最小费用最大流问题
最大流与最小费用流
§7 最大流问题7.1 最大流问题的数学描述 7.1.1 网络中的流定义 在以V 为节点集，A 为弧集的有向图),(A V G =上定义如下的权函数：（i ）R A L →:为孤上的权函数，弧A j i ∈),(对应的权),(j i L 记为ij l ，称为孤),(j i 的容量下界（lower bound ）；（ii ）R A U →:为弧上的权函数，弧A j i ∈),(对应的权),(j i U 记为ij u ，称为孤),(j i 的容量上界，或直接称为容量（capacity ）；（iii ）R V D →:为顶点上的权函数，节点V i ∈对应的权)(i D 记为i d ，称为顶点i 的供需量（supply ／demand ）；此时所构成的网络称为流网络，可以记为),,,,(D U L A V N =。
由于我们只讨论A V ,为有限集合的情况，所以对于弧上的权函数U L ,和顶点上的权函数D ，可以直接用所有孤上对应的权和顶点上的权组成的有限维向量表示，因此D U L ,,有时直接称为权向量，或简称权。
由于给定有向图),(A V G =后，我们总是可以在它的弧集合和顶点集合上定义各种权函数，所以流网络一般也直接简称为网络。
在流网络中，弧),(j i 的容量下界ij l 和容量上界ij u 表示的物理意义分别是：通过该弧发送某种“物质”时，必须发送的最小数量为ij l ，而发送的最大数量为ij u 。
顶点V i ∈对应的供需量i d 则表示该顶点从网络外部获得的“物质”数量（0>i d 时），或从该顶点发送到网络外部的“物质”数量（0<i d 时）。
下面我们给出严格定义。
定义 对于流网络),,,,(D U L A V N =，其上的一个流（flow ）f 是指从N 的弧集A 到R 的一个函数，即对每条弧),(j i 赋予一个实数ij f （称为弧),(j i 的流量）。
如果流f 满足∑∑∈∈∈∀=-Ai j j i ji A j i j ij V i d f f ),(:),(:,,（1）A j i u f l ij ij ij ∈∀≤≤),(,， （2）则称f 为可行流（feasible flow ）。
网络流：最小费用最大流(最简单的算法)
网络流：最小费用最大流（最简单的算法）最小费用流在OI 竞赛中应当算是比较偏门的内容，但是NOI2008 中employee 的突然出现确实让许多人包括zkw 自己措手不及。
可怜的zkw 当时想出了最小费用流模型，可是他从来没有实现过，所以不敢写，此题0 分。
zkw 现在对费用流的心得是：虽然理论上难，但是写一个能AC 题的费用流还算简单。
先贴一个我写的employee 程序：只有不到70 行，费用流比最大流还好写～程序代码:C++#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxint=~0U>>1;int n,m,pi[550]={0},cost=0;bool v[550]={0};struct etype{int t,c,u;etype *next,*pair;etype(){}etype(int t_,int c_,int u_,etype* next_):t(t_),c(c_),u(u_),next(next_){}void* operator new(unsigned,void* p){return p;}} *e[550],*eb[550];int aug(int no,int m){if(no==n)return cost+=pi[1]*m,m;v[no]=true;for(etype *&i=e[no];i;i=i->next)if(i->u && !v[i->t] && pi[i->t]+i->c==pi[no])if(int d=aug(i->t,m<i->u?m:i->u))return i->u-=d,i->pair->u+=d,d;return 0;}bool modlabel(){int d=maxint,c;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])for(etype *j=eb[i];j;j=j->next)if(j->u && !v[j->t])if((c=j->c-pi[i]+pi[j->t])<d)d=c;if(d==maxint)return false;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])pi[i]+=d,e[i]=eb[i];return true;}int main(){freopen("costflow.in","r",stdin);freopen("costflow.out","w",stdout);scanf("%d %d",&n,&m);etype *Pe=new etype[m+m];while(m--){int s,t,c,u;scanf("%d%d%d%d",&s,&t,&u,&c);e[s]=new(Pe++)etype(t, c,u,e[s]);e[t]=new(Pe++)etype(s,-c,0,e[t]);e[s]->pair=e[t];e[t]->pair=e[s];}memmove(eb,e,sizeof(e));do do memset(v,0,sizeof(v));while(aug(1,maxint));while(modlabel());printf("%d\n",cost);return 0;}程序代码:CB大牛翻译的PASCALvarn,m,i,l,s,t,c,cost,u:longint;v:array[0..600]of boolean;dis:array[0..600]of longint;e_n,e_t,e_c,e_u,e_p,e_x:array[0..250000]of longint;function min(a,b:longint):longint;beginif a>b then exit(b);exit(a);end;procedure addedge(s,t,c,u,k:longint);begininc(l);e_n[l]:=e_n[s];e_n[s]:=l;//下一条边e_t[l]:=t;//边的另一端e_c[l]:=c;//边的费用e_u[l]:=u;//边的容量e_p[l]:=l+k;//对应的边end;procedure build(s,t,c,u:longint);beginaddedge(s,t,c,u,1);addedge(t,s,-c,0,-1);end;function aug(no,m:longint):longint;vari,d:longint;beginif no=n then