运筹学课件第七章动态规划
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第07章 动态规划 《运筹学》PPT课件
最优路径问题 资源分配问题 排序问题 投资问题 装载问题 生产计划与库存问题 生产过程的最优控制等
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
运筹学课件--动态规划
J 表示留在左岸的仆人人数
初始状态s1是T(3,3)
结束状态sn是 T(0,0)
可达状态有哪些?(3,J) (2,2) (1,1) (0,J) J 3 2 1 0
2013-6-9
A
1
运筹学课件
2
3
I
阶段指标——每阶段选定决策xk后所产生的效益，记
vk= vk(Sk， xk)。
指标函数——各阶段的总效益，记相应于Pkn的指标函数
2013-6-9 运筹学课件
动态规划模型的分类： 以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成：
确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成： 单目标型和多目标型。
2013-6-9 运筹学课件
8.2基本概念与方程
1.基本概念
阶段（Stage）——分步求解的过程，用阶段变量k表示，k=1，，n 状态（State）——每阶段初可能的情形或位置，用状态变 量Sk表示。 按状态的取值是离散或连续，将动态规划问题分为
当 k 3，f Max f v
3 0
3 3
3
4
Max 3x 5s 13.6(0.9s 0.2x )
0
3 3
3
3
3
3
Max 0.28x 17.24s
0
3 3
3
3
x s , f 17.52s ,即第3年初将全部完好机器都 投入高负荷。
指标函数vkn=
v
5
表示第k至5年的总产量；
1
递推公式：f Max f v
6
f 0, k 5, ,1
2013-6-9
运筹学课件
初始状态s1是T(3,3)
结束状态sn是 T(0,0)
可达状态有哪些?(3,J) (2,2) (1,1) (0,J) J 3 2 1 0
2013-6-9
A
1
运筹学课件
2
3
I
阶段指标——每阶段选定决策xk后所产生的效益，记
vk= vk(Sk， xk)。
指标函数——各阶段的总效益，记相应于Pkn的指标函数
2013-6-9 运筹学课件
动态规划模型的分类： 以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成：
确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成： 单目标型和多目标型。
2013-6-9 运筹学课件
8.2基本概念与方程
1.基本概念
阶段（Stage）——分步求解的过程，用阶段变量k表示，k=1，，n 状态（State）——每阶段初可能的情形或位置，用状态变 量Sk表示。 按状态的取值是离散或连续，将动态规划问题分为
当 k 3，f Max f v
3 0
3 3
3
4
Max 3x 5s 13.6(0.9s 0.2x )
0
3 3
3
3
3
3
Max 0.28x 17.24s
0
3 3
3
3
x s , f 17.52s ,即第3年初将全部完好机器都 投入高负荷。
指标函数vkn=
v
5
表示第k至5年的总产量；
1
递推公式：f Max f v
6
f 0, k 5, ,1
2013-6-9
运筹学课件
管理运筹学07动态规划
生产计划、库存管理、路径规划 等。
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。
动态规划(完整)ppt课件
3
• Ⅲ --Ⅳ :
B1—C1—T
4
• Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T
7
• Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ：
•
Q—A2—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B2—C2—T
11
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3
最短路径
11
4
7
A1
4
2
6
11
47
3 2
Q
A2
4
B1
1
4 76
3
C1
3
B2 3
最新版整理ppt
16
(4)策略和允许策略集合
策略(Policy)也叫决策序列．策略有全过程 策略和 k 部子策略之分，全过程策略是指具 有n 个阶段的全部过程，由依次进行的 n 个 阶段决策构成的决策序列，简称策略，表示
为 p1,n{x1,x2, ,xn}。从 k 阶段到第 n 阶段，
依次进行的阶段决策构成的决策序列称为 k
新分支的创立。
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6
• 动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为 一系列简单的、离散的单阶段决策问题, 采用顺序求解方法, 通过解一系列小问题 达到求解整个问题目的;
• 动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶 段的决策目标, 还要兼顾整个决策过程的 整体目标, 从而实现整体最优决策.
