最小费用最大流问题(课堂PPT)
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运筹学-16最小费用最大流
费用=20+2 9=38
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
最小费用最大流问题ppt课件
v4 (5,3) vt
(3,0)
(2,1) v3
v1
Back 14
continued
(二)调整过程 (1)寻找以为终点的增广链----(反向追踪法)
若vt的第一个标号为v3 , 则弧(v3 , vt )是链上的弧。 接下来检查 v3的第一个标号， 为 v2， 则找出(v3 , v2 )是链上的弧。 同理， (v2 , v1 )和(vs , v1 )是链上的弧. 此时所求的增广链(vs , v1 , v2v3 , vt )。
(2)若在弧 (v j , vi )上 , fij 0, 则给 v j标号 (vi , l(v j )) 这 里 l(v j ) min[ l(vi ), f ji ] .此时,点 v j成为标号而未检查的点.
于是 vi 成为标号且已检查过的点.重复上述步骤,一旦 v t
被标上号,表明得到一条从 vs 到 v t 的增广链 ,转入调整过程.
3 、检查 v1
在弧 (v1 , v3 ) 上 , f13 c13 2, 不满足标号条件;
在弧 (v2 , v1 ) 上 , f 21 0, 则 v2的标号为 (v1,l(v2 )). 其中, l(v2 ) min[ l(v1), f21] min[ 4,1] 1 4 、检查 v2
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行不下去时,则 算法结束,此时的可行流就是最大流.
10
2 、调整过程 (1)寻找以v t 为终点的增广链----(反向追踪法): 若vt的第一个标号为vk (或 vk ),则弧(vk , vt )(相应地(vt , vk ))是
链上的弧。 接下来检查vk的第一个标号， 若为vi (或 vi )， 则找 出(vi , vk )(相应地(vk , vi ))。 再检查的第一个标号， 依此下去， 直到 vs为止(2。)调此整时量被找 的l(v弧t ),就即构vt的成第了二增个广标链号。。
最大流与最小费用流PPT课件
第6页/共36页
(1)为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流 问题（譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
图10.3.2
第7页/共36页
在图10.3.2中，每条弧 上V标ij 有两个数字，其
中，靠近点 i 的是 ，c靠ij 近点 j 的是 。如c①ji
②表示5 从0①到②的最大通过量是5（百辆），从② 到①的最大通过量是0；② ③表示从2②到2③和 从③到②都可以通过2（百辆）；等等。
例如，在图10.3.11中，从①到⑦的最短路是①— ③—⑤—⑦，代价为7，在这条最短非饱和路上取P 3 后，③—⑤变成容量为零，在下一次选择最短路时 应将③—⑤视为断路来选取最短非饱和路。另外， 选取①—③—⑤—⑦路后，③—①，⑤—③，⑦— ⑤的弧成为容量大于零的弧，可分别标上它们的代 价值为-3，-3，-1，是①—③，③—⑤，⑤—⑦的相 反数。
转入步骤④，用原图中各条弧上发点与收点数
值减去修改后的图上各点的数值，将得到正负号
相反的两个数，将这个数标在弧上，并将从正到
负的方向用箭头表示,这样就得到最大流量图。例
如原来弧(3,6) 是③ 7 0 ⑥，现在是③ 2 5 ⑥，
相减为±5，③那边为正，我们就记作③ 5⑥。
这样，就得到图10.3.9，即最大流量图。依这样的
第12页/共36页
通过第1次修改，得到图10.3.3。
图10.3.3
返回步骤①，进行第2次修改。
第13页/共36页
第2次修改： 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由
于 P c25，所3 以，将 改为2c12， 改为0，c25 改
为5，c5、7 、 改为c213。c5修2 改c后75 的图变为图
10.3.4。
(1)为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流 问题（譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
图10.3.2
第7页/共36页
在图10.3.2中，每条弧 上V标ij 有两个数字，其
中，靠近点 i 的是 ，c靠ij 近点 j 的是 。如c①ji
②表示5 从0①到②的最大通过量是5（百辆），从② 到①的最大通过量是0；② ③表示从2②到2③和 从③到②都可以通过2（百辆）；等等。