begininc(cost,m*dis[1]);exit(m);end;v[no]:=true;i:=e_x[no];while i<>0 do beginif (e_u[i]>0)and(not v[e_t[i]])and(dis[e_t[i]]+e_c[i]=dis[no]) then begind:=aug(e_t[i],min(m,e_u[i]));if d>0 then begindec(e_u[i],d);inc(e_u[e_p[i]],d);e_x[no]:=i;exit(d);end;end;i:=e_n[i];end;e_x[no]:=i;exit(0);end;function modlabel:boolean;vard,i,j:longint;begind:=maxlongint;for i:=1 to n do if v[i] then beginj:=e_n[i];while j<>0 do beginif (e_u[j]>0)and(not v[e_t[j]])and(e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]]<d) then d:=e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]];j:=e_n[j];end;end;if d=maxlongint then exit(true);for i:=1 to n do if v[i] then beginv[i]:=false;inc(dis[i],d);end;exit(false);end;beginassign(input,'coflow.in');reset(input);assign(output,'coflow.out');rewrite(output);readln(n,m);l:=n;for m:=m downto 1 do beginreadln(s,t,u,c);build(s,t,c,u);end;repeatfor i:=1 to n do e_x[i]:=e_n[i];while aug(1,maxlongint)>0 do fillchar(v,sizeof(v),0);until modlabel;writeln(cost);close(output);end.这里使用的是连续最短路算法。
实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题
北京联合大学实验报告项目名称: 运筹学专题实验报告学院: 自动化专业：物流工程班级： 1201B 学号：2012100358081 姓名：管水城成绩：2015 年 5 月 6 日实验三:使用matlab求解最小费用最大流算问题一、实验目的：(1）使学生在程序设计方面得到进一步的训练;，学习Matlab语言进行程序设计求解最大流最小费用问题。
二、实验用仪器设备、器材或软件环境计算机，Matlab R2006a三、算法步骤、计算框图、计算程序等1.最小费用最大流问题的概念。
在网络D(V，A）中，对应每条弧(vi，vj)IA，规定其容量限制为cij(cij\0)，单位流量通过弧(vi，vj）的费用为dij(dij\0)，求从发点到收点的最大流f，使得流量的总费用d（f)为最小,即mind（f）=E（vi，vj）IA2。
求解原理。
若f是流值为W的所有可行流中费用最小者，而P是关于f的所有可扩充链中费用最小的可扩充链,沿P以E调整f得到可行流fc,则fc是流值为（W+E)的可行流中的最小费用流.根据这个结论，如果已知f是流值为W的最小费用流,则关键是要求出关于f 的最小费用的可扩充链。
为此,需要在原网络D的基础上构造一个新的赋权有向图E（f),使其顶点与D的顶点相同,且将D中每条弧(vi，vj)均变成两个方向相反的弧（vi,vj)和(vj，vi)1新图E（f)中各弧的权值与f中弧的权值有密切关系,图E（f)中各弧的权值定义为：新图E(f)中不考虑原网络D中各个弧的容量cij。
为了使E（f）能比较清楚，一般将长度为]的弧从图E(f）中略去.由可扩充链费用的概念及图E(f)中权的定义可知，在网络D中寻求关于可行流f的最小费用可扩充链，等价于在图E（f）中寻求从发点到收点的最短路.因图E(f）中有负权,所以求E(f)中的最短路需用Floyd算法。
1.最小费用流算法的框图描述。
图一2.计算最小费用最大流MATLAB源代码，文件名为mp_mc.mfunction[Mm，mc，Mmr]=mp_mc（a，c）A=a; %各路径最大承载流量矩阵C=c; %各路径花费矩阵Mm=0; ％初始可行流设为零mc=0； %最小花费变量mcr=0;mrd=0；n=0;while mrd~=inf %一直叠代到以花费为权值找不到最短路径for i=1:（size(mcr’，1)—1)if a(mcr（i）,mcr(i+1）)==infta=A(mcr（i+1)，mcr（i）)—a(mcr(i+1）,mcr（i））； elseta=a（mcr(i）,mcr（i+1));endn=min（ta,n）；％将最短路径上的最小允许流量提取出来endfor i=1：(size（mcr’，1）-1）if a(mcr(i),mcr(i+1））==infa(mcr（i+1),mcr(i））=a（mcr（i+1）,mcr（i))+n；elsea(mcr（i），mcr(i+1）)=a(mcr(i），mcr(i+1)）—n；endendMm=Mm+n；％将每次叠代后增加的流量累加，叠代完成时就得到最大流量 for i=1：size（a，1）for j=1：size（a’，1）if i～=j&a（i，j）～=infif a(i，j)==A(i,j） %零流弧c（j，i）=inf;c(i,j）=C（i，j)；elseif a（i,j)==0 %饱合弧c（i,j）=inf;c(j，i）=C(j，i)；elseif a(i，j)~=0 %非饱合弧c（j，i）=C（j，i)；c（i,j）=C(i,j)；endendendend［mcr,mrd]=floyd_mr（c) %进行叠代，得到以花费为权值的最短路径矩阵(mcr）和数值（mrd）n=inf;end％下面是计算最小花费的数值for i=1:size(A,1)for j=1：siz e(A’，1)if A(i,j）==infA（i，j）=0;endif a（i，j）==infa(i,j)=0；endendendMmr=A—a； %将剩余空闲的流量减掉就得到了路径上的实际流量，行列交点处的非零数值就是两点间路径的实际流量for i=1：size(Mmr，1）for j=1:size(Mmr’，1)if Mmr(i，j）~=0mc=mc+Mmr(i，j）*C(i,j)；％最小花费为累加各条路径实际流量与其单位流量花费的乘积endendend利用福得算法计算最短路径MATLAB源代码,文件名为floyd_mr。