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第七章 动态规划
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理 §7.3 动态规划应用举例
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1
例 求解最短路问题
2
Q
4
《运筹学07动态规划》课件
组合动态规划：解决组合问题， 如旅行商问题、背包问题等
动态规划的应用场景
资源分配 问题：如 背包问题、 车辆路径 问题等
优化问题： 如最短路 径问题、 最大子数 组问题等
决策问题： 如股票买 卖问题、 投资组合 问题等
游戏问题： 如国际象 棋、围棋 等
生物信息 学：如基 因序列比 对、蛋白 质结构预 测等
优化策略的改进
动态规划的扩展：从线性规划到非 线性规划，从单阶段决策到多阶段 决策
优化策略的改进：引入并行计算， 提高计算效率
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
优化策略的改进：引入启发式算法， 如遗传算法、模拟退火算法等
优化策略的改进：引入智能优化算 法，如神经网络、深度学习等
动态规划与其他 算法的比较
感谢您的观看
汇报人：
动态规划的基本 思想：将问题分 解为更小的子问 题，并利用子问 题的解来求解原
问题
动态规划的步 骤：确定状态、 状态转移方程、 初始状态和边
界条件
动态规划的算 法实现：递归、 迭代、记忆化
搜索等
动态规划的应 用：背包问题、 最短路径问题、 资源分配问题
等
动态规划的经典 案例
最短路径问题
问题描述：在图中找到从起点到终点的最短路径 应用场景：交通网络、物流配送、电路设计等 解决方案：使用动态规划算法，通过状态转移方程求解 经典案例：旅行商问题、最短路径问题等
排班问题
问题描述：如何合理安排员工工作时间，使得员工满意度最高，同时满足 公司业务需求
动态规划方法：使用动态规划算法，通过状态转移方程和递归函数求解
状态转移方程：定义状态变量，表示员工在不同时间段的工作状态
递归函数：根据状态转移方程，递归求解最优解
动态规划的应用场景
资源分配 问题：如 背包问题、 车辆路径 问题等
优化问题： 如最短路 径问题、 最大子数 组问题等
决策问题： 如股票买 卖问题、 投资组合 问题等
游戏问题： 如国际象 棋、围棋 等
生物信息 学：如基 因序列比 对、蛋白 质结构预 测等
优化策略的改进
动态规划的扩展：从线性规划到非 线性规划，从单阶段决策到多阶段 决策
优化策略的改进：引入并行计算， 提高计算效率
添加标题
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优化策略的改进：引入启发式算法， 如遗传算法、模拟退火算法等
优化策略的改进：引入智能优化算 法，如神经网络、深度学习等
动态规划与其他 算法的比较
感谢您的观看
汇报人：
动态规划的基本 思想：将问题分 解为更小的子问 题，并利用子问 题的解来求解原
问题
动态规划的步 骤：确定状态、 状态转移方程、 初始状态和边
界条件
动态规划的算 法实现：递归、 迭代、记忆化
搜索等
动态规划的应 用：背包问题、 最短路径问题、 资源分配问题
等
动态规划的经典 案例
最短路径问题
问题描述：在图中找到从起点到终点的最短路径 应用场景：交通网络、物流配送、电路设计等 解决方案：使用动态规划算法，通过状态转移方程求解 经典案例：旅行商问题、最短路径问题等
排班问题
问题描述：如何合理安排员工工作时间，使得员工满意度最高，同时满足 公司业务需求
动态规划方法：使用动态规划算法，通过状态转移方程和递归函数求解
状态转移方程：定义状态变量，表示员工在不同时间段的工作状态
递归函数：根据状态转移方程，递归求解最优解
运筹学课件 ppt 复习资料 动态规划
4
C2
5 8
E D2
2
4
1
13
B3
12 11
C3
10
设备更新问题
企业在使用设备时都要考虑设备的更新问题，因为设 备越陈旧，所需的维修费用就越高，但购置新设备一次性 支出的费用较大。现某企业要做出一台设备未来5年的更 新计划，经预测，第j年初购买设备的价格为rj，设备连续
使用(j-1)年后在第j年的维护费为kj，使用(j-1)年后设备的
最优决策C1 D1
21
f3(C1)=8
B1
2
10 6
12 14
C1
f3(C2)=7 9 6 5 8
3
f4(D1)=5
D1
f5(E)=0 5
A
5
B2 10
4 13
C2
E
1
D2
f4(D2)=2
2
B3
12 11
C3
10
d (C2 , D1 ) f 4 ( D1 ) f3 (C2 ) min d (C2 , D2 ) f 4 ( D2 )
