《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计
《两条直线的交点》教案(公开课)
《两条直线的交点》教案一、教学目标(一)知识教学点知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．(二)能力训练点通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．(三)学科渗透点通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．二、教材分析1．重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．(二)对方程组的解的讨论若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系．下面设A1、A2、B1、B2全不为零．解这个方程组：(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，(3)(2)×B1得A2B1x+B1B2y+B1C2=0． (4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0．下面分两种情况讨论：将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得上面得到y可把方程组写成即将x用y换，A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组．综上所述，方程组有唯一解：这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标．(2)当A1B2-A2B1=0时：①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1、C2不能全为零(为什么？)．设C2②如果B1C2-B2C1=0，这时C1、C2或全为零或全不为零(当C1、(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论说明：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．(四)例题例1 求下列两条直线的交点：l1：3x+4y-2=0， l2： 2x+y+2=0．解：解方程组∴l1与l2的交点是M(-2，2)．例2 已知两条直线：l1： x+my+6=0，l2： (m-2)x+3y+2m=0．当m为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合．解：将两直线的方程组成方程组解得m=-1或m=3．(2)当m=-1时，方程组为∴方程无解，l1与l2平行．(3)当m=3时，方程组为两方程为同一个方程，l1与l2重合．(五)课后小结(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系．(2)直线的三种位置关系所对应的方程特征．(3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法．五、布置作业1．(教材第35页，1．9练习第2题)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标：2．(教材第35页，1．9练习第3题)A和C取什么值时，直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+c=0(1)平行；(2)重合；(3)相交．解：(1)A=3，C≠-2；(2)A=3，C=-2；(3)A≠3．3．(习题三第7题)已知两条直线：l1：(3+m)x+4y=5-3m，l2：2x+(5+m)y=8．m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：(1)m≠1且m≠-7；(2)m=-7；(3)m=-1．六、板书设计。
直线与双曲线的位置关系
y2
1(a
0)与直线
l:x y 1
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA 5 PB, 求a的值。
12
所以17 12
x2
2a2 1 a2
.
5 12
x
2 2
2a 2
1 a2
.
消
去,
x
2
,
得
2a 2 1 a
2
289 60
由a 0,所以a 17 13
2
2
(2)有两个公共点; 5 k 5 且k 1
2
2
(3)只有一个公共点; k=±1或k= ± 5
2
(4)交于异支两点； -1＜k＜1 ；
(5)与左支交于两点. - 5 k 1 2
课堂训练与检测
1.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
交点的直线 共有___4____条.
y2 16
1 只有 一个
直线截双曲线所得的线段。
通径：与实轴垂直的焦点弦。
y
A
M
C
F1
o F2 x
B D
请指出右图中的焦半径，焦点弦和通径.
1.直线
l
过双曲线C：
x2 16
y2 9
1
的左焦点，
①若 l 只与C的左支相交，弦长的最小值为 9/2 .
②若 l 与C的左右两支都相交，弦长的最小值为 8 .
