运筹学课件4.7 最小费用流问题
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最小费用最大流问题ppt课件
v4 (5,3) vt
(3,0)
(2,1) v3
v1
Back 14
continued
(二)调整过程 (1)寻找以为终点的增广链----(反向追踪法)
若vt的第一个标号为v3 , 则弧(v3 , vt )是链上的弧。 接下来检查 v3的第一个标号， 为 v2， 则找出(v3 , v2 )是链上的弧。 同理， (v2 , v1 )和(vs , v1 )是链上的弧. 此时所求的增广链(vs , v1 , v2v3 , vt )。
(2)若在弧 (v j , vi )上 , fij 0, 则给 v j标号 (vi , l(v j )) 这 里 l(v j ) min[ l(vi ), f ji ] .此时,点 v j成为标号而未检查的点.
于是 vi 成为标号且已检查过的点.重复上述步骤,一旦 v t
被标上号,表明得到一条从 vs 到 v t 的增广链 ,转入调整过程.
3 、检查 v1
在弧 (v1 , v3 ) 上 , f13 c13 2, 不满足标号条件;
在弧 (v2 , v1 ) 上 , f 21 0, 则 v2的标号为 (v1,l(v2 )). 其中, l(v2 ) min[ l(v1), f21] min[ 4,1] 1 4 、检查 v2
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行不下去时,则 算法结束,此时的可行流就是最大流.
10
2 、调整过程 (1)寻找以v t 为终点的增广链----(反向追踪法): 若vt的第一个标号为vk (或 vk ),则弧(vk , vt )(相应地(vt , vk ))是
链上的弧。 接下来检查vk的第一个标号， 若为vi (或 vi )， 则找 出(vi , vk )(相应地(vk , vi ))。 再检查的第一个标号， 依此下去， 直到 vs为止(2。)调此整时量被找 的l(v弧t ),就即构vt的成第了二增个广标链号。。
最小费用流问题
最大流问题
Maximum Flow Problem
最大流问题
与最小费用流问题一样，最大流问题也与网 络中的流有关。 最大流的目标不是使得流的成本最小化，而 是寻找 个流的方案 使得网络的流量最大 是寻找一个流的方案，使得网络的流量最大。 除了目标不一样之外，最大流问题的特征与 最小费用流问题的特征非常相似。
最小费用流的可行解
这类问题的解需要确定通过每一条弧的流有 多大。 具有可行解的特征：在上述假设下，当且仅 当供应点所提供的流量总和等于需求点所需 要的流量总和。 对于每一个可行解，通过每一条弧的流量都 不得超过该弧的容量。 每一个节点产生的净流量必须等于该节点标 明的流量。
为了简化网络图形，我们用每一个设施旁边方括号里的数字表示净 流出的单位数，于是，每一个末端仓库的产品单位数都是用负数来 表示，如下图所示。
最小费用流的特殊类型
转运问题：有一个附加特征，即从出发地运 输到目的地过程中可能会经过中间转运点， 此外，与运输问题基本上一样。 最大流问题：最大流的源点和收点的流量不 最大流问题 最大流的源点和收点的流量不 是固定的。 最短路径问题：在两点之间寻求最短路径， 且两个节点中的边（对应“弧”）允许双向 流动，而弧只允许沿着箭头方向流动。
RN公司是一家电子公司，它的工厂分别 位于下图中的1和2。在工厂生产出的部件 可能被运送到位于3或4仓库中的任意一个 仓库 通过这些仓库 公司向5、6、7、8 仓库，通过这些仓库，公司向 等地区的零售商发货。 图中给出了每个供应点和需求点的流量 以及每一条发货线路上每一个部件的运输 成本。 公司的目标是使总运输成本达到最小。
转载节点的约束条件
运出弧线
x
运入弧线
x
最大流与最小费用流PPT课件
第6页/共36页
(1)为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流 问题（譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
图10.3.2
第7页/共36页
在图10.3.2中，每条弧 上V标ij 有两个数字，其
中，靠近点 i 的是 ，c靠ij 近点 j 的是 。如c①ji
②表示5 从0①到②的最大通过量是5（百辆），从② 到①的最大通过量是0；② ③表示从2②到2③和 从③到②都可以通过2（百辆）；等等。
例如，在图10.3.11中，从①到⑦的最短路是①— ③—⑤—⑦，代价为7，在这条最短非饱和路上取P 3 后，③—⑤变成容量为零，在下一次选择最短路时 应将③—⑤视为断路来选取最短非饱和路。另外， 选取①—③—⑤—⑦路后，③—①，⑤—③，⑦— ⑤的弧成为容量大于零的弧，可分别标上它们的代 价值为-3，-3，-1，是①—③，③—⑤，⑤—⑦的相 反数。