运筹学
王莉莉
四川农业大学数学系
2012年11月
1
第七章—动态规划
•
― ― ―
学习目标
掌握动态规划的基本概念； 掌握动态规划的最优化原理； 动态规划在经济管理中的应用
2
引言
在生产和经营活动中，经常遇到这样的问题， 它们包含若干个相互联系的阶段，在每个阶段都要 做出决策，一个阶段的决策除了影响本阶段的效果 之外，还经常影响到下一个阶段的初始状态，从而 影响整个过程的最优。因此不仅要考虑这一个阶段， 还要把它看成是整个过程决策链中的一链环，这种 过程称为多阶段决策过程。
C2
5 8
E D2
2
4
1
13
B3
12 11
C3
10
设备更新问题
企业在使用设备时都要考虑设备的更新问题，因为设 备越陈旧，所需的维修费用就越高，但购置新设备一次性 支出的费用较大。现某企业要做出一台设备未来5年的更 新计划，经预测，第j年初购买设备的价格为rj，设备连续
使用(j-1)年后在第j年的维护费为kj，使用(j-1)年后设备的
最优决策C1 D1
21
f3(C1)=8
B1
2
10 6
12 14
C1
f3(C2)=7 9 6 5 8
3
f4(D1)=5
D1
f5(E)=0 5
A
5
B2 10
4 13
C2
E
1
D2
f4(D2)=2
2
B3
12 11
C3
10
d (C2 , D1 ) f 4 ( D1 ) f3 (C2 ) min d (C2 , D2 ) f 4 ( D2 )
运筹学
王莉莉
四川农业大学数学系
2012年11月
1
第七章—动态规划
•
― ― ―
学习目标
掌握动态规划的基本概念； 掌握动态规划的最优化原理； 动态规划在经济管理中的应用
2
引言
在生产和经营活动中，经常遇到这样的问题， 它们包含若干个相互联系的阶段，在每个阶段都要 做出决策，一个阶段的决策除了影响本阶段的效果 之外，还经常影响到下一个阶段的初始状态，从而 影响整个过程的最优。因此不仅要考虑这一个阶段， 还要把它看成是整个过程决策链中的一链环，这种 过程称为多阶段决策过程。
第七章 动态规划h 运筹学 ppt课件
5 B1 4
2 A1
3
7
B2
6 5
3
2 B3 2
各阶段状态集合分别为：
C1 2 5 6
C2 3 2
C3 1
C4 7
D3
1
E 5 D
2
S1=｛A｝
S2=｛B1，B2，B3｝
S3=｛C1，C2，C3，C4｝ S4=｛D1，D2｝
状态的选取应当满足无后效性：系统从某个阶段往后的发
展演变，完全由系统本阶段所处的状态及决策所决定，与
从B2出发，可以选择C1，C2，C3，C4，即允许决策集合为： D2（B2）=｛C1，C2，C3，C4｝ 当决定选择C3时，可以表示为：u2（B2）=C3
4.策略（policy）
当各个阶段的决策确定以后，各阶段的决策形成一个决 策序列，称此决策序列为一个策略.
使系统达到最优效果的策略称为最优策略。
2 A1
3
5 B1 4
7
B2
6 5
3
2 B3 2
C1 2 5 6
C2 3 2
C3 1
C4 7
状态转移方程为：sk+1= uk（sk）
D3
1
E 5 D
2
6.指标函数和最优指标函数 衡量所选策略优劣的数量指标称为指标函数。它定义在全 过程和所有后部子过程，常用Vk，n表示，即： Vk，n=Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1） 当k=1时，V1，n表示初始状态为s1，采用策略p1，n时的指标 函数值。 V1，n=V1，n（s1，u1，s2，…，sn+1）
3 D1 3
0
55
E
D2
从前向后标号：
02
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
《运筹学动态规划》PPT课件 (2)
７.2 动态规划的基本原理
７.2.1 最优化原理
动态规划方法是由美国数学家贝尔曼 (R.Bellman)等人于本世纪 50 年 代提出的。他们针对多阶段决策问题的特点 ,提出了解决这类问题的”最优 化原理”,并成功地解决了生产管理、工程技术许多方面的实际问题。 最优化 原理可以表述为：“一个过程的最优策略具有这样的性质, 即无论初始状态 和初始决策如何,对于先前决策所形成的状态而言 ,其以后的所有决策必构成 最优策略。”
1 S1
2
3
4
S2
S3
S4
精选PPT
17
第三步, K=2 由于第 3 段各点 C1,C2,C3 到终点 E 的最短距离 f3(C1),
f3(C2), f3(C3),已知,所以要求城市 B1 到 E 的最短距离,只需以它们为基础,
分别加上 B1 到达 C1,C2,C3 的一段距离,加以比较取其最短者即可。
x
* 3
（
C2
）=
D2
1 S1
2
3
4
S2
S3