③设直线 l 截双曲线C所得的弦长为d：
Y
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
如何快速确定直线与双曲线交点的个数及坐标
如何快速确定直线与双曲线交点的个数及坐标
同学们你们能快速确定一次函数图像与反比例函数图像交点的个数及坐标吗？一次函数与反比例函数
的图像，当与符号相反时无交点；当与符号相同时有两个交点。
我们在学习反比例函数时，经常遇到一次函数图像与反比例函数图像交点的问题，并且是给出一个交点的坐标而确定另一个交点所在的像限及坐标，一次函数图像与反比例函数图像交点在一、三像限或者二、四像限，而另一个交点的坐标就要在做题不断总结和归纳，下面我们就分两种情况进行归纳。
1、一次函数的图像与反比例函数图像交点A、B的坐标不难算出A（
2、1）、B（-2、-1），再如一次函数图像与反比例函数的图像交点为（，）（，）观察两个坐标的关系可得与
存在交点时，两个交点横坐标、纵坐标分别互为相反数。
例如与的一个交点坐标为（2、-2）则另外一个交点坐标为（-2、2）。
2、一次函数图像与反比例函数图像的交点坐标也不难算出A（-4、2）、B（-2、4），再如
与的交点为（1,2）和（-2，-1），观察两个坐标的关系可得一次函数图像与图像存在交点时，两个
交点的横坐标纵坐标互换且互为相反数。
例如与一个交点为（3，-2）则另外一个交点的坐标为（2,-3）。
通过上述的归纳同学们是否掌握一次函数与反比例函数图像一个交点的坐标而确定另外一个交点坐标的快速方法没有？在我们的学习中到处都存在规律，只要我们用心可以把复杂的学习变成简单有趣。
李世英
2012年3月26日。
直线与双曲线渐近线的交点问题
直线与双曲线渐近线的交点问题
首先，让我们来了解一下直线和双曲线的性质。
直线是一种简单且容易理解的图形，其方程通常可以用斜率和截距来描述。
而双曲线则是一种曲线，其方程通常可以用二次方程来描述，具有两个分支，分别向两个方向无限延伸。
双曲线还有一个重要的性质，就是它的渐近线。
渐近线是一条直线，它与曲线在无穷远处相交，并且在该点处的切线与渐近线平行。
对于双曲线来说，它有两条渐近线，分别与两个分支相交。
现在，让我们考虑直线与双曲线的渐近线的交点问题。
假设我们有一条直线和一条双曲线，它们的方程分别为y=mx+b和
y=±sqrt(a^2 + x^2)，其中a为双曲线的参数。
我们的问题是找出直线与双曲线的渐近线的交点坐标。
为了解决这个问题，我们可以利用微积分的知识来求解。
首先，我们需要找出双曲线的渐近线的方程。
对于双曲线
y=±sqrt(a^2 + x^2)，当x趋向正无穷时，y也趋向正无穷，因此双曲线的渐近线是y=±a。
现在我们可以将直线和渐近线的方程代入，解出它们的交点坐标。
这涉及到方程的求解和代数运算，最终我们可以得到交点的坐标。
通过以上的分析，我们可以看到直线与双曲线的渐近线的交点
问题涉及到了多个数学领域的知识，包括代数、微积分和解析几何。
这个问题不仅具有理论意义，还可以应用到实际问题中，例如在工
程和物理学中的应用。
因此，研究直线与双曲线渐近线的交点问题
不仅可以增进我们对数学的理解，还可以拓展我们对实际问题的解
决能力。
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
直线和双曲线关系 直线与双曲线位置关系及交点个数
直线与双曲线位置关系及交点个数
Y
相交:两个交点
O X
相切:一个交点 相离: 0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
例1:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围.
分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解.
变式:
⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点,求k的取值范围.
练习:求下列直线与双曲线的交点坐标．
x2 y2 14 2 (1)2x-y-10 0, 1 (6,2),( , ) 20 5 3 3 x2 y2 25 (2)4x-3y-16 0, 1 ( , 3) 25 16 4 (3)x-y 1 0, x 2 y 2 3 (2, 1)
⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围.
归纳直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交 直线与双曲线 有一个公共点,
直线与渐近线平行
相切 有一个公共点,△=0 相离
⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两 个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有
一个公共点,求k的取值范围.
随堂练习
x y 过点 0,3的直线与双曲线 1 4 3 只有一个公共点，求直线L的方程.
2
2
试讨论过定点且与双曲线只有一个交点的 直线的 条数问题?
