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等差数列提高练习题(有难度-高考要求)

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等差数列提高练习题（有难度高考要求）

等差数列提高练习题（有难度高考要求）

等差数列提高练习题（有难度高考要求）第一篇：等差数列提高练习题(有难度高考要求)智天教育练习题1.已知数列{an}中，a1=，an=2-351(n∈N+)；an-11an-1(n≥2,n∈N+)，数列{bn}满足bn=（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由2.（本小题满分10分）在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n（1）设bn=an,证明{bn}是等差数列;2n-1（2）求数列{an}的前n项和Sn。

3.（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn．(Ⅰ)设Sk=2550，求a和k的值；(Ⅱ)设bn=4.（本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,an+1=9Sn+10。

（I）求证：{lgan}是等差数列；Sn，求b3+b7+b11+⋅⋅⋅+b4n-1的值．n⎧⎫3（Ⅱ）设Tn是数列⎨⎬的前n项和，求Tn；(lga)(lga)nn+1⎭⎩2*（Ⅲ）求使Tn>(m-5m)对所有的n∈N恒成立的整数m的取值集合。

14智天教育练习题5.设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列⎨6.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且⎧an⎫⎬的前n项和Sn．⎩bn⎭a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式．（2）令bn=lna3n+1，n=1求数列{bn}的前n项和T．，2，7.在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=(1+q)an-qan-1（n≥2,q≠0）．（Ⅰ）设bn=an+1-an（n∈N），证明{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N，an是an+3与an+6的等差中项．**第二篇：等差数列练习题等差数列练习题班级：＿＿姓名：＿＿＿＿1．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为()A．130B．260C．156D．1682．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d 等于()A．1B.5C．2D．33．设Sa55S9n是等差数列{an}的前n项和，若a＝9，则S()A．1B．－1C．2D.14．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于()A.18B.20C.22D.245．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是()A．4B．5C．6D．76.在等差数列{aaa1n}中，若4＋a6＋a8＋10＋a12＝120，则a9－311的值为()A．14B．15C．16D．177．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是()A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值C．S30＝0D．S60＝08．已知两个等差数列{aAn7n＋45ann}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且B＝＋3，则使得bnnn 整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．5 9．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，则数列{bn}的前9项和等于________． 10.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__15______.11.等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n 项和为S⎧⎪Sn⎫⎪n，则数列⎨⎪⎩n⎭⎪的前10项和为________.12.若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数为________.13.已知数列{an}是等差数列．(1)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；(2)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．14.已知数列{a的前n项和为S⎛S⎫n}n，点 ⎝n,nn-1⎪⎭（n∈N+）均在函数y=3x-2的图像上，求数列{an}的通项公式。

(完整版)经典等差数列练习题(含答案),推荐文档

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A．13 项 B．14 项 C．15 项 D．16 项
3.已知等差数列的通项公式为an 3n a, a为常数，则公差 d=（ ）
4.首项为24 的等差数列从第10 项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ）
A. d 8 3
B. d 3
C. 8 d 3 3
D. 8 d 3 3
A．第 22 项 B．第 21 项 C．第 20 项 D．第 19 项 6. 已知数列a，-15，b，c，45 是等差数列，则 a+b+c 的值是( )
4．在等差数列{an}中，若 a4 a6 a8 a10 a12 120 ，则 2a10 a12
.
5.在首项为 31，公差为－4 的等差数列中，与零最接近的项是
6. 如果等差数列 an的第 5 项为 5 ，第 10 项为 5 ，则此数列的第 1个负数项
是第项.
7.已知{an }是等差数列，且 a4 a7 a10 57, a4 a5 a6 a14 77, 若ak 13, 则 k=
2 4 8 16
（ 6） 1 1 1 ，，
1 ，
，
1
……．
3 8 15 24 35
2. 成等差数列的四个数的和为 26 ，第二数与第三数之积为 40 ，求这四个数。
3. 已知等差数列{ an }中， a3 a7 16, a4 a6 0, 求{ an }的 通项公式
4. 数列通项公式为 an＝n2－5n＋4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值.
5.
在等差数列a
中，公差 d
n
1 ，前100 项的和 S 2
100
45Βιβλιοθήκη ，则 a1a3a

高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《等差数列》练习题（含答案）一、单选题1．若3与13的等差中项是4与m 的等比中项，则m =（ ） A ．12B ．16C ．8D ．202．在等差数列{}n a 中，49a =，且2410,,a a a 构成等比数列，则公差d 等于( ) A ．3-B ．0C ．3D ．0或33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7614,10S a ==，则{}n a 的公差为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且125a =，175b =，22120a b +=，则3737a b +的值为（ ） A ．760B ．820C ．780D ．8605．在等差数列{an }中，若a 2+2a 6+a 10＝120，则a 3+a 9等于（ ） A ．30B ．40C ．60D ．806．在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（ ） A ．107钱B ．102钱C ．101钱D ．94钱7．已知数列{an }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为Sn ，满足4325a a =+，则S 9=（ ） A ．35B ．40C ．45D ．50 8．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ） A ．4B ．8C ．32D ．649．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且126,,a a a 成等比数列，则公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设等差数列{}n a 的公差为d ，10a >，则“50a >”是“0d >”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若3710a a += ，则9S = （ ） A ．22.5B ．45C ．67.5D ．9012．在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和，7624a a =- ，则9S =（ ） A ．28 B ．30C ．32D ．36二、填空题13．记n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若24a =，420S =，则9a =_________.14．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．15．已知数列{}n a 中，11a =，()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-，则通项公式n a =______. 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，636S S =+，则7S =_____． 三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式．18．已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项； (3)展开式中所有有理项.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立，求实数λ的最小值．22．这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.①25a =，()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ；②25a =，()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ；③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1．B2．D3．A4．B5．C7．C8．D9．C10．B11．B12．D 13．18 14．6- 15．21nn - 16．717．（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+（2）设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18．（1）根据题意得，13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由3718a a +=，得112618a d a d +++=，解得2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-.（2）由（1）可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19．（1）因为221nn S n a n +=+，即222n n S n na n+=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----， 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-． 20．（1）n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=，依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以8的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . （3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由535S =得151035a d +=， 因为4a 是1a 与13a 的等比中项，所以()()2111312a d a a d +=+．化简得172a d =-且2123a d d =，解方程组得17,0a d ==或13,2a d==．故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+（其中N n *∈）；因为245n T n n =+，所以214(1)5(1)n T n n -=-+-，(2)n ≥，所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+，因为119b T ==，满足上式，所以()81N n b n n *=+∈；（2）因为14a <，所以21n a n =+， 所以(2)n S n n =+，所以221114488141n n S b n n n n ==-+---，所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大，从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立， 所以12λ≥，故λ的最小值为12.22．(1)解：选条件①时，25a =，1123n n n S S S +--+=，整理得()()113n n n n S S S S +----=，故13n n a a +-=（常数），且213a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-；选条件②时，25a =，()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ，整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--，故112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 是等差数列，公差213d a a =-=，故()13131n a a n n =+-=-； 选条件③时，()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ，且121S =， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，32为公差的等差数列，则()33121222n S n n n =+-=+，所以23122n S n n =+，则2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-，所以31n a n =-，*n ∈N . (2)解：由（1）得：31n a n =-，由于n b 是n a 、1n a +的等比中项，所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅，则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。