S4
f 3 （ C3 ）＝min
d (C3 , D1 ) + f4 (D1 ) d (C3 , D2 ) + f4 (D2 )
=min
1+ 4 3+3
=5
即从 C3 到 E 的最短距离为 5,其路径为 C3→D1→E,相应的决策为
x
* 3
（
C
3
）=
D1
。
1
2
3
4
精选PPT
6
3）、 决策（Decision )
当各阶段的状态确定以后，就可以做出不同的决定或选择，从而确 定下一阶段的状态，这种决定就是决策，表示决策的变量称为决策变量。
运筹学教案动态规划ppt课件
(uk ,u2un )
注: 指标函数的含义是多样的,如:距离、 利润、成本、产品产量、资源消耗等。
最优化原理与动态规划问题基本方程
最优化原理
“作为全过程的最优策略具有这样的性质： 无论过去的状态和决策如何，对于前面决策所形 成的状态（即该最优策略上某一状态）而言，余 下的诸决策必须构成以此状态为初始状态的最优 策略。
3 A5
4
1 阶段
B
9
1
5
4
B
3
2
5
1 B
3
7
2
阶段
C1
1
5
D
1
4
8
C
4
2 D6
E 1
1
2
6
29
F
2 E
4 C
4
3
2
3
阶段
7
D
3
5
4 阶段
2
5 阶段
状态与状态变量
状态： 表示每个阶段开始时所处的自然状 况或客观条件，又称为不可控因素，是阶段的特 征，通常一个阶段有若干个状态。
如：前例，第一阶段状态为点A，第二阶段 的状态有B1，B2，B3三个状态。
但是要受到维数限制。
求解动态规划问题的过程： （1）将问题过程划分恰当阶段，选择阶段
变量k.。 正确（描2过）程正的确演选变择，状又态要变满量足x无k. 后应效注性意。：既能够
（3）正确选择决策变量uk，确定允许集合 。 （4）正确写出状态转移方程 xk+1= Tk(xk, uk)。 （5） 列出按阶段可分的准则函数V1,n ，要 满足几个性质。
概述
▪ 动态规划为运筹学的一个分支，是用于求解 多个阶段决策过程的最优化数学方法。
运筹学课件动态规划
C4 A — B— C — D — E
f2(C1)=7,f3(C2)=8,f3(C3)=10,f3(c4)=9
阶段1
阶段2 阶段3 阶段4
S0={A} S1={B1,B2} S2={C1,C2,C3,C4 } S3={D1,D2} S4={E}
f3(D1)=11,f4(D2)=13
案例---资源分配
D1 5 E
D2 2
[引例] 马车驿站问题
f(C1)=8
阶段 起点 1A
终点
B1 B2
可选路线
AB1 AB2
路线数 2
f(B1)=8
B1 5 A
f(A)=313 8
B2
2 3 6
7 6
C1 6
f(C2)=85
C2 3
f(C3)=54
3 C3 3
84
f(B2)=11 C4
f(C1)=5
A —B— C —
最k优=4化原理
(Optimality principle) :
最k优=3策略具备这样的决性策质：:无D1论初E始 状态与初始决策如何,以后诸决策对 以第一个决策所形成的状态作为初 始状态的过程而言,必决然策构：成D2最优E策 策略.通俗地说:最优策略的子策略 也k是=2最优的.
例 A13—k如,其=B1，子1—在策C导略2入—:B案D11—例—C中决E2决决，,—策最策策最D：短：：1优A距—CC策12离E略B,为1DD是11 C2—D1—E, D1—E也决是策最：优C3的。D2
（4）状态转移方程 （5）递归方程（k→n）
1、划分为4个阶段 2、用点集表示各阶段的状态 S1=｛A｝;s2= ｛B1,B2,B3｝, s3= ｛C1,C2,C3｝; s4= ｛D1,D2｝ 3、指标函数：Vk，4（i）为第k阶段第i点到E点的距离 4、最优值函数fk（i）为i点到E的最短距离 5、决策变量xk=d[i,j]为第k阶段第i状态的选择 6、边界条件： f5（E）=0 7、基本方程： fk（i）=min｛d[i,j]+ fk+1（j） ｝(k=1,2,3,4)
运筹学课件(动态规划)
（二）、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要做到 这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优， 在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题 的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最 优解，就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
运筹学――动态规划课件
当k=1时F1(s1)就是从初始状态到全过程的整体最优函 数.
