⎤ = −cx 2 + θ ⎢ γ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ xf ( x ) − 1 ⋅ θ ˆ = γ ⋅ x ⋅ f ( x) ） ˆ ⎤ （取 θ = −cx 2 + θ ⎢ ⎥ γ ⎦ ⎣
p lim x ( x ) = 0 = 1 且 p {闭环信号有界} = 1 。
t →∞
{
}
(5.2.2)
由于 f (0) = 0, g(0) = 0 ，基于微分中值定理，存在非线性函数 f ( x), g ( x) 使得
| g ( x) ||≤| x | g ( x)
选择 Lyapunov 函数: V ( x ) =
选择 Lyapunov 函数
V=
则
1 4 1 4 1 T −1 y + z2 + θ Γ θ 4 4 2
(5.2.20)
⎤ ⎞ ∂α1 3 T 2 3 ⎡ T T ⎛ ⎤ L [V ] = y 3 ⎡ ⎣ z2 − c1 y + θ ϕ1 ( y ) + β1 ( y ) ⎦ + 2 tr { g1 ( y ) ⋅ y ⋅ g1 ( y )} + z2 ⎢ −cz2 + θ ⎜ ϕ 2 ( y ) − ∂y ⋅ ϕ1 ( y ) ⎟ + β 2 ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
(5.1.7)
对于 ∀t ≥ 0 和 ∀x0 ∈ Ω ( ∀x ∈ R n )成立，则平衡点 x = 0 在概率意义下局部(或
52
自适应控制设计引论
全局)一致渐近稳定。 不等式 5.1 (Young 不等式)：设 x ∈ R n ， y ∈ R n ， p, q > 0 ，且 p −1 + q −1 = 1 ， 则有 1 1 x T y ≤ | x | p + | y |q (5.1.8) p q 特别地，如果 p = q = 2 ，则有
• 在概率意义下局部(全局)一致稳定，如果 ∀ε > 0 存在 γ (⋅) ∈ K ，使得 P{| x(t ) |≤ γ (| x0 |)} ≥ 1 − ε ， ∀t ≥ 0 ， ∀x0 ∈ Ω \ {0} ( ∀x0 ∈ R n \ {0} )
(5.1.2)
• 局部(全局)一致渐近稳定，如果 ∀ε > 0 ，存在 β (⋅,⋅) ∈ KL ，使得 P{| x(t ) |≤ β (| x0 |, t )} ≥ 1 − ε ， ∀t ≥ 0 ， ∀x0 ∈ Ω \ {0} ( ∀x0 ∈ R n \ {0} ) (5.1.3)
5.2 随机系统状态反馈自适应控制
在这一节，我们考虑参数化不确定随机系统的自适应控制设计方法，为了简 化我们先讨论一阶和二阶系统的情况。
5.2.1 一阶随机系统的自适应控制设计
考虑如下由 Ito 微分方程描述的一阶参数化随机系统
dx = [θ T f ( x) + u ]dt + g ( x)T dw
(5.2.13) (5.2.14)
ˆ 微分公式： 由 Ito
ˆ = L [α ] dt + dα1 g ( y ) dw d α1 y , θ 1 1 dy
( )
⎡ ∂α ⎞⎤ ∂α ˆ ∂ 2α ∂α 1 ⎛ T = ⎢ 1 ( x2 + θ T ϕ1 ( y ) ) + 1 θ + tr ⎜ g1 ( y ) ⋅ 21 ⋅ g1 ( y ) ⎟ ⎥ dt + 1 ⋅ g1 ( y ) dw ˆ 2 ⎝ ∂y ∂y ∂θ ⎠⎦ ⎣ ∂y (5.2.15)
5 time (s)
10
图 5.2.2：仿真结果
5.2.2 二阶随机系统的自适应控制设计
考虑如下由 Ito 微分方程描述的二阶参数化随机系统
⎧ dx1 = ( x2 + θ T ϕ1 ( y ) ) dt + g1 ( y ) dw ⎪ ⎪ T ⎨ dx2 = ( u + θ ϕ2 ( y ) ) dt + g 2 ( y ) dw ⎪ y = x1 ⎪ ⎩
t →∞
(5.2.12)
{
}
第五章 随机系统的自适应控制设计
55
采用 Backstepping 方法：令 z2 = x2 − α1 ( y,θ )
，则
dy = dx1 = ( z2 + α1 ( y,θ ) ) dt + g1 ( y ) dw
dz2 = ( u + θ T ϕ 2 ( y ) ) dt + g 2 ( y ) dw − dα1
t →∞
(5.1.6)
定理 5.2：考虑系统 (5.1.1)，假设 Ω ⊂ R n 是一紧集，若存在连续二次可微函 数 V ( x) ，和 γ 1 , γ 2 ∈ K ∞ 和 γ 3 ∈ K 使得
γ 1 (| x |) ≤ V ( x) ≤ γ 2 (| x |) 且 LV ≤ −γ 3 (| x |)
立标准维纳过程。 基于中值定理，存在 φ1 , g1 , φ2 , g 2 ，使得
ϕ1 ( y ) =y ⋅ ϕ1 ( y )，ϕ2 ( y ) =y ⋅ ϕ2 ( y ) , g1 ( y ) =y ⋅ g1 ( y )，g 2 ( y ) =y ⋅ g 2 ( y )
目标：设计 u ,使 P lim x ( t ) = 0 = 1
第五章 随机系统的自适应控制设计
51
第五章 随机系统的自适应控制设计
在这章，我们将近一步讨论随机系统的自适应控制方法。
5.1 随机微分方程的稳定性理论
由于实际环境中随机扰动普遍存在的，因此在控制领域中随机系统是一种非 常普遍的系统，对于随机系统有多种建模方法，但基于 Ito 微分方程描述的随机 系统是研究的相对比较多的一种随机系统模型，在这一节，我们就这类系统的稳 定性进行讨论。 考虑随机微分方程 考虑以下 Ito 随机微分方程描述的动力系统 dx = f ( x)dt + g ( x)dω
Band-Limited White Noise
图 5.2.1：Simulink 模块图
54
自适应控制设计引论
4 3 2 1 0
5 4 3
θ
2 1 0 5 time (s) 10 0 0 5 time (s) 10 2 0 w -2 0 5 time (s) 10 -4 0
x u
0 -10 -20 -30 -40
T dy = ⎡ ⎣ z2 − c1 y + θ ϕ1 ( y ) + β1 ( y ) ⎤ ⎦ dt + g1 ( y ) dw