培优专题训练五比例线段与黄金分割

培优专题训练五 比例线段与黄金分割

【知识要点】

1．把b

a 的值叫做线段

b a ,的比，若d

c b a =，则称线段

d c b a ,,,成比例线段。 2．bc ad d c b a d

c b a =⇔=⇔=::，其中

d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。

3．n

1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：

bc ad d

c b a =⇔=；②反比性质：c

d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则1

12121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2

，则称b 是ac 的比例中项

6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则点P 是线段AB 的黄金分割点； 7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 【典型例题】

例1．下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a=2，b=3，c=2，d=3 B.a=4，b=6，c=5，d=10

C.a=2，b=5，c=23，d=15

D.a=2，b=3，c=4，d=1

例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( )

A.a ∶d=c ∶b

B.a ∶b=c ∶d

C.d ∶a=b ∶c

D.a ∶c=d ∶b

例3. 若a=2,b=3,c=33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为 。

例4. 若ac=bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d

c b a = B.c c b

d d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知d

c b a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b=c 2∶

d 2 B. a ∶d=c ∶b

C. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）

D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）

例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。

例7.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是 。

例8．①已知b

a a

b b a x +=+=+=222，求x 的值 ②已知524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值。

例9.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )

A ．AM ∶BM=A

B ∶AM B.AM=215-AB C.BM=2

15-AB D.AM ≈0.618AB 例10．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求：AC

CD 的值

【经典练习】

1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ）

A.9∶400

B.9∶40

C.9∶4

D.90∶4

2.下列线段能成比例线段的是（ ）

A.1cm,2cm,3cm,4cm

B.1 cm,2cm,22cm,2cm

C.2cm,5cm,3cm,1cm

D.2cm,5cm,3cm,4cm

3．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（ ）

A 、d b c a =

B 、b a d c =

C 、b d c a =

D 、c

d a b = 4．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）

A 、511=+y y x

B 、51=-y y x

C 、6=-y x x

D 、5=-x

y y 5．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）

A 、1:2

B 、1:4

C 、1:6

D 、1:8

6．若3:2:1::=c b a ，则c

b a

c b a +---的值为（ ） A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-3

7．已知8

75c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ）

A 、11

B 、12

C 、3

14 D 、9 8．若4

3x x =，则x 等于（ ） A C D B

A 、12

B 、32

C 、-32

D 、32± 9．已知AB=1，)15(21-=AC ，且BC AB AC ⋅=2，则BC 的长为（ ） A 、215- B 、215+ C 、)53(21- D 、)53(2

1+ 10．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（ ）

A 、2

B 、15+

C 、2或15+

D 、以上都不对

11．已知572z y x ==，设x

z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的大小顺序为（ A 、 A>B>C B 、AA>B D 、A

12．如果3

2=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 13．已知a b a 3)(7=-，则

=b a 14．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-c

b a z y x 3232 15．已知：2,2,1三个数，请你再填一个数，可写成一个比例式，这个数是

16.若b

a c a c

b

c b a k 222-=-=-=，且a +b +c ≠0，则k 的值为（ ） (A)-1 (B)2

1 (C)1 (D)- 1

2 17.（2006茂名）若125x y z 3++=，3217x y z ++=，则111x y z ++= ．

18.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a+b+c =60cm ，a ∶b ∶c =3∶4∶5，求ΔABC 的面积.

19．若

6

5432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.试求a ∶b ∶c.

20.如果一个矩形ABCD(AB ＜BC)中，215-=BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人

以美感.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.