等差数列高三练习题

等差数列高三练习题

等差数列高三练习题高中数学是一门重要的学科，其中等差数列是基础且常见的一个概念。

为了帮助高三学生加强对等差数列的理解和应用能力，在本文中，我将提供一些等差数列的高中练习题。

希望这些练习题能够帮助学生们巩固所学知识，提高解题能力。

1. 求差是5的等差数列的前n项和公式。

2. 若等差数列的前项是a1=2，公差是d=3，求该等差数列的第50项。

3. 若等差数列的前项是a1=-1，公差是d=4，求该等差数列的前100项和。

4. 求差是2的等差数列的第10项与第20项的和。

5. 若等差数列的前项是a1=-3，公差是d=6，求该等差数列的前20项和。

6. 若等差数列的前项是a1=2，第n项是an=20，求公差d。

7. 若等差数列的前项是a1=5，第n项是an=50，求两者之间共有多少项。

8. 若等差数列的前项是a1=2，第n项是an=50，求两者之间的公差d。

9. 若等差数列的前项是a1=1，公差是d=3，求该等差数列的第40项。

10. 若等差数列的前项是a1=5，公差是d=2，求该等差数列的前50项和。

11. 若等差数列的前项是a1=10，公差是d=-2，求该等差数列的第20项。

通过以上练习题，我们可以对等差数列有一个更加深入的理解。

希望同学们在解题过程中，能够逐步掌握解等差数列题目的方法和技巧。

相信通过不断地练习，你们的数学水平会有一个显著提高。

这些练习题虽然简单，但蕴含的数学思维和逻辑性是我们学习数学的基础。

同时，这些题目也为我们以后更深入和复杂的数学问题奠定了基础。

因此，希望大家在解题的同时，能够保持耐心和坚持，相信一定能够取得好成绩。

总结通过以上的等差数列练习题，我们可以发现等差数列的规律和解题方法。

在解题过程中，我们需要明确等差数列的公式和性质，并结合给定的条件进行求解。

同时，多做题目能够提高我们的思维逻辑和数学运算能力。

希望同学们能够利用这些练习题，加强对等差数列的掌握，提高解题能力。

同时，还要注重数学知识的应用和实际问题的解决能力。

2024届高考数学数列进阶训练——(2)等差数列(含答案)

2024届高考数学数列进阶训练——(2)等差数列(含答案)

2024届高考数学数列进阶训练（2）等差数列1.已知{}n a 为等差数列，3928a a +=，则6a =()A.14B.16C.18D.202.《海岛算经》有如下问题：某地有一佛塔共13层，每层塔的高度依次构成等差数列，下面7层每层塔的高度之和为25.9米，第5层塔的高度为3.6米，则最上层的塔高为()A.3 B.2.9 C.2.8 D.2.73.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A.5 B.4 C.3 D.24.在等差数列{}n a 中，已知12342,24a a a a =++=，则456a a a ++等于()A.38B.39C.41D.425.已知数列{}n a 是单调递减的等差数列，2a 、4a 分别是方程2650x x -+=的两根，则5a =()A.7B.3C.1D.-16.已知在等差数列{}n a 中，2a 与6a 的等差中项为5，3a 与7a 的等差中项为7，则数列{}n a 的通项公式为()A.2n a n= B.21n a n =- C.21n a n =+ D.23n a n =-7.已知数列{}n a 满足11a =，且()11n n n a a a +=+，*n ∈N ，则122320202021a a a a a a +++= ()A.2021B.20202021C.202112D.202128.设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足93622S S S +-=，则2823a a 的最小值为()A.36B.24C.16D.89.有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S 和n T .若321nnSnT n =+，则121419271314a a a ab b b b +++=+++()A.2719B.107C.5135D.12710.已知数列{}n a 为等差数列，首项10a >，若100410051a a <-，则使得0n S >的n 的最大值为()A.2007B.2008C.2009D.201011.（多选）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为()d d *∈N ，若81是该数列中的一项，则公差d 可能的值是()A.2B.3C.4D.512.（多选）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有()A.9100a a ⋅< B.910a a > C.100b > D.910b b >13.（多选）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，1020S S =，则下列结论中正确的是()A.0d < B.160a <C.15n S S ≤ D.当且仅当32n ≥时，0n S <14.在数列{}n a 中，已知32a =，71a =，若11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则11a =____________.15.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若32236S S =+，则公差d =_______.16.直角三角形的三条边长成公差为1的等差数列，则最短边长为____________.17.已知数列{}n a 满足11a =，且()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式n a =__________.18.已知在数列{}n a 中，135a =，112n n a a -=-(2n ≥，*n ∈N )，数列{}n b 满足11n n b a =-()*n ∈N .（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.答案以及解析1.答案：A解析：因为3928a a +=，所以396142a a a +==，故选：A.2.答案：C解析：设该塔每层的高度自下而上依次构成的等差数列为{}n a ，公差为d ，则()17747725.92a a S a +===，4 3.7a ∴=，54 3.6 3.70.1d a a ∴=-=-=-，1349 2.8a a d ∴=+=，故选C.3.答案：C解析：由已知，515S S d -==奇偶，故3d =.4.答案：D解析：设等差数列{}n a 的公差为 d ，由12342,24a a a a =++=，得32624d ⨯+=，得45613,31242d a a a a d =∴++=+=.故选D.5.答案：D解析：求得方程265x x -+的两根分别为15x =，21x =，因为数列{}n a 为递减等差数列，所以25a =，41a =，易得公差为-2，则54(2)1a a =+-=-.故选D.6.答案：D解析：由题意，得264102a a a +==，则45a =，375142a a a +==，则57a =，故公差542d a a =-=，所以4(4)23n a a n d n =+-=-.7.答案：B解析：由11a =及1(1)n n n a a a +=+可知0n a ≠，所以11111n n n na aa a ++==+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为1的等差数列，所以1nn a =，即1n a n=，所以122320202021a a a a a a +++= 11111122320202021⨯+⨯++⨯= 1111112020112232020202120212021-+-++-=-= ，故选B.8.答案：C解析：由题意得()()936966322S S S S S S S +-=---=，则96633,,S S S S S --是以2为公差，3S 为首项的等差数列，设3(0)S x x =>，则63962,4S S x S S x -=+-=+，则()()()22222878996822123333(4)1688163a a a a S S a x x a a a a a S x x ++-+=====++≥+=++，当且仅当16x x =，即4x =时等号成立，所以2823a a 的最小值为16，故选C.9.答案：C解析：设等差数列{}n a ，{}n b 的公差分别为1d ，2d ，所以121419111111127131412121212131861213a a a a a a d a d a d b b b b b d b d b d b d +++++++++==++++++++++()()117991711129911717173483175183417217135a a a a S a db d b b b b T ++⨯======++⨯+.故选C.10.答案：B解析：数列{}n a 为等差数列，若100410051aa<-，则1004a 与1005a 异号.又首项10a >，则公差0d <，所以10040a >，10050a <，则10041005a a >-，即100410050a a +>.由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可得()()120082008100410052008100402a a S a a +==+>，()120091005200910052009200922009022a a a S a +⨯===<，所以使得0n S >的n 的最大值为2008.故选B.11.答案：ACD解析：811(1)n d =+- ，(1)80n d ∴-=，801d n ∴=-， n 和d 都为正整数，41n ∴=时，2d =，故选项A 正确；当3d =时，833n =，不成立，故选项B 错误；21n =时，4d =，故选项C 正确；17n =时，5d =，故选项D 正确.故选：ACD.12.答案：AD解析：对A ， 等比数列{}n a 的公比23q =-，9a ∴和10a 异号，9100a a ∴<，故A 正确；对B ，因为不确定9a 和10a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系，故B 不正确；对CD ，9a 和10a 异号，且99a b >且1010a b >，9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，又1120b => ，0d ∴<，910b b ∴>，故D 正确，10b ∴一定是负数，即100b <，故C 不正确.故选：AD.13.答案：ABC解析：因为在等差数列{}n a 中1020S S =，所以()11121920151650a a a a a a ++++=+= .又10a >，所以150a >，160a <，所以0d <，15n S S ≤，故A ，B ，C 正确；因为()1313116313102a a S a +==<，故D 错误.故选ABC.14.答案：12解析：由已知得31113a =+，71112a =+是等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第3项和第7项，其公差111237324d -==-，由此可得11711112(117)4112243d a a =+-=+⨯=++，解得1112a =.15.答案：2解析：因为32236S S =+，所以()()12312236a a a a a ++=++，化简得36d =，得2d =.16.答案：3解析：设最短边长为a ，则222(1)(2)a a a ++=+，解得3a =（舍去负值）.17.答案：23nn +解析：()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，()113312n n n n a a n --∴=+≥，即()113312n n n n a a n ---=≥.又11a =，1133a ⋅=，∴数列{}3n n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，()33112n n a n n ∴=+-⨯=+，∴数列{}n a 的通项公式23n nn a +=.18.（1）答案：证明见解析解析：因为112n n a a -=-，11n n b a =-，所以当2n ≥时，111111n n n n b b a a ---=---11111121n n a a --=--⎛⎫-- ⎪⎝⎭1111111n n n a a a ---=-=--.又111512b a ==--，所以数列{}n b 是以52-为首项、1为公差的等差数列.（2）答案：当3n =时，n a 取得最小值-1；当4n =时，n a 取得最大值3解析：由(1)知，72n b n =-，则121127n n a b n =+=+-.设函数2()127f x x =+-，易知()f x 在区间7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数.当3n =时，n a 取得最小值-1；当4n =时，n a 取得最大值3.。

