几何体的外接球附练习题
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分析：如右图
法一：该几何体可由正三棱柱沿平民啊PBC切割而产生，故该三棱锥的外接球可转化为原三棱柱的外接
球；
法二：先确定底面三角形ABC的外心0，从而球心位于0的正上方，即
00丄平面ABC，同时：0P=0A，故，过0作0M丄PA于M，此时M必
1 3
为PA中点，从而四边形0MA'为矩形，所以00' AM PA-，
从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底
面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心
的正上方。
三、常见几何体的外接球半径的求法
1、直（正）棱柱
以三棱柱为例 例：在正三棱柱ABC A1B1C1中，三角形ABC是边长为2的正三角形，AA3，求该三棱柱的外
接球半径.
从而R』9
6
2、棱锥
常见有三棱锥和四棱锥两类，其中四棱锥的外接球半径求法相对比较简单，此处重点分析三棱锥的外接 球。
（1）含有线面垂直关系（侧棱垂直与底面）的三棱锥 该种三棱锥的外接球半径求法有两种，举例说明如下。
例：在三棱锥P-ABC中，三角形ABC是边长为2的正三角形，PA丄平面ABC，PA=3，求该三棱锥的 外接球半径.
22
在直角三角形00A中有：R2r200'2.
计算过程略.
（2）正棱锥 以正三棱锥为例
在正三棱柱中顶点与底面中心的连线垂直于底面，即
PO'面ABC，故球心0落在直线PO'上.
例：在正三棱锥P-ABC中，三角形ABC是边长为2的正三角形，PA=3，球该三棱锥的外接球半径 分析：如图
由底面正三角形边长可得r，在直角三角形00A中，
分析：如右图，由正三角形的边长可知底面的外接圆半径r,要求R，只需确
定00的长度，结合正棱柱也是直棱柱的特征可知，上下两底面三角形的外
心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心0必位于上下两底面外心连线的中
1
点处，即00'AA，从而R可求.
2
2 33
由题可得：r2 3,001
32
在直角三角形A00'中，R2r200'2
R
2 2
r200'2，故只需确定00的长度即可，结合图形,
00=PO-OP=H-R，带入上式中即可求解
由题可知:
◎
3
.69
3
所以
r
(H R)
设PO'=H
C
解得：R
9
46
（3）含有侧面垂直于底面（不含侧棱垂直于底面）
该类问题的求解难点在于球心位置的寻找，确定球心时需要分别取两相互垂直的面的过外心的垂线，球 心位于两垂线的交点处。
（3）等腰三角形：
结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。
I
2a2
由图可得：
V
思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。
（4）非特殊三角形：
考察较少，若岀现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。
2、四边形
常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰 梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。
外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各 个顶点距离相同的点。
结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处
以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点 到该三角形三个顶点的距离恒定相等。
转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂 直于该正方形。
3
A.
12
c.
B.
3•体积为
6
3271
A
II
2
3
的体积为（
的球有一个内接正三棱锥P-ABC，PQ是球的直径，/APQ=60°，则三棱锥P-ABC
^PM —,r —AB 3
3
15
练习题组一
1•某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上,
4a
nD•20n
0
A
则该球面的表面积为（
M，球 边形
合沟通
2•三棱锥P-ABC的四个顶点都在球0的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当
三棱锥的体积最大时，球心0到平面ABC的距离是（
外心:外接圆圆心，各边中垂线的交点； 重心：各边中线的交点； 垂心：各边垂线的交点；
中心：正多边形特有。
从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：
2.3
raa（其中a为等边三角形的边长）
3
（2）直角三角形：
结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位 于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。
例：在三棱锥P-ABC中，面PAB丄面ABC，三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形，且 求该几何体外接球半径.
分析：设△ABC和厶PAB的球心分别为0,0','取AB中点
心设为0,则00丄平面
00'M0'是矩形，可得：
定理即可求解.