8
指标函数的常见形式：
（1）过程和它的任一子过程的指标是它所包n 含的各阶段
（2的）指过标程的和和它。的Vk任,n(一sk子, u过k程, s的k+指1,标… 是sn它+1所)＝包含jk 的v j (各s j阶,u段j) 的1
指标的乘积。Vk,n(sk,
23
1、动态规划模型的建立
建立动态模型的6个要素： 1）阶段k 2）状态SK 3)决策uk(sk) 4）状态转移方程 5）阶段指标函数 6）指标递推方程
24
2、动态规划模型的解法
动态规划的求解方法有两种： 逆序解法与顺序解法
1、在已知初始状态S1下，采用逆序解法：（反向递归） 2、在已知终止状态Sn下，采用顺序解法（正向递归）
fk (Sk )
dk Dk
OPt{vk (Sk , dk ) fk1( Sk1 )} fk (sk ) 0Pt Uk (sk , dk )
(k n, n 1,1)
dk Dk (k 1,2,n)
fk1(sk1 )
fn1( Sn1 ) 1
f0 (s0 ) 1
26
计 k 算 顺1如 序时下 解，： 法按解kuff（ （ （ 111例0BsB1， 2） 11） ） ：f的 （ 0 4A定 sA1）义45有f（ 0： uf（ （ A11BB） B1B2222） ） 538077，5A这C是 CCC1234边 845835界 44 条DDD件123156。 323
13
二、动态规划的基本思想和基本方程
最短路线有一个重要特性：如果由起点A经P点和H点 最终到达F点是一条最短路线，则由P点出发经过H点 最终到达F点的这条路线必定也是从P点到F点的最短路 。
8
指标函数的常见形式：
（1）过程和它的任一子过程的指标是它所包n 含的各阶段
（2的）指过标程的和和它。的Vk任,n(一sk子, u过k程, s的k+指1,标… 是sn它+1所)＝包含jk 的v j (各s j阶,u段j) 的1
指标的乘积。Vk,n(sk,
23
1、动态规划模型的建立
建立动态模型的6个要素： 1）阶段k 2）状态SK 3)决策uk(sk) 4）状态转移方程 5）阶段指标函数 6）指标递推方程
24
2、动态规划模型的解法
动态规划的求解方法有两种： 逆序解法与顺序解法
1、在已知初始状态S1下，采用逆序解法：（反向递归） 2、在已知终止状态Sn下，采用顺序解法（正向递归）
fk (Sk )
dk Dk
OPt{vk (Sk , dk ) fk1( Sk1 )} fk (sk ) 0Pt Uk (sk , dk )
(k n, n 1,1)
dk Dk (k 1,2,n)
fk1(sk1 )
fn1( Sn1 ) 1
f0 (s0 ) 1
26
计 k 算 顺1如 序时下 解，： 法按解kuff（ （ （ 111例0BsB1， 2） 11） ） ：f的 （ 0 4A定 sA1）义45有f（ 0： uf（ （ A11BB） B1B2222） ） 538077，5A这C是 CCC1234边 845835界 44 条DDD件123156。 323
13
二、动态规划的基本思想和基本方程
最短路线有一个重要特性：如果由起点A经P点和H点 最终到达F点是一条最短路线，则由P点出发经过H点 最终到达F点的这条路线必定也是从P点到F点的最短路 。
运筹学课程07-动态规划(胡运权 清华大学)
u k , ,u n
Vk ,n (sk , uk , sk 1 , uk 1 , , sn1 )
可递推
k [ sk , uk , Vk 1, n ( sk 1 , uk 1 , , sn 1 )]
指标函数形式: 和、 积
NEUQ
原过程的一个后部子过程： 对于任意给定的k（1 ≤ k≤n），从第k段到第n段的过 程称为原过程的一个后部子过程
阶段4
本阶段始点 （状态） D1 D2 本阶段各终点（决策） E 10 6 10 6 到E的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) E E
NEUQ
分析得知：从D1 和 D2 到E的最短路径唯一。
NEUQ
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
NEUQ
动态规划 Dynamic Programming
不要过河拆桥 追求全局最优
本章内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原 理 动态规划方法的基本步骤 动态规划方法应用举例
NEUQ
NEUQ
一、多阶段决策过程的最优化
示例1（工厂生产安排）：
某种机器可以在高、低两种负荷下生产。高负荷生产
NEUQ
示例3 （连续生产过程的控制问题）：
一般化工生产过程中，常包含一系列完成
生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后
一工序设备的输入，因此，应该如何根据各工
序的运行工况，控制生产过程中各设备的输入 和输出，以使总产量最大。
示例4、最短路径问题
NEUQ
给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或花费），试求从A点到G点的最短距离（总费用最小）。
Vk ,n (sk , uk , sk 1 , uk 1 , , sn1 )
可递推
k [ sk , uk , Vk 1, n ( sk 1 , uk 1 , , sn 1 )]
指标函数形式: 和、 积
NEUQ
原过程的一个后部子过程： 对于任意给定的k（1 ≤ k≤n），从第k段到第n段的过 程称为原过程的一个后部子过程
阶段4
本阶段始点 （状态） D1 D2 本阶段各终点（决策） E 10 6 10 6 到E的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) E E
NEUQ
分析得知：从D1 和 D2 到E的最短路径唯一。
NEUQ
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
NEUQ
动态规划 Dynamic Programming
不要过河拆桥 追求全局最优
本章内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原 理 动态规划方法的基本步骤 动态规划方法应用举例