高考数学压轴专题《等差数列》难题汇编doc

高考数学压轴专题《等差数列》难题汇编doc

一、等差数列选择题1．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．162．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．1393．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．804．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13B ．14C ．15D ．165．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72B ．90C ．36D ．456．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 8．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝29．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．1610．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．3511．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．4513．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10014．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（ ） A ．9 B ．5 C ．1 D ．5915．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．916．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7217．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7218．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 19．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．162二、多选题21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n nF n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦22．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列23．题目文件丢失！24．题目文件丢失！25．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 26．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝027．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．228．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202229．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C 2．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 3．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 4．A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 5．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 6．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 7．B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，故选：B. 8．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 9．A【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．D 【分析】设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 13．B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解.由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即21212k k b --=， 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B. 14．B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B 15．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 16．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===.【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 17．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 18．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 19．B 【分析】 由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43n n n a =+-=-， 因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14nb ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 20．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.二、多选题21．BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭1115()n F F n n -+=++， 令1nn n Fb -=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=-， 所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭以510-32-为公比的等比数列，所以1n n b -+， 所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题． 22．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.23．无 24．无25．ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数， 即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 26．ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 27．ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n ≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 28．BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 29．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 30．ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确；()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确；190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

高三数学 提高题专题复习等差数列选择题专项训练练习题含答案

高三数学 提高题专题复习等差数列选择题专项训练练习题含答案

一、等差数列选择题1．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a += B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=解析：B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B.2．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果 【详解】 解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43n n n a =+-=-， 因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14nb==，所以201220T b b b=++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+-=⨯-=，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n项和，解题的关键是由已知条件得221114n na a+-=，从而数列21na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求na=，14nb==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题3．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）A．3、8、13、18、23 B．4、8、12、16、20C．5、9、13、17、21 D．6、10、14、18、22解析：C【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字.【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a==，则712514716a ad--===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21.故选：C4．在数列{}n a中，11a=，且11nnnaana+=+，则其通项公式为na=（）A．211n n-+B．212n n-+C．221n n-+D．222n n-+解析：D【分析】先由11nnnaana+=+得出111n nna a+-=，再由累加法计算出2122nn na-+=，进而求出na.【详解】解：11nnnaana+=+，()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 5．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25 B ．11C ．10D ．9解析：D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ．6．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．13解析：B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B7．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．45解析：D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ．43C ．4D ．4-解析：C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ．9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B.10．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n na a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16解析：A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2n n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n =所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A11．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13C ．26D ．162解析：B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列解析：D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D.13．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ）A ．34000米B ．36000米C ．38000米D ．40000米解析：B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．0解析：A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解.15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14解析：C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C二、等差数列多选题16．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎫⎛⎥=- ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦解析：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=-⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭所以()()1nF n n +=⎝⎭()1115()n F F n n -+++， 令1nn n F b -=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=， 所以n b ⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭以51032为公比的等比数列，所以1n n b -=+， 所以()11152n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．17．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.18．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错；1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.19．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．3解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022 解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 22．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减 D ．数列{}n S 有最大值解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.23．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.25．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13． 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0． 对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

高三等差数列练习题及答案解析

高三等差数列练习题及答案解析

高三等差数列练习题及答案解析在高中数学的学习过程中，等差数列是一个非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将提供一些高三等差数列练习题并给出详细的答案解析。

希望这些题目能够帮助学生们更好地理解和掌握等差数列的性质和运算规律。

练习题一：已知等差数列的首项为a，公差为d。

若第7项等于2a+5d，第10项等于8a+11d，则求该等差数列的首项和公差。

解析：设该等差数列的首项为a，公差为d。

根据已知条件，我们可以列出以下方程组：a + 6d = 2a + 5d --(1)a + 9d = 8a + 11d --(2)我们先来解第一个方程：将方程(1)化简，得到：d = a --(3)然后，我们将方程(3)代入方程(2)，得到：a + 9(a) = 8a + 11(a)10a = 18a由此可知，a = 0。

将a代入方程(3)，得到：d = 0所以该等差数列的首项为0，公差也为0。

练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若前m项和为Sm，其中m < n，则求从第m+1项到第n项的和。

解析：设从第m+1项到第n项的和为Sn'，则根据等差数列的性质，有：Sn' = Sn - Sm练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若将每一项都乘以-1后得到新的数列，求新数列的前n项和。

解析：设新数列的前n项和为S'n。

根据等差数列的性质，有：S'n = -Sn练习题四：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若将每一项都平方后得到新的数列，求新数列的前n项和。

设新数列的前n项和为S''n。

根据等差数列的性质，有：S''n = a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+(n-1)d)^2我们可以利用平方公式将每一项展开，然后进行简化，得到：S''n = (n/6)(2a^2 + (n-1)d^2 + 4ad(n-1) + 2d^2(n-1)(2n-1))练习题五：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

高考数学压轴专题《等差数列》难题汇编

高考数学压轴专题《等差数列》难题汇编

一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24B ．36C ．48D ．642．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．803．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．04．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 5．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 6．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2 D ．a 6＝2 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列8．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．13910．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29B ．38C ．40D ．5811．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=12．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．278B ．52C ．3D ．413．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸14．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32015．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．1916．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10017．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．618．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．319．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =23．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =24．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．225．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+26．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为827．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥28．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ）A ．1n n a a d +=+（d 为常数）B ．数列{}n a -是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项29．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列30．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B 2．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 3．A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 4．C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.5．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 6．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 7．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 8．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-.故选：C. 9．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 10．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 11．B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=， 所以11298a d a d +=+，即1a d =-，所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选：A 13．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 14．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。