例如，在图10.3.11中，从①到⑦的最短路是①— ③—⑤—⑦，代价为7，在这条最短非饱和路上取P 3 后，③—⑤变成容量为零，在下一次选择最短路时 应将③—⑤视为断路来选取最短非饱和路。另外， 选取①—③—⑤—⑦路后，③—①，⑤—③，⑦— ⑤的弧成为容量大于零的弧，可分别标上它们的代 价值为-3，-3，-1，是①—③，③—⑤，⑤—⑦的相 反数。
转入步骤④，用原图中各条弧上发点与收点数
值减去修改后的图上各点的数值，将得到正负号
相反的两个数，将这个数标在弧上，并将从正到
负的方向用箭头表示,这样就得到最大流量图。例
如原来弧(3,6) 是③ 7 0 ⑥，现在是③ 2 5 ⑥，
相减为±5，③那边为正，我们就记作③ 5⑥。
这样，就得到图10.3.9，即最大流量图。依这样的
第12页/共36页
通过第1次修改，得到图10.3.3。
图10.3.3
返回步骤①，进行第2次修改。
第13页/共36页
第2次修改： 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由
于 P c25，所3 以，将 改为2c12， 改为0，c25 改
为5，c5、7 、 改为c213。c5修2 改c后75 的图变为图
10.3.4。
最小费用最大流
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.000000 3.000000 0.000000 0.000000
结果说明，最小费用为12，此时，流值为3。
例6.8.6 用MATLAB软件求解例6.5.1。 解： MATLAB编程如下： f=zeros(7,1);f(1)=1;f(2)=1; g=-f; aeq=[1,0,-1,-1,0,0,0 0,1,0,1,-1,0,-1 0,0,1,0,1,-1,0]; beq=zeros(3,1);lb=zeros(7,1); ub=[2 1 6 3 2 4 3]';
( vi , v j )A
cij xij
（6.5.3）
n n X ij X ji 0 s.t. j 1 j 1 0 x w , (v , v ) A ij ij i j
§6.5.2 最小费用最大流问题的算法
寻求最大流的方法 最小 费用 最小费用最大流
运行结果如下：
z= 2.0000 1.0000 0.0000 2.0000 0.0000 0.0000 3.0000 favl1 = 12.0000
结果说明最大流值为3，最小费用为12。 可以看出，最小费用最大流问题其实就是在最 大流问题基础上，再进行一次线性规划问题的计算 得出。
例：求图中从vs vt的最小费用最大流。
解: 取 X (0) 0, 见图6.4.7（a）， 构造 D( X (0) ).
v2
(1, 2, 0)
(5,6,0)
v 4
(3, 4,0)
(2,3,0) (3,1, 0)
(1, 2, 0)
v1
v3 (1,3, 0)
第6讲最大流最小费用
第六讲 最大流，最小费用
1. 网络、流、割 2. 最大流Ford-Fulkerson算法 3. 最大流最小费用问题 4. Busacker-Growan迭代算法
下 回
停
一、网络、流、割
网络N就是规定了源和汇，并且每条边都赋予 了非负整数权的赋权有向图D，其中此有向图D 称为网络N的基础有向图。 定义：若
这里所介绍的求最大流最小费用的算法是迭代 法，是由Busacker和Gowan在1961年提出的。 主要步骤如下：
算法步骤：
【Busacker-Grown迭代法】
见word文档
第六讲习题
1. 求图中的最大流
17
23 56 43 13 18 23
28 14
23
2.求图中所示网络的最小费用最大流， (b,c)中b表示容量，c表示费用
定义：对于网络N=(V,A,C),称定义在弧集A上的 函数f为网络N上的流；对于弧a,f(a)称为弧a上的 流量，若a=(Vi,Vj),f(a)也可以记作f(Vi,Vj)或者fij; 对于顶点v,记f+(v)为点v流出的流量，f-(v)为点v 流入的流量。 可行流：每个点的流量都小于等于容量，且 流出的流量等于流入的流量，则称为可行流； 最大流：可行流的最大值称为最大流。
1. D=(V,E)是一个有向图；
2. c是E上的正整数函数(容量函数)，c(e)代表边e 的容量；
3. 记X为发点集(源)，Y为收点集(汇)，V-X-Y称为 中间点集。有向图D可记做(V,E,c,X,Y)
注意：根据网络的定义，对于任意一个有多个 收、发点的网络，可通过简单的方法转换为只 有一个发点和一个收点的网络。
定理： N中的流f是最大流当且仅当N不包含f可 增路。 最大流最小割定理：在任何网络中，最大流的 值等于最小割的容量。
1. 网络、流、割 2. 最大流Ford-Fulkerson算法 3. 最大流最小费用问题 4. Busacker-Growan迭代算法
下 回
停
一、网络、流、割
网络N就是规定了源和汇，并且每条边都赋予 了非负整数权的赋权有向图D，其中此有向图D 称为网络N的基础有向图。 定义：若
这里所介绍的求最大流最小费用的算法是迭代 法，是由Busacker和Gowan在1961年提出的。 主要步骤如下：
算法步骤：
【Busacker-Grown迭代法】
见word文档
第六讲习题
