最小费用流算法-数学建模共45页文档
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运筹学-16最小费用最大流
费用=20+2 9=38
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
最小费用流问题
最大流问题
Maximum Flow Problem
最大流问题
与最小费用流问题一样，最大流问题也与网 络中的流有关。 最大流的目标不是使得流的成本最小化，而 是寻找 个流的方案 使得网络的流量最大 是寻找一个流的方案，使得网络的流量最大。 除了目标不一样之外，最大流问题的特征与 最小费用流问题的特征非常相似。
最小费用流的可行解
这类问题的解需要确定通过每一条弧的流有 多大。 具有可行解的特征：在上述假设下，当且仅 当供应点所提供的流量总和等于需求点所需 要的流量总和。 对于每一个可行解，通过每一条弧的流量都 不得超过该弧的容量。 每一个节点产生的净流量必须等于该节点标 明的流量。
为了简化网络图形，我们用每一个设施旁边方括号里的数字表示净 流出的单位数，于是，每一个末端仓库的产品单位数都是用负数来 表示，如下图所示。
最小费用流的特殊类型
转运问题：有一个附加特征，即从出发地运 输到目的地过程中可能会经过中间转运点， 此外，与运输问题基本上一样。 最大流问题：最大流的源点和收点的流量不 最大流问题 最大流的源点和收点的流量不 是固定的。 最短路径问题：在两点之间寻求最短路径， 且两个节点中的边（对应“弧”）允许双向 流动，而弧只允许沿着箭头方向流动。
RN公司是一家电子公司，它的工厂分别 位于下图中的1和2。在工厂生产出的部件 可能被运送到位于3或4仓库中的任意一个 仓库 通过这些仓库 公司向5、6、7、8 仓库，通过这些仓库，公司向 等地区的零售商发货。 图中给出了每个供应点和需求点的流量 以及每一条发货线路上每一个部件的运输 成本。 公司的目标是使总运输成本达到最小。
转载节点的约束条件
运出弧线
x
运入弧线
x
最小费用最大流
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.000000 3.000000 0.000000 0.000000
结果说明，最小费用为12，此时，流值为3。
例6.8.6 用MATLAB软件求解例6.5.1。 解： MATLAB编程如下： f=zeros(7,1);f(1)=1;f(2)=1; g=-f; aeq=[1,0,-1,-1,0,0,0 0,1,0,1,-1,0,-1 0,0,1,0,1,-1,0]; beq=zeros(3,1);lb=zeros(7,1); ub=[2 1 6 3 2 4 3]';
( vi , v j )A
cij xij
（6.5.3）
n n X ij X ji 0 s.t. j 1 j 1 0 x w , (v , v ) A ij ij i j
§6.5.2 最小费用最大流问题的算法
寻求最大流的方法 最小 费用 最小费用最大流
运行结果如下：
z= 2.0000 1.0000 0.0000 2.0000 0.0000 0.0000 3.0000 favl1 = 12.0000
结果说明最大流值为3，最小费用为12。 可以看出，最小费用最大流问题其实就是在最 大流问题基础上，再进行一次线性规划问题的计算 得出。
例：求图中从vs vt的最小费用最大流。
解: 取 X (0) 0, 见图6.4.7（a）， 构造 D( X (0) ).