等差数列练习题及答案精选全文

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可编辑修改精选全文完整版等差数列练习题一、选择题1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数3、已知等差数列{}n a 的公差12d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120C ．135D ．160．4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）A. 0B. 90C. 180D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A.54S S <B.54S S =C. 56S S <D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 109、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．4D ．810．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 3+a 5=3，则S 5=（ ）A ．B ．5C ．7D ．9二．填空题1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若337++=n n T S n n ，则88a b = .7.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．三．解答题1、 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围； ②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.3、己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？4、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：（1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ； （2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.5、n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +n a 2=错误!未找到引用源。

高考数学数学等差数列选择题专项训练的专项培优练习题(附解析

高考数学数学等差数列选择题专项训练的专项培优练习题(附解析

一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m na a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 解析：D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断.2．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36 B ．48C ．56D ．72解析：A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 3．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25 B ．11C ．10D ．9解析：D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ．4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48 B ．60C ．72D ．24解析：A 【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A5．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．320解析：C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。

高中数学等差数列提高题(含答案解析)

高中数学等差数列提高题(含答案解析)

等差数列提高题第I卷徐荣先汇编一．选择题（共20小题）1．记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．82．等差数列{an }中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．363．已知Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．1204．等差数列{an }中，a3=5，a4+a8=22，则{an}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．1285．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．706．在等差数列{an }中，a9=a12+3，则数列{an}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．1327．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．78．一已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．1479．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．210．已知等差数列{an }的前n项和Sn，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．26011．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（）A．48 B．24 C．14 D．712．等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．26013．在等差数列{an }中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．10514．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．215．已知等差数列{an }，a1=50，d=﹣2，Sn=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．5116．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．417．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．4518．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．219．等差数列{an }中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{an}的前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．29720．等差数列{an }中，a2+a3+a4=3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6 二．选择题（共10小题）21．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= ．22．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d= ．23．已知等差数列{an }中，a1=1，a2+a3=8，则数列{an}的前n项和Sn= ．24．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，则S10的值是．25．设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= ．26．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=9﹣a6，则S8= ．27．设数列{an }是首项为1的等差数列，前n项和Sn，S5=20，则公差为．28．记等差数列{an }的前n项和为Sn，若，则d= ，S6= ．29．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4=4，则S7= ．30．已知等差数列{an }中，a2=2，a12=﹣2，则{an}的前10项和为．I卷答案一．选择题（共20小题）1．（2017•新课标Ⅰ）记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{an}的公差为4．故选：C．2．（2017•于都县模拟）等差数列{an }中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36【解答】解：∵等差数列{an }中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{an }的前9项和S9===．故选：C．3．（2017•江西模拟）已知Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．120【解答】解：由等差数列的性质可得：．故选：C．4．（2017•尖山区校级四模）等差数列{an }中，a3=5，a4+a8=22，则{an}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．128【解答】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，∴，故选：B．5．（2017•宁德三模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．70 【解答】解：在等差数列{an}中，由a2+a4+a9=24，得：3a1+12d=24，即a1+4d=a5=8．∴S9=9a5=9×8=72．故选：B．6．（2017•湖南一模）在等差数列{an }中，a9=a12+3，则数列{an}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．132【解答】解：在等差数列{an }中，a9=a12+3，∴，解a1+5d=6，∴数列{an }的前11项和S11=（a1+a11）=11（a1+5d）=11×6=66．故选：C．7．（2017•商丘三模）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴a4=﹣1+2×3=5．故选：B．8．（2017•葫芦岛一模）一已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【解答】解：等差数列{an }中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．9．（2017•南关区校级模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．2【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，∴，解得，d=．故选：A．10．（2017•锦州一模）已知等差数列{an }的前n项和Sn，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．260【解答】解：∵数列{an}为等差数列，∴2a3=a3，即a3=0又∵a11=20，∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130故选B．11．（2017•龙门县校级模拟）已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（）A．48 B．24 C．14 D．7【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵4S6+3S8=96，∴+=96，化为：a1+3d=2=a4．则S7==7a4=14．故选：C．12．（2017•大连模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．260【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，∴S13=（a1+a13）=（a4+a10）=20=130．故选：B．13．（2017•大东区一模）在等差数列{an }中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．105【解答】解：∵等差数列{an }中，Sn为其前n项和，a3+a4+a8=25，∴3a1+12d=25，∴，∴S9==9a5=9×=75．故选：B．14．（2017•延边州模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．15．（2017•金凤区校级四模）已知等差数列{an }，a1=50，d=﹣2，Sn=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．51【解答】解：由等差数列的求和公式可得，==0整理可得，n2﹣51n=0∴n=51故选D16．（2017•唐山一模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．4【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．则S5=5×（﹣4）+×2=0，故选：B．17．（2017•南关区校级模拟）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．45【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a 4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那∴a4+a6=18，∴S9===81．故选：B．18．（2017•宜宾模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．19．（2017•西宁模拟）等差数列{an }中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{an}的前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：∵等差数列{an }中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，∴3a3=39，3a7=27，解得a3=13，a7=9，∴数列{an}的前9项的和：S9===．故选：B．20．（2017•大庆二模）等差数列{an }中，a2+a3+a4=3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵等差数列{an }中，a2+a3+a4=3，S n 为等差数列{an}的前n项和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S5==5a3=5．故选：C．二．选择题（共10小题）21．（2017•榆林一模）设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= 49 ．【解答】解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是4922．（2017•宝清县校级一模）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d= 3 ．【解答】解：由等差数列的性质可得S3===3，解得a2=1，故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3故答案为：323．（2017•费县校级模拟）已知等差数列{an }中，a1=1，a2+a3=8，则数列{an}的前n项和Sn= n2．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，a2+a3=8，∴2×1+3d=8，解得d=2．则数列{an }的前n项和Sn=n+=n2．故答案为：n2．24．（2017•淮安四模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，则S10的值是110 ．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．25．（2017•盐城一模）设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= 63 ．【解答】解：∵{an }是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．26．（2017•乐山三模）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=9﹣a6，则S8=72 ．【解答】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：7227．（2017•凉山州模拟）设数列{an }是首项为1的等差数列，前n项和Sn，S5=20，则公差为．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵a1=1，S5=20，∴5+d=20，解得d=．故答案为：．28．（2017•鹿城区校级模拟）记等差数列{an }的前n项和为Sn，若，则d= 3 ，S6= 48 ．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵，∴+d=20，解得d=3．∴S6==48．故答案为：3，48．29．（2017•金凤区校级一模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4=4，则S7=28 ．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a4=4，∴S7=（a1+a7）=7a4=28．故答案为：28．30．（2017•衡阳三模）已知等差数列{an }中，a2=2，a12=﹣2，则{an}的前10项和为 6 ．【解答】解：∵等差数列{an }中，a2=2，a12=﹣2，∴，解得a1=2.4，d=﹣0.4，∴{an}的前10项和为：=6．故答案为：6．第II 卷一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D.252．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.123．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11D.124．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D.125．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D.－15二、填空题6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________.7．{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝________.8．若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1nn ＋1的前n 项和为S n ，且S n ＝1920，则n ＝________.[能力提升]1．如图2­2­4所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n等于( )图2­2­ 4A.3n22B.n n＋12C.3n n－12D.n n－123．(2015·安徽高考)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于________．资*源%库4．(2015·全国卷Ⅰ)S n为数列{a n}的前n项和．已知a n＞0，a2n＋2a n＝4S n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1anan＋1，求数列{b n}的前n项和．第III卷1．已知{a n}为等差数列，a1＝35，d＝－2，S n＝0，则n等于( ) A．33 B．34C．35 D．36【答案】 D【解析】本题考查等差数列的前n项和公式．由S n＝na1＋n n－12d＝35n＋n n－12×(－2)＝0，可以求出n＝36.2．等差数列{a n}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则数列前13项的和是( )A．13 B．26C．52 D．156【答案】 B【解析】3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24⇒6a4＋6a10＝24⇒a4＋a10＝4⇒S13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28.【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d2n 2＋n (a 1－d2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n n －12×4＝2n 2－17n ，所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧ 122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n n －12d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列，所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400【答案】 B 【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C【解析】 由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A【解析】 ⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n .＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36，S n ＝n a1＋a n2＝n×362＝234.∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( ) A．8 B．7C．6 D．5【答案】 D【解析】S奇＝6a1＋6×52×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋5×42×2d＝5(a1＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n，T n，已知SnTn＝7nn＋3，则a5b5等于( )A．7 B.2 3C.278D.214【答案】 D【解析】a5b5＝2a52b5＝a1＋a9b1＋b9＝92a1＋a992b1＋b9＝S9T9＝214.8．已知数列{a n}中，a1＝－60，a n＋1＝a n＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )A．445 B．765C．1 080 D．1 305【答案】 B【解析】a n＋1－a n＝3，∴{a n}为等差数列．∴a n＝－60＋(n－1)×3，即a n＝3n－63.∴a n＝0时，n＝21，a n>0时，n>21，a n<0时，n<21.S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则 ⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S 8＝8a1＋a82＝44.(2)由S n＝n a1＋a n2＝n－512＋12＝－1 022，解得n＝4.又由a n＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.【规律方法】一般地，等差数列的五个基本量a1，a n，d，n，S n，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a1和d，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n}，且满足a n＝40－4n，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】方法一：(二次函数法)∵a n＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，∴S n＝a1＋a n n2＝36＋40－4n2·n＝－2n2＋38n＝－2[n2－19n＋(192)2]＋1922＝－2(n－192)2＋1922.令n－192＝0，则n＝192＝9.5，且n∈N＋，∴当n＝9或n＝10时，S n最大，∴S n的最大值为S9＝S10＝－2(10－192)2＋1922＝180.方法二：(图象法)∵a n＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－4，S n ＝na1＋n n－12d＝36n＋n n－12·(－4)＝－2n2＋38n，点(n，S n)在二次函数y＝－2x2＋38x的图象上，S n有最大值，其对称轴为x＝－382×－2＝192＝9.5， ∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列． 令⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4n ＋1≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大． ∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m－1＝S m 同为S n 的最值．。

