第四章-均值方差分析与CAPM

• 所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。我们 把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组 合的风险。
投资组合的核心问题就是资产配置（asset allocation）
投资组合理论
• 资产组合即投资者在投资活动中根据自己的风险-收益偏 好所选择的适合自己的几种证券的集合。投资者选择不同 的金融资产时，所选的每种资产占全部组合的比例称作权 重，它反映了投资者将投资资金的多大部分投资于该资产。 因此，所有权重之和为1。
Global minimum
variance Portfolio (MVP)
Individual assets
Minimum variance frontier
St. Dev.
最小方差组合[1]
Sec 1 E(r1) = .10 Sec 2 E(r2) = .14
1 = .15 2 = .20 12 = .2
x L i 0,(i1,..n)., ; L 10; L 20
有效集
第一个式子表示选择组合的比例系数使组合的方差这一目标函数 最小化，同时必须满足下面两个式子的约束条件。
对于每一给定的R P ，可以解出相应的标准差 p ，每一对(Rp, p )
构成标准差——预期收益率图（图3.2）的一个坐标点，这些点就连 成图3.1中的曲线。同样可以从数学证明，这条曲线是双曲线，这就 是最小方差曲线。
假设风险资产和无风险资产在投资组合中的
比例分别为
x1和 x2
，它们的预期收益率分别为
R1
和 r f ，它们的标准差分别等于 1 和 2 ，它们之间 的协方差为 12 。根据 x 1和 x 2 的定义，我们 有 x1 x2 1 。根据无风险资产的定义，我们有 12 和 2 都等于0。这样，我们可以算出该组合的预
(七)包含无风险资产的最优投资组合
在前面分析中，我们假定所有证券及证券组合都是有 风险的，而没有考虑到无风险资产的情况。我们也没有考 虑到投资者按无风险利率借入资金投资于风险资产的情况。 而在现实生活中，这两种情况都是存在的。为此，我们要 分析在允许投资者进行无风险资产的情况下，对资产配置 问题进行扩展。
1、无风险资产的定义
首先，无风险资产应没有任何违约可能。由于所有的公司证券从 原则上讲都存在着违约的可能性，因此公司证券均不是无风险资产。
其次，无风险资产应没有市场风险。虽然政府债券基本上没有违 约风险，但对于特定的投资者而言，并不是任何政府债券都是无风险 资产。例如，对于一个投资期限为1年的投资者来说，期限还有10年 的国债就存在着风险。因为他不能确切地知道这种证券在一年后将值 多少钱。事实上，任何一种到期日超过投资期限的证券都不是无风险 资产。
• 满足上述条件的投资组合集合称为投资的
“有效集”或“有效边界”。
• 可行域包含了有效组合，最后有效组合的 集合为有效边界.
Markowitz组合选择模型解的性质
• 风险与收益的关系：没有无风险证券的情形
组合期望收益率
组合的效率前沿
0.5
0.4
0.3
最小方差组合
0.2
有效前沿
0.1
0.1
0.2
0.3
(六)最优投资组合的选择
确定了有效集的形状之后，投资者就可根据自己的无差异曲线群 选择能使自己投资效用最大化的最优投资组合了。这个组合位于无差 异曲线与有效集的相切点O，所图3.2所示。
效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性决定了有效集和无 差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。
（二）“可行集”或“机会集”
• 所谓投资组合，是指由一系列资产所构成 的集合。可供投资的资产众多，可供选择 的投资组合无穷。把所有可供选择的投资
组合所构成的集合，称为投资的“可行集” （feasible set）或“机会集” （opportunity set）。
• 投资组合的两种替代表示（1）不同资产的 投资比重；（2）“期望收益率-标准差”图 上的一个点。
对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的。 而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险——收益偏好决定的。 从上一章的分析可知，厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的 斜率越陡，因此其最优投资组合越接近N点。厌恶风险程度越低的投
资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近B点。
最小方差组合[4] :
= -.3
(.2)2 - (.3)(.15)(.2) W1 =
(.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(-.3)
W1 = .6087 W2 = (1 - .6087) = .3913
最小方差组合[5] :
=.3时的收益与风险
rp = .6087(.10) + .3913(.14) = .1157
2 2 - Cov(r1r2)
W1 =
2 1
+
2
2
-
2Cov(r1r2)
W2 = (1 - W1)
最小方差组合[2] : = .2
(.2)2 - (.2)(.15)(.2) W1 =
(.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(.2)
W1 = .6733 W2 = (1 - .6733) = .3267
– Harry M. Markowitz, 1952, Portfolio Selection, Journal of Finance, 7,77-91
• 投资者对收益和风险的态度的两个基本假 设： 1、不满足性 2、厌恶风险
续
• 不满足性 ➢投资者在其余条件相同的两个投资组合中
进行选择时，总是选择预期回报率较高的 组合。 • 厌恶风险 ➢投资者在其余条件相同的情况下，将选择 标准差较小的组合。
最小方差组合[3] :
= .2时的收益与风险
rp = .6733(.10) + .3267(.14) = .1131
p = [(.6733)2(.15)2 + (.3267)2(.2)2 +
2(.6733)(.3267)(.2)(.15)(.2)] 1/2
p = [.0171] 1/2 = .1308