转入步骤④，用原图中各条弧上发点与收点数
值减去修改后的图上各点的数值，将得到正负号
相反的两个数，将这个数标在弧上，并将从正到
负的方向用箭头表示,这样就得到最大流量图。例
如原来弧(3,6) 是③ 7 0 ⑥，现在是③ 2 5 ⑥，
相减为±5，③那边为正，我们就记作③ 5⑥。
这样，就得到图10.3.9，即最大流量图。依这样的
第12页/共36页
通过第1次修改，得到图10.3.3。
图10.3.3
返回步骤①，进行第2次修改。
第13页/共36页
第2次修改： 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由
于 P c25，所3 以，将 改为2c12， 改为0，c25 改
为5，c5、7 、 改为c213。c5修2 改c后75 的图变为图
10.3.4。
(1)为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流 问题（譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
图10.3.2
第7页/共36页
在图10.3.2中，每条弧 上V标ij 有两个数字，其
中，靠近点 i 的是 ，c靠ij 近点 j 的是 。如c①ji
②表示5 从0①到②的最大通过量是5（百辆），从② 到①的最大通过量是0；② ③表示从2②到2③和 从③到②都可以通过2（百辆）；等等。
例如，在图10.3.11中，从①到⑦的最短路是①— ③—⑤—⑦，代价为7，在这条最短非饱和路上取P 3 后，③—⑤变成容量为零，在下一次选择最短路时 应将③—⑤视为断路来选取最短非饱和路。另外， 选取①—③—⑤—⑦路后，③—①，⑤—③，⑦— ⑤的弧成为容量大于零的弧，可分别标上它们的代 价值为-3，-3，-1，是①—③，③—⑤，⑤—⑦的相 反数。
转入步骤④，用原图中各条弧上发点与收点数
值减去修改后的图上各点的数值，将得到正负号
相反的两个数，将这个数标在弧上，并将从正到
负的方向用箭头表示,这样就得到最大流量图。例
如原来弧(3,6) 是③ 7 0 ⑥，现在是③ 2 5 ⑥，
相减为±5，③那边为正，我们就记作③ 5⑥。
这样，就得到图10.3.9，即最大流量图。依这样的
第12页/共36页
通过第1次修改，得到图10.3.3。
图10.3.3
返回步骤①，进行第2次修改。
第13页/共36页
第2次修改： 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由
于 P c25，所3 以，将 改为2c12， 改为0，c25 改
为5，c5、7 、 改为c213。c5修2 改c后75 的图变为图
10.3.4。
教案图与网络最小费用流PPT课件
如何求最小费用增广链？
生成最小费用可行流的剩余网络：
将饱和弧反向 将非饱和非零流弧加一反向弧 零流弧不变 所有正向弧的权为该弧的费用，反向弧的权
为该弧费用的相反数
剩余网络又叫长度网络，本教材叫做赋 权图。
最小费用增广链对应剩余网络的最短路
最小费用流的实例
v1
（0，10，4）
vs（
vi
-1
vs
-2
6
vt
-1
2
3
v2
-3
v3
13
第三次调整网络流
v1
（1,10,4）
（5,5,1）
（4,5,2）
（0,2,6）
vs
（ 8,8,1）
（4,10,3）
v2
vt
（4,4,2）
v3
14
剩余网络已不存在最短路
v1
-4
-1
4
vs
2 -2
6
vt
-1
-2
3
v2
v3
-3
15
最小费用最大流
制定一个总运量为7且总运费最小的运输 方案：最小费用流问题
给定网络N=(V,A,c,b)和经过网络的流量v，求流在 网络上的最佳分布，使总费用最小。
c为弧的容量，b为弧上通过单位流量的费用
min b ( f )
b ij f ij
( i , j ) A
f sj
f js v ( f )
( s , j ) A
( j ,s ) A
f tj
f jt v ( f )
v (fi j,ci j,bi j) j
（0，5，1）
vt
（0，5，2）
（0，2，6）
最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow Problem）是一种在特定的多媒体网络中传送给定体积的流量，使总花费最小化的一种算法。
它能满足一些实际生活中的求解，比如电力系统的供求、工厂的物料的分配和两地之间的物品的运输问题，以及更加复杂的产品开发和行业分工中的分布问题等等。
最小费用最大流问题的目标是在满足给定的最大流量要求的前提下，找出具有最小成本的流量方案。
这种问题的解决步骤如下：
1. 在图形中定义网络：用图形表示整个网络，每条边的容量是边上的流量上限。
2. 尝试找出最大流量：在不超过容量限制的前提下，找出输出流量最大的允许方案，也就是最小费用最大流量。
3. 计算最小成本：对所有边的成本进行总结，计算出最小成本。
下面以一个最小费用最大流问题的例题来说明：