1. 求图中的最大流
17
23 56 43 13 18 23
28 14
23
2.求图中所示网络的最小费用最大流， (b,c)中b表示容量，c表示费用
定义：对于网络N=(V,A,C),称定义在弧集A上的 函数f为网络N上的流；对于弧a,f(a)称为弧a上的 流量，若a=(Vi,Vj),f(a)也可以记作f(Vi,Vj)或者fij; 对于顶点v,记f+(v)为点v流出的流量，f-(v)为点v 流入的流量。 可行流：每个点的流量都小于等于容量，且 流出的流量等于流入的流量，则称为可行流； 最大流：可行流的最大值称为最大流。
1. D=(V,E)是一个有向图；
2. c是E上的正整数函数(容量函数)，c(e)代表边e 的容量；
3. 记X为发点集(源)，Y为收点集(汇)，V-X-Y称为 中间点集。有向图D可记做(V,E,c,X,Y)
注意：根据网络的定义，对于任意一个有多个 收、发点的网络，可通过简单的方法转换为只 有一个发点和一个收点的网络。
定理： N中的流f是最大流当且仅当N不包含f可 增路。 最大流最小割定理：在任何网络中，最大流的 值等于最小割的容量。
最小费用最大流问题
近似算法和启发式算法
要点一
近似算法
近似算法是一种用于求解NP-hard问题的有效方法，它可 以在多项式时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流 问题的近似算法包括Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法等。
要点二
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的算法，它可以在合理 的时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的启 发式算法包括基于增广路径的算法、基于贪婪的算法等。
研究如何将最小费用最大流问题 应用于计算机科学领域，例如计 算机网络、云计算等。
物理学
研究如何借鉴物理学中的理论和 思想，解决最小费用最大流问题， 例如利用流体动力学中的思想来 研究网络中的流。
谢谢观看
Hale Waihona Puke 06未来研究方向和展望算法优化和改进
动态规划算法
研究如何优化动态规划算法，减少时间复杂度 和空间复杂度，提高求解效率。
近似算法
研究近似算法，在保证求解质量的前提下，提 高求解速度。
并行计算和分布式计算
研究如何利用并行计算和分布式计算技术，加速最小费用最大流问题的求解。
新的问题定义和模型
考虑更复杂的情况
和技术。
有界容量和无界容量
总结词
有界容量和无界容量是指在网络中节点之间 的容量是否有限制。
详细描述
在最小费用最大流问题中，如果节点之间的 容量有限制，即为有界容量问题；如果节点 之间的容量没有限制，即为无界容量问题。 有界容量问题可以通过增广路径算法、预流 推进算法等求解，而无界容量问题则需要采
用其他算法和技术进行求解。
算法概述
最小费用最大流问题是一种网络流问 题，旨在在给定有向图中寻找一条路 径，使得从源节点到汇点之间的总流 量最大，同时满足每个节点的流入量 等于流出量，以及每条边的容量限制。
最小费用最大流问题(课堂PPT)
在V 中指定了两点 vs , vt ，分别称为发点和收点，其余 的点叫中间点．定义弧集合 A上的一个函数
f : (vi , v j ) { f (vi , v j )},
为网络的一个流,并称 f (vi , v j ) 为弧
简记为
f ij .
(vi , v j ) 上的流量，
4
二、可行流与最大流
去掉所有的标号,对新的可行流重新进入标号过程.
v2 (v1,1) (4,3) v4 (v2 ,1)
(3,3)
(5,3)
v2 (4,3) (3,3)
v4 (5,3) vt
vs
(0,)
(1,1) (1,1)
(5,1) v1 (vs ,4) (2,2)
(3,0)
vt (v3 ,1)
(2,1)
v3 (v2 ,1)
一个流称为一个可行流,如果满足以下条件:
(1) 容量限制条件:对 aij (vi , v j ) A 0 fij cij ;
(2) 平衡条件:
对中间点:流出量=流入量,即
i(i s,t)
fij
f ji 0;
(vi ,v j )A (v j ,vi )A
对于发点 vs ,记
f sj
3 、检查 v1
在弧 (v1 , v3 ) 上 , f13 c13 2, 不满足标号条件;
在弧 (v2 , v1 ) 上 , f 21 0, 则 v2 的标号为 (v1,l(v2 )). 其中, l(v2 ) min[ l(v1), f21] min[ 4,1] 1 4 、检查 v2
在弧 (v2 , v4 )上 , f 24 c24 则, v4 的标号为 (v2 , l(v4 )).. 其中, l(v4 ) min[ l(v2 ), (c24 f24 )] min[1,4 3] 1
f : (vi , v j ) { f (vi , v j )},
为网络的一个流,并称 f (vi , v j ) 为弧
简记为
f ij .