v2
(1, 2, 0)
(5,6,0)
v 4
(3, 4,0)
(2,3,0) (3,1, 0)
(1, 2, 0)
v1
v3 (1,3, 0)
金牌原创7.6 最小费用流.ppt
2019/10/25
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5
L（f）的构造方法如下：L（f）中的顶点是原 网络中的点，而把G中的每一条弧（vi，vj） 变成两个方向相反的弧（vi，vj）和（vj， vi）。定义
L（f）中弧（vi，vj）和（vj，vi）的权lij和 lji为：
4
vs
2
1
v2
1
6
3
(a) w(f0)
V(f 1 ) = 5
vt
2
v1 (7,5)
（10，0）
（2，0）
v3 vs
（5，5）
(8，5)
v2 (10,0)
lij
ij
若 fij <cij fij =cij
2019/10/25
l ji
ij
若 fij 0 fij= 0
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6
求流量为V目标的最小费用流的算法
第一步：k=0，从一流量为 V ( f （ (0) ) V ( f (0)≤) V目标）为最小 费用初始可行流 （一f（0般） 取零流）开始。
V ( f (k) )
V ( f (k) )
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7
例 求下图所示的网络G中，求从vs到vt的目标流值为 25的最小费用流，弧上括号内的数字第一个为容 量，第二个为弧上单位流的费用。
V1 (18,3)
(20,5) V2
(14,5)
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最小费用流问题
vt : 0 x1t x3t w
v1
vs
(10, 4) xs1 xs2
(8, 1)
x21(5,
(7, 1) x1t
2) x13(2, 6) x23
x3t (4, 2)
vt
v2 (10, 3) v3
定义
Vi：从 vi发出的所有边的终节点指标集合 Vi: 进入 vi的所有边的始节点的指标集合
如下图：
最小费用流问题
例、 最小费用流问题
v1
(10, 4)
(7, 1)
vs
(5, 2) (2, 6)
vt
(8, 1)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
括号内第一个数字是容量，第二个是单位流量费用
目标：从发点到收点的总的流量费用最小
约束：1）容量约束，各边流量不大于容量 2）流量平衡约束，各点进出流量总和相等 3）从发点到收点的总流量为 w
成从 vs 到 vt 的下述道路
dij
vt
vi
vj
vs
那么 dij 构成路长的一部分，就象 dij 构成
d() 的一部分一样
情况3）此时既可能属于前向边，也可能属于后向 边，所以上述两种可能的等价转化方式都应 该保留
总结前面讨论，可以把容量网络的每条边按以下规 则等价转换成长度网络（求最短路的网络）中的边
如果 xij 0
vi xij v j
cij , dij
vi dij v j
如果 xij cij
vi xij v j
cij , dij
如果 0 xij cij
vi xij v j
cij , dij
vi dij v j
dij
教案图与网络最小费用流
vt
（0,4,2）
v3 T (v3) [v2,3,4]
第三次迭代
T(v1) [vs,10,4] P
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
T (vt ) [v3,1,7] P
（5,5,2）
（0,6,2）
vs（ 8,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（3,10,3）
v2
T (v2 ) [v1,5,2] P
vt
（0,4,2）
v3
T (v3) [v2,8,4]
第二次迭代
T (v1) [vs ,10,4] P
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
T (vt ) [v3,3,6] P
（5,5,2）
（0,6,2）
vs（ 5,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（0,10,3）
v2
T (v2 ) [vs ,3,1] P
fsj
f js v( f )
( s, j )A
( j ,s)A
ftj
f jt v( f )
(t , j )A
( j ,t )A
fij
f ji 0, i s, t
(i, j )A
( j ,i )A
0 fij Cij
二、求解最小费用流的赋权图法
基本思想：
从零流量开始，在始点到终点的所有可能增加流 量的增广链中寻求总费用最小的链，并首先在这 条链上增加流量，得到流量为 f (1) 的最小费用流。
运输问题和指派问题可以用最小费用流 问题建模，请将它们化为最小费用流问 题。
v1
4
D=4
1
vs
2
6
vt
最小费用最大流问题.
(
vs
(
5,2)
(
(
2,6)
8,1)
V2 10,3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV3
4,2)
第一轮：f 0为初始可行流，作相应的费用有向图网络L(f 0)，如 图（a）。 在L(f 0)上用DijksTra标号法求出由vs到vt的最短路（最小费用链） 0 m i n 8，5， 5 7 μ0=(vs,v2,v1, （ vt)v ，并对 μ 按 进行流量的调整， 0 ， v ） ，（ v ， v ） ，（ v ， v ） s 2 0 2 1 0 1 t 0 由于， (1) (1) 所以有 fs2 f12 f1t(1) 5，其余不变，得新的可行流f1的流量 有向图（b）。
vs
vt
2.下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价 表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网 络图并求数值解。 2 3 产量 1 产地 销地
A B 销量 20 30 4 24 22 5 5 20 6 8 7