假设有一个三角形的网络，它由一个源点S、一个汇点T、一个中间点O以及三条边组成，边的名字分别是SO、OT、OS，它们的容量分别是10、15和5，费用分别是5、3和2。
要求我们在此条件下求解最小费用最大流问题。
解：首先，我们可以求出最大流量：在边SO的容量为10时，我们可以将费用最小的边OT累加，得到最大流量值为10+3=13。
接下来，计算最小费用：根据上述算法，所有边的费用应该都大于等于0，才能累加而得到最大流量。
也就是说，最小费用为
5+3+2=10。
最后，最小费用最大流问题的解为：最大流量13，最小成本10。
2024版清华大学出版《运筹学》第三版完整版课件
要点三
金融服务与投资管理
在金融服务和投资管理中，存储论可用 于优化资金配置和投资组合，降低风险 和提高收益。例如，通过定期订货模型 的运用，可以制定合理的投资策略和资 产配置方案，实现资产的保值增值和风 险控制。
2024/1/28
31
07
排队论
2024/1/28
32
排队论的基本概念
2024/1/28
清华大学出版《运筹 学》第三版完整版课
件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 绪论 • 线性规划 • 整数规划 • 动态规划 • 图与网络分析 • 存储论 • 排队论
2
01
绪论
2024/1/28
3
运筹学的定义与发展
运筹学的定义
运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何在有限资源下做出最优决策，以最 大化效益或最小化成本。
目标函数
表示决策变量的线性函数，需要最大化或最 小化。
约束条件
表示决策变量需要满足的线性等式或不等式。
2024/1/28
决策变量
表示问题的未知数，需要在满足约束条件的 情况下求解目标函数的最优值。
8
线性规划问题的图解法
01
可行域
表示所有满足约束条件的决策变量构成的集合。
2024/1/28
02
目标函数等值线
2024/1/28
34
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
到达间隔和服务时间均服从负指数分布的单服务台排队系 统。
M/D/1排பைடு நூலகம்系统
到达间隔服从负指数分布，服务时间服从确定型分布的单 服务台排队系统。
表格。
10
最小费用最大流问题
近似算法和启发式算法
要点一
近似算法
近似算法是一种用于求解NP-hard问题的有效方法，它可 以在多项式时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流 问题的近似算法包括Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法等。
要点二
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的算法，它可以在合理 的时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的启 发式算法包括基于增广路径的算法、基于贪婪的算法等。
研究如何将最小费用最大流问题 应用于计算机科学领域，例如计 算机网络、云计算等。
物理学
研究如何借鉴物理学中的理论和 思想，解决最小费用最大流问题， 例如利用流体动力学中的思想来 研究网络中的流。
谢谢观看
Hale Waihona Puke 06未来研究方向和展望算法优化和改进
动态规划算法
研究如何优化动态规划算法，减少时间复杂度 和空间复杂度，提高求解效率。
近似算法
研究近似算法，在保证求解质量的前提下，提 高求解速度。
并行计算和分布式计算
研究如何利用并行计算和分布式计算技术，加速最小费用最大流问题的求解。
新的问题定义和模型
考虑更复杂的情况
和技术。
有界容量和无界容量
总结词
有界容量和无界容量是指在网络中节点之间 的容量是否有限制。
详细描述
在最小费用最大流问题中，如果节点之间的 容量有限制，即为有界容量问题；如果节点 之间的容量没有限制，即为无界容量问题。 有界容量问题可以通过增广路径算法、预流 推进算法等求解，而无界容量问题则需要采
用其他算法和技术进行求解。
算法概述
最小费用最大流问题是一种网络流问 题，旨在在给定有向图中寻找一条路 径，使得从源节点到汇点之间的总流 量最大，同时满足每个节点的流入量 等于流出量，以及每条边的容量限制。
运筹学课件运输问题
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、约 束条件和目标函数组成，用于描述问 题的数学关系。
VS