NEUQ
NEUQ
一、多阶段决策过程的最优化
示例1（工厂生产安排）：
某种机器可以在高、低两种负荷下生产。高负荷生产
NEUQ
示例3 （连续生产过程的控制问题）：
一般化工生产过程中，常包含一系列完成
生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后
一工序设备的输入，因此，应该如何根据各工
序的运行工况，控制生产过程中各设备的输入 和输出，以使总产量最大。
示例4、最短路径问题
NEUQ
给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或花费），试求从A点到G点的最短距离（总费用最小）。
运筹 动态规划05(0810).
4.策略（Policy） 由过程的第一阶段开始到最后一阶段为止称为问题的全
过程，由各阶段的决策uk (xk ) (i=1,2,…,n)构成的策略序列
称 为 全 过 程 策 略 （ 简 称 策 略 ） 记 为 P1,n ， 即
P1,n (x1 ) u1 (x1 ), u2 (x2 ),, un (xn )
Vk,n ( xk , uk , xk1, uk1,, xn1 )
[xk , uk ,Vk1,n ( xk1,, xn1 )] (iii) [ xk , uk ,Vk1,n ( xk1,, xn1 )] 对于Vk1,n 来说是严
格单调的。 常见的收益函数是取各阶段收益之和形式：
xk
)) f k1 1,2,3,4
(uk
(
xk
))
这里 f k (xk ) 是 xk 到终点 Q 的最短距离，由xk 至终点 Q 还有k 段
路程。可以把阶段次序颠倒过来求解的多阶段决策过程为可逆过程。
贝尔曼（R.E.Bellman）最优性原理如下：
作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和
n
Vk,n R j (x j , u j ) 它显然满足以上三个性质。 jk
收益函数是策略的函数，记为Vk,n ( xk , pk,n ( xk )) ，故递推关系
f3 (E ) min{ 6 f4 (C),4 f4 (F )} 8, u3 (E ) F;
第三步：k=2，状态变量可取 A、D，可计算出
f2 ( A) min{6 f3 (B),7 f3 (E)} 13, u2 ( A) B,
f2 (D) min{ 2 f3 (B),2 f3 (E)} 9, u2 (D) B;
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在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内， 此范围称为允许决策集合,用Dk(Sk )表示。
4、状态转移方程
2020/2/17
状态转移方程是确定过程由 一个状态到另一个状态的演 变过程。如果第k阶段状态 变量sk的值、该阶段的决策 变量一经确定，第k+1阶段 运筹学 状态变量sk+1的值也就确定。
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1 2020/2/17
2
3 运筹学 4
5
6
二、解题思路 三、应用范围 1、动态 2、静态 四、缺点 1、建模后，没有统一的方法 2、维数障碍
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一次 决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为多 阶段的决策问题用动态规划方法来解决。
4 . 线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可 以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法 加以解决。
2020/2/17
运筹学
5 . 最短路问题：给定一个交通网络图如下，其中 两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A点到 G点的最短距离（总费用最小）。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算 法。必须对具体问题进行具体分析，运用动态 规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再 用20动20/2/态17 规划方法去求解运。筹学
决策 状态 状态
1
决策 2 状态 状态
决策 n
一、多阶段决策问题的典型例子：
1 . 生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求 是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳生 产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度地根 据库存和需求决定生产计划。
2. 机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两种
不同的负荷下进行生产。在高负荷下进行生产时，
产品的年产量g和投入生产的机器数量u1的关系为 g=g(u1)
2020/2/17
运筹学
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器 的数量为u，到年终完好的机器就为au, 0<a<1。
在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产 的机器数量u2的关系为
策过程。 2020/2/17
运筹学
无后效性(马尔可夫性)
如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的
发展不受这个阶段以前各段状态的影响；
过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来