(vi , v j ) 上的流量，
4
二、可行流与最大流
去掉所有的标号,对新的可行流重新进入标号过程.
v2 (v1,1) (4,3) v4 (v2 ,1)
(3,3)
(5,3)
v2 (4,3) (3,3)
v4 (5,3) vt
vs
(0,)
(1,1) (1,1)
(5,1) v1 (vs ,4) (2,2)
(3,0)
vt (v3 ,1)
(2,1)
v3 (v2 ,1)
一个流称为一个可行流,如果满足以下条件:
(1) 容量限制条件:对 aij (vi , v j ) A 0 fij cij ;
(2) 平衡条件:
对中间点:流出量=流入量,即
i(i s,t)
fij
f ji 0;
(vi ,v j )A (v j ,vi )A
对于发点 vs ,记
f sj
3 、检查 v1
在弧 (v1 , v3 ) 上 , f13 c13 2, 不满足标号条件;
在弧 (v2 , v1 ) 上 , f 21 0, 则 v2 的标号为 (v1,l(v2 )). 其中, l(v2 ) min[ l(v1), f21] min[ 4,1] 1 4 、检查 v2
在弧 (v2 , v4 )上 , f 24 c24 则, v4 的标号为 (v2 , l(v4 )).. 其中, l(v4 ) min[ l(v2 ), (c24 f24 )] min[1,4 3] 1
运筹学_最小费用流问题ppt课件
⑷在G中与这条最短路相应的可增广链μ上,
做 f (k) = fμ(k-1)θ
其中θ =min{μm+ in(cij
-
fi
(k-1)
j
),mμ-in
f
(k-1)
ij
}
此时 f (k)的流量为 W (f (k-1)) +θ , 若W (f (k-1)) +θ = v则停,
否则 令 f (k) 代替 f (k-1) ，返回⑵.
每条边用两条方向相反的有向边代替, 各边的权lij按如下
规则： 1. 当边 (vi , vj) ∈E, 令 lij =
dij 当 f ij < c ij +∞ 当 f ij = 0
( 其中+∞的意义是: 这条边已饱和, 不能再增大流量, 否则
要花费很高的代价, 实际无法实现, 因此权为+∞的边可从
网络中去掉. )
(10,0)
(7,5)
(10,4)
vs (8,5)
(5,5)
(2,0)
vt (0,0)
vs
1 1(－2) (2,6)
vt
-1
(2,2)
v2 (10,0) v3
v2 (10,3) v3
(c) f (1) W( f (1))=5
(d) L ( f (1) )
d (f (1)) = 5×1+5×2+ 5×1= 20
p160 - 166 6.12(c).
定义 已知网络G=(V, E, C, d), f 是G上的一个可行流, μ
为从v s到v t的(关于 f 的)可增广链, d (μ) = ∑ d i j - ∑ d i j
μ+
运筹学第17讲最小费用最大流
(P.226)。
最小费用最大流问题
作为LP问题用Excel的规划求解; 网络图论算法:分费用、流量两张图。
v2 3 62
4 v5 45
52 2
3v6 4
4 7 v7
6 v16
2 v3
3
8
1 v34 3 2
最小费用最大流问题
费用看6 作v2 边长的图4 中找V91v5 V7的最短路。
运筹学 绍兴文理学院 工学院计算机系
第十章图与网络模型
Graph and Network Optimal
图与网络基本概念 最小生成树问题 最大流问题 最小费用最大流问题
最大流问题
作为LP问题用Excel的规划求解;
网络图论算法
0
v2 3 2
0 0
256810
0 v5 5 2 00
文件的存储； 任务的安排。
安排问题
满足某种要求的安排有没有？有的话,有多少？ 如有某个定量指标时,最优安排是否存在？是 否唯一？如存在,怎么找？这类问题是优化关 心的主题。如：著名
的八皇后问题。
存在性问题：设计 一个参观如右3X3的 展览馆的路线,使每 间展馆都到而且不重
复每东西或南北两间
v2 3 0
v5
2
41
9
1
v6 1
v7
63 v1
v3
9
v4
费用:72+17×3＝123
最小费用最大流问题
删边V2V5,路程图中找V1V7最短路。
v2
6
v5
15
6
5
4
7
9
0
v311
v6 4
v7
22
v1
最小费用最大流问题
作为LP问题用Excel的规划求解; 网络图论算法:分费用、流量两张图。
v2 3 62
4 v5 45
52 2
3v6 4
4 7 v7
6 v16
2 v3
3
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1 v34 3 2
最小费用最大流问题
费用看6 作v2 边长的图4 中找V91v5 V7的最短路。
运筹学 绍兴文理学院 工学院计算机系
第十章图与网络模型
Graph and Network Optimal
图与网络基本概念 最小生成树问题 最大流问题 最小费用最大流问题
最大流问题
作为LP问题用Excel的规划求解;
网络图论算法
0
v2 3 2
0 0
256810
0 v5 5 2 00
文件的存储； 任务的安排。
安排问题
满足某种要求的安排有没有？有的话,有多少？ 如有某个定量指标时,最优安排是否存在？是 否唯一？如存在,怎么找？这类问题是优化关 心的主题。如：著名
的八皇后问题。
存在性问题：设计 一个参观如右3X3的 展览馆的路线,使每 间展馆都到而且不重
复每东西或南北两间
v2 3 0