数学模型的一般形式为： $text{maximize} quad f(x)$$text{subject to} quad a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或$a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$，其中$x_1, x_2, ldots, x_n$是决策变量，$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b$是常数，$f(x)$是目标函 数。
运输问题的分类
按产地和目的地数量
单对多、多对单、多对多运 输问题。
按运输方式
陆运、空运、水运等运输问 题。
按优化目标
最小化运输成本、最小化运 输时间、最小化运输量等运 输问题。
运输问题的应用场景
物流配送
如何将货物从多个仓库运送到 多个零售店，以最小化总运输
成本。
车辆路径规划
如何规划车辆行驶路径，以最 小化总行驶时间和成本。
详细描述
在实际的货物运输过程中，可能会遇到各种不确定性和 风险，如天气变化、交通拥堵、意外事故等。这些因素 可能会对运输计划产生影响，甚至导致运输计划的失败 。因此，在制定运输计划时，需要考虑这些不确定性和 风险，并制定相应的应对措施。
实际案例二：城市物流配送优化
总结词
优化城市物流配送路径和策略
VS
运筹学课件运输问题
目录
• 运输问题概述 • 线性规划与运输问题 • 运输问题的解决方案 • 运输问题的扩展与优化 • 案例分析
01
运输问题概述
最小费用最大流
最小费用最大流1.最大流问题1.1案例假设现在因为种种原因，我们只能通过地面线路来运输口罩物资，并且每一条线路是有流量限制的。
假设不考虑运输速度，并且源点S （杭州）的口罩物资产量是足够多的，我们需要求解汇点T（武汉）在不计速度的情况下能收到多少物资？对于这个流网络，我们可以轻松的获得汇点T的最大流量。
因为在这个图中，只有两条路径，分别是S → A → B → T和S → C → D → T两条路径来输送流量，前者最大流量是12 ，后者是4，所以最大流量总和是16。
1.2建模图1是连接产品产地Vs和销售地Vt的交通网，每一条弧代表两点间的运输线，弧旁的数字表示这条运输线的最大通过能力。
现在要求制定一个运输方案，使得从Vs运输到Vt的产品数量最多。
图1模型():(,):(,)max .,,,,s ,0,s.t 0,,V V st f c Vf f t f Vμυμυμυυμυυυμμυλμυμυλμλμμμυ∈∈≤∀∈⎧=⎪-=-=⎨⎪≠⎩≥∀∈∑∑其中λ表示总共运输量f μυ表示弧(),μυ中的实际流量(),c μυ表示弧(),μυ中的容量限制S,t 表示物质运输的起点和终点最大流问题的推广现实问题中的网络，不但边有容量，而且点也有容量。
例如运 输网络中表示中转站的点v, 点容量 c(v) 可表示该中转站能容纳的货物的数列。
对点有容量的网络 N ，流函数若满足对一点 v,流入v 的流量之和等于流出v 的流量之和，并且小于等于c(v),2.最小费用最大流问题上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法，但是还没有考虑到网络上流的费用问题，在许多实际问题中，费用的因素很重要。
例如，在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。
这就是下面要介绍的最小费用流问题。
在运输网络N = (s,t,V, A,U)中，设(),c μυ是定义在A上的非负函数，它表示通过弧(),μυ单位流的费用。
运筹学课件最小费用流问题概要
vt
） 2 , 4 , 3 （
（3,10,3）
v2
v3
第三次剩s
-1
-2
vt
2
6
3
v2
-3
v3
第三次调整网络流
v1
1 （ ） 4 , ,10
（5 ,5 ,1 ）
vs
（ 8,8 ,1）
（4,5,2）
vt
） 2 , ,4 4 （
（4,10,3）
（ ,6） 0,2
v2
v3
v1
三、求解最小费用流的复合标号法
修正如下： 标号过程中，永久标号和临时标号一样 是可以改变的。对任一顶点而言，它有 可能反复变成T标号和P标号，顶点每次 变成P标号，标号过程都要从该顶点重新 开始。 所有顶点变为P标号，算法停止。
三、求解最小费用流的复合标号法
P(vs ) [0, ,0]
正向弧是非饱和弧： 反向弧是非零流弧：
（0 ，5 ， 1）
( f ij ,cij ,bij )
（0，5，2）
1
0，
4）
（
vs （
（
6） 2， 0，
0， 8，
vt
） 2 ， 4 ， 0 （
1）
（0，10，3）
v2
v3
第一次剩余网络最短路
v1
1
D=4
4
vs
1
2
vt
2
6
3
v2
v3
第一次调整网络流
v1
（5,5,2）
0, （ , 0 1 4）
P(vs ) [0, ,0]
0, 8, 1）
vt
（ 0 ） 2 , ,4
T (v2 ) [vs ,8,1] P
运筹学 最大流与最小费用流ppt课件
图 1 所示网络等价于图 2 所示的单源单汇网络。
x1
,2
6 ,1
1 ,1
2,2
v1
5 ,1
4,0
