浅谈解线性方程组的方法
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复 杂的 方程都 可 以转化 为线性 方程 ． 总结线性 方程 组求 解的一 些基本 方 法 ， 同时对每 个方 法都通
过 实例 给 出 了详 细 的 说 明 ．
关 键词 ： Ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ ； 线性 方程组 ； 解 线性 方程组 ； 方 法 中 图分 类 号 ： ０ １ ５ １ ． ２ 文献 标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ２—８ ５ １ ３ （ ２ ０ １ ３ ） Ｓ １— ０ ０ ８ ２— ０ ５ Ｄｉ ｓ ｃ ｕｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎｇ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｉ ｍｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｎ ｔ ｐ ａ ｒ ｔ ｏ ｆ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ，ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ｉ ｓ ｗｉ ｄ ｅ ｌ ｙ ｕ ｓ ｅ ｄ ｉ ｎ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ
ｈ ｔ ｔ ｐ： ／ ／ ｘ ｂ ． ｙ ｎ ｎ ｉ ．ｅ ｄ ｕ． ｏ ｎ
百度文库
浅 谈 解 线 性 方 程 组 的 方 法
鲁翠仙 ， 李天荣
（ 临沧师范高等专科学校 数理系 ， 云南 临沧 ６ ７ ７ ０ ９ ９ ）
摘要 ：线性 方程组 的 求解是代 数 学的一 个重要 组成 部分 ， 广 泛应 用于数 学与 其 它科 学领 域 ， 许多
高斯 消元 法是 一种 古老 的方法 ， 其 实质 上是 对线性 方程 组施行 初等 行 变换从 而消 去未 知量 ． 该 方法 以数 学 家卡 尔 ・ 高斯命 名 ， 但最 早 出现于 中 国古 籍 《 九 章 算术 》， 成 书 于约 公元 前 １ ５ ０年． 在 西方 ， 线 性 方 程 组 的 研 究是 在 １ ７世纪 后期 由莱 布尼 茨开创 的 ， 他 曾研 究含 ２个 未 知量 的 ３个 线 性方 程 组组 成 的方程 组 ． 克莱 姆
ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ｓ ｏ ｆ ｓ ｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ，ｍａ ｎ ｙ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｄ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｏ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ． Ｉ ｎ ｔ ｈｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ，ｓ ｏ ｍｅ ｂａ ｓ ｉ ｃ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎｇ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｒ ｅ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ｓ ｕ ｍｍａ ｒ ｉ ｚ ｅ ｄ，ｍｅ ａ ｎ ｗｈ ｉ ｌ ｅ，ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ｅ ｄ ｉ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｓ ｏ ｍｅ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ｆ ｏ ｒ ｅ ａ ｃ ｈ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ ：Ｅｘ ｃ ｅ ｌ ； ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ； ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ； ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ
Ｌ Ｕ Ｃｕ ｉ — ｘ ｉ ａ ｎ， Ｌ Ｉ Ｔ ｉ ａ ｎ — ｒ ｏ ｎ ｇ
（ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｌ ｉ ｎ ｃ ａ ｎ ｇ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｌ ｉ ｎ ｃ ａ ｎ ｇ ６ ７ ７ ０ ９ ９ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