bp算法例题
bp算法例题
以下是BP算法的一些例题:
1. 最小生成树:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中最小的生成树。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从根节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,同时记录当前节点的前缀和
- 对于每个相邻节点,计算它的最小权重向量与当前节点的最小权重向量的商,得到当前节点的权重向量
- 根据权重向量更新生成树
- 重复步骤直到生成树为空
2. 最短路径问题:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中从任意一个节点到另一个节点的最短路径。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从任何节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,记录当前节点的前缀和
- 计算从当前节点到另一个节点的最短路径
- 根据最短路径更新权重向量,并返回最短路径
3. 最小费用最大流问题:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中从任意一个节点去往另一个节点的最小费用最大流。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从任何节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,记录当前节点的前缀和
- 计算从当前节点去往另一个节点的最小费用最大流
- 根据最小费用最大流更新权重向量,并返回最小费用最大流
这些例题只是BP算法的一些典型应用,实际上BP算法还可以用于解决其他类型的问题,例如网络拓扑优化、约束优化等。
5-5 最小费用最大流问题-xfj
v2
v3
(10, 0) ①流量调整量 总流量v(f 总流量v(f(1))=5
v2
v3
=min{8-0,5-0,7ε1=min{8-0,5-0,7-0}=5 ②最小费用增广链的费用 ∑bij=1+2+1=4 ③新的可行流为f(1),总费 新的可行流为f =4× 用b1=4×5=20
vs →v2 →v1 →vt
2、最小费用流 对于一个费用容量网络，具有相同 对于一个费用容量网络， 流量 v(f) 的可行流中，总费用b(f)最小的 的可行流中，总费用b(f)最小的 可行流称为该费用容量网络关于流量 v(f) 的最小费用流，简称流量为 v(f) 的最小 的最小费用流，简称流量为 费用流。 费用流。
3、增广链的费用 当沿着一条关于可行流 f 进行调整，得到新的可行流 f 进行调整， 称 b( f ) − b( f ) 的增广 ，则 链（流量修正路线）µ，以修正量 流量修正路线） ，以修正量ε=1 增广链µ的费用。 为增广链µ的费用。
v2
v3
即是f 的最小费用增广链。 即是f(1)的最小费用增广链
第3次迭代
-4 4
v1
-2 6
பைடு நூலகம்
-1
(10, 2)
v1
(7, 7) (2, 0)
vs
-1
1
vt
2 (8, 8)
vs
(5, 5)
vt
(4, 3)
v2
3
v3
①零流弧保持原边，非饱和非 零流弧保持原边， 零流弧增添后向弧， 零流弧增添后向弧，饱和弧去 掉原边增添后向弧 ②用列表法求得最短路
增广费用网络图的 增广费用网络图的构造方法 将流量网络中的每一条弧（ 将流量网络中的每一条弧（vi,vj）都看 作一对方向相反的弧，并定义弧的权数如 作一对方向相反的弧， 下： vi (cij,fij) c vj
最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow Problem）是一种在特定的多媒体网络中传送给定体积的流量，使总花费最小化的一种算法。
它能满足一些实际生活中的求解，比如电力系统的供求、工厂的物料的分配和两地之间的物品的运输问题，以及更加复杂的产品开发和行业分工中的分布问题等等。
最小费用最大流问题的目标是在满足给定的最大流量要求的前提下，找出具有最小成本的流量方案。
这种问题的解决步骤如下：
1. 在图形中定义网络：用图形表示整个网络，每条边的容量是边上的流量上限。
2. 尝试找出最大流量：在不超过容量限制的前提下，找出输出流量最大的允许方案，也就是最小费用最大流量。
3. 计算最小成本：对所有边的成本进行总结，计算出最小成本。
下面以一个最小费用最大流问题的例题来说明：
假设有一个三角形的网络，它由一个源点S、一个汇点T、一个中间点O以及三条边组成，边的名字分别是SO、OT、OS，它们的容量分别是10、15和5，费用分别是5、3和2。
要求我们在此条件下求解最小费用最大流问题。
解：首先，我们可以求出最大流量：在边SO的容量为10时，我们可以将费用最小的边OT累加，得到最大流量值为10+3=13。
接下来，计算最小费用：根据上述算法，所有边的费用应该都大于等于0，才能累加而得到最大流量。
也就是说，最小费用为
5+3+2=10。
最后，最小费用最大流问题的解为：最大流量13，最小成本10。
流水行船问题公式大全16个
流水行船问题公式大全16个流水行船问题的本质是一种旅行商问题，即从一个源点出发，经过一系列指定的点，然后回到源点，路程最短、所需要耗费的距离最少。
流水行船问题主要用于求解运输问题，比如石油、采矿物质、农副产品或其他物资的运输。
为了流水行船问题能实现最优解，目前已有许多计算机程序可以解决这一问题。
其中最常用的就是经典的16个流水行船问题公式，这些公式通过应用优化算法解决了流水行船问题的最优解。
这16个公式的结构如下：1.小费用流量问题（MCFP）：它是流水行船问题最常用的公式之一，它解决的问题是有一系列费用限制，要求求出价格最低的流量规划方案。
2.大流量问题（MFP）：它是流水行船问题的第二常用公式，它解决的问题是有一系列限制条件，要求求出最大的流量规划方案。
3.小总费用问题（TCCP）：它是流水行船问题的第三种公式，它解决的问题是有一系列条件，要求求出最小的总费用方案。
4.小费用环问题（MCIRP）：它是流水行船问题的第四种公式，它解决的问题是有一系列费用限制，要求求出最低费用的环路规划方案。
5.小费用最大流量问题（MCMFP）：它是流水行船问题的第五种公式，它解决的问题是有一系列费用限制，要求求出费用最低的最大流量规划方案。
6.少旅行商问题（MTP）：它是流水行船问题的第六种公式，它解决的问题是有一系列旅行约束条件，要求求出最短的旅行规划方案。