y1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3,0
1,0
1,0
3 ,1
4,4
2 ,1
s
6,0
2,2
,0
,6 t
s
,4
x2
v 4 5,3
3,2
y2
,0
6,4
v3
图2
y3
二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题， 例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。 定义 5 设 N (V , E, c, s, t ) 是一个网络， f 是一个流，若不存在 流 f ' ，使
定义 3
eN ( A)
f (e)
eN ( A)
设 f 是 网 络 N 的 一 个 流 ， AV ， 则 称 f (e) 为流出 A 的净流量，称 f (e) f (e)
eN ( A) eN ( A)
为流入 A 的净流量。 注 2： （1）流入、流出任何中间点的净流量为 0； （2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集 Y 的净流量。
'
( ,) i j A iS , jS
uij 为割 ( A, A)
N 的最小割。
注 4：割是从 A 到 A 的有向弧组成的
最大流与最小割的关系：
定理 1 设 f 是 N 的流， ( A, A) 是一个割，则： （1） Val f
eN ( A)
x1
,2
6 ,1
1 ,1
2,2
v1
5 ,1
4,0
y1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3,0
1,0
1,0
3 ,1
4,4
2 ,1
s
6,0
2,2
,0
,6 t
s
,4
x2
v 4 5,3
3,2
y2
,0
6,4
v3
图2
y3
二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题， 例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。 定义 5 设 N (V , E, c, s, t ) 是一个网络， f 是一个流，若不存在 流 f ' ，使
定义 3
eN ( A)
f (e)
eN ( A)
设 f 是 网 络 N 的 一 个 流 ， AV ， 则 称 f (e) 为流出 A 的净流量，称 f (e) f (e)
eN ( A) eN ( A)
为流入 A 的净流量。 注 2： （1）流入、流出任何中间点的净流量为 0； （2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集 Y 的净流量。
'
( ,) i j A iS , jS
uij 为割 ( A, A)
N 的最小割。
注 4：割是从 A 到 A 的有向弧组成的
最大流与最小割的关系：
定理 1 设 f 是 N 的流， ( A, A) 是一个割，则： （1） Val f
eN ( A)
运筹学图与网络模型以及最小费用最大流 PPT
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
6
a1
(v2)钱
a7
a2
a8
(赵v1)
a3 a14
a15
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(周v5)运筹学图与a网10络模型(以v及6)吴最小费a用13
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最大流
图11-3
(v4) 李
(v7)陈
• 定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所
运筹学图与网络模型以及最小费用
11
最大流
• 如何用最短的线路将三部电话连起来？ • 此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三顶点
的路线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路 线者显然是二边之和（如AB∪AC）。
A
B
C
运筹学图与网络模型以及最小费用
12
最大流
• 但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网络的最短 路线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N比原来只连三点 的最短路径O要短。这样得到的网络不仅比原来节省材料， 而且稳定性也更好。
运筹学图与网络模型以及最小费用
14
最大流
例 渡河游戏
• 一老汉带了一只狼、一只羊、一棵白菜想要从南岸过河
