函数的数值逼近-插值

课程名称计算方法

实验项目名称函数的数值逼近－插值

实验成绩指导老师（签名）日期2011-9-16

一. 实验目的和要求

1．掌握用Matlab计算Lagrange、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。

2．通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。

二. 实验内容和原理

1）编程题2-1要求写出Matlab源程序(m文件)，并对每一行语句加上适当的注释语句；2）分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab源程序、运行结果和结果的解释、算法的分析等写在实验报告上。

2-1分析应用题

用

1

2

y x

=在0,1,4,9,16

x=产生5个节点

15

,,

P P。用以下五种不同的节点构造Lagrange

插值公式来计算5

x=处的插值，与精确值比较并进行分析。function y=lagr(x0,y0,x)

n=length(x0);

m=length(x);

L=zeros(1,n);

y=zeros(1,m);

for k=1:m

s=0;

for i=1:n

L(i)=1;

for j=1:n

if j~=i

L(i)=L(i)*(x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j));

end

end

s=s+y0(i)*L(i);

end

y(k)=s;

end

1） 用

34

,P P 构造；

>> x0=[4,9]; >> y0=[2,3]; >> lagr(x0,y0,5) ans =

2.2000

2） 用234,,P P P 构造；

>> x0=[1,4,9]; >> y0=[1,2,3]; >> lagr(x0,y0,5) ans =

2.2667

3） 用2345,,,P P P P 构造；

>> x0=[1,4,9,16]; >> y0=[1,2,3,4]; >> lagr(x0,y0,5) ans =

2.2540

4） 用1245,,,P P P P 构造；

>> x0=[0,1,9,16]; >> y0=[0,1,3,4]; >> lagr(x0,y0,5) ans =

2.9524

5） 用全部插值节点12345,,,,P P P P P 构造。

>> x0=[0,1,4,9,16]; >> y0=[0,1,2,3,4];

>> lagr(x0,y0,5) ans =

2.0794

从结果看出，用34,P P 构造时误差最小，而用1245,,,P P P P 构造时并没有更精确，误差还更大，所以不是用的构造点越多越准确。

2-2 分析应用题

意大利柑橘的产量变化如下表。使用3次样条插值来估计1962年、1977年和1992年的产量。将这些结果与相对应的实际值进行比较，并说明计算的精度。实际值分别为12380，27403和32059(5

10⨯kg)。再利用Lagrange 插值多项式重新计算。

年份 1965 1970 1980 1985 1990 1991 产量(510⨯kg) 17769

24001

25961

34336

29036

33417

>> x0=[1965,1970,1980,1985,1990,1991];

>> y0=[17769,24001,25961,34336,29036,33417]; >> y1=spline(x0,y0,1962)

y1 =

5.1461e+003

>> y2=spline(x0,y0,1977)

y2 =

2.2642e+004

>> y3=spline(x0,y0,1992)

y3 =

4.1894e+004

利用Lagrange插值多项式计算：

>> x0=[1965,1970,1980,1985,1990,1991];

>> y0=[17769,24001,25961,34336,29036,33417]; >> y1=lagr(x0,y0,1962)

y1 =

-7.7765e+004

>> y2=lagr(x0,y0,1977) y2 =

1.5405e+004

>> y3=lagr(x0,y0,1992) y3 =

4.3127e+004

2-3 分析应用题

在区间[-1,1]上，在21个平均分布的节点上对函数()sin 2f x x π=进行估计。计算Lagrange 插值多项式和3次样条，并在给定的区间上将两个函数的曲线与f 进行比较。使用干扰数

据14

()(1)10i i f x +-=-来重复计算。注意观察，对于小扰动，Lagrange 插值多项式与3次样

条相比，分析哪个更敏感。

>> x=linspace(-1,1,21);

>> y=sin(2*pi*x)

y =

Columns 1 through 10

0.0000 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 -0.0000 -0.5878 -0.9511 -0.9511 -0.5878

Columns 11 through 20

0 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0000 -0.5878 -0.9511 -0.9511 -0.5878

Column 21

-0.0000

>> x0=linspace(-1,1,11);

>> y0=sin(2*pi*x0);

>> y1=lagr(x0,y0,x)

y1 =

Columns 1 through 10

0.0000 0.6329 0.9511 0.9433 0.5878 0.0024 -0.5878 -0.9522 -0.9511 -0.5869

Columns 11 through 20

0 0.5869 0.9511 0.9522 0.5878 -0.0024 -0.5878 -0.9433 -0.9511 -0.6329

Column 21

-0.0000

>> y2=interp1(x0,y0,x,'spline')

y2 =