7.小费用最短旅行商问题（MCTSP）：它是流水行船问题的第七种公式，它解决的问题是有一系列费用限制，要求求出费用最低的最短旅行规划方案。
8.最小路径问题（SPP）：它是流水行船问题的第八种公式，它解决的问题是求出最短路径规划方案，有一系列费用限制。
9.含模糊参数的最小费用流量问题（FMCFP）：它是流水行船问题的第九种公式，它解决的问题是有一系列模糊参数的费用限制，要求求出最低的流量规划方案。
10.小费用流量约束条件下的最小路径问题（MCSPP）：它是流水行船问题的第十种公式，它解决的问题是有一系列流量约束条件下的费用限制，要求求出最短路径规划方案。
实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题教学提纲
n=min(ta,n); %将最短路径上的最小允许流量提取出来
end
for i=1:(size(mcr',1)-1)
if a(mcr(i),mcr(i+1))==inf
a(mcr(i+1),mcr(i))=a(mcr(i+1),mcr(i))+n;
else
a(mcr(i),mcr(i+1))=a(mcr(i),mcr(i+1))-n;
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
R(i,j)=R(i,k);
end
end
end
k;
D;
R;
end
M=D(1,n);
3.求解如下网络运输图中的最大流最小费用问题：
图2
打开matlab软件，在COMND WINDOW窗口中输入矩阵程序如下：
n=5;
新图E(f)中不考虑原网络D中各个弧的容量cij.为了使E(f)能比较清楚,一般将长度为]的弧从图E(f)中略去.由可扩充链费用的概念及图E(f)中权的定义可知,在网络D中寻求关于可行流f的最小费用可扩充链,等价于在图E(f)中寻求从发点到收点的最短路.因图E(f)中有负权,所以求E(f)中的最短路需用Floyd算法。
end
end
Mm=Mm+n; %将每次叠代后增加的流量累加，叠代完成时就得到最大流量
for i=1:size(a,1)
for j=1:size(a',1)
if i~=j&a(i,j)~=inf
if a(i,j)==A(i,j) %零流弧
c(j,i)=inf;
最小费用最大流问题.
vs
(
5,2)
(
(
2,6)
8,1)
V2 10,3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV3
4,2)
第一轮：f 0为初始可行流，作相应的费用有向图网络L(f 0)，如 图（a）。 在L(f 0)上用DijksTra标号法求出由vs到vt的最短路（最小费用链） 0 m i n 8，5， 5 7 μ0=(vs,v2,v1, （ vt)v ，并对 μ 按 进行流量的调整， 0 ， v ） ，（ v ， v ） ，（ v ， v ） s 2 0 2 1 0 1 t 0 由于， (1) (1) 所以有 fs2 f12 f1t(1) 5，其余不变，得新的可行流f1的流量 有向图（b）。
vs
vt
2.下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价 表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网 络图并求数值解。 2 3 产量 1 产地 销地
A B 销量 20 30 4 24 22 5 5 20 6 8 7
最小总费用为240
(20,8) A (0,8) s (30,7) (0,7) (5,8) (24,8)
4
vt
vs
1
6
2
2
v1
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0)
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5)
w(f0)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(b) f 1
v1 vs
(8，5)
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0) 4
v1
vs
最小费用最大流问题
近似算法和启发式算法
要点一
近似算法
近似算法是一种用于求解NP-hard问题的有效方法，它可 以在多项式时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流 问题的近似算法包括Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法等。
要点二
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的算法，它可以在合理 的时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的启 发式算法包括基于增广路径的算法、基于贪婪的算法等。
研究如何将最小费用最大流问题 应用于计算机科学领域，例如计 算机网络、云计算等。
物理学
研究如何借鉴物理学中的理论和 思想，解决最小费用最大流问题， 例如利用流体动力学中的思想来 研究网络中的流。
谢谢观看
Hale Waihona Puke 06未来研究方向和展望算法优化和改进
动态规划算法
研究如何优化动态规划算法，减少时间复杂度 和空间复杂度，提高求解效率。
近似算法
研究近似算法，在保证求解质量的前提下，提 高求解速度。
并行计算和分布式计算
研究如何利用并行计算和分布式计算技术，加速最小费用最大流问题的求解。
新的问题定义和模型
考虑更复杂的情况
和技术。
有界容量和无界容量
总结词
有界容量和无界容量是指在网络中节点之间 的容量是否有限制。
详细描述
在最小费用最大流问题中，如果节点之间的 容量有限制，即为有界容量问题；如果节点 之间的容量没有限制，即为无界容量问题。 有界容量问题可以通过增广路径算法、预流 推进算法等求解，而无界容量问题则需要采
用其他算法和技术进行求解。
算法概述
最小费用最大流问题是一种网络流问 题，旨在在给定有向图中寻找一条路 径，使得从源节点到汇点之间的总流 量最大，同时满足每个节点的流入量 等于流出量，以及每条边的容量限制。
最小费用最大流问题
i):f(j,i))=0; ); @sum(edge(i,j)|i#eq#@index(s):f(i,j)) =vf; @sum(edge(j,i)|i#eq#@index(t):f(j,i)) =vf; @for(edge(i,j):@bnd(0,f(i,j),u(i,j))) ; end
min
( i , j )E
cij fij ;
s.t.
