高中数学知识点总结_曲线与方程,圆的方程
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得： ，∵ ．
当2 时, =450， 为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3，它满足上述方程．
②当点M在x轴的下方时,y＜０，同理可得点M的轨迹方程为 ,
③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２．
综上所求点的轨迹方程为 ．
[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，
M（1，2），要存在实数k使得直线 与⊙C相离，当且仅当M点在圆外；方程x2+2ax+y2-a+2=0
变形为：(x+a2+y2= a2+a-2,M点在⊙C外 (1+a2+4>a2+a-2>0，解得：-7 或 a>1.
注：本题中a2+a-2>0是极易疏漏的一个潜在要求。
[巩固1]过点A（3，-2），B（2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是。
是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA
的最佳载体是直线MA、MB的斜率。
设M（x，y），∠MAB= ，则∠MBA=2 ，它们是直线
MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方
还是下方有关；以下讨论：
1 若点M在x轴的上方,
此时，直线MA的倾角为 ，MB的倾角为 -2 ，
（2 ）
曲线与方程、圆的方程
1．曲线C的方程为:f(x,y=0 曲线C上任意一点P（x0,y0）的坐标满足方程f(x,y=0，即f（x0,y0）=0；且以f(x,y=0的任意一组解（x0,y0）为坐标的点P（x0,y0）在曲线C上。
依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y的轨迹方程即求点P的坐标(x,y满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。
[举例1]方程 所表示的曲线是： （ ）
A B C D
解析：原方程等价于： ，或 ；
其中当 需 有意义，等式才成立，即 ，此时它表示直线 上不在圆 内的部分，这是极易出错的一个环节。选D。
[举例2]已知点A（－1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程。
M
解析：如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA
[巩固2]已知定点M(x0,y0在第一象限，过M点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r1，
r2,则r1r2=。
[迁移]关于曲线 给出下列说法：①关于直线 对称；②关于直线 对称；③关于点 对称；④关于直线 对称；⑤是封闭图形，面积小于 ；⑥是封闭图形，面积大于 ；则其中正确说法的序号是
3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离 来研究。 = （ 为圆的半径） 直线与圆相切；过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0的切线方程为x0x+y0y=r2；过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0作圆的两条切线，则两切点A、B连线的直线方程为x0x+y0y=r2。过⊙A外一点P作圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|= 。 < 直线与圆相交，弦长|AB|=2 ;过直线A +B +C=0与圆： =0的交点的圆系方程： + （A +B +C）=0。 > 直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为 - ，最大值为 + 。
则它的方程是
A．（ ）·（ ）=0
B．（ ）·（ ）=0
C．（ ）·（ ）=0
D．（ ）·（ ）=0
[巩固2]已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 · = ，2 +3 = ，当点P移动时，求M点的轨迹方程。
[迁移]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的一动点，且点P到wenku.baidu.com线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹为：A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
[举例1]一圆经过A（4，2），B（-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为。
解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A、B，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②，
圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标，当y=0时，x2+Dx+F=0，x1+x2=-D
[举例2]能够使得圆 上恰有两个点到直线 距离等于1的 的一个值为：A．2Ｂ． C．3 D．
解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。注意到圆心M（1，-2），半径 =2，结合图形容易知道，当且仅当M到直线 ： 的距离 ∈（1，3）时，⊙M上恰有两个点到直线 的距离等于1，由 = ∈（1，3）得： ，选C。
2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0 A=B≠0，C=0,且D2+E2-4AF>0）。判断点P（x0,y0）与⊙M：(x-a2+(y-b2= r2的位置关系，用|PM|与r的大小，即：|PM|>r (x0-a2+(y0-b2> r2 P在⊙M外；|PM|<r (x0-a2+(y0-b2< r2 P在⊙M内；|PM|=r (x0-a2+(y0-b2= r2 P在⊙M上。过两个定点A、B的圆,圆心在线段AB的中垂线上。
[举例1]从直线x-y+3=0上的点向圆 引切线，则切线长的最小值是
A. B. C. D. -1
解析：圆 的圆心A（-2，-2），直线x-y+3=0上任一点P，过引圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|= ，当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最小值即A到直线x-y+3=0的距离，为 ，此时|PQ|= ，选B。
圆在y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标，当x=0时，y2+Ey+F=0，y1+y2=-E
由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。
[举例2]若存在实数k使得直线 ：kx-y-k+2=0与圆C：x2+2ax+y2-a+2=0无公共点，则实数a的取值范围是：。
解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线 对任意的实数k恒过定点
当2 时, =450， 为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3，它满足上述方程．
②当点M在x轴的下方时,y＜０，同理可得点M的轨迹方程为 ,
③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２．
综上所求点的轨迹方程为 ．
[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，
M（1，2），要存在实数k使得直线 与⊙C相离，当且仅当M点在圆外；方程x2+2ax+y2-a+2=0
变形为：(x+a2+y2= a2+a-2,M点在⊙C外 (1+a2+4>a2+a-2>0，解得：-7 或 a>1.