2023届高考数学复习：历年经典好题专项(等差数列)练习(附答案)

2023届高考数学复习：历年经典好题专项(等差数列)练习(附答案)

6 -1
=-1,a3=5,a4=4,∴a3a4=20.故选
6-1
当 a1=7,a6=2 时,d=
D.
6.C 把每段重量依次用 ai(i=1,2,…,20)表示,数列{an}是等差数列,由题意得





7.A 由已知


4,

2
1
1

1
3
3
两式相加得 a1+a20= (4+2)= ,所以 a10+a11=a1+a20= .故选 C.
.
围是
13.(历年浙江,11)我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列
是二阶等差数列.数列
( 1)
2
(n∈N*)的前 3 项和是
( 1)
2
.
14.在等差数列{an}中,a1=-8,a2=3a4.
(1)求数列{an}的通项公式;
4
(n∈N*),Tn 为数列{bn}的前
(14 )
(n∈N*),则该数列的通项公式为(
2
)
2
1
3

8.(多选)设{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 S7<S8,S8=S9>S10,则下列结论正确的是(
)
A.d<0
B.a9=0
C.S11>S7
D.S8,S9 均为 Sn 的最大值
9.(2018 北京,理 9)设{an}是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为
问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三
人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”这个问题中,戊所

新高考数学高考数学压轴题 等差数列选择题专项训练分类精编及答案(2)

新高考数学高考数学压轴题 等差数列选择题专项训练分类精编及答案(2)

一、等差数列选择题1．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21 D ．6、10、14、18、22解析：C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C2．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15 B ．30C ．3D ．64解析：A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A3．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020 D ．2021解析：B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈， 即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B4．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36 B ．48 C ．56 D ．72解析：A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.5．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．5解析：A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A6．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13 B ．26C ．52D ．56解析：B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B.7．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．13解析：B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 解析：D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++，()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 10．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16解析：A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2n n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A11．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7解析：A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A12．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．85解析：C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a k b k ⨯-==⨯-，故选：C ．13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ）A ．21B ．20C ．19D ．19或20解析：B 【分析】 由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 14．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4解析：A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．0解析：A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解.二、等差数列多选题16．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2 B ．5C ．3D ．4解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3． 故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 18．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列解析：ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD19．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S += B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.20．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.21．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k N k ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k kk aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k aa kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析：ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nnN，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ） A ．2n S n = B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．25．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。

高考数学一轮复习提高题专题复习等差数列多选题专项训练练习题附解析

高考数学一轮复习提高题专题复习等差数列多选题专项训练练习题附解析

高考数学一轮复习提高题专题复习等差数列多选题专项训练练习题附解析一、等差数列多选题1．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ）A ．0d <B ．120a >C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.2．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17a B ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -解析：BD 【分析】 由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；13518351835()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题. 3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0 B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =解析：ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a+⨯===，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题. 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21解析：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ；D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）. 解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列D ．数列{}3n a nd +是递增数列 解析：AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.7．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．0n a >C ．n S 最小值为214- D ．{}n a 为单调递增数列解析：AD 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-， 当1n =时，14a =-满足上式， 所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误，由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误， 故选：AD【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题8．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <解析：AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S = D ．15S 是最大值解析：CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上， 抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 10．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.11．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC12．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S += B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d S d -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.13．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立， 由12+n 递减，且1223n<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n ≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 14．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题15．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >解析：BC【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.16．题目文件丢失！17．题目文件丢失！ 18．题目文件丢失！19．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.20．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ）A ．0d >B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值 解析：BD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项： {}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确； 又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.。

高中数学等差数列提高题(含答案解析)

高中数学等差数列提高题(含答案解析)

