我对泛函分析的认识

我对分析的认识

从大一到大三，我们依次学习了数学分析，复变函数，实变函数，泛函分析。感觉这几门课层层深入，学到最后发现好多还是离不开数学分析。通过大二大三的学习，我发现实变函数和复变函数都是研究函数的数学性质的，虽然只是定义域不同，但两门课的内容大相径庭，实变函数可以看做是数学分析的后继课程，主要是分析（勒贝格积分理论）的内容，而复变函数的研究手段和课程内容对数学三大分支：分析（柯西积分理论），几何（黎曼面理论），代数（魏尔斯特拉斯级数理论）都有涉及，且都占有很重要的位置。

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它的基础是点集论。所谓点集论,就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。泛函就是定义域是一个函数集,而值域是实数集或者实数集的一个子集。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

通过学习知道了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不是黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数，连续函数必定可积。勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数。逼近理论,如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。实变函数是对于测度来讲，可测函数及其积分，学习重点是Lebesgue 测度展开的一些讨论，泛函分析呢是对于函数空间来讲，主要就是一系列空间

（赋范线性空间，希尔伯特空间等等）的基本性质，包括里面函数的敛散性，空间的完备性之类的。

以上就是我对大学来学的分析的粗略认识，它在泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。