云 南 民族 大 学 学 报 ： 自然 科 学 版 ， ２ ０ １ ３ ， ２ １ （ Ｓ １ ） ： ８ ２— ８ ６
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２— ８ ５ １ ３ ． ２ ０ １ ３ ． Ｓ １ ． ０ ２ １
ＣＮ ５ ３一ｌ １ ９ ２／Ｎ Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ６７ ２—８ ５ｌ ３
个数与方程 的个数相等 ， 另一类是未知量个数与方程 的个数不等 ， 我们都可以采用消元法 ， 对于前一个特殊 的线性 方程 组 我们还 可 以采用 克莱姆 法则 ．
１ 用 高 斯 消 元 法 解 线 性 方 程 组
１ ８世 纪上 半 叶研究 了具 有 ２ 、 ３ 、 ４个 未知 量 的线 性方 程组 ， 得到 现在 的克莱 姆法 则． １ ８世 纪下 半 叶 ， 法 国数 学
家贝祖 对 线性方 程组 理论 进行 了一 系列研 究 ， 得到 了 ｎ个方 程 ｎ元 齐 次线 性 方程 组有 非 零解 的充 分 必要 条 件是 它 的系数行 列 式等 于零． １ ９世 纪 ， 英 国数 学家 史密 斯和 道奇森 继续 研究 线 性方 程组 的理论 ， 前 者 引进 了 方程 组 的增 广矩 阵和非 增广 矩 阵的概 恋 ， 后者 证 明 了个 ｎ未知 量 个 方 程组 相 容 的充要 条 件是 系数 矩 阵 和 增 广矩 阵 的秩相 同 ， 这 正是 现代 方程组 理论 的重 要成果 之 一 ． 大量 的科 学 技术 问题 ， 最终 往 往 归结 为 解 线性 方 程组 ， 现在， 线性 方 程组 的数值 解法 在计算 数 学 中 占有重 要地位 ． 线性 方 程组可 以分 成 ２类 ， 一类 是 未知 量
过 实例 给 出 了详 细 的 说 明 ．
关 键词 ： Ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ ； 线性 方程组 ； 解 线性 方程组 ； 方 法 中 图分 类 号 ： ０ １ ５ １ ． ２ 文献 标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ２—８ ５ １ ３ （ ２ ０ １ ３ ） Ｓ １— ０ ０ ８ ２— ０ ５ Ｄｉ ｓ ｃ ｕｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎｇ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
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浅 谈 解 线 性 方 程 组 的 方 法
鲁翠仙 ， 李天荣
（ 临沧师范高等专科学校 数理系 ， 云南 临沧 ６ ７ ７ ０ ９ ９ ）
摘要 ：线性 方程组 的 求解是代 数 学的一 个重要 组成 部分 ， 广 泛应 用于数 学与 其 它科 学领 域 ， 许多
高斯 消元 法是 一种 古老 的方法 ， 其 实质 上是 对线性 方程 组施行 初等 行 变换从 而消 去未 知量 ． 该 方法 以数 学 家卡 尔 ・ 高斯命 名 ， 但最 早 出现于 中 国古 籍 《 九 章 算术 》， 成 书 于约 公元 前 １ ５ ０年． 在 西方 ， 线 性 方 程 组 的 研 究是 在 １ ７世纪 后期 由莱 布尼 茨开创 的 ， 他 曾研 究含 ２个 未 知量 的 ３个 线 性方 程 组组 成 的方程 组 ． 克莱 姆
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云 南 民族 大 学 学 报 ： 自然 科 学 版 ， ２ ０ １ ３ ， ２ １ （ Ｓ １ ） ： ８ ２— ８ ６
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２— ８ ５ １ ３ ． ２ ０ １ ３ ． Ｓ １ ． ０ ２ １
ＣＮ ５ ３一ｌ １ ９ ２／Ｎ Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ６７ ２—８ ５ｌ ３
个数与方程 的个数相等 ， 另一类是未知量个数与方程 的个数不等 ， 我们都可以采用消元法 ， 对于前一个特殊 的线性 方程 组 我们还 可 以采用 克莱姆 法则 ．
１ 用 高 斯 消 元 法 解 线 性 方 程 组
１ ８世 纪上 半 叶研究 了具 有 ２ 、 ３ 、 ４个 未知 量 的线 性方 程组 ， 得到 现在 的克莱 姆法 则． １ ８世 纪下 半 叶 ， 法 国数 学
家贝祖 对 线性方 程组 理论 进行 了一 系列研 究 ， 得到 了 ｎ个方 程 ｎ元 齐 次线 性 方程 组有 非 零解 的充 分 必要 条 件是 它 的系数行 列 式等 于零． １ ９世 纪 ， 英 国数 学家 史密 斯和 道奇森 继续 研究 线 性方 程组 的理论 ， 前 者 引进 了 方程 组 的增 广矩 阵和非 增广 矩 阵的概 恋 ， 后者 证 明 了个 ｎ未知 量 个 方 程组 相 容 的充要 条 件是 系数 矩 阵 和 增 广矩 阵 的秩相 同 ， 这 正是 现代 方程组 理论 的重 要成果 之 一 ． 大量 的科 学 技术 问题 ， 最终 往 往 归结 为 解 线性 方 程组 ， 现在， 线性 方 程组 的数值 解法 在计算 数 学 中 占有重 要地位 ． 线性 方 程组可 以分 成 ２类 ， 一类 是 未知 量