例2.已知双曲线方程为
3x y 3,
2 2
(1)求以定点(2,1)为中点的弦所在的直线 方程及弦长; (2)是否存在直线l，使Ｎ（１，1 )为l 被双 曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的 方程，若不存在，请说明理由. 不存在
《两直线的交点坐标》教案与导学案和同步练习
《2.3.1 两直线的交点坐标》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两直线的交点坐标从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况，在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.【教学目标与核心素养】【教学重点】：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标【教学难点】：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系【教学过程】一、情境导学在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。
二、探究新知 两条直线的交点1.已知两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,设这两条直线的交点为P,则点P 既在直线l 1上,也在直线l 2上.所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x+B 1y+C 1=0,也满足直线l 2的方程A 2x+B 2y+C 2=0,即点P 的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.2.方程组的解一组无数组 无解 直线l 1和l 2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1和l 2的位置关系 相交 重合平行点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解. 1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是( )A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1) 解析:解方程组{x +y =5,x -y =3,得{x =4,y =1.因此交点坐标为(4,1).答案:B 三、典例解析例1.直线l 过直线x ＋y －2＝0和直线x －y ＋4＝0的交点，且与直通过直线与二元一次方程的关系，提出运用方程研究直线位置关系得问题，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。
直线与双曲线位置关系说课课件
2．教学目标 教学目标 依据教学大纲及以人为本的教育观着眼，我把教学目标 分为如下几点： （1）知识目标:掌握直线的斜率对其与双曲线位置关系的影 响。学会用根的判别式判断两者位置关系情况。初步掌握弦 长公式和中点弦有关知识。 （2）能力目标:培养学生观察、发现、分析、探索知识能力。 领悟培养数形结合和化归等思想。 （3）情感目标:通过问题情境，培养学生自主参与意识，及 合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程 和成功后的喜悦。
3．教学的重难点 教学的重难点 根据现代教育理念，学生能力的培养必须结合探究过程的 有意渗透。结合教材特点，我认为本节课的重难点是： 重点：如何创造问题情境，引导学生探究直线与双曲线相 关知识。 难点：应用数学思维及直线与双曲线位置关系及弦长公式 等知识来解决数学问题。
4．学情分析 学情分析 对于认知主体学生 ①在能力上：他们已经学习了直线与圆、椭圆位置关系及 相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上， 主动迁移、主动重组、整合能力较弱； ②在情感上：已初步形成小组自主合作、探究的学习方式。
谢谢大家 再 见！
过程演示： 相离 →相切 →相交（两个交点在同一支上）
过程演示：相交（交点落在两支上）
过程演示： 相交（一个交点）
设直线方程为ykxmm0双曲方程为k的取值范围直线与双曲线的位置关系设计意图相离无交点相切只有一个交点两个交点交点在同一支上利用直观的动态演示从运动角度帮助学生理解各位置关系的形成过程有助于学生从感性认识上升到理性认识从而发现问题的本质
探索直线与双曲线的位置关系
福鼎第四中学 数学组
一．设计理念
根据现代教学理念，数学学习不是学生对知识的记忆和被 动的接受，而是学生在某问题情境下自主探索、合作交流、提 出问题、分析问题、解决问题的体验过程，从而促进学生自主 全面、可持续的发展。 在本节课教学中，我力求通过问题情境，提供学生研究和 探讨的时间和空间，让学生充分经历“学数学”的过程，促使 学生在自主中求知，在合作中求取，在探究中求发展。
《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1
1《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计昌黎汇文二中 李小庆一、教学目的：1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法；2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。
二、教学重点和难点：1. 直线与双曲线的交点个数的讨论；2. 数形结合思想方法在解题中的应用三、教学过程：1、复习提问：双曲线的方程和性质思考问题：求双曲线122=-y x 与下列直线的交点的个数：①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+=x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。
① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。
③与④的答案：1 直线与双曲线相切。
⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。
⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。
⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。
（以上内容都有多媒体演示）总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。
例1：论直线y=kx+1与双曲线C:122=-y x 公共点的个数。
分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。
通过多媒体演示得到答案解：⑴k=±1或k=±2时L 与C 有一个公共点；⑵有两个交点：在左支上时1＜k ＜2在右支上时 –2＜k ＜-1在两支上时 -1＜k ＜1所以k ∈(–2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2)时L 与C 有两个公共点。
⑶k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时L 与C 没有公共点。
例2：讨论过（1，1）点的直线与双曲线122=-y x 公共点的个数。
解：⑴直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点;⑵k ∈(-∞,-1) 时有两个交点在右支上;k ∈(-1,1) 时有两个交点在两支上;2⑶k ∈(1,+∞) 时没有公共点。
《直线与双曲线》课件
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
高中数学曲线与直线交点个数(或者零点个数)问题
曲线与直线交点个数（或者零点个数）问题有关曲线与直线相交的交点个数问题，往往转化为直线y=k 和函数f(x)交点个数问题，这个时候一般要利用作图法，作出f （x ）图像，从而找出交点个数与k 的范围。
较难的题目中，f(x)往往要利用分离变量法进行构造出来。
例1 函数()[]()3sin sin 0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是解析：作出f(x)图像即可。
()sin sin 04sin 03sin sin 22sin 2x x x x x f x x x x x x ππππππ+≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨-≤≤≤≤⎩⎩，图像如下因此要想有两个交点，必有{}|24k k -<<≠，且k 0例2 已知函数()()sin f x A wx ϕ=+，其中0w > 当2,6A w πϕ===-时，()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求m 取值范围 解析：易知()2sin 26g x x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因此我们只要画出2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像，结合图像去找m 范围即可。
当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦ []1sin 2,12sin 21,2626x x ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦图像如下因此从图像上可知有两个零点，则[1,2)m ∈ 例3 若方程在上有两个不同的实数解,则a 的取值范围为 解析：方程可化为, 可化为, 作出函数在的图象,．由图可知,当且,即且时,函数图象有两个不同的交点,故答案为:且 例4 （2019安徽二模）已知函数()ln f x x x =+，直线:21l y kx =-试确定曲线y=f(x)与直线l 的交点个数，并说明理由解析：依然属于曲线与直线交点个数问题即ln 21x x kx +=-有几个解我们的方向是要把问题转化为直线y=k 与一个新函数的交点问题。
高中数学必修二《两条直线的交点坐标》教学设计
人教A版2007必修2高一上学期《两条直线的交点》教学设计教学设计教学目标：（一）知识与技能1．会求两条直线的交点坐标；2．理解两直线的位置关系与方程组的解之间的关系；3．理解过两条直线交点的直线系方程，理解直线系方程并能初步应用。
（二）过程与方法1.通过求两条直线的交点，体会坐标法思想的应用；2. 通过过两条直线交点的直线系方程的探究，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律；3.充分利用情景教学、合作探究、讲练结合的方法，实现知识形成与技能提升。
（三）情感态度与价值观1. 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题；2．让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养；3．感受数学的形式美和简洁美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重点：求两条直线的交点坐标。
教学难点：理解过两条直线交点的直线系方程。
教学方法：复习回顾法、合作探究法、合作交流法、讲练结合法。
教学过程（一）复习回顾、推陈出新问题1、初中平面几何中介绍过两条直线的位置关系，它们是什么？高中解析几何也研究两条直线的位置关系？研究方法有何不同？【师生活动】教师通过设置合理的问题，学生回顾旧知，联系新知。
【设计意图】从初中平面几何中两条直线的位置关系这个熟悉的问题入手，让学生边回答边回忆，逐步唤起学生对旧知的回顾，通过比较设问，让学生关注解析几何研究问题的方法和侧重点的不同之处。
【时间预设】1分钟问题2、解析几何将几何问题代数化，首先要做的是将几何元素及关系进行代数表示，那么点和直线我们是如何表示的？请完成下表：【师生活动】教师通过引导，让学生填空及回答问题。
【设计意图】 让学生填空及回答问题，体会坐标法思想，激发学习兴趣。
【时间预设】1分钟问题三、一般地，若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，如何求其交点坐标？【师生活动】教师通过引导，让学生继续填空及回答问题。
教学设计和反思--课题直线和双曲线位置关系
当P点是原点时,不能做与双曲线只有一交点的直线.
例3对于双曲线 ，过 能否作直线 ，时使 与双曲线交于 两点，且 是 的中点.
