空间曲线的切线

T = {1,2t,3t 2} = {1,2,3}
M
t =1
因此 M 处的切线方程：
法平面方程：
x −1 = y −1 = z −1 123
(x −1) + 2(y −1)+ 3(z −1) = 0
例2.求曲线
x
2
xy
+ −
y2 + z2 z=0
=
9
在点M(1,2,2)处的切线方程和
法平面方程.
因此，切向量
T = {1, dy , dz} = {1,− 5 , 3}
M
dx dx线方程：
法平面方程：
x −1 = y −1 = z − 2 4 −5 3
4(x −1) − 5(y −1)+ 3(z − 2) = 0
因此曲线 Γ 在点 M 处的
切线方程 法平面方程
x − x0
x′(t0 )
=
y − y0
y′(t0 )
=
z − z0
z′(t0 )
x′(t0 )(x − x0 ) + y′(t0 )(y − y0 )+ z′(t0 )(z − z0 ) = 0
例1.求曲线 Γ : x = t, y = t 2, z = t3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解：曲线在M点出切向量为
空间曲线的切线 与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
Π
M
T Γ
给定光滑曲线 Γ : x = x(t), y = y(t), z = z(t),t ∈[α , β ] 设 Γ 上的点 M (x0, y0, z0 )对应 t = t0 , x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 ) 不全为0 则 Γ 点M的切向量：T = {x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 )}
解：选定x为参数变量，y = y(x), z = z(x) 由方程确定，
因此，根据隐函数求导方法,得
2x + 2 y
y
+
x
dy dx
dy + 2z dx − dz =
dx
dz dx
0.
=
0,
从而得到：
dy = x + yz , dx − y − xz
dz = x2 − y2 dx − y − xz