到北岸，河上只有一条独木舟，每次除了人以外，只能 带一样东西；另外，如果人不在，狼就要吃羊，羊就要 吃白菜，问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西 都运过河去，并且在河上来回次数最少？这个问题就可 以用求最短路方法解决。
Chapter11 图与网络分析 ( Graph Theory and Network Analysis )
运筹学应用实例
如下图A、B、C、D、E、F分别表达陆地和岛屿，若河旳两岸 分别被敌对两方部队占领，问至少切断哪几座桥梁才干阻止对 方部队过河？
A
B
C
D
E
F
陆地、河流及桥梁示意图
解：
将A，B，C，D，E，F分别用一种点表达，相互之间有桥相连 旳连一条弧；弧旳容量就是两点间旳桥梁数；设一种方向，得 到网络图如下：
A
例3.设备更新问题
某单位使用一台生产设备，在每年年底，单位领导都要决 策下年度是购置新设备还是继续使用旧设备。
若购置新设备，需要支付一笔购置费；假如继续使用旧旳， 则要支付一定旳维修费用。
一般说来，维修费随设备使用年限旳延长而增长。根据以 往旳统计资料，已经估算出设备在各年年初旳价格和不同 使用年限旳年维修费用，分别示于表1和表2。
相应旳开门方案如图所 示，共开10个门。
B C IJ
H
A
D GK
E
F
开门方案
例5：选址问题
有六个居民点v1，v2，v3，v4，v5，v6，拟定建一夜校，已知 各点参加学习旳人数为25、20、30、10、35、45人，其道路 如图所示，试拟定学校位于哪一种居民点，才干使学习者 所走旳总旅程至少？（图中边旁旳数字为路段长度）
用一条边把代表这两个项目
v2
旳顶点连接起来。这么得到
v3
下图
v1
为了处理这个问题，只需
找到一条包括全部顶点旳
v4
初等链。
v5
如：{v4，v1，v2，v3，v5}是一条初等链，相应旳比赛是： 100m自由泳，50m仰泳，50m蛙泳，100m碟泳，200m自由泳。
此问题旳方案不唯一。
例 2.线路铺设问题
0 50 150 175 200 275 40 0 80 100 120 180 180 120 0 30 60 150 D= 70 50 10 0 10 40 280 210 70 35 0 105 495 405 225 180 135 0
A
B
C
D
E
F
陆地、河流及桥梁示意图
解：
将A，B，C，D，E，F分别用一种点表达，相互之间有桥相连 旳连一条弧；弧旳容量就是两点间旳桥梁数；设一种方向，得 到网络图如下：
A
例3.设备更新问题
某单位使用一台生产设备，在每年年底，单位领导都要决 策下年度是购置新设备还是继续使用旧设备。
若购置新设备，需要支付一笔购置费；假如继续使用旧旳， 则要支付一定旳维修费用。
一般说来，维修费随设备使用年限旳延长而增长。根据以 往旳统计资料，已经估算出设备在各年年初旳价格和不同 使用年限旳年维修费用，分别示于表1和表2。
相应旳开门方案如图所 示，共开10个门。
B C IJ
H
A
D GK
E
F
开门方案
例5：选址问题
有六个居民点v1，v2，v3，v4，v5，v6，拟定建一夜校，已知 各点参加学习旳人数为25、20、30、10、35、45人，其道路 如图所示，试拟定学校位于哪一种居民点，才干使学习者 所走旳总旅程至少？（图中边旁旳数字为路段长度）
用一条边把代表这两个项目
v2
旳顶点连接起来。这么得到
v3
下图
v1
为了处理这个问题，只需
找到一条包括全部顶点旳
v4
初等链。
v5
如：{v4，v1，v2，v3，v5}是一条初等链，相应旳比赛是： 100m自由泳，50m仰泳，50m蛙泳，100m碟泳，200m自由泳。
此问题旳方案不唯一。
例 2.线路铺设问题
0 50 150 175 200 275 40 0 80 100 120 180 180 120 0 30 60 150 D= 70 50 10 0 10 40 280 210 70 35 0 105 495 405 225 180 135 0
《运筹学》全套课件(完整版)
负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
最小费用流问题
05
最小费用流问题的扩展问题
多源和多汇问题
多个源点
当网络中有多个源点时，每个源点都有自己的供应量，要求流经整个网络并从指定的汇点流出。最小 费用流问题需要找到一种分配方式，使得从各个源点出发的流量的总和等于各自的供应量，同时总费 用最小。
多个汇点
与多源点类似，当网络中有多个汇点时，每个汇点都有自己的需求量，要求流经整个网络并流入各个 汇点。最小费用流问题需要找到一种分配方式，使得从源点出发的流量能够满足各个汇点的需求，同 时总费用最小。
问题背景和重要性
• 最小费用流问题在实际生活中有着广泛的应用，如物流网 络中的最优路径选择、通信网络中的数据流优化、电力网 络中的电力分配等。解决最小费用流问题可以为企业和组 织节省大量的成本和资源，提高运营效率。
问题的限制和假设
限制
最小费用流问题通常需要考虑图中可能存在的瓶颈和约束条件，如边的容量限 制、流量方向限制等。