等差数列提高题第I卷徐荣先汇编一．选择题（共20小题）1．记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．82．等差数列{an }中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．363．已知Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．1204．等差数列{an }中，a3=5，a4+a8=22，则{an}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．1285．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．706．在等差数列{an }中，a9=a12+3，则数列{an}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．1327．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．78．一已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．1479．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．210．已知等差数列{an }的前n项和Sn，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．26011．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（）A．48 B．24 C．14 D．712．等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．26013．在等差数列{an }中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．10514．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．215．已知等差数列{an }，a1=50，d=﹣2，Sn=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．5116．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．417．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．4518．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．219．等差数列{an }中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{an}的前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．29720．等差数列{an }中，a2+a3+a4=3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6 二．选择题（共10小题）21．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= ．22．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d= ．23．已知等差数列{an }中，a1=1，a2+a3=8，则数列{an}的前n项和Sn= ．24．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，则S10的值是．25．设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= ．26．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=9﹣a6，则S8= ．27．设数列{an }是首项为1的等差数列，前n项和Sn，S5=20，则公差为．28．记等差数列{an }的前n项和为Sn，若，则d= ，S6= ．29．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4=4，则S7= ．30．已知等差数列{an }中，a2=2，a12=﹣2，则{an}的前10项和为．I卷答案一．选择题（共20小题）1．（2017•新课标Ⅰ）记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{an}的公差为4．故选：C．2．（2017•于都县模拟）等差数列{an }中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36【解答】解：∵等差数列{an }中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{an }的前9项和S9===．故选：C．3．（2017•江西模拟）已知Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．120【解答】解：由等差数列的性质可得：．故选：C．4．（2017•尖山区校级四模）等差数列{an }中，a3=5，a4+a8=22，则{an}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．128【解答】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，∴，故选：B．5．（2017•宁德三模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．70 【解答】解：在等差数列{an}中，由a2+a4+a9=24，得：3a1+12d=24，即a1+4d=a5=8．∴S9=9a5=9×8=72．故选：B．6．（2017•湖南一模）在等差数列{an }中，a9=a12+3，则数列{an}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．132【解答】解：在等差数列{an }中，a9=a12+3，∴，解a1+5d=6，∴数列{an }的前11项和S11=（a1+a11）=11（a1+5d）=11×6=66．故选：C．7．（2017•商丘三模）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴a4=﹣1+2×3=5．故选：B．8．（2017•葫芦岛一模）一已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【解答】解：等差数列{an }中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．9．（2017•南关区校级模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．2【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，∴，解得，d=．故选：A．10．（2017•锦州一模）已知等差数列{an }的前n项和Sn，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．260【解答】解：∵数列{an}为等差数列，∴2a3=a3，即a3=0又∵a11=20，∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130故选B．11．（2017•龙门县校级模拟）已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（）A．48 B．24 C．14 D．7【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵4S6+3S8=96，∴+=96，化为：a1+3d=2=a4．则S7==7a4=14．故选：C．12．（2017•大连模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．260【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，∴S13=（a1+a13）=（a4+a10）=20=130．故选：B．13．（2017•大东区一模）在等差数列{an }中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．105【解答】解：∵等差数列{an }中，Sn为其前n项和，a3+a4+a8=25，∴3a1+12d=25，∴，∴S9==9a5=9×=75．故选：B．14．（2017•延边州模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．15．（2017•金凤区校级四模）已知等差数列{an }，a1=50，d=﹣2，Sn=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．51【解答】解：由等差数列的求和公式可得，==0整理可得，n2﹣51n=0∴n=51故选D16．（2017•唐山一模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．4【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．则S5=5×（﹣4）+×2=0，故选：B．17．（2017•南关区校级模拟）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．45【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a 4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那∴a4+a6=18，∴S9===81．故选：B．18．（2017•宜宾模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．19．（2017•西宁模拟）等差数列{an }中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{an}的前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：∵等差数列{an }中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，∴3a3=39，3a7=27，解得a3=13，a7=9，∴数列{an}的前9项的和：S9===．故选：B．20．（2017•大庆二模）等差数列{an }中，a2+a3+a4=3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵等差数列{an }中，a2+a3+a4=3，S n 为等差数列{an}的前n项和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S5==5a3=5．故选：C．二．选择题（共10小题）21．（2017•榆林一模）设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= 49 ．【解答】解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是4922．（2017•宝清县校级一模）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d= 3 ．【解答】解：由等差数列的性质可得S3===3，解得a2=1，故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3故答案为：323．（2017•费县校级模拟）已知等差数列{an }中，a1=1，a2+a3=8，则数列{an}的前n项和Sn= n2．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，a2+a3=8，∴2×1+3d=8，解得d=2．则数列{an }的前n项和Sn=n+=n2．故答案为：n2．24．（2017•淮安四模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，则S10的值是110 ．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．25．（2017•盐城一模）设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= 63 ．【解答】解：∵{an }是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．26．（2017•乐山三模）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=9﹣a6，则S8=72 ．【解答】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：7227．（2017•凉山州模拟）设数列{an }是首项为1的等差数列，前n项和Sn，S5=20，则公差为．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵a1=1，S5=20，∴5+d=20，解得d=．故答案为：．28．（2017•鹿城区校级模拟）记等差数列{an }的前n项和为Sn，若，则d= 3 ，S6= 48 ．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵，∴+d=20，解得d=3．∴S6==48．故答案为：3，48．29．（2017•金凤区校级一模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4=4，则S7=28 ．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a4=4，∴S7=（a1+a7）=7a4=28．故答案为：28．30．（2017•衡阳三模）已知等差数列{an }中，a2=2，a12=﹣2，则{an}的前10项和为 6 ．【解答】解：∵等差数列{an }中，a2=2，a12=﹣2，∴，解得a1=2.4，d=﹣0.4，∴{an}的前10项和为：=6．故答案为：6．第II 卷一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D.252．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.123．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11D.124．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D.125．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D.－15二、填空题6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________.7．{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝________.8．若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1nn ＋1的前n 项和为S n ，且S n ＝1920，则n ＝________.[能力提升]1．如图2­2­4所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n等于( )图2­2­ 4A.3n22B.n n＋12C.3n n－12D.n n－123．(2015·安徽高考)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于________．资*源%库4．(2015·全国卷Ⅰ)S n为数列{a n}的前n项和．已知a n＞0，a2n＋2a n＝4S n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1anan＋1，求数列{b n}的前n项和．第III卷1．已知{a n}为等差数列，a1＝35，d＝－2，S n＝0，则n等于( ) A．33 B．34C．35 D．36【答案】 D【解析】本题考查等差数列的前n项和公式．由S n＝na1＋n n－12d＝35n＋n n－12×(－2)＝0，可以求出n＝36.2．等差数列{a n}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则数列前13项的和是( )A．13 B．26C．52 D．156【答案】 B【解析】3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24⇒6a4＋6a10＝24⇒a4＋a10＝4⇒S13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28.【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d2n 2＋n (a 1－d2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n n －12×4＝2n 2－17n ，所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧ 122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n n －12d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列，所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400【答案】 B 【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C【解析】 由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A【解析】 ⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n .＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36，S n ＝n a1＋a n2＝n×362＝234.∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( ) A．8 B．7C．6 D．5【答案】 D【解析】S奇＝6a1＋6×52×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋5×42×2d＝5(a1＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n，T n，已知SnTn＝7nn＋3，则a5b5等于( )A．7 B.2 3C.278D.214【答案】 D【解析】a5b5＝2a52b5＝a1＋a9b1＋b9＝92a1＋a992b1＋b9＝S9T9＝214.8．已知数列{a n}中，a1＝－60，a n＋1＝a n＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )A．445 B．765C．1 080 D．1 305【答案】 B【解析】a n＋1－a n＝3，∴{a n}为等差数列．∴a n＝－60＋(n－1)×3，即a n＝3n－63.∴a n＝0时，n＝21，a n>0时，n>21，a n<0时，n<21.S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则 ⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S 8＝8a1＋a82＝44.(2)由S n＝n a1＋a n2＝n－512＋12＝－1 022，解得n＝4.又由a n＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.【规律方法】一般地，等差数列的五个基本量a1，a n，d，n，S n，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a1和d，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n}，且满足a n＝40－4n，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】方法一：(二次函数法)∵a n＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，∴S n＝a1＋a n n2＝36＋40－4n2·n＝－2n2＋38n＝－2[n2－19n＋(192)2]＋1922＝－2(n－192)2＋1922.令n－192＝0，则n＝192＝9.5，且n∈N＋，∴当n＝9或n＝10时，S n最大，∴S n的最大值为S9＝S10＝－2(10－192)2＋1922＝180.方法二：(图象法)∵a n＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－4，S n ＝na1＋n n－12d＝36n＋n n－12·(－4)＝－2n2＋38n，点(n，S n)在二次函数y＝－2x2＋38x的图象上，S n有最大值，其对称轴为x＝－382×－2＝192＝9.5， ∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列． 令⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4n ＋1≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大． ∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m－1＝S m 同为S n 的最值．。