最小方差曲线内部（即右边）的每一个点都表示这n种资产的一 个组合。其中任何点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代 表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的 组合能进一步起到分散风险的作用。这也就是曲线向左凸的原因。
最小方差组合的有效边界
E(r)
Efficient frontier
• 投资者选择投资组合的目的之一是平衡投资的风险与收益。 因为，不仅投资者风险厌恶程度是不同的，而且不同资产 的风险-收益特征也是不同的。
• 选择投资组合可以降低投资风险 • 套期保值（hedging） • 分散化（diversification）
（一）基本假定
• 现代投资组合理论 (Markowitz,1952)
• 注意：无差异曲线的斜率越大，投资者越 厌恶风险。
投资者的投资效用函数
• 投资效用函数(U)：
U U(R,)
• 效用函数的形式多样，目前金融理论界使 用比较广泛的是：
U R 1 A2
2
• 其中，A表示投资者的风险厌恶系数，其典 型值在2至4之间。
投资者的投资效用函数
• 在完美市场中，投资者对各种证券的预期 收益率和风险的估计是一致的，但不同投 资者的风险厌恶度不同，他们的投资决策 也不尽相同。
0.4
0.5
0无.6效前沿0.7
0.8
0.9
组合标准差
有效集
我们先考虑第一个条件。在图3.1中，没有哪一个组合的风险小 于组合N，这是因为如果过N点画一条垂直线，则可行集都在这条线 的右边。N点所代表的组合称为最小方差组合（Minimum Variance Portfolio）。同样，没有哪个组合的风险大于H。由此可以看出，对 于各种风险水平而言，能提供最大预期收益率的组合集是可行集中介 于N和H之间的上方边界上的组合集。
综合以上两点可以看出，严格地说，只有到期日与投资期相等的 国债才是无风险资产。但在现实中，为方便起见，人们常将1年期的 国库券或者货币市场基金当作无风险资产。
2、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形
为了考察无风险贷款对有效集的影响，我们 首先要分析由一种无风险资产和一种风险资产组 成的投资组合的预期收益率和风险。
期收益率 为：
n
Rp
Rp xi Ri x1R1x2rf
i1
续
该组合的标准差（ p ）为：
nn
p
xixjij x11
i1 j1
由上式可得：
x1
p 1
x2
1 P 1
续
最终得到：
Rp
rf
R1rf
1
p
RP
B
A
百度文库
图3.3 无风险资产和风险资产的组合 P
资本配置线（CAL）
我们再考虑第二个条件，在图3.1中，各种组合的预期收益率都 介于组合A和组合B之间。由此可见，对于各种预期收益率水平而言， 能提供最小风险水平的组合集是可行集中介于A、B之间的左边边界 上的组合集,我们把这个集合称为最小方差边界（Minimum Variance Frontier）。
（四）有效集的数学推导
• 引入无差异曲线以反映效用水平，一条无 差异曲线代表给投资者带来同样满足程度 的预期收益率和风险的所有组合。
无差异曲线
• 不满足和厌恶风险者的无差异曲线
RP
I3
I2
I1
承受高风险要求高的 风险补偿，所以无差 异曲线是递增的；
边际效用递减原理， 所以无差异曲线是向 右下方凸的。
P
无差异曲线
• 无差异曲线的特征： 1、无差异曲线的斜率为正； 2、无差异曲线是向下凸的； 3、同一投资者有无限多条无差异曲线； 4、同一投资者在同一时间、同一时点的任 何两条无差异曲线都不能相交。
B
N
H
可行集
A
图3.1可行集
P
（三） “有效集”(efficient set)或“有效边
界” (efficient frontier)
投资者从满足如下条件的可行集里选择 其最优的投资组合：1、在给定的各种风险 条件下，提供最大预期收益率；2、在给定 的各种预期收益率的水平条件下，提供最 小的风险。(同时成立）
续
• 二种证券组合时，可行集为一条曲线； • 三种或三种以上证券组合的可行集的形状
呈伞形的曲面，所有可能的组合位于可行 集的内部或边界上。
可行集
假定现在有项有风险资产，它们的预期收益率记 Ri :i 1,,n
为彼此之间的协方差记为 ij:i,j1, ,n（当i=j时， ij 表示方差），
表示资产在组合中的比重。于是投资组合的预期收益率和 x方i :差i就1,应...n当, 是：
本章内容提要
• 1、有效边界 • 2、最小方差组合 • 3、资产配置线（CAL） • 4、最优投资组合 • 5、证券市场线 • 6、资本市场线 • 7、CAPM
第一节 均值-方差分析
• 人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风 险中进行选择。
• 投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因 素。所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它 是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相 应的投资比例。
p = [(.6087)2(.15)2 + (.3913)2(.2)2 +
2(.6087)(.3913)(.2)(.15)(-.3)] 1/2
p= [.0102] 1/2 = .1009
(五)无差异曲线
• 投资者的目标是投资效用最大化，而投资 效用取决于预期收益率与风险。
• 预期收益率带来正的效用，风险带来负的 效用。
n
Rp xi Ri i1
nn
p2
xi xjij
i1 j1
资产组合的收益率是构成资产组合的每个资产收益率的加权平均值，资产 组合的构成比例为权重。
可行集
可行集指的是由N种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现 实生活中所有可能的组合。也就是说，所有可能的组合将位于可行集 的边界上或内部。
RP
优化投资组合就是在要求组合有一定的预期收益率的前提条件下，使组
： 合的方差越小越好，即求解以下的二次规划
nn
mwinp2
i1
xixj
j1
ij
n
n
s.t. xi Ri Rp
xi 1
i1
i 1
L x i x ji j 1 ( R p x iR i ) 2 ( 1 x i )
最优投资组合的选择
I3
I2
RP
I1
B
O N
H A
图3.2最优投资组合
P
组合选择与风险厌恶
E(r)
U’’’ U’’ U’
More risk-averse investor
P Q
Efficient
S
frontier of
risky assets
Less risk-averse investor
St. Dev