解：假设存在直线 ，设 ，则
（1）－（2）得：
∴
∴
∴ 的方程为： 即
由 得
∴ 与已知双曲线无交点，即假设不成立，∴ 不存在.
例4．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围.
练习:过点 与双曲线 有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.
解：若直线的斜率不存在时，则 ，此时仅有一个交点 ，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为 则 ，
，∴ ，
，
当 时，方程无解，不满足条件；
当 时， 方程有一解，满足条件；
当 时，令 ，
化简得： 无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条 和
导入过程
我们知道,双曲线和它的渐近线是没有公共点的,那么,在其他情况下,直线和双曲线会有几个交点呢?本堂课,就是来思考和考察这个问题
.教学过程：
例1经过点 且与双曲线 仅交于一个点的直线有几条?(答案:4条)
可以从几何和代数两方面进行考察,结果是一样的
例2双曲线 的左焦点为F,过点F且斜率为 的直线L与双曲线左支上位于X轴下方的部分有且仅有一个交点(不包括与X轴的交点),求直线L的斜率 的范围.是?( )
教学设计与反思--课题直线与双曲线的位置关系
课题
直线与双曲线的位置关系
课时
1
授课对象
高二
教学目标
1.理解双曲线和直线的位置关系，并能够熟练地进行判定；
2.会求直线被双曲线所截得的弦长.
人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》
人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》一. 教材分析《3.3.1两条直线的交点坐标》这一节内容，主要让学生了解两条直线的交点坐标的概念，掌握求解两条直线交点坐标的方法。
教材通过实例分析，引导学生探究并总结两条直线交点的性质，从而加深对坐标系中直线交点的理解。
二. 学情分析高一学生已经具备了一定的函数知识，对直线方程、坐标系等概念有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，仍可能对直线交点的求解方法感到困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探索并掌握求解直线交点坐标的方法。
三. 教学目标1.理解两条直线的交点坐标的概念，掌握求解两条直线交点坐标的方法。
2.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：两条直线的交点坐标的概念及求解方法。
2.难点：如何引导学生发现并总结两条直线交点的性质，以及如何在实际问题中灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例分析，引导学生观察、操作、思考，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生主动探究，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：分组讨论，鼓励学生相互交流，提高学生的合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实例问题，用于引导学生观察和思考。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的实际问题，如平面直角坐标系中两条直线的交点问题。
引导学生关注问题，激发学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示两条直线的交点坐标实例，引导学生观察并描述两条直线的交点特征。
教师通过提问，引导学生思考并总结两条直线交点的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个实例，尝试求解两条直线的交点坐标。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一组练习题，学生独立完成，检验自己对直线交点坐标的理解和掌握程度。
《两条直线的交点》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《两条直线的交点》教学设计教材分析:当两直线相交时，我们主要研究的是两直线的交点问题，这一内容相对来说较简单，理解起来也比较容易.教学目标：【知识与能力目标】掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标，理解通过解方程组求交点的意义.【过程与方法】通过探究两直线交点的解法，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．【情感态度与价值观】通过对两直线交点的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．教学重难点：【教学重点】两条直线交点的求法，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．【教学难点】启发学生, 把研究两直线交点的解法.课前准备：课件、学案教学过程：一、课题引入：问题1：两直线相交时，你觉得有哪些需要研究的问题？问题2：那从几何特点上交点有什么样的特征？那相关的代数解法应该是什么呢？二、新课探究：1. 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可. 注：⑴ 若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合，为同一方程；⑵ 若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行； ⑶ 若有1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点坐标. 三、知识应用：题型一 求两直线方程例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：（1）5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩；（2）26301132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩；（3）2601132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩． 【答案】（1）1014,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）重合；（3）平行． 解：（1）解方程组5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得该方程组有唯一解103143x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两直线相交，且交点坐标为1014,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）解方程组2630 11 32x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6得2x －6y+3=0，因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．（3）解方程组260 11 32x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．【设计意图】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 教学反思：直线交点问题容易理解，孩子自己思考一会儿就可以得到结论，主要在于解决计算问题.。