jV ( i , j )E
fij
jV ( j ,i )E
v f , i s , f ji v f , i t , 0, i s, t.
0 fij uij ,(i, j ) E.
LINGO 程序求解 model: sets: points/s,v1,v2,v3,v4,t/; edge(points,points) /s,v1 s,v2 v1,v2 v1,v3 v2,v4 v3,v2 v3,t v4,v3 v4,t/:c,u,f; endsets data: c=2 8 5 2 3 1 6 4 7; u=8 7 5 9 9 2 5 6 10; vf=14; enddata min=@sum(edge(i,j):c(i,j)*f(i,j)); @for(points(i)|i#ne#@index(s) #and# i#ne#@index(t): @sum(edge(i,j):f(i,j))-@sum(edge(j,
最小费用最大流问题
例 本例是最大流问题的延伸，由于输油管道的长短不 一，或地质等原因，使每条管道上运输费用也不相 同，因此，除考虑输油管道的最大流外，还需要考 虑输油管道输送最大流的最小费用，下图所示是带 有运输费的网络，其中第 1 个数字是网络的容量， 第 2 个数字是网络的单位运费.
实验三使用matlab求解最小费用最大流算问题
若f是流值为W的所有可行流中费用最小者,而P是关于f的所有可扩充链中费用最小的可扩充链,沿P以E调整f得到可行流fc,则fc是流值为(W+E)的可行流中的最小费用流。
根据这个结论,如果已知f是流值为W的最小费用流,则关键是要求出关于f的最小费用的可扩充链.为此,需要在原网络D的基础上构造一个新的赋权有向图E(f),使其顶点与D的顶点相同,且将D中每条弧(vi,vj)均变成两个方向相反的弧(vi,vj)和(vj,vi)1新图E(f)中各弧的权值与f中弧的权值有密切关系,图E(f)中各弧的权值定义为：
end
n=min(ta,n); %将最短路径上的最小允许流量提取出来
end
for i=1:(size(mcr',1)-1)
if a(mcr(i),mcr(i+1))==inf
a(mcr(i+1),mcr(i))=a(mcr(i+1),mcr(i))+n;
else
a(mcr(i),mcr(i+1))=a(mcr(i),mcr(i+1))-n;
北京联合大学
实验报告
项目名称：运筹学专题实验报告
学 院：自动化专 业：物流工程
班 级：1201B学 号：21
姓 名：管水城成 绩：
2015年5月6日
实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题
一、实验目的：
(1)使学生在程序设计方面得到进一步的训练;，学习Matlab语言进行程序设计求解最大流最小费用问题。
C=[0 10 8 0 0;0 0 0 2 7;0 5 0 10 0;0 0 0 0 4;0 0 0 0 0]
b=[0 4 1 0 0;0 0 0 6 1;0 2 0 3 0;0 0 0 0 2;0 0 0 0 0]
最小费用最大流
vs
4
v2
4
vt
(10 )f ( 5)
v1 1
v3
4 －4
－1
3 2
2 －6
vs
－1
v2
6
vt
(11) L( f ( 5))
运筹学
的增广链u，以1调整f，得到新的可行流
f′时，b(f′)比b(f)增加多少？
b
u i j
显然有
b(f')﹣b(f)=[ b
b b (f′ij﹣fij )]u
ij
bu(_ f′i j ij﹣fij )﹣
b b
= [ ﹣ u i j
u_ i j
]
我们把[ u
﹣ i j
u_
ij
] 称为这条增广链u的
费用。
v2 (6 ,7)
vt vs
1
v2
6
vt
v1
3
v3 1=3
W(f(1))=3
(1) L(f (0))
v1 1
v3
0
3
－1
－2
3
0
4 －2
2 3
vs
3
v2
0
(2) f ( 1)
－1
vt
vs
1
v2
6
vt
(3) L(f (1))
v1 (1 ,6) v3
(4 ,8) (2 ,3)
(2 ,5) (3 ,2)
1
v3
v1
4
v3
4=3 W(f(4))=8
4
－1
－2 3
-2 －3
4 0
5 1
vs
－1
v2
6
(7) L(f (3))
最小费用最大流问题
, ,
若(vi 若(vi
, ,
v v
j j
) )
,
fij ,若(vi , v j ) .
去掉全部旳标号,对新旳可行流 f ' { fij '}, 重新进入标号过程.
Back
continued
算 例 用标号法求右下图所示网络旳最大流.弧旁旳数是 (cij , fij ).
解:(一)标号过程
b(
f
*)
min f
bij
(vi ,v j )A
f ij
怎么求解这个问题?