最小总费用为240
(20,8) A (0,8) s (30,7) (0,7) (5,8) (24,8)
4
vt
vs
1
6
2
2
v1
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0)
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5)
w(f0)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(b) f 1
v1 vs
(8，5)
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0) 4
v1
vs
vs
(
5,2)
(
(
2,6)
8,1)
V2 10,3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV3
4,2)
第一轮：f 0为初始可行流，作相应的费用有向图网络L(f 0)，如 图（a）。 在L(f 0)上用DijksTra标号法求出由vs到vt的最短路（最小费用链） 0 m i n 8，5， 5 7 μ0=(vs,v2,v1, （ vt)v ，并对 μ 按 进行流量的调整， 0 ， v ） ，（ v ， v ） ，（ v ， v ） s 2 0 2 1 0 1 t 0 由于， (1) (1) 所以有 fs2 f12 f1t(1) 5，其余不变，得新的可行流f1的流量 有向图（b）。
vs
vt
2.下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价 表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网 络图并求数值解。 2 3 产量 1 产地 销地
A B 销量 20 30 4 24 22 5 5 20 6 8 7
最小总费用为240
(20,8) A (0,8) s (30,7) (0,7) (5,8) (24,8)
4
vt
vs
1
6
2
2
v1
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0)
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5)
w(f0)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(b) f 1
v1 vs
(8，5)
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0) 4
v1
vs
运筹学课件最小费用流问题概要
vt
） 2 , 4 , 3 （
（3,10,3）
v2
v3
第三次剩s
-1
-2
vt
2
6
3
v2
-3
v3
第三次调整网络流
v1
1 （ ） 4 , ,10
（5 ,5 ,1 ）
vs
（ 8,8 ,1）
（4,5,2）
vt
） 2 , ,4 4 （
（4,10,3）
（ ,6） 0,2
v2
v3
v1
三、求解最小费用流的复合标号法
修正如下： 标号过程中，永久标号和临时标号一样 是可以改变的。对任一顶点而言，它有 可能反复变成T标号和P标号，顶点每次 变成P标号，标号过程都要从该顶点重新 开始。 所有顶点变为P标号，算法停止。
三、求解最小费用流的复合标号法
P(vs ) [0, ,0]
正向弧是非饱和弧： 反向弧是非零流弧：
（0 ，5 ， 1）
( f ij ,cij ,bij )
（0，5，2）
1
0，
4）
（
vs （
（
6） 2， 0，
0， 8，
vt
） 2 ， 4 ， 0 （
1）
（0，10，3）
v2
v3
第一次剩余网络最短路
v1
1
D=4
4
vs
1
2
vt
2
6
3
v2
v3
第一次调整网络流
v1
（5,5,2）
0, （ , 0 1 4）
P(vs ) [0, ,0]
0, 8, 1）
vt
（ 0 ） 2 , ,4
T (v2 ) [vs ,8,1] P
最小费用最大流简介
6
最大流=f1+f2+f3=4+2+2=8
最小费用=48+26+30=104
算法设计：贪心策略
设p是图的一条增广路径，定义路径p的长度为：
w[i, j ]
w[i, j ]
i , j P
i ,。
如果p是一条最短（单位费用最小）的可增广路径， 称p是一条最小费用可增广路。
(4,6)
实例：
（容量，单位费用）
(2,5)
2
(5,7)
3
(4,3)
1
(6,2)
6 5
(8,5)
4
(7,6)
①、最小费用可增广路（最短路径） 1436 长度（单位流量总费用） =2+7+3=12 f 1=4 cost1=4*12=48
(4,6) (2,5)
2
4
(5,7) 4
3
4
(4,3)
1
(6,2)
6 5
(8,5)
4
(7,6)
(4,6)
(2,5)
2
4 (5,7) 4
3
4
(4,3)
1
②、最小费用可增广路 1456 长度（单位流量总费用） =2+6+5=13 f2 =2 cost2=2*13=26
6 5
(8,5)
(6,2)
4
(7,6)
(4,6)
(2,5)
2
(5,7) 2 4 2 (7,6)
// short[i]:i到源点1的最短距离(最小费用);
b:array[1..maxn] of integer; // b[i]:最小费用可增广路 径上结点i的前驱
最小费用最大流问题
, ,
若(vi 若(vi
, ,
v v
j j
) )
,
fij ,若(vi , v j ) .
去掉全部旳标号,对新旳可行流 f ' { fij '}, 重新进入标号过程.
Back
continued
算 例 用标号法求右下图所示网络旳最大流.弧旁旳数是 (cij , fij ).
解:(一)标号过程
b(
f
*)
min f
bij
(vi ,v j )A
f ij
怎么求解这个问题?
1、定义 增广链 旳费用为 bij bij
结论:若 f 是流量为v( f )旳全部可行流中费用最小者,而 是有关 f 旳全部增广链中费用最小旳增广链,则沿 去调 整 f ,得到旳可行流 f ' ,就是流量为 v( f ')旳全部可行流中旳最 小费用流.这么,当 f ' 是最大流时,它即为所求旳最小费用最 大流.
cij ,即正向弧集中每一条弧是非饱和弧; cij ,即反向弧集中每一条弧是非零流弧.