的三棱锥
AB=3，
由题可得
所以
ABC，00''丄平面PAB，从而四00'=0'M，在三角形00'C中结
几
外
一、球的性质回顾
如右图所示：0为球心，O为球0的一个小圆的圆心，则此00垂直于圆0'所在平面。
二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r）的求法
1、三角形：
（1）等边三角形：
等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五 心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。 内心：内切圆圆心，各角角源自文库分线的交点；
法一：该几何体可由正三棱柱沿平民啊PBC切割而产生，故该三棱锥的外接球可转化为原三棱柱的外接
球；
法二：先确定底面三角形ABC的外心0，从而球心位于0的正上方，即
00丄平面ABC，同时：0P=0A，故，过0作0M丄PA于M，此时M必
1 3
为PA中点，从而四边形0MA'为矩形，所以00' AM PA-，
从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底
面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心
的正上方。
三、常见几何体的外接球半径的求法
1、直（正）棱柱
以三棱柱为例 例：在正三棱柱ABC A1B1C1中，三角形ABC是边长为2的正三角形，AA3，求该三棱柱的外
接球半径.
从而R』9
6
2、棱锥
常见有三棱锥和四棱锥两类，其中四棱锥的外接球半径求法相对比较简单，此处重点分析三棱锥的外接 球。
（1）含有线面垂直关系（侧棱垂直与底面）的三棱锥 该种三棱锥的外接球半径求法有两种，举例说明如下。
例：在三棱锥P-ABC中，三角形ABC是边长为2的正三角形，PA丄平面ABC，PA=3，求该三棱锥的 外接球半径.
22
在直角三角形00A中有：R2r200'2.
计算过程略.
（2）正棱锥 以正三棱锥为例
在正三棱柱中顶点与底面中心的连线垂直于底面，即
PO'面ABC，故球心0落在直线PO'上.
例：在正三棱锥P-ABC中，三角形ABC是边长为2的正三角形，PA=3，球该三棱锥的外接球半径 分析：如图
由底面正三角形边长可得r，在直角三角形00A中，
分析：如右图，由正三角形的边长可知底面的外接圆半径r,要求R，只需确
定00的长度，结合正棱柱也是直棱柱的特征可知，上下两底面三角形的外
心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心0必位于上下两底面外心连线的中
1
点处，即00'AA，从而R可求.
2
2 33
由题可得：r2 3,001
32
在直角三角形A00'中，R2r200'2
R
2 2
r200'2，故只需确定00的长度即可，结合图形,
00=PO-OP=H-R，带入上式中即可求解
由题可知:
◎
3
.69
3
所以
r
(H R)
设PO'=H
C
解得：R
9
46
（3）含有侧面垂直于底面（不含侧棱垂直于底面）
该类问题的求解难点在于球心位置的寻找，确定球心时需要分别取两相互垂直的面的过外心的垂线，球 心位于两垂线的交点处。
（3）等腰三角形：
结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。
I
2a2
由图可得：
V
思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。
（4）非特殊三角形：
考察较少，若岀现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。
2、四边形
常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰 梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。
外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各 个顶点距离相同的点。
结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处
以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点 到该三角形三个顶点的距离恒定相等。
转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂 直于该正方形。
3
A.
12
c.
B.
3•体积为
6
3271
A
II
2
3
的体积为（
的球有一个内接正三棱锥P-ABC，PQ是球的直径，/APQ=60°，则三棱锥P-ABC
^PM —,r —AB 3
3
15
练习题组一
1•某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上,
4a
nD•20n
0
A
则该球面的表面积为（
M，球 边形
合沟通
2•三棱锥P-ABC的四个顶点都在球0的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当
三棱锥的体积最大时，球心0到平面ABC的距离是（
外心:外接圆圆心，各边中垂线的交点； 重心：各边中线的交点； 垂心：各边垂线的交点；
中心：正多边形特有。
从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：
2.3
raa（其中a为等边三角形的边长）
3
（2）直角三角形：
结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位 于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。
例：在三棱锥P-ABC中，面PAB丄面ABC，三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形，且 求该几何体外接球半径.
分析：设△ABC和厶PAB的球心分别为0,0','取AB中点
心设为0,则00丄平面
00'M0'是矩形，可得：
定理即可求解.
的三棱锥
AB=3，
由题可得
所以
ABC，00''丄平面PAB，从而四00'=0'M，在三角形00'C中结
几
外
一、球的性质回顾
如右图所示：0为球心，O为球0的一个小圆的圆心，则此00垂直于圆0'所在平面。
二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r）的求法
1、三角形：
（1）等边三角形：
等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五 心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。 内心：内切圆圆心，各角角源自文库分线的交点；