注：本题中a2+a-2>0是极易疏漏的一个潜在要求。
[巩固1]过点A（3，-2），B（2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是。
是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA
的最佳载体是直线MA、MB的斜率。
设M（x，y），∠MAB= ，则∠MBA=2 ，它们是直线
MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方
还是下方有关；以下讨论：
1 若点M在x轴的上方,
此时，直线MA的倾角为 ，MB的倾角为 -2 ，
（2 ）
曲线与方程、圆的方程
1．曲线C的方程为:f(x,y=0 曲线C上任意一点P（x0,y0）的坐标满足方程f(x,y=0，即f（x0,y0）=0；且以f(x,y=0的任意一组解（x0,y0）为坐标的点P（x0,y0）在曲线C上。
依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y的轨迹方程即求点P的坐标(x,y满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。
[举例1]方程 所表示的曲线是： （ ）
A B C D
解析：原方程等价于： ，或 ；
其中当 需 有意义，等式才成立，即 ，此时它表示直线 上不在圆 内的部分，这是极易出错的一个环节。选D。
[举例2]已知点A（－1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程。
M
解析：如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA
[巩固2]已知定点M(x0,y0在第一象限，过M点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r1，
r2,则r1r2=。
[迁移]关于曲线 给出下列说法：①关于直线 对称；②关于直线 对称；③关于点 对称；④关于直线 对称；⑤是封闭图形，面积小于 ；⑥是封闭图形，面积大于 ；则其中正确说法的序号是
3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离 来研究。 = （ 为圆的半径） 直线与圆相切；过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0的切线方程为x0x+y0y=r2；过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0作圆的两条切线，则两切点A、B连线的直线方程为x0x+y0y=r2。过⊙A外一点P作圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|= 。 < 直线与圆相交，弦长|AB|=2 ;过直线A +B +C=0与圆： =0的交点的圆系方程： + （A +B +C）=0。 > 直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为 - ，最大值为 + 。
则它的方程是
A．（ ）·（ ）=0
B．（ ）·（ ）=0
C．（ ）·（ ）=0
D．（ ）·（ ）=0
[巩固2]已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 · = ，2 +3 = ，当点P移动时，求M点的轨迹方程。
[迁移]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的一动点，且点P到wenku.baidu.com线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹为：A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
[举例1]一圆经过A（4，2），B（-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为。
解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A、B，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②，
圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标，当y=0时，x2+Dx+F=0，x1+x2=-D
[举例2]能够使得圆 上恰有两个点到直线 距离等于1的 的一个值为：A．2Ｂ． C．3 D．
解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。注意到圆心M（1，-2），半径 =2，结合图形容易知道，当且仅当M到直线 ： 的距离 ∈（1，3）时，⊙M上恰有两个点到直线 的距离等于1，由 = ∈（1，3）得： ，选C。
2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0 A=B≠0，C=0,且D2+E2-4AF>0）。判断点P（x0,y0）与⊙M：(x-a2+(y-b2= r2的位置关系，用|PM|与r的大小，即：|PM|>r (x0-a2+(y0-b2> r2 P在⊙M外；|PM|<r (x0-a2+(y0-b2< r2 P在⊙M内；|PM|=r (x0-a2+(y0-b2= r2 P在⊙M上。过两个定点A、B的圆,圆心在线段AB的中垂线上。
[举例1]从直线x-y+3=0上的点向圆 引切线，则切线长的最小值是
A. B. C. D. -1
解析：圆 的圆心A（-2，-2），直线x-y+3=0上任一点P，过引圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|= ，当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最小值即A到直线x-y+3=0的距离，为 ，此时|PQ|= ，选B。
圆在y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标，当x=0时，y2+Ey+F=0，y1+y2=-E
由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。
[举例2]若存在实数k使得直线 ：kx-y-k+2=0与圆C：x2+2ax+y2-a+2=0无公共点，则实数a的取值范围是：。
解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线 对任意的实数k恒过定点