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《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计
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《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计
昌黎汇文二中 李小庆
一、教学目的：
1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法；
2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。
二、教学重点和难点：
1. 直线与双曲线的交点个数的讨论；
2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程：
1、复习提问：双曲线的方程和性质
双曲线的标准方程
顶点
渐近线
焦点在x 轴上
22
221(0,0)x y a b a b -=>> 12(,0),(,0)A a A a - b y x a
=±
焦点在y 轴上
22
2
21(0,0)y x a b a b
-=>> 12(,0),(,0)B a B a - a y x b
=±
思考问题：求双曲线12
2
=-y x 与下列直线的交点的个数： ①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+=
x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1
⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1
老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。
① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。
③与④的答案：1 直线与双曲线相切。
⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。
⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。
⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。
（以上内容都有多媒体演示）
总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。
例1：论直线y=kx+1与双曲线C:
122=-y x 公共点的个数。
分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。
通过多媒体演示得到答案
解：⑴k=±1或k=±2时L 与C 有一个公共点；
⑵有两个交点：在左支上时1＜k ＜2
在右支上时 –2＜k ＜-1 在两支上时 -1＜k ＜1
所以k ∈(–2,-1)∪(-1,1)∪(1,
2)时L 与C 有两个公共点。
⑶k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时L 与C 没有公共点。
例2：讨论过（1，1）点的直线与双曲线12
2
=-y x 公共点的个数。
解：⑴直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点;
⑵k ∈(-∞,-1) 时有两个交点在右支上; k ∈(-1,1) 时有两个交点在两支上;
⑶k ∈(1,+∞) 时没有公共点。
例3：讨论直线y=kx 与双曲线
122=-y x 公共点的个数。
解：⑴没有和双曲线只有一个交点的直线；
⑵k ∈(-1,1) 时直线与双曲线有两个交点在两支上 ;
⑶k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时直线与双曲线没有公共点。
例4：讨论过（1，0）点的直线与双曲线12
2
=-y x 公共点的个数。
解：⑴直线x=1和直线y=x-1和直线y=-x+1与双曲线有一个公共点;
⑵两个交点
在右下支上k ＜-1 在两支上-1＜k ＜1 在右上支上k ＞1 所以k ∈(–∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)时有两个公共点。
(3)(,1)k ∈-∞-时，没有公共点。
例5：已知双曲线12222=-b
y a x 的右焦点为F ，过点F 倾斜角为0
60的直线与双曲线的右支只有一个交点，
则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.(]2,1
B.()2,1
C.[)+∞,2 D ()+∞,2 答案：C
例7：已知10≠>a a 且试求使方程)(log )(log 2
2
2a x ak x a a -=-有解的k 的取值范围。
解：)(log )(log 2
2
2a x ak x a a -=-有解等价于
函数y=x-ak ＞0与y=22a x -＞0图象有交点 所以k ≤-1或 0＜k ＜1
四、总结：过一点和双曲线只有一个交点的直线的条数 过中心 0
过渐近线上一点且不是中心 2 过双曲线外一点且不在渐近线上 4 过双曲线上一点 3 过双曲线内一点 2
四、作业：过P （1，0）的直线与双曲线15
42
2=-y x 有且只有一个公共点，则斜率k 的取值范围。
答案：25±
或3
15
± 拓展：（1）()的取值范围
则斜率个公共点，
有且只有的直线与双曲线，过k y x P 215
40122=- 答案：2
5,315315±≠<<-
k k 且
（2）()的取值范围
则斜率没有公共点，
的直线与双曲线，过k y x P 15
4012
2=- 答案：3
15315〉或k k -
< （3）()的取值范围
则斜率交点，
的左、右分支各有一个的直线与双曲线，过k y x P 15
4012
2=- 小结：消元转化为讨论某个一元二次方程解的个数问题。
但要注意二次项系数分a=0与a ≠0两种情形的讨论,只有当a ≠0时才可以用Δ来确定解的个数。
但有时利用数形结合可以简化运算。