1、定义 增广链 旳费用为 bij bij
结论:若 f 是流量为v( f )旳全部可行流中费用最小者,而 是有关 f 旳全部增广链中费用最小旳增广链,则沿 去调 整 f ,得到旳可行流 f ' ,就是流量为 v( f ')旳全部可行流中旳最 小费用流.这么,当 f ' 是最大流时,它即为所求旳最小费用最 大流.
cij ,即正向弧集中每一条弧是非饱和弧; cij ,即反向弧集中每一条弧是非零流弧.
四、截集
1 、设 S,T V , S T , 把始点在 S ,终点在 T 中旳全 部弧构成旳集合,记为 (S,T ).
2 、给定网络 D (V , A,C)若点集 V 被剖分为两个非空集合
__
__
__
v1 (2,2)
v2
(3,3)
(4,3)
vs
(0,)
(1,0) (1,0)
(5,2) v1 (vs ,3) (2,2)
v4
(5,3)
(3,0)
vt
(2,2)
v3
v4 (5,3) vt
(3,0) (2,2)
6.-5最小费用最大流问题
v1
(7,7) (2,0)
vs
(8,4)
(5,0)
vt
(4,4)
v2
(10,4)
v3
(未标费用)
最大流图fmax=11
(10,4)
v1
第1次迭代
(7,1)
(2,6) (10,4,0)
v1
(7,1,5) (2,6,0)
vs (5,2)
(8,1)
vt
(4,2)
vs (5,2,5)
(8,1,5)
min{15 4, 7 0,11 0} 7
④得到新的可行流，刷新网络图 v2
(3,3,0) (7,8, 7) (4,9, 4)
f 17 f max 20
(15, 2,11)
v4
(11,3, 7)
vs
(9, 6, 6)
(bij , cij , 0)
Vi
原网络
Vj
(bij , cij )
Vi
增广费用网络
Vj
非饱和弧上 (0 xij bij ) ，原有弧以单位 费用作权数，后加弧（虚线弧）以单位 费用的负数作权数：
(bij ,cij , xij ) (bij xij , cij )
( xij ,cij )
第五节 最小费用最大流问题
一、基本概念
1、什么是最小费用最大流问题？
对每一条弧都给出单位流量费用的容量网络 D=（V，A，B）（称为费用容量网络）中， 求取最大流X，使输送流量的总费用
C（X）=∑cijxij为最小的一类优化问题。
其中，bij表示弧（vi，vj）上的容量，xij表 示弧（vi，vj）上的流量，cij表示弧（vi，vj） 上通过单位流量所花费的费用。
最小费用最大流问题matlab程序
最小费用最大流问题m a t l a b程序下面的最小费用最大流算法采用的是“基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法”，其基本思路为：把各条弧上单位流量的费用看成某种长度，用Floyd求最短路的方法确定一条自V1至Vn的最短路；再将这条最短路作为可扩充路，用求解最大流问题的方法将其上的流量增至最大可能值；而这条最短路上的流量增加后，其上各条弧的单位流量的费用要重新确定，如此多次迭代，最终得到最小费用最大流。
本源码由GreenSim团队原创，转载请注明function [f,MinCost,MaxFlow]=MinimumCostFlow(a,c,V,s,t)%%MinimumCostFlow.m% 最小费用最大流算法通用Matlab函数%% 基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法% GreenSim团队原创作品，转载请注明%% 输入参数列表% a 单位流量的费用矩阵% c 链路容量矩阵% V 最大流的预设值，可为无穷大% s 源节点% t 目的节点%% 输出参数列表% f 链路流量矩阵% MinCost 最小费用% MaxFlow 最大流量%% 第一步：初始化N=size(a,1);%节点数目f=zeros(N,N);%流量矩阵，初始时为零流MaxFlow=sum(f(s,:));%最大流量，初始时也为零flag=zeros(N,N);%真实的前向边应该被记住for i=1:Nfor j=1:Nif i~=j&&c(i,j)~=0flag(i,j)=1;%前向边标记flag(j,i)=-1;%反向边标记endif a(i,j)==infa(i,j)=BV;w(i,j)=BV;%为提高程序的稳健性，以一个有限大数取代无穷大endendendif L(end)<BVRE=1;%如果路径长度小于大数，说明路径存在elseRE=0;end%% 第二步：迭代过程while RE==1&&MaxFlow<=V%停止条件为达到最大流的预设值或者没有从s到t的最短路%以下为更新网络结构MinCost1=sum(sum(f.*a));MaxFlow1=sum(f(s,:));f1=f;TS=length(R)-1;%路径经过的跳数LY=zeros(1,TS);%流量裕度for i=1:TSLY(i)=c(R(i),R(i+1));endmaxLY=min(LY);%流量裕度的最小值，也即最大能够增加的流量for i=1:TSu=R(i);v=R(i+1);if flag(u,v)==1&&maxLY<c(u,v)%当这条边为前向边且是非饱和边时f(u,v)=f(u,v)+maxLY;%记录流量值w(u,v)=a(u,v);%更新权重值c(v,u)=c(v,u)+maxLY;%反向链路的流量裕度更新elseif flag(u,v)==1&&maxLY==c(u,v)%当这条边为前向边且是饱和边时w(u,v)=BV;%更新权重值c(u,v)=c(u,v)-maxLY;%更新流量裕度值w(v,u)=-a(u,v);%反向链路权重更新elseif flag(u,v)==-1&&maxLY<c(u,v)%当这条边为反向边且是非饱和边时w(v,u)=a(v,u);c(v,u)=c(v,u)+maxLY;w(u,v)=-a(v,u);elseif flag(u,v)==-1&&maxLY==c(u,v)%当这条边为反向边且是饱和边时w(v,u)=a(v,u);c(u,v)=c(u,v)-maxLY;w(u,v)=BV;elseendendMaxFlow2=sum(f(s,:));MinCost2=sum(sum(f.