高考真题与模拟训练 专题10 等差数列(解析版)

高考真题与模拟训练 专题10 等差数列(解析版)

专题10 等差数列第一部分 真题部分一、选择题1．（2021·北京高考真题）{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15kka kb ≤≤为常值，1288a =，596=a ，1192b =，则3b =（ ）A ．64B ．128C ．256D ．512【答案】B【解析】由已知条件可得5115a a b b =，则51519619264288a b b a ⨯===，因此，1531926412822b b b ++===. 故选：B.2．（2021·北京高考真题）数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】若要使n 尽可能的大，则1a ，递增幅度要尽可能小，不妨设数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为n S ， 则2n a n =+，1131311881002S +=⨯=<，12314121021002S +=⨯=>， 所以n 的最大值为11. 故选：C.3．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D【解析】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.4．（2019·全国高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 二、填空题5．（2021·江苏高考真题）已知等比数列{}n a 的公比为q ，且116a ，24a ，3a 成等差数列，则q 的值是___________. 【答案】4【解析】因为{}n a 为等比数列，且公比为q ， 所以21a a q =⋅，231a a q =⋅且10a ≠，0q ≠. 因为116a ，24a ，3a 成等差数列， 所以1321624a a a +=⨯，有21111624a a q a q +⋅=⨯⋅，28160q q -+=， 解得4q =. 故答案为：4.6．（2020·海南高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 【答案】232n n -【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.7．（2020·全国高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【答案】25 【解析】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d =解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =.故答案为：25.8．（2019·江苏高考真题）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____. 【答案】16.【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 9．（2019·全国高考真题（理））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4.【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 三、解答题10．（2021·天津高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈， （i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii）证明)*nk n N =∈【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈； 设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==∈； （II ）（i ）由题意，221441n n n n n b c b =++=， 所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22n n c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-==，所以112nn k k k k-==<， 设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n n nT =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-，所以1112422n nk nk kk n--==+⎫=-<⎪⎭11．（2021·全国高考真题）记n S是公差不为0的等差数列{}n a的前n项和，若35244,a S a a S==．（1）求数列{}n a的通项公式n a；（2）求使n nS a>成立的n的最小值．【答案】(1)26na n=-；(2)7.【解析】(1)由等差数列的性质可得：535S a=，则：3335,0a a a=∴=，设等差数列的公差为d，从而有：()()22433a a a d a d d=-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d=+++=-+-++-=-，从而：22d d-=-，由于公差不为零，故：2d=，数列的通项公式为：()3326na a n d n=+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a=-=-，则：()()214252nn nS n n n-=⨯-+⨯=-，则不等式n nS a>即：2526n n n->-，整理可得：()()160n n-->，解得：1n<或6n>，又n为正整数，故n的最小值为7.12．（2021·全国高考真题）已知数列{}n a满足11a=，11,,2,.nnna naa n++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n nb a=，写出1b，2b，并求数列{}n b的通项公式；（2）求{}n a的前20项和.【答案】（1）122,5b b==；（2）300.【解析】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a==+===+=++=又22211k ka a++=+，2122k ka a+=+，*()k N∈故2223k ka a+=+，即13n nb b+=+，即13n nb b+-=所以{}n b为等差数列，故()21331nb n n=+-⨯=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-，所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.13．（2021·全国高考真题（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】答案见解析【解析】选①②作条件证明③：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =.选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n =+=，所以是等差数列.选②③作条件证明①：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列； 当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.14．（2021·全国高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【解析】（1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n nb n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b nS b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.15．（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：x(1,e)e(e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为2663=<=，所以max ()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln k q k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．16．（2019·北京高考真题（文））设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）212n a n =-；（Ⅱ）30-. 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为234+10+8+6a a a ，，成等比数列，所以2324(+8)(+10)(+6)a a a =，即2(22)(34)d d d -=-，解得2d =，所以102(1)212n a n n =-+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知212n a n =-, 所以22102121112111()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--；当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-.第二部分 模拟训练1．若数列{}n a 为等差数列，且16a π=，32a π=，则20cos a =（ ）A ．12B C ．12-D ． 【答案】C 【解析】3126a a d π-== 201101963a a ππ=+⋅=201041cos coscos cos 3332a ππππ⎛⎫===+=- ⎪⎝⎭ 故选：C2．记n S 为数列{}n a 的前项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(8,14] B ．(14,18] C ．(18,20] D ．81(18,]4【答案】C【解析】解：由已知可得102n a n =-，由12n n a a --=-，所以数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2， 所以2(1)8(2)92n n n S n n n -=+⨯-=-+， 当n =4或5时， n S 取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n 满足n S k ≥， 所以满足条件的4n =和5n =， 因为3618S S ==，所以实数k 的取值范围是(]18,20． 故选：C ．3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=-，63a a =-，则下列数值中最大的是（ ）A ．416S B ．525S C ．636SD ．749S【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d，3518a S +=-，63a a =-，()111154+2+5+182+5+2a d a d a d a d ⨯⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩，解得17a =-，2d =，()217282n n n S n n n -=-+⨯=-，281n S n n ∴=-，可得2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增数列， 所以在416S ，525S ，536S ，749S 中，最大的为749S ． 故选：D.4．在正项等比数列{}n a 中.24a =.416a =.满足123m a a a a =21ma +.则m =（ ） A ．4 B ．3C ．5D ．8【答案】A【解析】由题意得公比2q ===， 首项21422a a q ===， ∴111222n n nn a a q --==⨯=，由21231m m a a a a a +=，()(1)12212331 (2)2222222m m m m m++++++===可得(1)2(1)222m m m ++=，解得4m =,故选：A.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+，若()1211n n n n n b a a ++=-⋅，则数列{}n b 的前n 项和n T =______.【答案】,12,1n nn n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数【解析】21122n S n n =+， 当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()2211111112222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦，满足11a =， n a n ∴=，()()()()12111++121111+1nn n n n n n n b a n n a n n +++=-⋅=-⋅=⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭-， 当n 为偶数时，111111111+122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1111111121+122334111n n T n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ,12,1n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+∴=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数.故答案为：,12,1n nn n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，23nn n a S +=，数列{}n b 满足()()211332n bn n a a n N *++=-∈，则数列{}n b 的前10项和为______． 【答案】65【解析】由23nn n a S +=知：11123n n n a S ++++=，则1112233n n n n n n a S a S ++++--=-，得1323n n n a a +-=⨯，∴121323n n n a a +++-=⨯，而()()211332n bn n a a n N *++=-∈， ∴1n b n =+，故数列{}n b 的前10项和为1010(211)652T ⨯+==， 故答案为：65.7．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数,,r s t ，使得,,r s t a a a 成等比数列，222,,r s t a a a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为___________.【答案】45【解析】设1(1)n a a n d =+-，0d ≠， 由题意,,r s t a a a 成等比数列，s t r s a a a a =，所以s t s t r s r s a a a a s t a a a a r s--===--， 222,,r s t a a a 也成等比数列，2222s t r s a a a a =，所以222222222222s t s t r s r s a a a a s t s t a a a a r s r s---====---， 所以s t r s a a a a =2222s t r s a a a a ==，所以s t r s a a a a =2222s t r s a a a a ==2222s s r r a a s s sa a r r r--===--， 1111(1)(1)s r a a s d a d sd s a a r d a d rd r+--+===+--+，所以10a d -=，1d a =． 1111(1)99099099012(1)22nnn n a na dS S n a a n d n -+++==+++-，4445<<，设9901()22n f n n =++，由勾形函数性质知()f n在上递减，在)+∞上递增，又*n N ∈， (45)45f =，990441(44)454422f =++=，所以()f n 的最小值为45．即1990nnS S a +的最小值为45．故答案为：45．8．已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩.设()f x 在[)()*22,2n n n -∈N上的最大值记作n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值为___________. 【答案】64【解析】由题意，函数()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩，当1n =时，[0,2)x ∈，此时()151f x x =--，此时函数()f x 在[0,2)上的最大值为()1151115f =--=，所以115a =，当2n =时，[2,4)x ∈，此时()()22f x f x =--，此时2[0,2)x -∈， 所以()()2215212133f x f x x x =--=----=--，此时函数()f x 在[2,4)[0,2)上的最大值为()3133313f =--=，所以213a =，当[22,2)x n n ∈-时，()15[(22)]2(1)15(22)12(1)f x f x n n x n n =-----=------， 此时函数()f x 的最大值为()172f n n =-，所以172n a n =-，当18,n n N +≤≤∈时，0n a >，当9,n n N +≥∈时，0n a <，所以n S 的最大值为8818()8(151)6422a S a +⨯+===. 故答案为：64.9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且41412S S -=.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足111,21n n b b T +==+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-，13n n b -=；（2）1133n n n T -+=-. 【解析】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且11a =， 又41412S S -=，则()12341412312a a a a a d +++-=++=， 所以2d =，则1(1)221n a n n =+-⋅=-；由121n n b T +=+可得121(2)n n b T n -=+≥， 两式相减得12n n n b b b +-=，13(2)n n b b n +=≥，又21213b T =+=， 所以213b b =，故{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n b -=.（2）设1213n n n n a n c b --==， 记{}n c 的前n 项和为n T .则0121135213333n n n T --=++++， 12311352133333n n n T -=++++， 两式相减得：121222221133333n n n n T --=++++-，11112212233122133313n n n n n n T -⎛⎫⨯- ⎪-+⎝⎭=+⨯-=--，所以1133n n n T -+=-.10．已知数列{}n a 满足31212311212121212n n n a a a a ++++=-++++，n *∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且21122n S n n k =-+，令2n n n c b a kn =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a =--；（2）()11122n n n n T +=+- ． 【解析】（1）当1n =时，11132a =-，132a ∴=-；当2n ≥时，由31212311212121212n n n a a a a ++++=-++++，①得31121231111212121212nn n a a a a ---++++=-++++，② ①-②得，111121222n n n n n a -=-=-+，112n n a ∴=--，132=-a 也符合，因此，数列{}n a 的通项公式为112n n a =--； （2）由题意，设等差数列{}n b 的公差为d ， 则()221111122222n n n d d d S nb n b n n n k -⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭， 11221220d d b k ⎧=⎪⎪⎪∴-=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得，1010b d k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()111n b b n d n ∴=+-=-；由（1）知，212n n n nc b a kn n =-+=+， 故123231*********2n n nT c c c c n ⎛⎫=++++=+++++++++ ⎪⎝⎭()()111111*********n n n n n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+=+--． 11．已知数列{}n a 满足0n a ≠恒成立.（1）若221n n n a a ka ++=且0n a >，当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（2）若2212n n n a a a ++=且0n a >，当11a =、4a =2a 以及n a 的通项公式；（3）若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，3[4,8]a ∈，20200a <，设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.【答案】（1）1 ；（2）2a ，()21n n a -=；（3）505143-【解析】（1）若221n n n a a ka ++=且0n a >，所以221lg lg n n n a a ka ++=，即21lg lg 2lg lg n n n a a k a ++=++，当{}lg n a 成等差数列时，21lg lg 2lg n n n a a a ++=+， 所以lg 0k =，解得：1k = ；（2）2212n n n a a a ++=，令1n =可得21322a a a =，即2322a a =，令2n =可得22432a a a =，即2232a =所以42224a =⨯，因为0n a >，所以32a =，解得2a =， 由2212n n n a a a ++=可得2112n n n na aa a +++=， 所以1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为21a a =2的等比数列，所以112n n na a -+=，所以0212a a =，1322a a =，2432a a =，212n nn a a --=， 以上式子累乘得：()()()()()()21211112101222122n n n n n n n n n na a --------++++-=⨯=⨯=⨯=，所以()21n n a -=，（3）由21312n n n n a a a a +++=-可得132412n n n n a a a a ++++=-， 所以22424111224n n n n n n a a a a a a +++++⎛⎫=-- ⎪=⎝⎭⨯， 因为0n a ≠，所以414n n a a +=，即44n n a a +=， 所以2505504202020162012444444k k a a a a a -=====，因为20200a <，所以504440a <，所以40a <，因为213412a a a a =-，所以341220a a a a =+即2432a a a =， ()()()202015920172610201837112019S a a a a a a a a a a a a =++++++++++++++()48122020a a a a +++++()()250425041214441444a a =+++++++++()250431444a +++++()250441444a +++++()()250412341444a a a a =+++++++，因为2432a a a =，3[4,8]a ∈，所以240a a >，因为40a <，所以20a <，所以()24a a +-≥=-24a a +≤-所以123431a a a a a +++≤-+-，令31y a =-+-2,t ⎡=⎣，21y t =--，对称轴为t =，是开口向上的抛物线，在2,t ⎡∈⎣单调递增，所以t =时取得最大值，故1234a a a a +++最大值为(211-=-，所以()()2504202012341444S a a a a =+++++++最大值为50550514141143---⨯=-.。