动态变化
实际网络中流量的变化可能导致 最小费用流问题需要不断更新求 解，需要设计能够适应动态变化 的算法。
多目标优化
在实际应用中，最小费用流问题 常常需要考虑多个目标，如费用、 时间、可靠性等，需要发展多目 标优化的方法。
感谢观看
THANKS
最小费用流问
• 最小费用流问题概述 • 最小费用流问题的数学模型 • 最小费用流问题的算法 • 最小费用流问题的应用场景 • 最小费用流问题的扩展问题 • 最小费用流问题的挑战和未来研
究方向
目录
01
最小费用流问题概述
问题定义
• 最小费用流问题是在给定一个有向图或无向图中，寻找一条或 多条路径，使得从源点到汇点的总流量最大，且每条边的流量 不超过该边的容量，同时要求总费用最小。
图论—最大流及最小费用流
的下一个流f ；若不存在
可增路，则当前流即为
最大流。
算法步骤：
第一步：.标号过程, 通过标号过程来寻找可增广链： (1)给原点标上； (2)任选一已标未查顶点u，检查其所有尚未标号的邻点： (a)对u的尚未标号的出邻点v，(即 u,v A),若c(u,v) f (u,v)， 则给v标号 : l(v) min{l(u),c(u,v) f (u,v)}.否则,不给v标号； (b)对u的尚未标号的入邻点v，(即 v,u A)若f (v,u) 0，则给 v标号 : l(v) min{l(u), f (v,u)}.否则,不给v标号； (3)重复(2)直到收点被标号或收点不能被标记；
v6
1
v1
(5.2)
v4
3
3
(4.2) v2
(3.0)
v5 (3.3)
vs
2
3
2
vt
1
v3
(2.2)
v6
标号：
得到增广链：s—2—5—1—4—t
求调整量：q =min[，2，3，3，3，2] = 2
2
v1
(5.4)
v4
(4.4) v2 (3.2) vs
v5 (3.3)
vt
v3
(2.2)
v6
调整可行流：去掉所有标号，重新标号
f
(a),
a是p的方向弧；
则沿路可增的流量为f (a) min f (a),该值称为f可增路 a p
p上流的增量或可增量；
(5,3) x
(4,2)
(4,2) (3,1)
(3,1) (3,3)
(3,1) y
(5,4)
例(从网络中取出来的可增路)：
x
（5,3）
运筹学图与网络模型以及最小费用最大流
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中， 找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终 点以双标号（scd,c）,返回步骤2。
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
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T (v j ) [vi , j , S j ]
j min[i , cij fij ]
T (v j ) [vi , j , S j ]
j min[i , f ji ]
S j Si Wij
S j Si Wij
Wij W ji
三、求解最小费用流的复合标号法
第五节 最小费用流问题
什么是最小费用流问题？ 求解最小费用流的赋权图法 求解最小费用流的复合标号法
一、什么是最小费用流
给定网络N=(V,A,c,b)和经过网络的流量v，求流 在网络上的最佳分布，使总费用最小。
min b( f )
( i , j ) A
b
js
ij
f ij
( s , j ) A
（0 ，5 ， 1）
( f ij ,cij ,bij )
（0，5，2）
1
0，
4）
（
vs （
（
6） 2， 0，
0， 8，
vt
） 2 ， 4 ， 0 （
次剩余网络最短路
v1
1
D=4
4
vs
1
2
vt
2
6
3
v2
v3
第一次调整网络流
v1
（5,5,2）
0, （ , 0 1 4）
（5 ,5 ,1 ）
vs
（ 5, 8 ,1 ）
vt
） 2 , ,4 0 （
（0,10,3）
（ ,6） 0,2
v2
v3
第二次剩余网络最短路
v1
-1
D=6
4
vs
-1
-2
vt
2
6
1
3
v2
v3
第二次调整网络流
v1
（5,5,2）
0 （ ） 4 , ,10
（5 ,5 ,1 ）
,6） 0,2 （
vs
（ 8,8 ,1）
v1
（5,5,2）
vs（
1 0, （
4） , 0
（5 ,5,
（ 0,6 ,2）
1）
T (vt ) [v3 ,1,7] P
P(vs ) [0, ,0]
8, 8, 1）
vt
（ 3 ） 2 , ,4
T (v2 ) [v1 ,5,2] P
v2
（3,10,3）
T (v3 ) [v1 ,6,6] [v2 ,5,5] P
习题
第一版：
P.267，习题7、8。 P.286，习题10、11。
第二版：
f
sj
( j , s ) A
f
v( f ) v ( f ) 0, i s, t
