原子轨道和电子云的图形
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2n,l,m(r,,)d 电子在微体积元d中出现的几率
18
电子在半径为r处，厚度
为dr的球壳内电子出现
2 2n,l,m(r,,)d 的几率
0 0
2
R 2 r2sid nr dd
00
r2R 2d2 r 2d 2sid n
0
0
r2R2dr
D(r)dr
19
D(r)r2Rn,l2(r)
Y(θ,φ)说成是原子轨道，或以此制成模型作为
教具。
26
角度分布图 Yl,m的节面数为l个 Rn,l的节面数为n-l-1个
n,l,m的节面数为n-1个
27
28
例题1. 讨论氦离子He+2s态波函数的节面位置和 形状.
1
2s
1 4
Z3 2a03
2 2
Zr a0
e
Zr a0
2s
A 2
Zr a0
对1s轨道，几率密度随r下降，但微球壳体积随 r增大而增大。两个相反趋势的综合作用结果使 得在r=a0处D(r)出现了最大值
22
这说明r=a0处在单位球壳厚度内找到电子的几率 比任何其它地方单位球壳内电子出现的几率要大
23
② 极大值个数：
0.6
0.3
1s
0
径向分布函数有n-l个极大值，00..2146
几率和几率密度！！！
16
(2) 径向分布函数D(r) 前面R2(r)描述的是几率密度随r的分布情
况，要真正了解电子的分布情况，要关心电 子分布的几率---
电子在半径为r处，厚度为dr的球壳内 电子出现的几率
17
2n,l,m(r,,) 电子在(r, , )处出现的几率密度
dr2sindrd d 三维空间中的微体积元
径向分布函数 物理意义：
电子在r处单位球壳厚度内电子出现的几率， 它反映了电子云随r的分布
20
b
a D(r)dr
物理意义： 电子在处于n, l状态时，电子在距离核为 a, b间的球壳内出现的几率
21
规律：
① 1s态
D(r)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0123456 r/a0
24r/a0
3. 角度部分的对画图
(1) Y(θ,φ)~θ,φ图，即波函数角度分布图. (2) |Y (θ,φ)| 2~θ,φ图，即电子云角度分布图.
25
特别注意！！！
分解得到的任何图形都只是从某一侧面描述 轨道或电子云的特征，而决不是轨道或电子云的 完整图形！
最常见的一种错误是把波函数角度分布图
9
10
11
12
2. 径向部分的对画图
径向部分的对画图有三种： (1) R(r)-r图，即径向函数图 (2) R2(r)-r图，即径向密度函数图 (3) D( r ) - r图，即径向分布函数图
13
(1) R(r)-r图与R2(r)-r图 R(r)-径向函数 R2(r)-径向密度函数
14
规律：
有n-l-1个节面
0.08 0
2s
0.24
③ 主峰-最大值出现的位置
0.16 0.08
2p
ns n，主峰离核越远
0 0.16
ns n，主峰离核越远
0.08 0
3s
0.12
④ n相同，l不同时
0.08 0.04
3p
l，主峰离核越近；
0 0.12 0.08
第一个极 15 20 24
§2.3 原子轨道和电子云的图形
1
* 作图对象和作图方法
作图对象主要包括： (1) 复函数还是实函数
(2) 波函数 (即轨道)还是电子云(2) (3) 完全图形还是部分图形( or R or Y or ……)
作图方法主要包括： 函数-变量图、界面图、等值面（线）图、 网格图、黑点图
2
注意！！！ -函数图像 -对波函数的数学描述 -并非运动轨迹和运动范围的描述
e
Zr a0
要使2s=0
应有:
2 2r 0 a0
因此r=a0
由于2s与,无关,故波函数的节面是以a0为 半径的球面.
29
3
4
5
6
1. 原子轨道和电子云的等值面图
把函数值相同的空间各点连成曲面, 就是等值面图(其剖 面是等值线图).
电子云的等值面亦称等密度面. 电子云界面图是一种等密度面。 通常的选择标准是: 这 种等密度面形成的封闭空间(可能有几个互不连通的空间)能 将电子总概率的90%或95%包围在内(而不是这个等密度面 上的概率密度值为0.9或0.95).
① 在r=0处（核处） s型函数在核处有最大值 p型函数在核处为0
② 节面 (n-l-1)个 ns 有n-1个节面 np 有n-2个节面 Rn, l，有n-l-1个节面
③ 最大值分布 ns n，最大值离核越近 np n，最大值离核越近
15
R(r)与R2(r)的最大值离核越近 意味着电子主要出现在核附近
7
氢原子3pz电子云界面图
原子轨道界面与电子云界面是同一界面, 原子轨道界 面值的绝对值等于电子云界面值的平方根, 原子轨道界面 图的不同部分可能有正负之分, 由波函数决定.
轨道节面分为两种: 角度节面(平面或锥面)有l个; 径向节面(球面)有n-l-1个. 共有n-1个.