四、截集
1 、设 S,T V , S T , 把始点在 S ,终点在 T 中旳全 部弧构成旳集合,记为 (S,T ).
2 、给定网络 D (V , A,C)若点集 V 被剖分为两个非空集合
__
__
__
v1 (2,2)
v2
(3,3)
(4,3)
vs
(0,)
(1,0) (1,0)
(5,2) v1 (vs ,3) (2,2)
v4
(5,3)
(3,0)
vt
(2,2)
v3
v4 (5,3) vt
(3,0) (2,2)
最短路径最少费用数学建模论文
摘要现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，即高质量高速度的完成送货任务，针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，并进行了反复验证，得出如下结果：问题1：根据所给问题与数据，我们将题目中给出的城市，及其之间的线路可看成一个赋权连通简单无向图，采用了求这个图最小生成树的办法，求出最优线路.在此基础上，我们通过观察分析计算对上述结果进行修正，然后我们再采用穷举法对问题结果进行验证，结果相吻合。
最终得到如下路线：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。
（最短时间为61小时）问题2：由于题中有货物重量与体积限制，货机一次最多只能载50件产品，考虑19个城市的总需求为114，这就估算出至少需要返回2次，采用逆向求解的方法，相当于3架货机同时送货，要设计线路使总共花费的时间最短，尽量使送货任务均衡，最大限度不超过50件货物，最后得出结果为：北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。
（总的时间为71.77777）（其中红色表示只路过不送货）问题3：要求问题1，2的花费最少，只需对前两个模型做进一步优化即可，经过优化计算我们得到如下结果：问题1的最少花费为584250（元），路线如下：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京问题2的最少花费为711750（元），线路如下：北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。
最小费用流问题
05
最小费用流问题的扩展问题
多源和多汇问题
多个源点
当网络中有多个源点时，每个源点都有自己的供应量，要求流经整个网络并从指定的汇点流出。最小 费用流问题需要找到一种分配方式，使得从各个源点出发的流量的总和等于各自的供应量，同时总费 用最小。
多个汇点
与多源点类似，当网络中有多个汇点时，每个汇点都有自己的需求量，要求流经整个网络并流入各个 汇点。最小费用流问题需要找到一种分配方式，使得从源点出发的流量能够满足各个汇点的需求，同 时总费用最小。
问题背景和重要性
• 最小费用流问题在实际生活中有着广泛的应用，如物流网 络中的最优路径选择、通信网络中的数据流优化、电力网 络中的电力分配等。解决最小费用流问题可以为企业和组 织节省大量的成本和资源，提高运营效率。
问题的限制和假设
限制
最小费用流问题通常需要考虑图中可能存在的瓶颈和约束条件，如边的容量限 制、流量方向限制等。
动态变化
实际网络中流量的变化可能导致 最小费用流问题需要不断更新求 解，需要设计能够适应动态变化 的算法。
多目标优化
在实际应用中，最小费用流问题 常常需要考虑多个目标，如费用、 时间、可靠性等，需要发展多目 标优化的方法。
感谢观看
THANKS
最小费用流问
• 最小费用流问题概述 • 最小费用流问题的数学模型 • 最小费用流问题的算法 • 最小费用流问题的应用场景 • 最小费用流问题的扩展问题 • 最小费用流问题的挑战和未来研
究方向
目录
01
最小费用流问题概述
问题定义
• 最小费用流问题是在给定一个有向图或无向图中，寻找一条或 多条路径，使得从源点到汇点的总流量最大，且每条边的流量 不超过该边的容量，同时要求总费用最小。
图论—最大流及最小费用流
的下一个流f ；若不存在
可增路，则当前流即为
最大流。
算法步骤：
第一步：.标号过程, 通过标号过程来寻找可增广链： (1)给原点标上； (2)任选一已标未查顶点u，检查其所有尚未标号的邻点： (a)对u的尚未标号的出邻点v，(即 u,v A),若c(u,v) f (u,v)， 则给v标号 : l(v) min{l(u),c(u,v) f (u,v)}.否则,不给v标号； (b)对u的尚未标号的入邻点v，(即 v,u A)若f (v,u) 0，则给 v标号 : l(v) min{l(u), f (v,u)}.否则,不给v标号； (3)重复(2)直到收点被标号或收点不能被标记；
v6
1
v1
(5.2)
v4
3
3
(4.2) v2
(3.0)
v5 (3.3)
vs
2
3
2
vt
1
v3
(2.2)
v6
标号：
得到增广链：s—2—5—1—4—t
求调整量：q =min[，2，3，3，3，2] = 2
2
v1
(5.4)
v4
(4.4) v2 (3.2) vs
v5 (3.3)
vt
v3
(2.2)
v6
调整可行流：去掉所有标号，重新标号
f
(a),
a是p的方向弧；
则沿路可增的流量为f (a) min f (a),该值称为f可增路 a p
p上流的增量或可增量；
(5,3) x
(4,2)
(4,2) (3,1)
(3,1) (3,3)
(3,1) y
(5,4)
例(从网络中取出来的可增路)：
x
（5,3）
最新最小费用流算法-数学建模精品文档
5
B6D
(开始) A
4 4
7
5
C 3E
6
F (结束) 1
项目网络不含圈（其最长路问题和最短路问题都是可解的）12
例：最大流 / 最小费用流
从甲地到乙地的公路网纵横交错，每天每条路上的通 车量有上限. 从甲地到乙地的每天最多能通车多少辆?