*a));if MaxFlow2<=VMaxFlow=MaxFlow2;MinCost=MinCost2;[L,R]=FLOYD(w,s,t);elsef=f1+prop*(f-f1);MaxFlow=V;MinCost=MinCost1+prop*(MinCost2-MinCost1);returnendif L(end)<BVRE=1;%如果路径长度小于大数，说明路径存在 elseRE=0;endendfunction [L,R]=FLOYD(w,s,t)n=size(w,1);D=w;path=zeros(n,n);%以下是标准floyd算法for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)~=infpath(i,j)=j;endendendfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);endendendendL=zeros(0,0);R=s;while 1if s==tL=fliplr(L);L=[0,L];returnendL=[L,D(s,t)];R=[R,path(s,t)];s=path(s,t);end。
运筹学图与网络模型以及最小费用最大流
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
运筹学第六章6.5最小费用最大流问题
预处理步骤
初始化
为每个节点和边设置相应的容量和费 用。
残量网络构建
寻找增广路径
在残量网络中寻找增广路径，即从源 点到汇点存在一条路径，该路径上的 所有边都未满载且具有正的残量。
根据边的容量和费用，构建残量网络。
05
算法的复杂度和优化
时间复杂度分析
算法时间复杂度
最小费用最大流问题通常使用Ford-Fulkerson算法或其变种来解决，时间复杂度为O(V^3 * E)，其中V是 顶点数，E是边数。
优化策略
为了提高算法效率，可以采用预处理、动态规划、记忆化搜索等策略，减少不必要的计算和重复计算 。
空间复杂度分析
最小费用最大流问题可以应用于多种 实际场景，如物流运输、能源分配、 通信网络等。
背景和重要性
最小费用最大流问题作为网络流问题 的一个重要分支，在计算机科学、运 筹学和工程领域具有广泛的应用价值。
解决最小费用最大流问题有助于优化 资源配置、降低成本和提高效率，对 于实际问题的解决具有重要的意义。
02
此外，随着计算科学和数据科学的快速发展，如 何利用新的技术和方法来求解最小费用最大流问 题也是值得关注的方向。
例如，如何设计更高效的算法来求解大规模的最 小费用最大流问题？如何处理具有特殊性质的最 小费用最大流问题？如何将最小费用最大流问题 的思想和方法应用到其他领域？
因此，未来对于最小费用最大流问题的研究仍具 有广阔的空间和挑战性。
案例一：简单网络流问题
问题描述
给定一个有向图G(V,E)，其中V是顶点的集合， E是边的集合。每条边(u,v)有一个非负的容量 c(u,v)和一个非负的费用f(u,v)。求从源点s到 汇点t的最大流，使得流的总费用最小。
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v2 v1
（3,10）
v3 vt
2
1
6
2
v2
(a) w(f0)
3
v3
（3）在原网络D中， 与这条最短路对应 的增广链为 : µ =（vs，v2，v1，vt）
v1
（10，0）
(7,0)
（2，0）
vt
(4，0)
vs
(8，0)
（5，0）
v2
(10,0)
v3
v1
（4）在µ 上进行调整，（10，0）
(7,5)
最小费用最大流问题
网络D=（V，A，C）,每一弧（vi，vj）∈A，给出 （vi，vj）上单位流的费用b(vi，vj)≥0，（简记bij）。 最小费用最大流问题：
求一个最大流 f，使流的总费用
b( f )
( v i , v j )A
bij f ij
取最小值。 一、求解原理 设对可行流 f 存在增广链 µ ，当沿 µ 以=1调整f， 得新的可行流 f ' 时，(显然 V(f ')=V(f )+1)，两流的费 b( f )-b( f′) 用之差
v3
v2
3
v3
(b) f
1
v1
(7,7)
(2,0)
(c) W(f （1）)
（10，2）
vt
(4，0)
vs
(8，5)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(d) f 2 V( f 2)=7
v1
（10，2）
(7,7)
(2,0)
vt
(4，0)
v1
4 -4 -1 -2 1
-1
6
vt 2
vs
(8，5)
（5，5）
vs
-1
-2
2 V3
vt
vs
-3
V2 3
(g) L(f 3)
(h) f 4
-4
4
vs
-1
-2
2 -3
V2
3
6
-2
V3
vt
(i) L(f 4)
最小费用最大流求解过程
1. 求下图所示网络的最小费用最大流,每弧旁的数 字是( bij . cij ) 。 (3.3) (1,4) (2.5)
(2.1) (3.5) (4,2) (2.1) (1.3) (4.2)
Yj Y1 3 5 Y2 6 7
Xi X1 X2
X1
(13,3)
Y1
(13,5)
(13,6)
(12,0)
