运筹学课件4.7 最小费用流问题

剩余网络已不存在最短路
v1
-4
4
2 -2
-1
vs
-1
vt
-2
6
3
v2
v3
-3
已获最小费用最大流
最小费用最大流 若规定网络流为7，则第二次调整量应为 2，而不是3。见图。 最小费用与网络流的关系是凸的，即随 着流的增加，单位流的费用在增加。请 见下页的图。
50 40 30 20 10
费 用
流量f
v1
（5,5,2）
vs（
1 0, （
4） , 0
（5 ,5,
（ 0,6 ,2）
1）
T (vt ) [v3 ,1,7] P
P(vs ) [0, ,0]
8, 8, 1）
vt
（ 3 ） 2 , ,4
T (v2 ) [v1 ,5,2] P
v2
（3,10,3）
T (v3 ) [v1 ,6,6] [v2 ,5,5] P
P(vs ) [0, ,0]
0, 8, 1）
vt
（ 0 ） 2 , ,4
T (v2 ) [vs ,8,1] P
v2
（0,10,3）
2）
v3
T (v3 ) [v2 ,8,4]
第二次迭代
T (v1 ) [vs ,10,4] P
v1
（5,5,2）
vs（
1 0, （
4） , 0
（5 ,5,
第五节 最小费用流问题
什么是最小费用流问题？ 求解最小费用流的赋权图法 求解最小费用流的复合标号法
一、什么是最小费用流
给定网络N=(V,A,c,b)和经过网络的流量v，求流 在网络上的最佳分布，使总费用最小。
min b( f )
( i , j ) A
b
js
ij
f ij
( s , j ) A
（5 ,5 ,1 ）
vs
（ 5, 8 ,1 ）
vt
） 2 , ,4 0 （
（0,10,3）
（ ,6） 0,2
v2
v3
第二次剩余网络最短路
v1
-1
D=6
4
vs
-1
-2
vt
2
6
1
3
v2
v3
第二次调整网络流
v1
（5,5,2）
0 （ ） 4 , ,10
（5 ,5 ,1 ）
,6） 0,2 （
vs
（ 8,8 ,1）
如何求最小费用增广链？
生成最小费用可行流的剩余网络：



将饱和弧反向 将非饱和非零流弧加一反向弧 零流弧不变 所有正向弧的权为该弧的费用，反向弧的权 为该弧费用的相反数
剩余网络又叫长度网络，本教材叫做赋 权图。 最小费用增广链对应剩余网络的最短路
最小费用流的实例
v1
0，
vi v j
vt
） 2 , 4 , 3 （
（3,10,3）
v2
v3
第三次剩余网络的最短路
v1
4
-1
D=7
vs
-1
-2
vt
2
6
3
v2
-3
v3
第三次调整网络流
v1
1 （ ） 4 , ,10
（5 ,5 ,1 ）
vs
（ 8,8 ,1）
（4,5,2）
vt
） 2 , ,4 4 （
（4,10,3）
（ ,6） 0,2
v2
v3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
三、求解最小费用流的复合标号法
将求最短路的标号法和求最大流的标号 法相结合，即在求增广链的标号后加上 一个距离标号，成为一组三标号，距离 标号应采用修正标号法。并采用T标号和 P标号的记法。
三、求解最小费用流的复合标号法
(1)类似于求解最大流的标号法 每一个顶点的标号包括三个部分： 第一个标号表明流的源头，称为流标号，它表 示该标号是从前面哪一个顶点过来的； 第二标号表明到该顶点为止的增广链可能增加 流量的大小，称为增量限制标号； 第三个标号是沿此增广链到该顶点的总费用， 称为费用标号。
三、求解最小费用流的复合标号法
(2)类似于求解最短路的标号法 每一个顶点有两种标号： T标号，用T(v)表示； P标号，用P(v)表示。 由T标号变成P标号的原则也同求最短 路一样，要比较T标号中第三个标号（即 费用标号）的大小。
三、求解最小费用流的复合标号法
(3)进行第一次迭代时，网络中各弧的流量 为零。 假定网络中各弧的费用均为正值，则求 最短路可以采用Dijkstra标号法。 此后的迭代中，由于构成增广链的弧可 能是负费用值，因此要采用Ford算法。
下面以前例为例来说明符合标号的应用。
第一次迭代
v1
vi v j
（0 ,5,
（ , 0,6
( f ij ,cij ,bij )
T (v1 ) [vs ,10,4] [v2 ,5,3] P
4） , 0
（0,5,2）
vs（
1 0, （
1）
T (vt ) [v1 ,5,4] P
T (v j ) [vi , j , S j ]
j min[i , cij fij ]
T (v j ) [vi , j , S j ]
j min[i , f ji ]
S j Si Wij
S j Si Wij
Wij W ji
三、求解最小费用流的复合标号法
习题
第一版：

P.267，习题7、8。 P.286，习题10、11。
第二版：

1）百度文库
T (vt ) [v3 ,3,6] P
,2） 0 ,6 （
5, 8, 1）
vt
（ ） 2 , 0,4
P(vs ) [0, ,0]
T (v2 ) [vs ,3,1] P
v2
（0,10,3）
v3 T (v3 ) [v2 ,3,4] =P
第三次迭代
T (v1 ) [vs ,10,4] P
（0 ，5 ， 1）
( f ij ,cij ,bij )
（0，5，2）
1
0，
4）
（
vs （
（
6） 2， 0，
0， 8，
vt
） 2 ， 4 ， 0 （
1）
（0，10，3）
v2
v3
第一次剩余网络最短路
v1
1
D=4
4
vs
1
2
vt
2
6
3
v2
v3
第一次调整网络流
v1
（5,5,2）
0, （ , 0 1 4）
f
sj

( j , s ) A
f
v( f ) v ( f ) 0, i s, t
( t , j ) A
f
tj
( j ,t ) A
f
jt
( i , j ) A
f
ij
( j ,i ) A
f
ji
0 f ij Cij
二、求解最小费用流的赋权图法
增广链费用，最小费用增广链。 对于最小费用可行流，沿最小费用增广链 调整流，可使流增加，并保持流费用最小。 给定初始最小费用可行流，求最小费用增 广链，若存在，则沿该增广链调整网络流， 直到达到给定的网络流或不存在增广链为 止，后一种情况为最小费用最大流。 若给定网络流超过最大流，则不可能实现。
v3
最后结果
v1
（4,5,2）
） 4 , 0 1 , 1 （
vi v j
（5 ,5 ,1 ）
( f ij ,cij ,bij )
（
vs（
, 0,6 2）
8, 8, 1）
vt
（ ） 2 , 4,4
v2
（4,10,3）
v3
提示思考
最短路问题、最大流问题可以看作最小 费用流的特殊情况，请分析如何将最小 费用流问题化成最短路问题和最大流问 题？ 运输问题和指派问题可以用最小费用流 问题建模，请将它们化为最小费用流问 题。
三、求解最小费用流的复合标号法
修正如下： 标号过程中，永久标号和临时标号一样 是可以改变的。对任一顶点而言，它有 可能反复变成T标号和P标号，顶点每次 变成P标号，标号过程都要从该顶点重新 开始。 所有顶点变为P标号，算法停止。
三、求解最小费用流的复合标号法
P(vs ) [0, ,0]
正向弧是非饱和弧： 反向弧是非零流弧：