5
B6D
(甲) A
4 4
7
5
C 3E
6
F (乙) 1
考虑每条路上的通行成本,如何确定某个车队的具体行 车路线,使总成本最小?
a4 (v3,v4) a5 (v4,v1) a6 (v3,v3)
7
网络优化问题的例子
例： 公路连接问题
某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路 把这些城市连接起来， 使得从其中任何一个城市 都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市. 假 定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成 本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路， 使得总成本最小？
或《网络规划》（Network Programming)
6
图与网络 – 基本概
念
a5
a2
a3
a4
v1
v2
v3
v4
v5
a1
a6
图G=(V，A)，其中顶点集V= {v1,v2,v3,v4,v5}
弧集A= {a1,a2,a3,a4,a5,a6}
弧 a1(v1,v2) a2 (v1,v2) a3 (v2,v3)
(最短路)
– Maximum Flow
(最大流)
– Minimum Cost Flow – Matching
(最小费用流) (匹配)
– ……
最小费用路径
最小费用路径引言最小费用路径是指在一个有向带权图中寻找一条路径，使得该路径的起点和终点已知，并且路径上的边的费用之和最小。
这是一个非常重要且实用的问题，它在许多领域中都有应用，如物流配送、电路设计、网络传输等。
Dijkstra算法Dijkstra算法是一种经典的求解最短路径问题的算法，它可以用于寻找最小费用路径。
首先介绍Dijkstra算法的原理和流程，然后详细解释如何利用Dijkstra算法求解最小费用路径问题。
原理Dijkstra算法通过维护一个距离数组，记录从起点到每个顶点的当前最短距离。
算法开始时，将起点到起点的距离设为0，其它顶点的距离设为无穷大。
然后从起点开始，选择一个距离最小的顶点，更新该顶点的邻接顶点的距离。
重复这个过程，直到找到终点或者所有顶点都被访问过。
流程1.初始化距离数组，将起点到起点的距离设为0，其它顶点的距离设为无穷大。
2.选择未访问的顶点中距离最小的顶点，记为当前顶点。
3.更新当前顶点的邻接顶点的距离，如果通过当前顶点到达邻接顶点的距离小于该邻接顶点当前的距离，则更新距离。
4.标记当前顶点为已访问。
5.重复步骤2~4，直到找到终点或者所有顶点都被访问过。
6.如果找到终点，则输出最小费用路径；否则，表示不存在路径。
Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种求解最小费用路径问题的经典算法，它可以处理图中存在负权边的情况。
接下来介绍Bellman-Ford算法的原理和流程。
Bellman-Ford算法通过进行多次松弛操作，逐步求解最小费用路径。
算法开始时，将起点到所有顶点的距离设为无穷大，起点到起点的距离设为0。
然后进行V-1次的松弛操作，每次操作都尝试找到更短的路径，并更新路径上的顶点的距离。
最后进行第V次松弛操作，如果仍然存在更短的路径，则说明存在负权环路。
流程1.初始化距离数组，将起点到起点的距离设为0，其它顶点的距离设为无穷大。
2.进行V-1次的松弛操作，每次操作都遍历所有边，如果通过当前边到达某个顶点的距离小于该顶点当前的距离，则更新距离。
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