2.3简谐波2.4波叠加

点P 振动方程
x y P A cos (t - ) u

x t u
点P
t 时刻点 P 的运动
如果原点的 初相位不为零
y
A
O
u

x
x 0 , 0 - A
点 O 振动方程
yO A cos(t )
u沿x 轴正向
波 函 数
x y A cos[ (t - ) ] u


周期 T ：波前进一个波长的距离所需要 的时间. 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波 动所传播的完整波的数目.

1 T

波速 ：波动过程中，某一振动状态（即 振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
u
u
注意

T

u Tu
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
dW x 2 2 2 w A sin (t - ) dV u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 T 1 2 2 w wdt A T 0 2
二 波的能流和能流密度 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 平均能流：
P wu S
能流密度 ( 波的强度 ) I : 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流.

3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 向的运动情况（行波）.
y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x
x x
t x y A cos 2 π ( - ) (t , x) (t t , x x) T t x t t x ຫໍສະໝຸດ Baidu t x 2π ( - ) 2π ( ) T T T
同相位的.

体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能 均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零.
x dW dVA sin (t - ) u
2 2 2
2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .
能量密度：单位体积介质中的波动能量.
t x y A cos[ 2π ( - ) ] T
O
A

y
t 0 x0
π y 2 y 0, v 0 t
t x π y 1.0 cos[2 π( )- ] 2.0 2.0 2
2）求 t 1.0s 波形图.
t x π y 1.0 cos[2 π( )- ] 2.0 2.0 2
x y A cos[ (t ) ] u 沿 x 轴负向 u
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( - ) ] T λ y ( x, t ) A cos(t - kx )
质点的振动速度，加速度
y x v -A sin[ (t - ) ] t u 2 y x 2 a 2 - A cos[ (t - ) ] t u
ut
平 面 波 球 面 波
R1
O
R2
二 波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物 的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.
波 的 衍 射
水 波 通 过 狭 缝 后 的 衍 射
三 波的反射和折射（自学）
四
波的叠加原理

几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征 （频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来 的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.
比较得
2cm 2 -1 200 cm u 250 cm s T s 0.8 s T 0.01 2.5
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s )t - (0.01cm ) x].
-1 -1
解：方法二（由各物理量的定义解之）. 波长是指同一时刻 t ，波线上相位差为 2π 的两 点间的距离.
y 1.0 cos[π t - π]
y
3 4
O
y/m
1.0 2 0 -1.0*1 2 * 3 *
1

1.0
4 *
2.0
*
*
t /s
x 0.5 m 处质点的振动曲线
讨论 和
t x y - A cos 2π ( - ) (向x 轴正向传播 , π ) T x y - A cos (-t - ) (向x 轴负向传播 , π ) u 2）平面简谐波的波函数为 y A cos(Bt - Cx)
四 波线
波面
波前（波阵面）
波前 波面

*
球面波
波线
平面波
五 平面简谐波的波函数（S H W） 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称 为波函数.
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
2π 角波数 k
波函数的物理意义
x t x y A cos[ (t - ) ] A cos[ 2 π( - ) ] u T
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动 方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
x x - -2 π u λ y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
1 x 2 2 2 dWk dWp dVA sin (t - ) 2 u
体积元的总机械能
x dW dWk dWp dVA sin (t - ) u
2 2 2
讨论 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 x, t 作周期性变化，且变化是

-dC
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示， 求 O、a、b、c 各 点振动初相位.
t =0
y
A
O
u
a
b
t=T/4
c
(- π ~ π ) A o π O y


O
-A

O

x
A 0 b y
π c 2
A
y
π a 2
A
O

y
六
一
波的能量
波动能量的传播
当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在 其平衡位置附近振动，因而具有振动动能. 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.
u
udt
S
P I wu S 1 I A2 2u 2
例 证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比， 并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过 两个球面的能量相等.
s2
s1
r1
r2
1uS1 2uS2
即
式中
r 为离开波源的距离， A0 为 r r0 处的振幅.
1 1 2 2 2 2 A1 u 4π r1 A2 2u 4π r22 2 2 A0 r0 r A1 r2 y cos (t - ) r u A2 r1
2.4 波的叠加和干涉
一 惠更斯原理 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波 的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是 新的波前.
1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 x 0 点的初相位.
式中 A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方 向上相距为 d 的两点间的相位差.
y A cos(Bt - Cx)
2π T B
2π C
B u T C

t x y A cos 2 π ( - ) T
-2 π d
x ut
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s )t - (0.01cm ) x].
-1 -1
解：方法一（比较系数法）.
t x y A cos 2π ( - ) T
把题中波动方程改写成
2.50 -1 0.01 -1 y (5cm) cos 2π[( s )t - ( cm ) x] 2 2
x2 - x1 200 cm T t2 - t1 0.8 s
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A 1.0m ， 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标 T 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程 解 写出波动方程的标准式
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
x
dx
x
y dy
y
x
O O
x
dx
x
y dy
y
x
1 1 2 dWk dm v dV v 2 2 2 y x x y A cos (t - ) v -A sin (t - ) t u u 1 x 2 2 2 振动动能 dWk dVA sin (t - ) 2 u
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播）
特征：具有交替出现的密部和疏部.
波速
水表面的波 既非横波又 非纵波
三 波长 波的周期和频率 波速
A O -A
y
u

x
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相 位差为 2 π 的振动质点之间的距离，即一个完整 波形的长度.
真空
一 机械波的形成 机械波：机械振动在弹性介质中的传播.
产生条件：1）波源；2）弹性介质.
机械波的传播
波源 介质
+
弹性作用
机 械 波
注意
波是运动状态的传播，介质的 质点并不随波传播.
二 横波与纵波 横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ）
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
波线上各点的简谐运动图
x t x y A cos[ (t - ) ] A cos[ 2 π( - ) ] u T
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
t 1.0s
波形方程
y/m
1.0
π y 1.0 cos[ - π x] 2
1.0 sin π x
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
3）
x 0.5m 处质点的振动规律并做图 .
t x π y 1.0 cos[2 π( )- ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
-1 -1 π [(2.50s )t - (0.01cm-1 ) x1 ] -π [(2.50s )t -
(0.01cm ) x2 ] 2π
-1
x2 - x1 200 cm
x2 - x1 u 250 cm s -1 t2 - t1
周期为相位传播一个波长所需的时间
-1 -1 π [(2.50s )t1 - (0.01cm-1 ) x1 ] π [(2.50s )t2 - (0.01cm-1 ) x2 ]
2.3
简谐波
波动是振动的传播过程.
振动是激发波动的波源.
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 波动
两 类 波 的 不 同 之 处
电磁波 交变电磁场在空间的传播. 机械波的传播需 有传播振动的介质; 电磁波的传播可 不需介质.
两 类 波 的 共 同 特 征
能量传播 反射 折射 干涉 衍射
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令 原点O 的初相为 零，其振动方程 时间推 迟方法
yO A cos t
yO A cos t
点O 的振动状态
t-x/u时刻点O 的运动
x1 t x1 1 (t - ) 2 π ( - ) u T x2 t x2 2 (t - ) 2 π ( - ) u T
波程差
x21 x2 - x1
21 -2 π x21
x2 - x1 x21 12 1 - 2 2 π 2π
弹性势能 1 2 dWP k dy 2 F l E 杨氏模量 S l
O O
x
dx
y y dy
x x
SE k dx E
ES F l kl l
1 1 dy 2 2 dWP k dy ES dx( ) u 2 2 dx 1 2 dy 2 y x u dV ( ) - A sin (t - ) 2 dx x u u 1 x 2 2 2 dVA sin (t - ) 2 u