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v6 1
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63 v1
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费用:72+17×3＝123
最小费用最大流问题
删边V2V5,路程图中找V1V7最短路。
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v311
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v1
04最大流与最小费用流PPT课件
图 1 所示网络等价于图 2 所示的单源单汇网络。
x1
,2
s
,4 x2
6 ,1
v1
5 ,1
1,1
3,0 4,0 1,0
y1 2 ,1
2,2
v4 5,3
1,0
3 ,1
s 6,0
3,2
v 3 图2 4 , 4
y3
2,2 ,0
y
,
2
6
,
t
0
6,4
10
二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。
（2）任一网络至少存在一个流，如零流 ( f (e) 0,eV ) 。
7
例 1：图 1 表示一个网络及网络流
x1
6 ,1
v1
5 ,1
1,1
3,0 4,0 1,0
y1 2 ,1
2,2
v4 5,3
1,0
3 ,1
s 6,0
x2
3,2
v3
4,4 y3
图1
发点集： X {x1, x2} 收点集： Y {y2} 中间点集： I {v1, v2, v3, v4, y1, y2}
（2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集Y 的净流量。
定义 4 设 f 是网络 N 的一个流，则 f 的流的价值 Val f 定义为
Val f ＝ f (e) f (e)
eN ( X )
eN (Y )
即流的价值是发点集的流出量，也是收点集的流入量。
9
注 3：任何一个多源多汇网络 N (V , E, c, X ,Y ) 都等价与一个 单源单汇网络 N ' (V ', E', c', X ',Y ' ) 。在解决实际问题时，常把多源
x1
,2
s
,4 x2
6 ,1
v1
5 ,1
1,1
3,0 4,0 1,0
y1 2 ,1
2,2
v4 5,3
1,0
3 ,1
s 6,0
3,2
v 3 图2 4 , 4
y3
2,2 ,0
y
,
2
6
,
t
0
6,4
10
二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。
（2）任一网络至少存在一个流，如零流 ( f (e) 0,eV ) 。
7
例 1：图 1 表示一个网络及网络流
x1
6 ,1
v1
5 ,1
1,1
3,0 4,0 1,0
y1 2 ,1
2,2
v4 5,3
1,0
3 ,1
s 6,0
x2
3,2
v3
4,4 y3
图1
发点集： X {x1, x2} 收点集： Y {y2} 中间点集： I {v1, v2, v3, v4, y1, y2}
（2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集Y 的净流量。
定义 4 设 f 是网络 N 的一个流，则 f 的流的价值 Val f 定义为
Val f ＝ f (e) f (e)
eN ( X )
eN (Y )
即流的价值是发点集的流出量，也是收点集的流入量。
9
注 3：任何一个多源多汇网络 N (V , E, c, X ,Y ) 都等价与一个 单源单汇网络 N ' (V ', E', c', X ',Y ' ) 。在解决实际问题时，常把多源
图论—最大流及最小费用流
的下一个流f ；若不存在
可增路，则当前流即为
最大流。
算法步骤：
第一步：.标号过程, 通过标号过程来寻找可增广链： (1)给原点标上； (2)任选一已标未查顶点u，检查其所有尚未标号的邻点： (a)对u的尚未标号的出邻点v，(即 u,v A),若c(u,v) f (u,v)， 则给v标号 : l(v) min{l(u),c(u,v) f (u,v)}.否则,不给v标号； (b)对u的尚未标号的入邻点v，(即 v,u A)若f (v,u) 0，则给 v标号 : l(v) min{l(u), f (v,u)}.否则,不给v标号； (3)重复(2)直到收点被标号或收点不能被标记；
v6
1
v1
(5.2)
v4
3
3
(4.2) v2
(3.0)
v5 (3.3)
vs
2
3
2
vt
1
v3
(2.2)
v6
标号：
得到增广链：s—2—5—1—4—t
求调整量：q =min[，2，3，3，3，2] = 2
2
v1
(5.4)
v4
(4.4) v2 (3.2) vs
v5 (3.3)
vt
v3
(2.2)
v6
调整可行流：去掉所有标号，重新标号
f
(a),
a是p的方向弧；
则沿路可增的流量为f (a) min f (a),该值称为f可增路 a p
p上流的增量或可增量；
(5,3) x
(4,2)
(4,2) (3,1)
(3,1) (3,3)
(3,1) y
(5,4)
例(从网络中取出来的可增路)：
x
（5,3）
运筹学第六章6.5最小费用最大流问题
该算法基于Ford-Fulkerson方法和增广路径的概念，通过不断寻找增广路径并更 新流，最终得到最大流。