( t , j ) A
f
tj
( j ,t ) A
f
jt
( i , j ) A
f
ij
( j ,i ) A
f
ji
0 f ij Cij
二、求解最小费用流的赋权图法
增广链费用，最小费用增广链。 对于最小费用可行流，沿最小费用增广链 调整流，可使流增加，并保持流费用最小。 给定初始最小费用可行流，求最小费用增 广链，若存在，则沿该增广链调整网络流， 直到达到给定的网络流或不存在增广链为 止，后一种情况为最小费用最大流。 若给定网络流超过最大流，则不可能实现。
剩余网络已不存在最短路
v1
-4
4
2 -2
-1
vs
-1
vt
-2
6
3
v2
v3
-3
已获最小费用最大流
最小费用最大流 若规定网络流为7，则第二次调整量应为 2，而不是3。见图。 最小费用与网络流的关系是凸的，即随 着流的增加，单位流的费用在增加。请 见下页的图。
50 40 30 20 10
费 用
流量f
P(vs ) [0, ,0]
0, 8, 1）
vt
（ 0 ） 2 , ,4
T (v2 ) [vs ,8,1] P
v2
（0,10,3）
2）
v3
T (v3 ) [v2 ,8,4]
第二次迭代
T (v1 ) [vs ,10,4] P
v1
（5,5,2）
vs（
1 0, （
4） , 0
（5 ,5,
三、求解最小费用流的复合标号法
修正如下： 标号过程中，永久标号和临时标号一样 是可以改变的。对任一顶点而言，它有 可能反复变成T标号和P标号，顶点每次 变成P标号，标号过程都要从该顶点重新 开始。 所有顶点变为P标号，算法停止。
三、求解最小费用流的复合标号法
P(vs ) [0, ,0]
正向弧是非饱和弧： 反向弧是非零流弧：
如何求最小费用增广链？
生成最小费用可行流的剩余网络：
将饱和弧反向 将非饱和非零流弧加一反向弧 零流弧不变 所有正向弧的权为该弧的费用，反向弧的权 为该弧费用的相反数
剩余网络又叫长度网络，本教材叫做赋 权图。 最小费用增广链对应剩余网络的最短路
最小费用流的实例
v1
0，
vi v j
三、求解最小费用流的复合标号法
(2)类似于求解最短路的标号法 每一个顶点有两种标号： T标号，用T(v)表示； P标号，用P(v)表示。 由T标号变成P标号的原则也同求最短 路一样，要比较T标号中第三个标号（即 费用标号）的大小。
三、求解最小费用流的复合标号法
(3)进行第一次迭代时，网络中各弧的流量 为零。 假定网络中各弧的费用均为正值，则求 最短路可以采用Dijkstra标号法。 此后的迭代中，由于构成增广链的弧可 能是负费用值，因此要采用Ford算法。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
三、求解最小费用流的复合标号法
将求最短路的标号法和求最大流的标号 法相结合，即在求增广链的标号后加上 一个距离标号，成为一组三标号，距离 标号应采用修正标号法。并采用T标号和 P标号的记法。
三、求解最小费用流的复合标号法
(1)类似于求解最大流的标号法 每一个顶点的标号包括三个部分： 第一个标号表明流的源头，称为流标号，它表 示该标号是从前面哪一个顶点过来的； 第二标号表明到该顶点为止的增广链可能增加 流量的大小，称为增量限制标号； 第三个标号是沿此增广链到该顶点的总费用， 称为费用标号。
vt
） 2 , 4 , 3 （
（3,10,3）
v2
v3
第三次剩余网络的最短路
v1
4
-1
D=7
vs
-1
-2
vt
2
6
3
v2
-3
v3
第三次调整网络流
v1
1 （ ） 4 , ,10
（5 ,5 ,1 ）
vs
（ 8,8 ,1）
（4,5,2）
vt
） 2 , ,4 4 （
（4,10,3）
（ ,6） 0,2
v2
v3
1）
T (vt ) [v3 ,3,6] P
,2） 0 ,6 （
5, 8, 1）
vt
（ ） 2 , 0,4
P(vs ) [0, ,0]
T (v2 ) [vs ,3,1] P
v2
（0,10,3）
v3 T (v3 ) [v2 ,3,4] =P
第三次迭代
T (v1 ) [vs ,10,4] P
v3
最后结果
v1
（4,5,2）
） 4 , 0 1 , 1 （
vi v j
（5 ,5 ,1 ）
( f ij ,cij ,bij )
（
vs（
, 0,6 2）
8, 8, 1）
vt
（ ） 2 , 4,4
v2
（4,10,3）
v3
提示思考
最短路问题、最大流问题可以看作最小 费用流的特殊情况，请分析如何将最小 费用流问题化成最短路问题和最大流问 题？ 运输问题和指派问题可以用最小费用流 问题建模，请将它们化为最小费用流问 题。
下面以前例为例来说明符合标号的应用。
第一次迭代
v1
vi v j
（0 ,5,
（ , 0,6
( f ij ,cij ,bij )
T (v1 ) [vs ,10,4] [v2 ,5,3] P
4） , 0
（0,5,2）
vs（
1 0, （
1）
T (vt ) [v1 ,5,4] P