通常所说的原子轨道图形，应当是轨道界面图. 化学中很少使用复函数，下面给出氢原子实函数的轨 道界面图.
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电子在半径为r处，厚度
为dr的球壳内电子出现
2 2n,l,m(r,,)d 的几率
0 0
2
R 2 r2sid nr dd
00
r2R 2d2 r 2d 2sid n
0
0
r2R2dr
D(r)dr
19
D(r)r2Rn,l2(r)
Y(θ,φ)说成是原子轨道，或以此制成模型作为
教具。
26
角度分布图 Yl,m的节面数为l个 Rn,l的节面数为n-l-1个
n,l,m的节面数为n-1个
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例题1. 讨论氦离子He+2s态波函数的节面位置和 形状.
1
2s
1 4
Z3 2a03
2 2
Zr a0
e
Zr a0
2s
A 2
Zr a0
对1s轨道，几率密度随r下降，但微球壳体积随 r增大而增大。两个相反趋势的综合作用结果使 得在r=a0处D(r)出现了最大值
22
这说明r=a0处在单位球壳厚度内找到电子的几率 比任何其它地方单位球壳内电子出现的几率要大
23
② 极大值个数：
0.6
0.3
1s
0
径向分布函数有n-l个极大值，00..2146
几率和几率密度！！！
16
(2) 径向分布函数D(r) 前面R2(r)描述的是几率密度随r的分布情
况，要真正了解电子的分布情况，要关心电 子分布的几率---
电子在半径为r处，厚度为dr的球壳内 电子出现的几率
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2n,l,m(r,,) 电子在(r, , )处出现的几率密度
dr2sindrd d 三维空间中的微体积元
径向分布函数 物理意义：
电子在r处单位球壳厚度内电子出现的几率， 它反映了电子云随r的分布
20
b
a D(r)dr
物理意义： 电子在处于n, l状态时，电子在距离核为 a, b间的球壳内出现的几率
21
规律：
① 1s态
D(r)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0123456 r/a0
24r/a0
3. 角度部分的对画图
(1) Y(θ,φ)~θ,φ图，即波函数角度分布图. (2) |Y (θ,φ)| 2~θ,φ图，即电子云角度分布图.
25
特别注意！！！
分解得到的任何图形都只是从某一侧面描述 轨道或电子云的特征，而决不是轨道或电子云的 完整图形！
最常见的一种错误是把波函数角度分布图
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2. 径向部分的对画图
径向部分的对画图有三种： (1) R(r)-r图，即径向函数图 (2) R2(r)-r图，即径向密度函数图 (3) D( r ) - r图，即径向分布函数图
13
(1) R(r)-r图与R2(r)-r图 R(r)-径向函数 R2(r)-径向密度函数
14
规律：
有n-l-1个节面
0.08 0
2s
0.24
③ 主峰-最大值出现的位置
0.16 0.08
2p
ns n，主峰离核越远
0 0.16
ns n，主峰离核越远
0.08 0
3s
0.12
④ n相同，l不同时
0.08 0.04
3p
l，主峰离核越近；
0 0.12 0.08
第一个极 15 20 24
§2.3 原子轨道和电子云的图形
1
* 作图对象和作图方法
作图对象主要包括： (1) 复函数还是实函数
(2) 波函数 (即轨道)还是电子云(2) (3) 完全图形还是部分图形( or R or Y or ……)
作图方法主要包括： 函数-变量图、界面图、等值面（线）图、 网格图、黑点图
2
注意！！！ -函数图像 -对波函数的数学描述 -并非运动轨迹和运动范围的描述
e
Zr a0
要使2s=0
应有:
2 2r 0 a0
因此r=a0
由于2s与,无关,故波函数的节面是以a0为 半径的球面.
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1. 原子轨道和电子云的等值面图
把函数值相同的空间各点连成曲面, 就是等值面图(其剖 面是等值线图).
电子云的等值面亦称等密度面. 电子云界面图是一种等密度面。 通常的选择标准是: 这 种等密度面形成的封闭空间(可能有几个互不连通的空间)能 将电子总概率的90%或95%包围在内(而不是这个等密度面 上的概率密度值为0.9或0.95).
① 在r=0处（核处） s型函数在核处有最大值 p型函数在核处为0
② 节面 (n-l-1)个 ns 有n-1个节面 np 有n-2个节面 Rn, l，有n-l-1个节面
③ 最大值分布 ns n，最大值离核越近 np n，最大值离核越近
15
R(r)与R2(r)的最大值离核越近 意味着电子主要出现在核附近
7
氢原子3pz电子云界面图
原子轨道界面与电子云界面是同一界面, 原子轨道界 面值的绝对值等于电子云界面值的平方根, 原子轨道界面 图的不同部分可能有正负之分, 由波函数决定.
轨道节面分为两种: 角度节面(平面或锥面)有l个; 径向节面(球面)有n-l-1个. 共有n-1个.
通常所说的原子轨道图形，应当是轨道界面图. 化学中很少使用复函数，下面给出氢原子实函数的轨 道界面图.