预处理步骤
初始化
为每个节点和边设置相应的容量和费 用。
残量网络构建
寻找增广路径
在残量网络中寻找增广路径，即从源 点到汇点存在一条路径，该路径上的 所有边都未满载且具有正的残量。
根据边的容量和费用，构建残量网络。
05
算法的复杂度和优化
时间复杂度分析
算法时间复杂度
最小费用最大流问题通常使用Ford-Fulkerson算法或其变种来解决，时间复杂度为O(V^3 * E)，其中V是 顶点数，E是边数。
优化策略
为了提高算法效率，可以采用预处理、动态规划、记忆化搜索等策略，减少不必要的计算和重复计算 。
空间复杂度分析
最小费用最大流问题可以应用于多种 实际场景，如物流运输、能源分配、 通信网络等。
背景和重要性
最小费用最大流问题作为网络流问题 的一个重要分支，在计算机科学、运 筹学和工程领域具有广泛的应用价值。
解决最小费用最大流问题有助于优化 资源配置、降低成本和提高效率，对 于实际问题的解决具有重要的意义。
02
此外，随着计算科学和数据科学的快速发展，如 何利用新的技术和方法来求解最小费用最大流问 题也是值得关注的方向。
例如，如何设计更高效的算法来求解大规模的最 小费用最大流问题？如何处理具有特殊性质的最 小费用最大流问题？如何将最小费用最大流问题 的思想和方法应用到其他领域？
因此，未来对于最小费用最大流问题的研究仍具 有广阔的空间和挑战性。
案例一：简单网络流问题
问题描述
给定一个有向图G(V,E)，其中V是顶点的集合， E是边的集合。每条边(u,v)有一个非负的容量 c(u,v)和一个非负的费用f(u,v)。求从源点s到 汇点t的最大流，使得流的总费用最小。
预处理步骤
初始化
为每个节点和边设置相应的容量和费 用。
残量网络构建
寻找增广路径
在残量网络中寻找增广路径，即从源 点到汇点存在一条路径，该路径上的 所有边都未满载且具有正的残量。
根据边的容量和费用，构建残量网络。
05
算法的复杂度和优化
时间复杂度分析
算法时间复杂度
最小费用最大流问题通常使用Ford-Fulkerson算法或其变种来解决，时间复杂度为O(V^3 * E)，其中V是 顶点数，E是边数。
优化策略
为了提高算法效率，可以采用预处理、动态规划、记忆化搜索等策略，减少不必要的计算和重复计算 。
空间复杂度分析
最小费用最大流问题可以应用于多种 实际场景，如物流运输、能源分配、 通信网络等。
背景和重要性
最小费用最大流问题作为网络流问题 的一个重要分支，在计算机科学、运 筹学和工程领域具有广泛的应用价值。
解决最小费用最大流问题有助于优化 资源配置、降低成本和提高效率，对 于实际问题的解决具有重要的意义。
02
此外，随着计算科学和数据科学的快速发展，如 何利用新的技术和方法来求解最小费用最大流问 题也是值得关注的方向。
例如，如何设计更高效的算法来求解大规模的最 小费用最大流问题？如何处理具有特殊性质的最 小费用最大流问题？如何将最小费用最大流问题 的思想和方法应用到其他领域？
因此，未来对于最小费用最大流问题的研究仍具 有广阔的空间和挑战性。
案例一：简单网络流问题
问题描述
给定一个有向图G(V,E)，其中V是顶点的集合， E是边的集合。每条边(u,v)有一个非负的容量 c(u,v)和一个非负的费用f(u,v)。求从源点s到 汇点t的最大流，使得流的总费用最小。
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于是 vi 成为标号且已检查过的点.重复上述步骤,一旦 v t
被标上号,表明得到一条从 vs 到 v t 的增广链 ,转入调整过程.
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行不下去时,则 算法结束,此时的可行流就是最大流.
10
2 、调整过程 (1)寻找以v t 为终点的增广链----(反向追踪法): 若vt的第一个标号为vk (或 vk ),则弧(vk , vt )(相应地(vt , vk ))是
定理2 任一个网络 D (V , A,C) 中,从 vs 到 vt 的最大流的流 量等于分离 vs , vt 的最小截集的容量.
Back 9
求最大流的标号法(Ford,Fulkerson) 1 、标号过程 开始:先给 vs 标上 (0,), 此时 vs 是标号而未检查的点,
其余都是未标号点.一般地,取一个标号而未检查的点 vi ,对 一切未标号点 v j :
在V 中指定了两点 vs , vt ，分别称为发点和收点，其余 的点叫中间点．定义弧集合 A上的一个函数
f : (vi , v j ) { f (vi , v j )},
为网络的一个流,并称 f (vi , v j ) 为弧
简记为
f ij .
(vi , v j ) 上的流量，
4
二、可行流与最大流
最小费用最大流问题
最大流问题 最小费用最大流问题
1
最大流问题 引例 基本概念
最大流算法 算例
Back 2
continued
引 例 假设某个公路网的每条公路只允许单向行驶，这样 的公路网称为单行公路网．为了保证畅通，交通部门对每条 公路在单位时间内通过的车辆数目要作一个限制．问单位时 间内最多能有多少辆车从甲地出发经过该公路网到达乙地？
2 、若 是网络中联结发点 vs 和收点 vt 的一条链,定义链的
方向是从 vs 到 vt ,则链上的弧被分为两类:一类是弧的方向 与链的方向一致,称为前向弧,前向弧的全体记为 , 另一类
弧与链的方向相反,称为后向弧,后向弧的全体记为 .