高三数学等差数列选择题专项训练单元 易错题难题测试提优卷

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一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24 B ．39C ．104D ．52解析：D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ．2．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项 B ．133项C ．134项D ．135项解析：D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.3．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．9解析：A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A4．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<解析：D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D.5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21 B ．15C ．10D ．6解析：C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C.6．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．13解析：B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =，所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20C ．25D ．30解析：B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B8．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．2解析：C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得．【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=，故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解．9．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220aa a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．320解析：C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。

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1.已知数列}{n a 中,53
1=a ,),2(121+-∈≥-=N n n a a n n ，数列}{n b 满足)(1
1+∈-=N n a b n n ; （1） 求证:数列}{n b 是等差数列；
（2） 求数列}{n a 中的最大值和最小值,并说明理由
2. （本小题满分10分) 在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+
（1）设,21
-=n n n a b 证明{}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

3. (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前三项为1,4,2,a a -记前n 项和为n S ． (Ⅰ）设2550k S =,求a 和k 的值；
(Ⅱ）设n n S b n
=
,求371141n b b b b -+++⋅⋅⋅+的值.
4. (本小题满分１2分)设数列{}n a 的前n 项和为11,10,910n n n S a a S +==+。

(I ）求证：{lg }n a 是等差数列; （Ⅱ）设n T 是数列13(lg )(lg )n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和,求n T ； (Ⅲ）求使21
(5)4
n T m m >-对所有的n N *∈恒成立的整数m 的取值集合。

5.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列,且111a b ==,3521a b +=，5313a b +=
(Ⅰ）求{}n a ,{}n b 的通项公式; （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
６.设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式．
(２）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．
7.在数列{}n a 中，11a =,22a =,且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）. (Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈)，证明{}n b 是等比数列；
(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．。

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