的发展；构造动态规划模型时，要充分注意是否满足无后
效性的要求；
状态变量要满足无后效性的要求；
如果状态变量不能满足无后效性的要求，应适当地
实际问题中，可供选择的策略有一定的范围，称为允
许策略集合。从允许策略集合中找出达到最优效果的
策略称为最优策略。
全过程策略：U1(S1), U2(S2),…, Un(Sn) P1n={Ui(Si)}, i=1,…,n 子过程策略：Uk(Sk), Uk+1(Sk+1),…, Un(Sn) Pkn={Ui(Si)}, i=k,…,n 6、阶段指标：Vk(Sk, Uk),k阶段，Sk状态下，作出Uk 决策带来的效果。在不同的问题中，指标的含义是不同的，
2020/2/17
运筹学
第二节 动态规划的基本概念
一、基本概念
1、阶段：
把一个问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶 段，以便于按一定的次序去求解。
描述阶段的变量称为阶段变量,用k表示。阶段的划分，
一问2、般题状是转态根化：据为表时多一一一示间阶个组个每和段数数向个空决、、 阶间策段的。开自始然所特处征年的来路、自段进月然行、状的况，或但客要观便于 条件。通常一量个阶段有若干个状态，描述过程状态的
第七章 动 态 规 划
(Dynamic programming)
动态规划的基本概念、基本思想
动态规划模型的建立和求解
动态规划的应用：背包问题；生产
经营问题；设备更新问题；复合系统 工作可靠性问题
2020/2/17
运筹学
第一节 动态规划
动态规划(Dynamic Programming)是用来解决 多阶段决策过程最优化的一种数量方法。其特 点在于，它可以把一个n 维决策问题变换为几个 一维最优化问题，从而一个一个地去解决。
h=h(u2)
相应的机器年完好率b, 0< b<1。
假定开始生产时完好的机器数量为s1。要求制
定一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新 分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量， 使在五年内产品的总产量达到最高。
2020/2/17
运筹学
3. 航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运 动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞 行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞 行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目 的（如软着落问题）。
ss32
TT12((ss11,,
uu11
) ,
s2
,
u2
)
sk1 Tk (s1, u1, s2 , u2 , , sk , uk )
图示如下：
s1
u1 1
s2
u2 2
s3
sk
uk k
sk+1
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类特
殊的多阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段决
变量称为状态变量,用Sk表示。
状态变量的取值有一定的允许集合或范围，此集合
称2为020状/2/17态允许集合。
运筹学
3、决策：表示当过程处于某一阶段的某个状态时， 可以作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这 种决定称为决策。
Байду номын сангаас
描述决策的变量，称为决策变量,用Uk(Sk )。决策变 量是状态变量的函数。可用一个数、一组数或一向量 （多维情形）来描述。
它可能是距离、利润、成本、产量或资源消耗等。
7、指标函数：Vkn(Sk, Pkn),k阶段，Sk状态下，作出
Pkn子策略带来的效果。动态规划模型的指标函数，应具有
可分离性，并满足递推关系。
改变状态的定义或规定方法。
状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移
方程如下
2020/2/17
s2 T1 ( s1 , u1 ) s3 T2 ( s2 , u2 ) sk 1 Tk ( sk ,运u筹k学)
动态规划中能 处理的状态转移 方程的形式。
5、策略：是一个按顺序排列的决策组成的集合。在
4、状态转移方程
2020/2/17
状态转移方程是确定过程由 一个状态到另一个状态的演 变过程。如果第k阶段状态 变量sk的值、该阶段的决策 变量一经确定，第k+1阶段 运筹学 状态变量sk+1的值也就确定。
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1 2020/2/17
2
3 运筹学 4
5
6
二、解题思路 三、应用范围 1、动态 2、静态 四、缺点 1、建模后，没有统一的方法 2、维数障碍
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一次 决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为多 阶段的决策问题用动态规划方法来解决。
4 . 线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可 以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法 加以解决。
2020/2/17
运筹学
5 . 最短路问题：给定一个交通网络图如下，其中 两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A点到 G点的最短距离（总费用最小）。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算 法。必须对具体问题进行具体分析，运用动态 规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再 用20动20/2/态17 规划方法去求解运。筹学