3 、设f是一个可行流, 是从到的一条链,称为一条增广链,如
f js v( f );
(vs ,v j )A
(v j ,vs )A
对于收点 vt ,记
ftj
f jt v( f ).
(vt ,v j )A
(v j ,vt )A
式中 v( f ) 称为这个可行流的流量,即发点的净输出量(或收点的
净输入量)
5
最大流问题:
maxv( f ) f
0 fij cij , (vi , v j ) A
(1)若在弧 (vi , v j )上 , fij cij , 则给 v j 标号 (vi , l(v j )) ,这 里 l(v j ) min[ l(vi ), cij fij ] .此时,点 v j成为标号而未检查的点.
(2)若在弧 (v j , vi )上 , fij 0, 则给 v j标号 (vi , l(v j )) 这 里 l(v j ) min[ l(vi ), f ji ] .此时,点 v j成为标号而未检查的点.
果
((vvii
, ,
v v
j j
) )
0 0
fij fij
cij ,即正向弧集中每一条弧是非饱和弧; cij ,即反向弧集中每一条弧是非零流弧.
7
四、截集
1 、设 S,T V , S T , 把始点在 S ,终点在 T 中的所 有弧构成的集合,记为 (S,T ).
2 、给定网络 D (V , A,C)若点集 V 被剖分为两个非空集合
c12 10, c24 3, c13 8, c34 5 容量
f12 5, f 24 2, f13 3, f34 1 流量
(v5 , v4 )是饱和弧
f 54
c54
在链 (v1, v2 , v3 , v4 , v5 , v6 )中
前向弧集合
{(v1, v2 ),(v2 , v3 ),(v3 , v4 ),(v5 , v6 )} (10,5)
后向弧集合 {(v5 , v4 )}
v1
是一条增广链
(8,3)
网络与流 增广链
v2 (5,2) (3,2)
(4,1) (5,1) (6,3)
v3
v5 (11,6) v6
(3,3) (17,2)
v4
Back 3
continued
一、网络与流
一个有向图 D (V , A,C) 称为一个网络．其中，V 为图的所 有顶点集；A 为弧集；C 为各弧上容量集{cij c(vi , v j )}.
若(vi 若(vi
, ,
v v
j j
) )Βιβλιοθήκη ,fij ,若(vi , v j ) .
去掉所有的标号,对新的可行流 f ' { fij '}, 重新进入标号过程.
链上的弧。 接下来检查vk的第一个标号， 若为vi (或 vi )， 则找 出(vi , vk )(相应地(vk , vi ))。 再检查的第一个标号， 依此下去， 直到 vs为止(2。)调此整时量被找 的l(v弧t ),就即构vt的成第了二增个广标链号。。
(3)流的调整
令
fij fij
, ,
s.t. v( f ),(i s)
fij
f ji
0, (i s,t)
(vi ,v j )A
(v j ,vi )A
v( f ),(i t)
6
三、增广链 1 、给定一个可行流
称
f
ij
fij cij的弧为饱和弧; fij cij的弧为非饱和弧; fij
0的弧为零流弧; 0的弧为非零流弧.
一个流称为一个可行流,如果满足以下条件:
(1) 容量限制条件:对 aij (vi , v j ) A 0 fij cij ;
(2) 平衡条件:
对中间点:流出量=流入量,即
i(i s,t)
fij
f ji 0;
(vi ,v j )A (v j ,vi )A
对于发点 vs ,记
f sj
__
__
__
V1, V1 使vs V1, vt V1, 则弧集 (V1,V1 ) 称为分离 vs 和 vt 的
截集.
__
3
、截集 __
(V1,V1 ) 中所有弧的容量之和称为此截集的容量,记
为 c(V1,V1 ), 即
__
c(V1,V1 )
cij
_
(vi ,v j )(V1 ,V1 )
8
定理 1 可行流f是最大流 不存在关于f的增广链.
被标上号,表明得到一条从 vs 到 v t 的增广链 ,转入调整过程.
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行不下去时,则 算法结束,此时的可行流就是最大流.
10
2 、调整过程 (1)寻找以v t 为终点的增广链----(反向追踪法): 若vt的第一个标号为vk (或 vk ),则弧(vk , vt )(相应地(vt , vk ))是
定理2 任一个网络 D (V , A,C) 中,从 vs 到 vt 的最大流的流 量等于分离 vs , vt 的最小截集的容量.
Back 9
求最大流的标号法(Ford,Fulkerson) 1 、标号过程 开始:先给 vs 标上 (0,), 此时 vs 是标号而未检查的点,
其余都是未标号点.一般地,取一个标号而未检查的点 vi ,对 一切未标号点 v j :
在V 中指定了两点 vs , vt ，分别称为发点和收点，其余 的点叫中间点．定义弧集合 A上的一个函数
f : (vi , v j ) { f (vi , v j )},
为网络的一个流,并称 f (vi , v j ) 为弧
简记为
f ij .