(15,5)
Y
X
(15,3)
(15,0)
X2
(15,7)
Y2
W(X,X1)=5 W(X,X2)=3 ? 生产费用
最小费用流 1.基本概念及定理
（1）流的费用
定义 对于一个可行流f=｛fij｝来说，如果网络 G=(V,A,C,W)中，对于每条弧aij ∈ A，都有一个 单位流费用ω ij，则流的费用定义为：
1)
-1 5
1
V2 V1 3
6
vs
0
0
2
V3 V2 V1 2 0 V3
vt
(c) L(f
-4
4
(d) f 2
7
5 8 V2
-1
vs
1
-1 -2
3
6
2
vt
vs
0
3
vt
V2
(e) L(f
2)
V3
3
V3
(f) f 3
V1
V1 -1
-2 6 3 7 4 8 V2 V1 -1 4 V3 0 4 vt
-4
4
vs
4
vt
vs
1
6
2
2
v1
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0)
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5)
w(f0)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(b) f 1
v1 vs
(8，5)
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0) 4
v1
vs
-1
1
1 -1
6
vt
2
（5，5）
-2
v2
(10,0)
vt
-2
vs
(8，8)
（5，5）
vs
-1
3
v2
(10,3)
v3
v2
(7,7)
(2,0)
v3
(f) f 3 V( f 3)=10
(g) W( f 3)
-3
v1
（10，3）
vt
(4，4)
vs
(8，8)
（5，4）
v2
(10,4)
v3
(h) f 4 V( f 4)=11
v1
（10，3）
(7,7)
(2,0)
ij
i
（3）
（4）
i
流值；Cij ——能力； ωij——单位费用； fti f it V （f）； Vs——发点； Vt— i —收点。 f ji fij 0 ；
i
i
i
（3）链的费用与最小费用增广链 定义 已知网络G=(V,A,C,W) ，f是G的可行流，μ为从 （）= ij ji vs到vt的关于f的增广链 d ，称 为链的μ的费用。 若μ*是vs三到vt所有增广链中费用最小的链，则称μ* 为最小费用增广链。
如果已知 f 是流量为V（f ）的最小费用流， 出关于f 的最小费用增广链。
求
构造赋权有向图W( f ),它的顶点是D的顶点,W(f )中 弧及其权wij 按弧（vi，vj）在D中的情形分为： vi 3.0 vj 若（vi，vj）∈A，且fij=0(零弧）， 4 费用 4 vi vj 则（vi，vj）∈W（f ）,且wij= bij 5 5 vj vi 若(vi，vj )∈A，且fij=cij(饱和弧), 3 -3 v vj i 则（ v ， v ）∈W（f ）,且w = - b
1
(0,4) (0,5)
2
t
B
(22,7) (20,8) 3
(0,6)
弧旁数字为( bij,cij )
3. 现有两个煤矿X1和X2,每月分别能生产煤13及15 个单位,每单位煤的生产费用分别为5及3个单位;另 有两个电站Y1和Y2,每月需用煤分别为12及15个单 位,从Xi至Yj的单位运费Wij如下表,问每个煤矿应生 产多少煤并运往何处,才能满足所有要求,同时使总 的运费最低?
v2
(10,0)
v3 v1
(7,7)
v2 vt
3
v3
(d) f 2 V( f 2)=7
(e) w(f 2 )
（10，2）
vs
(8，8)
(2,0) （5，5）
(4，3)
v2
(10,3)
v3
(f) f 3 V( f 3)=10
v1
（10，2）
(7,7)
(2,0)
vt
(4，3)
v1
4
-4 -2
-1
6 2
最小费用给定流
图中数字含义:[c(e),f(e),b(e)] v2
3,1,4
4,2,2
v2
3,0,4
4,2,2
x
4,3,2
5,1,2
3,2,4
y
x
4,4,2
5,2,2
3,2,4
y
v1 v2
v1
3,0,4
4,0,2
x
4,0,2
5,0,2 3,0,4
y
v1
求下图最小费用最大流
V1
( (
10,4)
(
7,1) vt
在网络D中寻求关于可行流f 的最小费用增广链， 等价于在网络W（f ）中寻求从vs到vt的最短路。
二、最小费用最大流算法
算法步骤：
第一步：确定初始可行流f 0 =0，令k=0；
第二步：记经 k 次调整得到的最小费用流为f k，构造 增量网络W（f k）； 在W（f k）中，寻找vs到vt的最短路。若不存 在最短路（即最短路路长是∞），则f k 就是
vt
(4，4)
v1
4 -4
-1
6 2
vt
-2
vs
(8，8)
（5，4）
vs
-1
-2
3
-3
v2
(10,4)
4
v3
4)=11
v2
v3
(h) f
V( f
（i） W（f 4）
图（i）中，不存在从vs到vt的最短路，所以f 4为 最小费用最大流。 问题：（1）如何求网络W（f k）中的vs到vt最短路？ （2）如何判断无vs到vt的最短路？
b( f ′) -b( f )
b ( f
ij
' ij
f ij ) bij ( f f ij )
' ij
bij bij
+1
-1
称为增广链 µ 的费用。
最小费用最大流的原理的主要依据：
若f 是流值为V（f ）的所有可行流中费用最小者,
而µ 是关于f 的所有增广链中费用最小的增广链,则沿 µ 以去调整 f ,得可行流 f ，f 就是流量为V(f )+ 的所有可行流中费用最小的可行流。这样，当 f 是 最大流时， f 就是所求的最小费用最大流。