决策 状态 状态
1
决策 2 状态 状态
决策 n
一、多阶段决策问题的典型例子：
1 . 生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求 是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳生 产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度地根 据库存和需求决定生产计划。
2. 机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两种
不同的负荷下进行生产。在高负荷下进行生产时，
产品的年产量g和投入生产的机器数量u1的关系为 g=g(u1)
2020/2/17
运筹学
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器 的数量为u，到年终完好的机器就为au, 0<a<1。
在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产 的机器数量u2的关系为
策过程。 2020/2/17
运筹学
无后效性(马尔可夫性)
如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的
发展不受这个阶段以前各段状态的影响；
过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来
的发展；构造动态规划模型时，要充分注意是否满足无后
效性的要求；
状态变量要满足无后效性的要求；
如果状态变量不能满足无后效性的要求，应适当地
实际问题中，可供选择的策略有一定的范围，称为允
许策略集合。从允许策略集合中找出达到最优效果的
策略称为最优策略。
全过程策略：U1(S1), U2(S2),…, Un(Sn) P1n={Ui(Si)}, i=1,…,n 子过程策略：Uk(Sk), Uk+1(Sk+1),…, Un(Sn) Pkn={Ui(Si)}, i=k,…,n 6、阶段指标：Vk(Sk, Uk),k阶段，Sk状态下，作出Uk 决策带来的效果。在不同的问题中，指标的含义是不同的，
2020/2/17
运筹学
第二节 动态规划的基本概念
一、基本概念
1、阶段：
把一个问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶 段，以便于按一定的次序去求解。
描述阶段的变量称为阶段变量,用k表示。阶段的划分，
一问2、般题状是转态根化：据为表时多一一一示间阶个组个每和段数数向个空决、、 阶间策段的。开自始然所特处征年的来路、自段进月然行、状的况，或但客要观便于 条件。通常一量个阶段有若干个状态，描述过程状态的
第七章 动 态 规 划
(Dynamic programming)
动态规划的基本概念、基本思想
动态规划模型的建立和求解
动态规划的应用：背包问题；生产
经营问题；设备更新问题；复合系统 工作可靠性问题
2020/2/17
运筹学
第一节 动态规划
动态规划(Dynamic Programming)是用来解决 多阶段决策过程最优化的一种数量方法。其特 点在于，它可以把一个n 维决策问题变换为几个 一维最优化问题，从而一个一个地去解决。
h=h(u2)
相应的机器年完好率b, 0< b<1。
假定开始生产时完好的机器数量为s1。要求制
定一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新 分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量， 使在五年内产品的总产量达到最高。
2020/2/17
运筹学
3. 航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运 动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞 行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞 行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目 的（如软着落问题）。
ss32
TT12((ss11,,
uu11
) ,
s2
,
u2
)
sk1 Tk (s1, u1, s2 , u2 , , sk , uk )
图示如下：
s1
u1 1
s2
u2 2
s3
sk
uk k
sk+1
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类特
殊的多阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段决
变量称为状态变量,用Sk表示。
状态变量的取值有一定的允许集合或范围，此集合
称2为020状/2/17态允许集合。
运筹学
3、决策：表示当过程处于某一阶段的某个状态时， 可以作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这 种决定称为决策。
Байду номын сангаас
描述决策的变量，称为决策变量,用Uk(Sk )。决策变 量是状态变量的函数。可用一个数、一组数或一向量 （多维情形）来描述。
它可能是距离、利润、成本、产量或资源消耗等。
7、指标函数：Vkn(Sk, Pkn),k阶段，Sk状态下，作出
Pkn子策略带来的效果。动态规划模型的指标函数，应具有
可分离性，并满足递推关系。
改变状态的定义或规定方法。
状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移
方程如下
2020/2/17
s2 T1 ( s1 , u1 ) s3 T2 ( s2 , u2 ) sk 1 Tk ( sk ,运u筹k学)
动态规划中能 处理的状态转移 方程的形式。
5、策略：是一个按顺序排列的决策组成的集合。在