(vi , v j ) 上的流量，
4
二、可行流与最大流
最小费用最大流问题
最大流问题 最小费用最大流问题
1
最大流问题 引例 基本概念
最大流算法 算例
Back 2
continued
引 例 假设某个公路网的每条公路只允许单向行驶，这样 的公路网称为单行公路网．为了保证畅通，交通部门对每条 公路在单位时间内通过的车辆数目要作一个限制．问单位时 间内最多能有多少辆车从甲地出发经过该公路网到达乙地？
2 、若 是网络中联结发点 vs 和收点 vt 的一条链,定义链的
方向是从 vs 到 vt ,则链上的弧被分为两类:一类是弧的方向 与链的方向一致,称为前向弧,前向弧的全体记为 , 另一类
弧与链的方向相反,称为后向弧,后向弧的全体记为 .
3 、设f是一个可行流, 是从到的一条链,称为一条增广链,如
f js v( f );
(vs ,v j )A
(v j ,vs )A
对于收点 vt ,记
ftj
f jt v( f ).
(vt ,v j )A
(v j ,vt )A
式中 v( f ) 称为这个可行流的流量,即发点的净输出量(或收点的
净输入量)
5
最大流问题:
maxv( f ) f
0 fij cij , (vi , v j ) A
(1)若在弧 (vi , v j )上 , fij cij , 则给 v j 标号 (vi , l(v j )) ,这 里 l(v j ) min[ l(vi ), cij fij ] .此时,点 v j成为标号而未检查的点.
(2)若在弧 (v j , vi )上 , fij 0, 则给 v j标号 (vi , l(v j )) 这 里 l(v j ) min[ l(vi ), f ji ] .此时,点 v j成为标号而未检查的点.
果
((vvii
, ,
v v
j j
) )
0 0
fij fij
cij ,即正向弧集中每一条弧是非饱和弧; cij ,即反向弧集中每一条弧是非零流弧.
7
四、截集
1 、设 S,T V , S T , 把始点在 S ,终点在 T 中的所 有弧构成的集合,记为 (S,T ).
2 、给定网络 D (V , A,C)若点集 V 被剖分为两个非空集合
c12 10, c24 3, c13 8, c34 5 容量
f12 5, f 24 2, f13 3, f34 1 流量
(v5 , v4 )是饱和弧
f 54
c54
在链 (v1, v2 , v3 , v4 , v5 , v6 )中
前向弧集合
{(v1, v2 ),(v2 , v3 ),(v3 , v4 ),(v5 , v6 )} (10,5)
后向弧集合 {(v5 , v4 )}
v1
是一条增广链
(8,3)
网络与流 增广链
v2 (5,2) (3,2)
(4,1) (5,1) (6,3)
v3
v5 (11,6) v6
(3,3) (17,2)
v4
Back 3
continued
一、网络与流
一个有向图 D (V , A,C) 称为一个网络．其中，V 为图的所 有顶点集；A 为弧集；C 为各弧上容量集{cij c(vi , v j )}.
若(vi 若(vi
, ,
v v
j j
) )Βιβλιοθήκη ,fij ,若(vi , v j ) .
去掉所有的标号,对新的可行流 f ' { fij '}, 重新进入标号过程.
链上的弧。 接下来检查vk的第一个标号， 若为vi (或 vi )， 则找 出(vi , vk )(相应地(vk , vi ))。 再检查的第一个标号， 依此下去， 直到 vs为止(2。)调此整时量被找 的l(v弧t ),就即构vt的成第了二增个广标链号。。
(3)流的调整
令
fij fij
, ,
s.t. v( f ),(i s)
fij
f ji
0, (i s,t)
(vi ,v j )A
(v j ,vi )A
v( f ),(i t)
6
三、增广链 1 、给定一个可行流
称
f
ij
fij cij的弧为饱和弧; fij cij的弧为非饱和弧; fij
0的弧为零流弧; 0的弧为非零流弧.
一个流称为一个可行流,如果满足以下条件:
(1) 容量限制条件:对 aij (vi , v j ) A 0 fij cij ;
(2) 平衡条件:
对中间点:流出量=流入量,即
i(i s,t)
fij
f ji 0;
(vi ,v j )A (v j ,vi )A
对于发点 vs ,记
f sj
__
__
__
V1, V1 使vs V1, vt V1, 则弧集 (V1,V1 ) 称为分离 vs 和 vt 的
截集.
__
3
、截集 __
(V1,V1 ) 中所有弧的容量之和称为此截集的容量,记
为 c(V1,V1 ), 即
__
c(V1,V1 )
cij
_
(vi ,v j )(V1 ,V1 )
8
定理 1 可行流f是最大流 不存在关于f的增广链.